第4章学业质量评价（作业课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（湘教版）
2026-09-14
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教辅
摘要：
该初中数学单元复习课件系统梳理了二次函数的概念、图像与性质、平移变换及实际应用，通过知识框架将定义、顶点坐标、对称轴等核心内容串联，帮助学生构建完整的二次函数知识网络。
其亮点在于融入“新考向条件开放题”“新课标代数推理”等创新题型，如通过火箭升空高度函数分析最值培养数学建模意识，借助养鸡场面积问题发展应用意识。分层设计从基础选择到综合解答，助力学生巩固知识，教师可精准把握学情提升复习效率。
内容正文：
《学练优》·九年级数学上·XJ
第4章学业质量评价
一、选择题(每小题3分，共30分)
1. 下列函数表达式中，一定为二次函数的是
( C )
A. y＝3x－1 B. y＝ax2＋bx＋c
C. y＝2t2＋1 D. y＝x2＋
C
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2. 二次函数y＝x2－2x－3的图象与y轴的交点坐标
是( D )
A. (0，1) B. (1，0)
C. (－3，0) D. (0，－3)
D
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3. 比较二次函数y＝2x2与y＝－ x2＋1的图象，它
们( D )
A. 开口方向相同 B. 开口大小相同
C. 顶点坐标相同 D. 对称轴相同
D
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4. 将抛物线y＝(x－2)2－8向左平移3个单位，再向
上平移5个单位，得到抛物线的表达式为( D )
A. y＝(x＋1)2－13 B. y＝(x－5)2－3
C. y＝(x－5)2－13 D. y＝(x＋1)2－3
D
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5. 关于抛物线y＝x2－2x＋1，下列说法错误的是
( D )
A. 开口向上
B. 与x轴有一个交点
C. 对称轴是直线x＝1
D. 当x＞1时，y随x的增大而减小
D
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6. 新考向 条件开放题 二次函数y＝2x2－3x＋□的
图象与x轴有两个交点，则“□”表示的数可以是
( A )
A. 1 B. C. 2 D. 3
A
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7. 如图，抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B
两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC，则
tan∠CAB的值为( D )
A. B.
C. D. 2
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8. 已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)
与飞行时间t(s)满足函数表达式h＝－t2＋24t＋1.
则下列说法中正确的是( D )
A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同
B. 点火后24s火箭落于地面
C. 点火后10s的升空高度为139m
D. 火箭升空的最大高度为145m
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9. 已知二次函数y＝x2＋ax＋2的图象关于直线x＝
3对称，当m≤x≤m＋2时，y有最小值－7，则m
的取值范围是( C )
A. 2≤m＜3 B. m＞2
C. 1≤m≤3 D. 1＜m＜3
C
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10. 新课标 代数推理 已知mn＜0， ＞0，则y关
于x的二次函数y＝mx2＋n的图象可能是( B )
B
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二、填空题(每小题3分，共18分)
11. 点A(－2，a)是抛物线y＝x2上一点，则a
＝ .
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12. 如图，已知二次函数y＝x2－4x－5的图象与x
轴交于A，B两点，则AB的长度为 .
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13. 已知抛物线y＝－x2＋bx＋4经过(－2，n)和
(4，n)两点，则n的值为 .
－4
14. 已知A(－2，y1)，B(3，y2)，C(5，y3)是抛物
线y＝x2－4x＋c上的三点，则y1，y2，y3的大小关
系用“＜”连接为 .
y2＜y3＜y1
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15. 某校计划举办科技节颁奖典礼，想在颁奖现场
设计一个抛物线形拱门入口.如图，要在拱门上顺次
粘贴“科”“技”“之”“星”(分别记作点A，
B，C，D)四个大字，要求BC∥AD，最高点的五
角星(点E)到BC的距离为0.5米，BC＝2米，AD＝
4米，则点C到AD的距离为 米.
1.5
第15题图
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16. 新视角 创新综合 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋
c(a≠0)与x轴交于点(x1，0)，(2，0)，其中0＜x1
＜1.
第16题图
(1)若x1＝ ，则抛物线的对称轴为直线 x＝ .
x＝
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(2)下列结论中正确的是 .(填序号)
①abc＜0；
②a＋b＋c＞0；
③－3a＜b＜－2a；
④关于x的不等式ax2＋bx＋c＜－ x＋
c的解集为0＜x＜2.
①③④
16. 新视角 创新综合 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋
c(a≠0)与x轴交于点(x1，0)，(2，0)，其中0＜x1
＜1.
第16题图
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三、解答题(共72分)
17. (6分)已知函数y＝(m－1) ＋4x－5是二次
函数.
(1)求m的值；
解：(1)由y＝(m－1) ＋4x－5是二次函数，
得m2＋1＝2且m－1≠0.
解得m＝－1.(3分)
解：(1)由y＝(m－1) ＋4x－5是二次函数，
得m2＋1＝2且m－1≠0.
解得m＝－1.(3分)
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(2)写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标.
解：(2)当m＝－1时，二次函数的表达式为y＝－
2x2＋4x－5＝－2(x－1)2－3，
∴对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－3).(6分)
解：(2)当m＝－1时，二次函数的表达式为y＝－
2x2＋4x－5＝－2(x－1)2－3，
∴对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－3).(6分)
17. (6分)已知函数y＝(m－1) ＋4x－5是二次
函数.
解：(1)由y＝(m－1) ＋4x－5是二次函数，
得m2＋1＝2且m－1≠0.
解得m＝－1.(3分)
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18. (8分)抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0，a，b为常
数)上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如表：
x … －1 0 1 2 3 …
y … 0 －3 －4 －3 m …
(1)求抛物线的解析式；
解：(2)当x＝3时，y＝32－2×3－3＝0，
∴m＝0.(8分)
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解：(1)将(－1，0)，(1，－4)代入y＝ax2＋bx－3，
得 解得
∴y＝x2－2x－3.(4分)
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18. (8分)抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0，a，b为常
数)上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如表：
x … －1 0 1 2 3 …
y … 0 －3 －4 －3 m …
(2)求表格中m的值.
解：(2)当x＝3时，y＝32－2×3－3＝0，
∴m＝0.(8分)
解：(2)当x＝3时，y＝32－2×3－3＝0，
∴m＝0.(8分)
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19. (8分)已知二次函数y＝－ x2－x＋ .
(1)在给定的直角坐标系中，画出这个函数图象的示
意图；
解：(1)二次函数的表达式为y＝－ x2－x＋ ＝－
(x＋1)2＋2，
∴顶点坐标为(－1，2).
当x＝0时，y＝ ，当y＝0时，x＝1或－3.
故二次函数与y轴交于(0， )，与x轴交于(1，0)，
(－3，0).
图象如图所示.(4分)
解：(1)二次函数的表达式为y＝－ x2－x＋ ＝－
(x＋1)2＋2，
∴顶点坐标为(－1，2).
当x＝0时，y＝ ，当y＝0时，x＝1或－3.
故二次函数与y轴交于(0， )，
与x轴交于(1，0)，(－3，0).
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图象如图所示.(4分)
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(2)根据图象，写出当y＜0时x的取值范围.
解：(2)据图可知，当y＜0时，x＜－3或x＞1.(8分)
19. (8分)已知二次函数y＝－ x2－x＋ .
(1)在给定的直角坐标系中，画出这个函数图象的示
意图；
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20. (9分)如图，二次函数y＝(x＋2)2＋m的图象与y
轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物
线的对称轴对称.已知一次函数y＝kx＋b的图象经
过该二次函数图象上的点A(－1，0)及点B.
(1)求二次函数与一次函数的表达式；
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解：(1)∵抛物线y＝(x＋2)2＋m经
过点A(－1，0)，
∴0＝1＋m.
∴m＝－1.
∴抛物线的表达式为y＝(x＋2)2－1
＝x2＋4x＋3.
∴点C的坐标为(0，3)，抛物线的对
称轴为直线x＝－2.
又∵点B，C关于对称轴对称，
解：(1)∵抛物线y＝(x＋2)2＋m经过点A(－1，0)，
∴0＝1＋m.
∴m＝－1.
∴抛物线的表达式为y＝(x＋2)2－1＝x2＋4x＋3.
∴点C的坐标为(0，3)，
抛物线的对称轴为直线x＝－2.
又∵点B，C关于对称轴对称，
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∴点B的坐标为(－4，3).
∵y＝kx＋b经过点A，B，
∴ 解得
∴一次函数的表达式为y＝－x－1.(5分)
∴点B的坐标为(－4，3).
∵y＝kx＋b经过点A，B，
∴ 解得
∴一次函数的表达式为y＝－x－1.(5分)
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(2)根据图象，写出满足(x＋2)2＋m≥kx＋b的x的
取值范围.
解：(2)由图象可知，满足(x＋2)2＋m≥kx＋b的x
的取值范围为x≤－4或x≥－1.(9分)
解：(2)由图象可知，满足(x＋2)2＋m≥kx＋
b的x的取值范围为x≤－4或x≥－1.(9分)
20. (9分)如图，二次函数y＝(x＋2)2＋m的图象与y
轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物
线的对称轴对称.已知一次函数y＝kx＋b的图象经
过该二次函数图象上的点A(－1，0)及点B.
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21. (9分)已知关于x的一元二次方程x2＋(k－5)x＋1
－k＝0，其中k为常数.
(1)求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实
数根；
(1)证明：∵Δ＝(k－5)2－4(1－k)＝k2－6k＋21＝(k
－3)2＋12＞0，∴无论k为何值，方程总有两个不相
等的实数根.(4分)
(1)证明：∵Δ＝(k－5)2－4(1－k)＝k2－6k＋21＝(k
－3)2＋12＞0，∴无论k为何值，方程总有两个不相
等的实数根.(4分)
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21. (9分)已知关于x的一元二次方程x2＋(k－5)x＋1
－k＝0，其中k为常数.
(2)已知函数y＝x2＋(k－5)x＋1－k的图象不经过第
三象限，求k的取值范围.
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(2)解：∵二次函数y＝x2＋(k－5)x＋1－k的图象不
经过第三象限，二次项系数a＝1＞0，
∴抛物线开口方向向上.
∵Δ＝(k－3)2＋12＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点.
设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，则
x1＋x2＝5－k＞0，x1·x2＝1－k≥0，解得k≤1.即
k的取值范围是k≤1.(9分)
(2)解：∵二次函数y＝x2＋(k－5)x＋1－k的图象不
经过第三象限，二次项系数a＝1＞0，
∴抛物线开口方向向上.
∵Δ＝(k－3)2＋12＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点.
设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，
则x1＋x2＝5－k＞0，x1·x2＝1－k≥0，解得k≤1.
即k的取值范围是k≤1.(9分)
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22. (10分)某农场要建一个矩形养鸡场，养鸡场的一
边靠墙，另外三边用木栅栏围成.已知墙长25m，木
栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口
(另选材料建出入门).求养鸡场面积的最大值.
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解：设矩形养鸡场与墙垂直的一边长为xm，养鸡
场的面积为ym2，则与墙平行的一边长为(47－2x＋
1)m.由题意可得y＝x(47－2x＋1)，即y＝－2(x－
12)2＋288.
∵－2＜0，
∴当x＝12时，y有最大值为288.
当x＝12时，47－2x＋1＝24＜25(符合题意).
∴养鸡场的最大面积为288m2.(10分)
解：设矩形养鸡场与墙垂直的一边长为xm，养鸡
场的面积为ym2，则与墙平行的一边长为(47－2x＋
1)m.由题意可得y＝x(47－2x＋1)，
即y＝－2(x－12)2＋288.
∵－2＜0，
∴当x＝12时，y有最大值为288.
当x＝12时，47－2x＋1＝24＜25(符合题意).
∴养鸡场的最大面积为288m2.(10分)
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23. (10分)新情境 传统文化 红灯笼，象征着阖家团
圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化.小
明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用6240元购进
甲灯笼与用8400元购进乙灯笼的数量相同，已知乙
灯笼每对的进价比甲灯笼每对的进价多9元.
(1)求甲、乙两种灯笼每对的进价.
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解：(1)设甲灯笼每对的进价为a元，则乙灯笼每对
的进价为(a＋9)元.
由题意得 ＝ ，解得a＝26.
经检验，a＝26为原方程的解且符合题意.则a＋9＝
35.
答：甲灯笼每对的进价为26元，乙灯笼每对的进价
为35元.(4分)
解：(1)设甲灯笼每对的进价为a元，则乙灯笼每对
的进价为(a＋9)元.
由题意得 ＝ ，解得a＝26.
经检验，a＝26为原方程的解且符合题意.
则a＋9＝35.
答：甲灯笼每对的进价为26元，乙灯笼每对的进价
为35元.(4分)
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(2)经市场调查发现，乙灯笼每对的售价为50元时，
每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2
对.销售部门规定其售价不高于每对65元，设乙灯笼
每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元.
①求出y与x之间的函数解析式；
23. (10分)新情境 传统文化 红灯笼，象征着阖家团
圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化.小
明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用6240元购进
甲灯笼与用8400元购进乙灯笼的数量相同，已知乙
灯笼每对的进价比甲灯笼每对的进价多9元.
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解：(2)①y＝(50＋x－35)(98－2x)＝－2x2＋68x＋
1470，故y与x的函数解析式为y＝－2x2＋68x＋
1470.(6分)
②y＝－2x2＋68x＋1470＝－2(x－17)2＋2048.
∵销售部门规定其售价不高于每对65元，
∴x＋50≤65，解得x≤15.
∵－2＜0，
∴当x＝15时，y有最大值，最大值为2040.
∴乙灯笼的售价为每对65元时，一天获得的利润最
大.(10分)
解：(2)①y＝(50＋x－35)(98－2x)＝－2x2＋68x＋
1470，故y与x的函数解析式为y＝－2x2＋68x＋
1470.(6分)
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(2)经市场调查发现，乙灯笼每对的售价为50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对.销售部门规定其售价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元.
②乙灯笼的售价为每对多少元时，一天获得的利润最大？
23. (10分)新情境 传统文化 红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化.小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用6240元购进甲灯笼与用8400元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对的进价比甲灯笼每对的进价多9元.
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解：(2)①y＝(50＋x－35)(98－2x)＝－2x2＋68x＋
1470，故y与x的函数解析式为y＝－2x2＋68x＋
1470.(6分)
②y＝－2x2＋68x＋1470＝－2(x－17)2＋2048.
∵销售部门规定其售价不高于每对65元，
∴x＋50≤65，解得x≤15.
∵－2＜0，
∴当x＝15时，y有最大值，最大值为2040.
∴乙灯笼的售价为每对65元时，一天获得的利润最
大.(10分)
解：(2) ②y＝－2x2＋68x＋1470＝－2(x－17)2＋2048.
∵销售部门规定其售价不高于每对65元，
∴x＋50≤65，解得x≤15.
∵－2＜0，
∴当x＝15时，y有最大值，最大值为2040.
∴乙灯笼的售价为每对65元时，一天获得的利润最
大.(10分)
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24. (12分)在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2
＋bx＋3的图象与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两
点，与y轴交于点C.
(1)求二次函数的表达式.
解：(1)由题意得y＝a(x－
1)(x－3)＝a(x2－4x＋3)
＝ax2＋bx＋3，则a＝1.
∴二次函数的表达式为y
＝x2－4x＋3.(3分)
解：(1)由题意得y＝a(x－1)(x－3)＝a(x2－4x＋3)
＝ax2＋bx＋3，则a＝1.
∴二次函数的表达式为y
＝x2－4x＋3.(3分)
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(2)如图①，若点P是线段BC上的一个动点(不与点
B，C重合)，过点P作y轴的平行线交抛物线于点
Q，当线段PQ的长度最大时，求点Q的坐标.
24. (12分)在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2
＋bx＋3的图象与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两
点，与y轴交于点C.
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解：(2)由二次函数的表达
式，得点C(0，3)，由点
B，C的坐标，得直线CB
的表达式为y＝－x＋3.
设点Q(x，x2－4x＋3)，
则点P(x，－x＋3)，则
PQ＝－x＋3－(x2－4x＋
3)＝－x2＋3x.
解：(2)由二次函数的表达式，得点C(0，3)，由点
B，C的坐标，得直线CB的表达式为y＝－x＋3.
设点Q(x，x2－4x＋3)，则点P(x，－x＋3) ，
则PQ＝－x＋3－(x2－4x＋3)＝－x2＋3x.
∵－1＜0，∴PQ有最大值，此时x＝ ，则y＝x2
－4x＋3＝－ ，即点Q(，－ ).(8分)
∵－1＜0，∴PQ有最大值，此时x＝ ，则y＝x2
－4x＋3＝－ ，即点Q(，－ ).(8分)
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(3)如图②，在(2)的条件下，过点Q的直线与抛物线
交于点D，且∠CQD＝2∠OCQ. 在y轴上是否存
在点E，使得△BDE为等腰三角形？若存在，直接
写出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
24. (12分)在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2
＋bx＋3的图象与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两
点，与y轴交于点C.
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解：(3)存在，点E的坐标
为(0，8± )或(0，5)或
(0，± ).(12分)
解：(3)存在，点E的坐标为(0，8± )或(0，5)或
(0，± ).(12分)
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