专题09 一次函数的应用问题5大题型42题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材北师大版

专题09 一次函数的应用问题 拔高·压轴破难 题型1 一次函数的应用之分配方案问题（难点） 题型2 一次函数的应用之最大利润问题（重难点） 题型3 一次函数的应用之行程问题（重难点） 题型4 一次函数的应用之梯度计费问题（难点） 题型5 一次函数的应用之动态几何问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 拔高·压轴破难 题型1 一次函数的应用之分配方案问题（共10小题） 【模型】用一次函数表示不同分配方案的函数值，比较大小选最优方案。 【步骤】先设变量，分别列出各方案的一次函数表达式，确定自变量取值范围，比较函数值大小，选出最优方案并作答。 【易错】须先明确自变量实际取值范围，勿超范围比较；分段方案要分段讨论；比较时注意k正负与交点，别漏方案取舍。 1．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）某展厅举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，假期期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，该展厅制定了两种优惠方案，两种优惠方案只能选择其中一种．方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的付款 某校有4名老师与x名学生去该展厅听音乐会． (1)设方案1中的付款总金额为（元），方案2中的付款总金额为（元），分别求出、与x之间的函数关系式； (2)请帮助该校师生确定出最节省费用的购票方案． 2．（25-26八年级下·山西晋中·期中）《晋中市中小学生课间活动设计指南》要求统筹衔接课间活动、各学段体育课程与课后体育项目，纳入日常综合体育活动体系，助力学生练就运动技能、养成长效锻炼习惯．某校积极响应《指南》号召，准备购置40副羽毛球拍和个羽毛球来丰富学生的课间生活．某品牌直营店标价，一副羽毛球拍36元，一个羽毛球3元，店内有两种促销活动：活动方案一：买一副羽毛球拍送两个羽毛球，超出的羽毛球按标价付款；活动方案二：羽毛球拍和羽毛球都打9折． (1)设采用活动一所需费用为元，采用活动二所需费用为元，请分别表示，与之间的函数关系式； (2)请帮学校选择最省钱的方案． 3．（25-26八年级上·重庆·期中）某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案； 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内含10人不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与x之间的关系式； (2)某单位共38人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 4．（25-26八年级上·重庆·期中）某公司计划组织员工一日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人200元．且提供的服务完全相同．针对组团的游客，甲旅行社表示，每人都按八折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，其中20人按九折收费，超出部分每人按七折收费．假设组团参加一日游的人数为x人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团一日游的总费用（元），（元），与x（人）之间的函数关系式； (2)若公司组团参加一日游的共有32人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助公司选择收取总费用较少的一家． 5．（25-26八年级下·广东广州·期末）A城有肥料，B城有肥料．现要把这些肥料全部运往C、D两乡．从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/和25元/；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/和24元/．现C乡需要肥料，D乡需要肥料．若从A城运往C乡的肥料为，总运费为元． (1)用含的代数式表示从A城运往D乡的肥料； (2)写出总运费与之间的函数关系式；并写出的取值范围． (3)怎样调运可使总运费最少？ 6．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）暑假期间，两位家长计划带领若干名学生到白银旅游，探访黄河石林和火焰山矿山公园，并体验当地非遗文化．他们咨询了两家旅行社，报价均为每人500元（含景区门票及特色活动）． 甲旅行社：两位家长全额收费，学生享受七折优惠． 乙旅行社：全体成员（含家长）均享八折优惠． 请解答以下问题： (1)设学生数为人，甲旅行社收费为元，则函数关系式______； 设学生数为人，乙旅行社收费为元，则函数关系式______． (2)若家长希望学生深入了解白银的生态保护与非遗传承，应如何根据学生人数选择旅行社？通过计算说明理由． 7．（25-26八年级上·广东佛山·期中）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有甲、乙两家印刷社，制作此种宣传单的收费标准如下表．甲、乙印刷社收费（元）与印制数（张）的函数关系如下表： 甲印刷社 0.15元/张 乙印刷社 500张以内（含500张） 0.20元/张 超过500张部分 0.10元/张 (1)若该小组在甲、乙两家印刷社共印制400张宣传单，用去65元，问甲、乙两家印刷社各印多少张？ (2)若印刷费用为元，请直接写甲、乙两家印刷社费用与宣传单张数之间的函数关系式，并说明宣传单张数为600时选择哪家印刷社比较划算． 8．（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）“十一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游． 根据以上信息，解答下列问题： (1)设租车时间为小时，租用甲公司的车每日所需费用为元，租用乙公司的车每日所需费用为元，分别求出关于的函数表达式； (2)当租车时间为多少小时时，两种方案所需费用相同． 9．（25-26七年级上·重庆·期中）某游乐园票价为每人120元，为了吸引客源，该游乐园在“双11”期间推出了针对团体的优惠活动，具体内容如下： ①若团体人数不足10人，则不享受优惠； ②若团体人数在10人及以上，则有两种优惠方案可供选择； 方案一：每人都享受七五折优惠； 方案二：其中10人享受八五折优惠，其余人享受六折优惠． 期中练习后，为了让孩子们放松一下，三个家庭准备到该游乐园游玩，已知A家庭有4人，B家庭有3人，C家庭有2人． (1)若这三个家庭直接去游乐园，则购买门票共需花费多少元？ (2)为了享受优惠，他们准备再邀请一些人组成团体一起去该游乐园，假设他们共邀请了x个人，请解决下列问题： ①若他们选择方案一，设购买门票共需花费y元．试用含x的代数式表示y； 若他们选择方案二，设购买门票共需花费w元，试用含x的代数式表示w． ②当时，选择哪种方案更合算？请通过计算说明． 10．（25-26八年级下·广西防城港·期末）项目式学习任务：校园机器人科普展奖品采购方案 某校开展“智能机器人进校园，科创筑梦向未来”主题科普展活动，计划采购A款智能机器人模型与B款科创笔记本共120件，已知A款机器人模型单价25元/件，B款科创笔记本单价20元/件．请以“活动采购规划小组”的身份，完成以下采购成本分析任务： 任务一：建立总费用函数模型 (1)设购买A款智能机器人模型的数量为件，购买两种奖品的总费用为元．请求出总费用与A款机器人模型数量之间的函数关系式． 任务二：实际采购费用核算 (2)若本次科普展计划购买件A款智能机器人模型，剩余奖品均为B款科创笔记本，请计算本次采购的总费用． 任务三：最优采购方案设计 (3)结合活动预算与奖品购置要求，规定A款智能机器人模型的购买数量不少于件且不多于件．请通过函数分析，设计出总费用最少的采购方案，并求出最少总费用． 题型2 一次函数的应用之最大利润问题（共10小题） 【模型】用一次函数表示利润随销量或售价变化，在取值范围内求最大值。 【步骤】先设变量，根据利润=单件利润×销量列一次函数，确定自变量取值范围，结合增减性求最值并作答。 【易错】自变量须符合实际范围，最值在端点取得；k正负决定增减，勿求反；注意单件利润要减进价，别漏取值限制。 11．（25-26八年级下·重庆·期中）某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示： 类型  价格 进价（元/盏） 售价（元/盏） A型 50 75 B型 70 100 (1)若商场预计进货款为6200元，则这两种台灯各购进多少盏？ (2)若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？ 12．（25-26八年级下·湖南湘西·期末）某校八年级举行数学知识应用竞赛，购买A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别为20元和18元．根据竞赛设奖情况，需购买两种笔记本共30本，设买A种笔记本（且为正整数）本，买两种笔记本的总费用为元． (1)写出（元）关于（本）的函数关系式； (2)若商场正在进行促销活动，A种笔记本每本降价元（），B种笔记本价格不变，请你帮学校设计购买方案，使所花费用最省？并求出最少费用． 13．（25-26八年级上·陕西西安·期中）班主任老师为了奖励期中考试成绩优异的同学，计划购买笔记本和钢笔作为奖品．已知买2本笔记本和1支钢笔共花费100元；买1本笔记本和2支钢笔共花费110元． (1)求每本笔记本和每支钢笔各多少元？ (2)若班主任老师需购买笔记本和钢笔共30件，其中笔记本数量不超过16个，求总费用（元）与笔记本的数量（个）之间的函数关系式，并说明总费用至少要多少元？ 14．（25-26八年级上·安徽滁州·期中）某公司每月销售两种型号的教学设备共20台，每台的销售成本和售价如下表． 型号 成本/（万元/台） 3 5 售价/（万元/台） 4 8 (1)设该公司每月销售型号设备台，则每月销售型号设备______台，每月共获得利润_____万元．（用含的代数式表示，结果需化简） (2)若每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元，则该公司如何安排购进两种型号教学设备的数量，使得每月销售完这些设备后获利最大？并求出最大利润． 15．（25-26八年级上·全国·期末）绛州毛笔是中国传统名笔之一，从春秋战国时期至今已传承了两千多年，以胎毛、羊毫、兼毫、狼毫为最．某商店计划购进羊毫、兼毫两种毛笔共300支，其中两种毛笔的成本价和销售价如下表： 笔头类别 成本价（元/支） 销售价（元/支） 羊毫 15 25 兼毫 25 40 (1)若购进两种毛笔共花费6300元，求该商店购进羊毫、兼毫两种毛笔各多少支； (2)设购进兼毫毛笔m支，销售完这批毛笔获得的利润为元，若要保证任意一种毛笔都至少购进100支，试问应如何进货，才能使销售完这批毛笔获得的利润最大？最大利润是多少元？ 16．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，同学们的运动热情被充分激发．某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购个篮球，其中． 品名 厂家批发价（元/个） 商场零售价（元/个） 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式； (2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，求的值． 17．（25-26八年级下·山西大同·期末）某文具店计划购进甲、乙两种笔记本共100本，这两种笔记本的进价、售价如表： 类型 进价/（元/本） 售价/（元/本） 甲种 3 4.5 乙种 5 7 受市场需求限制，乙种笔记本的进货数量不超过甲种笔记本进货数量的2倍，设文具店购进甲种笔记本x本，销售完这批笔记本的总利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)应如何安排进货，才能使销售完这批笔记本的利润最大，最大利润为多少元？ 18．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）呼和浩特被誉为“中国乳都”，以乳业为发展引擎，凭借优质乳业书写城市传奇、铸就辉煌．其中牛奶贝因其味道醇美且容易携带而深受外地游客欢迎．某特产店销售、两款牛奶贝，结合材料解决问题 内容 材料一 某特产店购进，两款牛奶贝进行销售，、两款牛奶贝的售价分别为32元/袋和25元/袋，款牛奶贝的进价为22元/袋，款牛奶贝的进货总金额y（单位：元）与款牛奶贝的进货量x（单位：袋）之间的关系如图所示． 材料二 为了满足市场需求，七月份该特产店计划采购这两款牛奶贝共1000袋，其中款牛奶贝的进货量不低于300袋，且不高于600袋． 任务： (1)求y关于x的函数解析式． (2)若采购的所有牛奶贝能全部售出，设销售完、两款牛奶贝获总利润为（单位：元），请求出关于x的函数解析式，并为该特产店设计出获得最大总利润的进货方案． 19．（25-26八年级下·河南洛阳·期末）洛阳依托文旅特色打造夜间文旅消费市场，鼓励商户拓展线下外摆经营．商户小王借此售卖牡丹手工皂与牡丹瓷书签两款特色文创产品，两款文创的进价、售价如下表： 类型 牡丹手工皂 牡丹瓷书签 进价/（元/件） 售价/（元/件） 小王计划购进牡丹手工皂与牡丹瓷书签两种商品共件进行销售，设小王购进牡丹手工皂件，两种商品全部销售完后获得的总利润为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若牡丹瓷书签的进货数量不少于牡丹手工皂的倍，当购进两种商品各多少件时，可使得两种商品全部销售完后获得的总利润最大？并求出最大的总利润． 20．（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）某经销商欲购进甲、乙两种水果．甲、乙两种水果的售价分别为12元和18元，甲种水果的进价为8元，乙种水果的进货总金额（单位：元）与乙种水果的进货量（单位：）之间的关系如图所示． (1)直接写出关于的函数解析式； (2)若该经销商购进甲、乙两种水果共，并能全部售出，其中乙种水果的进货量不低于，且不高于．设销售完这两种水果所获总利润为（单位：元）． ①求关于的函数解析式； ②请为该经销商设计出获得最大总利润的进货方案． 题型3 一次函数的应用之行程问题（共10小题） 【模型】用一次函数表示路程、速度、时间关系，结合图象或分段求行程。 【步骤】先设时间或路程为变量，按s=vt列一次函数，确定各段取值范围，结合图象交点或端点求相遇、追及等。 【易错】注意分段行程各段速度不同，须分段列式；图象交点表示相遇，勿与追及混淆；时间、路程单位统一，别漏取值范围。 21．（25-26八年级下·河南南阳·期中）小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图所示． (1)分别求出小丽和小明骑行的速度． (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程． 22．（25-26八年级下·河南漯河·期中）甲、乙两台智能机器人从同一地点出发，沿着笔直的路线行走了．甲比乙先出发，并且匀速走完全程，乙出发一段时间后速度提高为原来的倍．设甲行走的时间为，甲、乙行走的路程分别为、，、与之间的函数图像如图所示，根据图像所提供的信息解答下列问题： (1)乙比甲晚出发________，乙提速前的速度是每秒________，________，________； (2)求出何时乙恰好追上甲？ 23．（25-26八年级下·福建龙岩·期中）甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离与甲行驶的时间之间的关系如图所示． (1)A、B两地之间的路程为________； (2)求甲骑摩托车的速度； (3)甲出发多少小时后，甲、乙两人相距． 24．（25-26八年级下·吉林松原·期中）无人机产业已经成为新兴产业的热点之一，中国无人机研发技术后来居上，世界领先．如图所示为某型无人机的飞行高度（单位：米）与操控无人机的时间（单位：分钟）之间的关系图，上升和下降过程中速度相同，根据所提供的图象信息解答下列问题： (1)在上升或下降过程中，无人机的速度为________米/分钟． (2)无人机在米高的上空停留的时间是________分钟． (3)图中表示的数是________；表示的数是________． (4)求第分钟时无人机的飞行高度是多少米？ 25．（25-26八年级下·上海青浦·期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图中折线所示． (1)求线段的表达式； (2)求乙的步行速度； (3)求乙到达终点时，甲离终点还有多少米？ 26．（25-26八年级下·广东广州·期中）小方同学骑车上学，当他骑了一段路时，想起要带当天的报纸回班级分享每日时事，于是又折回到刚经过的报刊亭，买到报纸后继续去学校．以下是他离家距离（米）与上学所用的时间（分钟）的关系图．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小方在报刊亭停留了______分钟； (2)本次上学途中，小方一共行驶了多少米？ (3)通过计算说明，在整个上学的途中哪个时间段小方骑车速度最快，最快的速度是多少米／分钟？ 27．（25-26九年级下·吉林长春·期中）为推进乡村道路硬化工程建设，，两地技术员甲、乙前往施工现场C地开展专项工作．如图①，已知，，三地共线，距地10千米，距地80千米，甲乘车从地出发，乙骑摩托车从地同时启程；甲抵达地停留0.5小时后，随即返回地．两人离地的距离（千米）与时间（小时）之间的关系如图②所示． (1)图中_____，_____； (2)求乙离地的距离（千米）与时间（小时）之间的函数表达式； (3)请直接写出当甲、乙二人相遇时的值． 28．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）4月22日，上万名大连球迷远征沈阳客场，为家乡球队助威，最终大连英博客场击败辽宁铁人，斩获中超五连胜．球迷甲、乙自驾从大连前往沈阳观赛，其中甲先出发并匀速前进，在熊岳服务区休息了一段时间后保持原来的速度前往目的地，乙比甲晚出发1小时，以的速度匀速前进，最终乙先到达沈阳．如图是甲、乙距离大连的距离（单位：）与车辆行驶时间（单位：h）的函数的完整图象． (1)请直接写出甲车的速度为_____，图中_____，_____； (2)求乙车的行进过程中的与的函数关系式，并写出自变量取值范围； (3)两车相遇时，距离沈阳的距离是多少？ 29．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期中）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地装货耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：    (1)A，B两地之间的距离是______千米，______，巡逻车的速度为____千米／时； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可） 30．（25-26八年级下·江苏南通·期中）“一盔一带、注意安全！”某天小华乘坐妈妈骑的电瓶车上学，骑行一段时间后，小华发现自己没戴头盔，于是她们又原路返回到刚经过的头盔售卖点，买到头盔后继续赶往学校．以下是她们本次行程中离家距离（米）与所用时间（分钟）之间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小华家到学校的距离是__________米，她们中途停留了_________分钟． (2)本次上学途中，她们一共用了__________分钟，一共骑行了_________米． (3)按照《道路交通安全法》的规定，骑电瓶车的速度超过250米/分就超越了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段她们骑行的速度最快，最快速度在安全限度内吗？从遵守交通法规的角度，请你写一条好的建议． 题型4 一次函数的应用之梯度计费问题（共10小题） 【模型】费用按用量分段计价，各段用一次函数表示，合成分段函数求费。 【步骤】先按计费标准分段，分别列出各段一次函数表达式，确定分段点与取值范围，代入用量计算费用或比较。 【易错】分段点归属勿弄错，各段单价不同别混用；须写清每段自变量范围；计算时注意超出部分按新单价，别全程用同一价。 31．（25-26八年级上·四川成都·期中）为了鼓励市民节约用水，三明市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量（） 单价（元） 第一档 3.5 第二档 5.0 第三档 6.5 (1)当时，写出水费y（单位：元）与x之间的关系式； (2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费； (3)某户去年一年的水费是1020元，求该户去年一年的用水量． 32．（25-26八年级上·四川成都·期中）为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 （不超过300的部分） 2.73 第二档 （超过300，不超过600的部分） 3.28 第三档 （超过600的部分） 3.82 (1)写出用气费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用气量是，求该户这一年的用气费； (3)某户去年一年的用气费是1311元，求该户去年一年的用气量． 33．（25-26八年级上·山西运城·期中）某省居民生活用电阶梯式收费探索卡 素材1 能源有限，节约无限．为鼓励市民节约用电，某省电费采用“阶梯收费”的方式． 素材2 居民生活用电阶梯式价格计费方式如下： 第一档：月用电量不超过170度的部分，电价为元/度． 第二档：月用电量超过170度不超过260度的部分，电价为元/度． 第三档：月用电量超过260度的部分，电价为元/度． 问题解决 任务1 已知某户月用电量x度，写出电费y（单位：元）与x之间的关系式． 任务2 已知小迪同学家8月用电量180度，求小迪同学家8月的电费． 任务3 某户10月的电费是127元，求该户10月的用电量． 34．（25-26七年级上·福建泉州·期中）根据以下素材．探索完成任务． 泉州土笋冻是独具地方风味的特色小吃，以其独特口感享誉一方．泉州本地土笋冻企业与京东快递公司合作，为各地食客寄送新鲜土笋冻．以下是本次合作的相关素材信息，请根据素材完成后续任务． 素材1 京东快递公司规定： 从当地寄送土笋冻到市按重量收费：当土笋冻重量不超过千克时，需要寄送费元；当重量超过千克时，超过部分另收元/千克． 素材2 电子存单 电子存单 托寄物：土笋冻 包装服务产品类型：京东快递公司 计量重量：千克 件数： 总费用：元 托寄物：土笋冻 包装服务产品类型：京东快递公司 计量重量：千克 件数： 总费用：元 任务1 根据以上信息，请确定的值 任务2 求出土笋冻重量千克的寄送费用，结果用的代数式表示 任务3 若土笋冻重量达到千克，请求出最省的寄送费用． 35．（25-26八年级上·河南郑州·期中）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，某市出台了“阶梯价格”制度，具体收费标准如表所示： 阶梯 月用电量 单价元 第一档 第二档 第三档      (1)当时，写出电费（单位：元）与x之间的关系式； (2)小亮家6月份用电，应缴纳电费多少元？ (3)小亮家7月份开始用电增多，缴纳电费220元，求小亮家7月份的用电量． 36．（25-26八年级上·河南·期中）为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计费．下表是户年用电量及分档计费标准： 计费档 户年用电量 单价/[元] 第一档 0.53 第二档 0.58 第三档 0.83 (1)当时，写出电费y（单位：元）与x之间的关系式； (2)某户年用电量是，求该户这一年的电费； (3)某户去年一年的电费是2978元，求该户去年一年的用电量． 37．（25-26八年级上·广东茂名·期中）为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 单价/(元) 第一档 第二档 第三档 (1)当时，写出水费(单位：元)与之间的关系式； (2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费； (3)某户去年一年的水费是元，求该户去年一年的用水量． 38．（25-26八年级上·四川成都·期中）为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量 单价/[元] 第一档 第二档 第三档 (1)请直接写出电费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户上一个月的用电量为，求该户上一个月的电费； (3)某户上一个月的电费是元，求该户上一个月的用电量． 39．（25-26八年级上·山西晋中·期中）为引导居民节约用水，某县出台了城镇居民用水阶梯水价制度（如下表）．每年水费的计算方法：年交水费第一阶梯水价第一阶梯用水量第二阶梯水价第二阶梯用水量第三阶梯水价第三阶梯用水量． 阶梯 用户年用水量 水价（元） 第一阶梯 5 第二阶梯 7 第三阶梯 9 (1)当时，求出水费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费； (3)该市某同学家在实施阶梯水价制度后的第一年缴纳水费1730元，求该同学家这一年的用水量． 40．（25-26八年级上·河南郑州·期中）为响应“节能”“环保”“减排”号召，张明家购买了一台电动汽车，需要申请加装电表，有两种电表可供选择：一种是普通电表，一种是峰谷分时计费电表． 该市居民用电的收费标准（注：峰段8：00～22：00，谷段：22：00～次日8：00）： 计费档 户年用电量 普通电价/[元/] 峰谷电价/[元/] 峰段电价 谷段电价 第一档 0.53 0.56 0.28 第二档 0.58 0.61 0.33 第三档 0.83 0.86 0.58 (1)张明的朋友李斌家去年总用电量为，峰段用电量为，哪种计费方式电费较少？为什么？ (2)截至今年9月底，李斌家的用电量已经超过，已知李斌家10月共用电，峰段用电量为（单位：），写出峰谷计费方式的电费（单位：元）与之间的关系式？并计算李斌家10月峰段用电量为多少时，两种计费方式相同？ (3)张明通过调查发现：安装哪种电表，取决于峰段用电量占总用电量的比值，比值越大，越适合安装普通电表，否则，安装峰谷计费电表．若张明家年用电量为，峰段用电量与总用电量的比值为．请你直接写出张明安装电表的方案． 题型5 一次函数的应用之动态几何问题（共2小题） 【模型】动点运动产生线段或面积变化，用一次函数表示变量间关系并求解。 【步骤】先设运动时间为t，用t表示相关线段长，按面积或距离关系列一次函数，确定t取值范围，求值或最值。 【易错】注意动点运动边界与分段讨论，t范围勿漏；线段长须为正；不同阶段函数表达式不同，别全程用一个式子。 41．（25-26八年级下·重庆万州·期中）如图1，在中，，，动点P从A出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达C点停止运动，设P点的运动时间为秒（），的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，如图2，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若直线与的图象只有一个交点，请直接写出的取值范围． 42．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）已知动点从点出发，沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按的路径移动，的面积与点移动路程之间的关系图象如图2，若，根据图象信息回答下列问题： (1)______________________________； (2)求的值； (3)当点运动到点时，求的值； (4)当的面积为2时，的值为__________． $专题09 一次函数的应用问题 拔高·压轴破难 题型1 一次函数的应用之分配方案问题（难点） 题型2 一次函数的应用之最大利润问题（重难点） 题型3 一次函数的应用之行程问题（重难点） 题型4 一次函数的应用之梯度计费问题（难点） 题型5 一次函数的应用之动态几何问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 拔高·压轴破难 题型1 一次函数的应用之分配方案问题（共10小题） 【模型】用一次函数表示不同分配方案的函数值，比较大小选最优方案。 【步骤】先设变量，分别列出各方案的一次函数表达式，确定自变量取值范围，比较函数值大小，选出最优方案并作答。 【易错】须先明确自变量实际取值范围，勿超范围比较；分段方案要分段讨论；比较时注意k正负与交点，别漏方案取舍。 1．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）某展厅举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，假期期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，该展厅制定了两种优惠方案，两种优惠方案只能选择其中一种．方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的付款 某校有4名老师与x名学生去该展厅听音乐会． (1)设方案1中的付款总金额为（元），方案2中的付款总金额为（元），分别求出、与x之间的函数关系式； (2)请帮助该校师生确定出最节省费用的购票方案． 【答案】(1)， (2)当学生人数为24人时，两种优惠方案付款一样多；学生人数小于人时，优惠方案1付款较少；学生人数大于人时，优惠方案2付款较少 【分析】（1）根据题干所给的优惠方式，分别计算出、与x之间的函数关系式即可； （2）分三种情况：当时，当时，当时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：， ； （2）解：当时，， 解得：， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，当学生人数为24人时，两种优惠方案付款一样多；学生人数小于人时，优惠方案1付款较少；学生人数大于人时，优惠方案2付款较少． 2．（25-26八年级下·山西晋中·期中）《晋中市中小学生课间活动设计指南》要求统筹衔接课间活动、各学段体育课程与课后体育项目，纳入日常综合体育活动体系，助力学生练就运动技能、养成长效锻炼习惯．某校积极响应《指南》号召，准备购置40副羽毛球拍和个羽毛球来丰富学生的课间生活．某品牌直营店标价，一副羽毛球拍36元，一个羽毛球3元，店内有两种促销活动：活动方案一：买一副羽毛球拍送两个羽毛球，超出的羽毛球按标价付款；活动方案二：羽毛球拍和羽毛球都打9折． (1)设采用活动一所需费用为元，采用活动二所需费用为元，请分别表示，与之间的函数关系式； (2)请帮学校选择最省钱的方案． 【答案】(1)， (2)当或，选择活动二划算；当时，两种活动费用相同；当，选择活动一划算 【分析】（1）根据两种活动方案分别表示出，与之间的函数关系式即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵活动方案一：买一副羽毛球拍送两个羽毛球，超出的羽毛球按标价付款； ∴购买副羽毛球拍的费用为：（元），赠送的羽毛球数量为（个）， 当时，， 当时，， ∴； ∵活动方案二：羽毛球拍和羽毛球都打9折， ∴； （2）解：当时，令，则， 解得：， 当，即（羽毛球数量通常为整数）时，，选择活动二划算，当时，，选择活动一划算； 当时，令，则， 解得：， 当时，，选择活动一划算；当时，两种活动费用相同；当时，，选择活动二划算； 综上所述，当或，选择活动二划算；当时，两种活动费用相同；当，选择活动一划算． 3．（25-26八年级上·重庆·期中）某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案； 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内含10人不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与x之间的关系式； (2)某单位共38人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 【答案】(1)；； (2) 选方案二更优惠，理由如下： 当时，；； ， 选方案二更优惠． 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式： （1）根据两种优惠方案，列出关系式即可； （2）求出时的值，比较大小即可． 【详解】（1）解：由题意，； ； ；； （2）略 4．（25-26八年级上·重庆·期中）某公司计划组织员工一日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人200元．且提供的服务完全相同．针对组团的游客，甲旅行社表示，每人都按八折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，其中20人按九折收费，超出部分每人按七折收费．假设组团参加一日游的人数为x人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团一日游的总费用（元），（元），与x（人）之间的函数关系式； (2)若公司组团参加一日游的共有32人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助公司选择收取总费用较少的一家． 【答案】(1)甲旅行社：； 乙旅行社：当时，，当时，； (2)选择甲旅行社． 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）根据甲、乙旅行社的优惠方案，分别列出总费用与人数的函数关系式，对于乙旅行社，需分人数不超过20人和超过20人两种情况讨论； （2）当人数为32时，计算两家旅行社的总费用并比较即可． 【详解】（1）解：甲旅行社：每人八折收费，报价200元，折扣后为 元/人，故 ； 乙旅行社：若，每人九折收费， 元/人，故 ；若，前20人九折收费，费用为 元，超出部分七折收费， 元/人，故； （2）解：当时， （元）， （元）， ∵， ∴选择甲旅行社． 5．（25-26八年级下·广东广州·期末）A城有肥料，B城有肥料．现要把这些肥料全部运往C、D两乡．从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/和25元/；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/和24元/．现C乡需要肥料，D乡需要肥料．若从A城运往C乡的肥料为，总运费为元． (1)用含的代数式表示从A城运往D乡的肥料； (2)写出总运费与之间的函数关系式；并写出的取值范围． (3)怎样调运可使总运费最少？ 【答案】(1) (2) (3)从A城运往C乡，运往D乡，从B城运往C乡，运往D乡时，总运费最少，最少为10040元 【分析】（1）用A城的肥料减去A城运往C乡的肥料即可得到答案； （2）分别表示出从B城运往C乡的肥料和从B城运往D乡的肥料，然后分别计算对应的运费，求和即可得到答案； （3）根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：从A城运往D乡的肥料为； （2）解：从B城运往C乡的肥料为， 从B城运往D乡的肥料为， ∴ （3）解：的一次项系数为， 随的增大而增大，    又 当取最小值0时，取得最小值，最小值为（元）， 此时， 答：从A城运往C乡，运往D乡，从B城运往C乡，运往D乡时，总运费最少，最少为10040元． 6．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）暑假期间，两位家长计划带领若干名学生到白银旅游，探访黄河石林和火焰山矿山公园，并体验当地非遗文化．他们咨询了两家旅行社，报价均为每人500元（含景区门票及特色活动）． 甲旅行社：两位家长全额收费，学生享受七折优惠． 乙旅行社：全体成员（含家长）均享八折优惠． 请解答以下问题： (1)设学生数为人，甲旅行社收费为元，则函数关系式______； 设学生数为人，乙旅行社收费为元，则函数关系式______． (2)若家长希望学生深入了解白银的生态保护与非遗传承，应如何根据学生人数选择旅行社？通过计算说明理由． 【答案】(1)； (2)学生数人时，两家旅行社均可；学生数人时，选甲旅行社；学生数人时，选乙旅行社，理由如下： 分三种情况比较费用： 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，学生数人时，两家旅行社均可；学生数人时，选甲旅行社；学生数人时，选乙旅行社． 【分析】（1）根据甲旅行社的收费两名家长的全额费用学生的七折费用，可得到与x的函数关系式；再根据乙旅行社的收费两名家长的八折费用学生的八折费用，可得到与x的函数关系式； （2）首先分三种情况讨论：①，②，③，针对每一种情况，分别求出对应的x的取值范围，然后比较哪种情况下选谁更合适，即可判断选择哪家旅行社． 【详解】（1）解：学生数为人，甲旅行社收费为元，则， 即； 学生数为人，乙旅行社收费为元，则，即． 故答案为：；； （2）略 7．（25-26八年级上·广东佛山·期中）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有甲、乙两家印刷社，制作此种宣传单的收费标准如下表．甲、乙印刷社收费（元）与印制数（张）的函数关系如下表： 甲印刷社 0.15元/张 乙印刷社 500张以内（含500张） 0.20元/张 超过500张部分 0.10元/张 (1)若该小组在甲、乙两家印刷社共印制400张宣传单，用去65元，问甲、乙两家印刷社各印多少张？ (2)若印刷费用为元，请直接写甲、乙两家印刷社费用与宣传单张数之间的函数关系式，并说明宣传单张数为600时选择哪家印刷社比较划算． 【答案】(1)在甲印刷社印刷300张，在乙印刷社印刷100张 (2)，，选择甲印刷社划算 【分析】本题考查二元一次方程组与一次函数的实际应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，找出题目蕴含的数量关系解决问题． （1）通过设未知数，利用数量和费用关系列方程组求解； （2）先分别建立甲、乙的费用函数，然后将分别代入求解比较即可．． 【详解】（1）解：设甲、乙两家印刷各印了、张宣传单， ， 解得， 答：在甲印刷社印刷300张，在乙印刷社印刷100张； （2）根据题意得，， 当时， 当时， ∴， 当时， ∵ ∴选择甲印刷社划算． 8．（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）“十一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游． 根据以上信息，解答下列问题： (1)设租车时间为小时，租用甲公司的车每日所需费用为元，租用乙公司的车每日所需费用为元，分别求出关于的函数表达式； (2)当租车时间为多少小时时，两种方案所需费用相同． 【答案】(1)， (2)当租车时间为小时时，两种方案所需费用相同 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由图象可知，分别过点，然后根据待定系数法求解即可； （2）联立（1）中函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：设直线，由图象可把点代入得： ，解得：， ∴， 设直线，把点代入得：， ∴； （2）解：由（1）联立函数解析式得： ，解得：， 答：当租车时间为小时时，两种方案所需费用相同． 9．（25-26七年级上·重庆·期中）某游乐园票价为每人120元，为了吸引客源，该游乐园在“双11”期间推出了针对团体的优惠活动，具体内容如下： ①若团体人数不足10人，则不享受优惠； ②若团体人数在10人及以上，则有两种优惠方案可供选择； 方案一：每人都享受七五折优惠； 方案二：其中10人享受八五折优惠，其余人享受六折优惠． 期中练习后，为了让孩子们放松一下，三个家庭准备到该游乐园游玩，已知A家庭有4人，B家庭有3人，C家庭有2人． (1)若这三个家庭直接去游乐园，则购买门票共需花费多少元？ (2)为了享受优惠，他们准备再邀请一些人组成团体一起去该游乐园，假设他们共邀请了x个人，请解决下列问题： ①若他们选择方案一，设购买门票共需花费y元．试用含x的代数式表示y； 若他们选择方案二，设购买门票共需花费w元，试用含x的代数式表示w． ②当时，选择哪种方案更合算？请通过计算说明． 【答案】(1)购买门票共需花费元 (2)①方案一：；方案二：；②选择方案二更划算 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确表示出不同的表达式是解题的关键． （1）依据题意可得不享受优惠，计算即可； （2）①依据题意，分别根据购票方案一，方案二，表示出购买门票的费用； ②依据题意，将代入各个表达式对比即可． 【详解】（1）解： A家庭有4人，B家庭有3人，C家庭有2人， 则共有（人）， 购买门票共需花费（元）， 答：购买门票共需花费元； （2）解：①方案一:； 方案二： ②当时，（元）； （元）， ， 故选择方案二更划算． 10．（25-26八年级下·广西防城港·期末）项目式学习任务：校园机器人科普展奖品采购方案 某校开展“智能机器人进校园，科创筑梦向未来”主题科普展活动，计划采购A款智能机器人模型与B款科创笔记本共120件，已知A款机器人模型单价25元/件，B款科创笔记本单价20元/件．请以“活动采购规划小组”的身份，完成以下采购成本分析任务： 任务一：建立总费用函数模型 (1)设购买A款智能机器人模型的数量为件，购买两种奖品的总费用为元．请求出总费用与A款机器人模型数量之间的函数关系式． 任务二：实际采购费用核算 (2)若本次科普展计划购买件A款智能机器人模型，剩余奖品均为B款科创笔记本，请计算本次采购的总费用． 任务三：最优采购方案设计 (3)结合活动预算与奖品购置要求，规定A款智能机器人模型的购买数量不少于件且不多于件．请通过函数分析，设计出总费用最少的采购方案，并求出最少总费用． 【答案】(1)（，且为整数） (2)当购买了件A款智能机器人模型时，总费用是元 (3)总费用最少的采购方案是A款智能机器人模型件，B款科创笔记本件，总费用最少是元 【分析】（1）根据两种奖品的单价和总数量，建立总费用与A款数量的一次函数关系； （2）直接将给定的A款机器人数量代入函数，计算总费用； （3）根据一次函数的增减性，在给定的取值范围内找到使总费用最小的采购方案． 【详解】（1）解：根据题意，得， 其中，且为整数， 故总费用（元）与机器人模型的数量（件）之间的关系式为（，且为整数）． （2）解：当时，． 故当购买了件A款智能机器人模型时，总费用是元． （3）解：由题意，得， 由（1）可知，， ，且， 随的增大而增大， ∴当时，的最小值为元， 款科创笔记本为（件）， 故总费用最少的采购方案是A款智能机器人模型件，B款科创笔记本件，总费用最少是元． 题型2 一次函数的应用之最大利润问题（共10小题） 【模型】用一次函数表示利润随销量或售价变化，在取值范围内求最大值。 【步骤】先设变量，根据利润=单件利润×销量列一次函数，确定自变量取值范围，结合增减性求最值并作答。 【易错】自变量须符合实际范围，最值在端点取得；k正负决定增减，勿求反；注意单件利润要减进价，别漏取值限制。 11．（25-26八年级下·重庆·期中）某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示： 类型  价格 进价（元/盏） 售价（元/盏） A型 50 75 B型 70 100 (1)若商场预计进货款为6200元，则这两种台灯各购进多少盏？ (2)若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？ 【答案】(1) A型台灯购进40盏，B型台灯购进60盏 (2) 当购进A型台灯25盏，B型台灯75盏时，销售完获利最多，此时利润为2875元 【分析】（1）设型台灯购进盏，则B型台灯购进盏，结合题意列出方程，求解即可获得答案； （2）根据“B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍”，列不等式并求解可得，设总利润为元，由题意可得，由一次函数的性质即可获得答案． 【详解】（1）解：设A型台灯购进盏，则B型台灯购进盏， 由题意，得， 解得 ， 则B型台灯购进盏． 答：A型台灯购进40盏，则B型台灯购进60盏； （2）解：∵B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍， ∴， 解得 ， 设总利润为元，由题意，得 ， ∵， ∴随的增大而减小， ∵为整数， ∴， ∴元． ∴A型台灯购进25盏，B型台灯购进75盏时获利最多，此时利润为2875元． 12．（25-26八年级下·湖南湘西·期末）某校八年级举行数学知识应用竞赛，购买A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别为20元和18元．根据竞赛设奖情况，需购买两种笔记本共30本，设买A种笔记本（且为正整数）本，买两种笔记本的总费用为元． (1)写出（元）关于（本）的函数关系式； (2)若商场正在进行促销活动，A种笔记本每本降价元（），B种笔记本价格不变，请你帮学校设计购买方案，使所花费用最省？并求出最少费用． 【答案】(1)（且为正整数） (2)当时，购买A种笔记本8本，B种笔记本22本费用最省，最少费用为元；当时，任意购买本A种笔记本总费用都为540元；当时，购买A种笔记本11本，B种笔记本19本费用最省，最少费用为元 【分析】（1）据总费用等于两种笔记本的费用之和列式，结合题干给出的x的取值范围即可得到答案； （2）分类讨论的取值，结合一次函数的性质求解即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， 即（元）关于（本）的函数关系式为且x为正整数； （2）解：∵且为正整数， ∴x取8，9，10，11， ，根据题意得：， 当，即时，W随x的增大而增大， 此时当时，W取得最小值，为， 即购买A种笔记本8本，B种笔记本22本费用最省，最少费用为元； 当，即时，任意购买本A种笔记本总费用都为540元； 当，即时，W随x的增大而减小， 此时当时，W取得最小值，为， 即购买A种笔记本11本，B种笔记本19本费用最省，最少费用为元； 综上所述，当时，购买A种笔记本8本，B种笔记本22本费用最省，最少费用为元；当时，任意购买本A种笔记本总费用都为540元；当时，购买A种笔记本11本，B种笔记本19本费用最省，最少费用为元． 13．（25-26八年级上·陕西西安·期中）班主任老师为了奖励期中考试成绩优异的同学，计划购买笔记本和钢笔作为奖品．已知买2本笔记本和1支钢笔共花费100元；买1本笔记本和2支钢笔共花费110元． (1)求每本笔记本和每支钢笔各多少元？ (2)若班主任老师需购买笔记本和钢笔共30件，其中笔记本数量不超过16个，求总费用（元）与笔记本的数量（个）之间的函数关系式，并说明总费用至少要多少元？ 【答案】(1)每本笔记本30元，每支钢笔40元 (2)总费用w与笔记本的数量a之间的函数关系式为（，且为整数），总费用至少要1040元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的性质的应用，根据题意找准等量关系列方程是解题的关键． （1）设每本笔记本m元，每支钢笔n元，根据每笔花费为等量关系列二元一方程组进行求解； （2）先列出函数关系式，再根据一次函数的性质回答即可． 【详解】（1）解：设每本笔记本m元，每支钢笔n元， 买2本笔记本和1支钢笔共花费100元；买1本笔记本和2支钢笔共花费110元； ， 解得， 每本笔记本30元，每支钢笔40元； （2）根据题意得：， ， 随a的增大而减小， 而， 当时，w取最小值，最小值为， 总费用w与笔记本的数量a之间的函数关系式为（，且为整数），总费用至少要1040元． 14．（25-26八年级上·安徽滁州·期中）某公司每月销售两种型号的教学设备共20台，每台的销售成本和售价如下表． 型号 成本/（万元/台） 3 5 售价/（万元/台） 4 8 (1)设该公司每月销售型号设备台，则每月销售型号设备______台，每月共获得利润_____万元．（用含的代数式表示，结果需化简） (2)若每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元，则该公司如何安排购进两种型号教学设备的数量，使得每月销售完这些设备后获利最大？并求出最大利润． 【答案】(1)； (2)购进型号设备10台，型号设备10台时获利最大，最大利润为40万元 【分析】此题综合考查一次函数、不等式的应用，注意题目蕴含的数量关系，正确列式解决问题． （1）销售A种品牌设备x台，B种品牌设备台，算出每台的利润乘对应的台数，再合并在一起即可求出总利润； （2）由“每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元”，列出不等式，再由（1）中的函数的性质得出答案即可． 【详解】（1）解：∵每月销售两种型号的教学设备共20台，该公司每月销售型号设备台， ∴每月销售型号设备为台， ∴每月共获得利润为， 即万元， 故答案为：；． （2）解：∵每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元， ∴， 解得， ∵， ∴利润随x的增大而减小， ∴当时，获得利润最大，最大利润为（万元）， ∴， ∴此时，应购进型号设备10台，型号设备10台． 15．（25-26八年级上·全国·期末）绛州毛笔是中国传统名笔之一，从春秋战国时期至今已传承了两千多年，以胎毛、羊毫、兼毫、狼毫为最．某商店计划购进羊毫、兼毫两种毛笔共300支，其中两种毛笔的成本价和销售价如下表： 笔头类别 成本价（元/支） 销售价（元/支） 羊毫 15 25 兼毫 25 40 (1)若购进两种毛笔共花费6300元，求该商店购进羊毫、兼毫两种毛笔各多少支； (2)设购进兼毫毛笔m支，销售完这批毛笔获得的利润为元，若要保证任意一种毛笔都至少购进100支，试问应如何进货，才能使销售完这批毛笔获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)该商店购进羊毫毛笔120支，兼毫毛笔180支 (2)购进羊毫毛笔100支，兼毫毛笔200支时，获得的利润最大，最大利润是4000元 【分析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，正确理解题意，寻找等量关系，利用一次函数的增减性求最值是解题的关键； （1）设该商店购进羊毫毛笔支，兼毫毛笔支，根据题意，列方程组求解； （2）由题知，商店购进兼毫毛笔支，羊毫毛笔支，根据题意求出利润关于的表达式，利用一次函数的增减性求利润的最大值，作答即可． 【详解】（1）设该商店购进羊毫毛笔支，兼毫毛笔支， 由题知，， 解方程组得． 答：该商店购进羊毫毛笔120支，兼毫毛笔180支． （2）由题知，商店购进兼毫毛笔支，羊毫毛笔支， 由解得， 利润为， ， 随的增大而增大， 又，为整数， 当时，利润有最大值，为4000元． 答：商店购进羊毫毛笔100支，兼毫毛笔200支，销售完这批毛笔获得的利润最大，最大利润是4000元． 16．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，同学们的运动热情被充分激发．某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购个篮球，其中． 品名 厂家批发价（元/个） 商场零售价（元/个） 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式； (2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，求的值． 【答案】(1) (2)2300元 (3) 【分析】（1）根据题意列函数解析式即可； （2）设商场能获得的利润为w元，根据题意，列出函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可； （3）设利润为W元，根据题意，列出函数关系式，分三种情况，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 即该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式为； （2）解：设商场能获得的利润为w元，根据题意得： ， ∵， ∴w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为， 即商场能获得的最大利润为2300元； （3）解：设利润为W元，根据题意得： ， 当，即时，W随x的增大而增大， ∵， ∴当时，W取得最小值， ∵将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元， ∴， 解得：，不符合题意，舍去； 当，即时，，不符合题意，舍去； 当，即时，W随x的增大而减小， ∵， ∴当时，W取得最小值， ∵将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元， ∴， 解得：； 综上所述，m的值为． 17．（25-26八年级下·山西大同·期末）某文具店计划购进甲、乙两种笔记本共100本，这两种笔记本的进价、售价如表： 类型 进价/（元/本） 售价/（元/本） 甲种 3 4.5 乙种 5 7 受市场需求限制，乙种笔记本的进货数量不超过甲种笔记本进货数量的2倍，设文具店购进甲种笔记本x本，销售完这批笔记本的总利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)应如何安排进货，才能使销售完这批笔记本的利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)购进甲种笔记本34本，乙种笔记本66本时利润最大，最大利润为183元 【分析】（1）根据总利润等于两种笔记本的利润和，推导得到y与x的函数关系式； （2）根据乙的进货量限制求出x的取值范围，最后利用一次函数的性质求出最大利润． 【详解】（1）解：由题意可知，购进甲种笔记本本，则购进乙种笔记本本， 甲每本利润为元，乙每本利润为元， 总利润， 因此与的函数关系式为， （2）解：由函数可知，系数， ∴随的增大而减小， ∴当取最小值时，可取得最大值， 根据题意列不等式组：， 解得，且为正整数， ，为正整数， 的最小取值为，此时， 将代入函数得最大利润：（元） 答：购进甲种笔记本34本，乙种笔记本66本时，销售完这批笔记本的利润最大，最大利润为183元． 18．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）呼和浩特被誉为“中国乳都”，以乳业为发展引擎，凭借优质乳业书写城市传奇、铸就辉煌．其中牛奶贝因其味道醇美且容易携带而深受外地游客欢迎．某特产店销售、两款牛奶贝，结合材料解决问题 内容 材料一 某特产店购进，两款牛奶贝进行销售，、两款牛奶贝的售价分别为32元/袋和25元/袋，款牛奶贝的进价为22元/袋，款牛奶贝的进货总金额y（单位：元）与款牛奶贝的进货量x（单位：袋）之间的关系如图所示． 材料二 为了满足市场需求，七月份该特产店计划采购这两款牛奶贝共1000袋，其中款牛奶贝的进货量不低于300袋，且不高于600袋． 任务： (1)求y关于x的函数解析式． (2)若采购的所有牛奶贝能全部售出，设销售完、两款牛奶贝获总利润为（单位：元），请求出关于x的函数解析式，并为该特产店设计出获得最大总利润的进货方案． 【答案】(1) (2)，进款牛奶贝300袋，款牛奶贝700袋，该特产店能获得最大利润 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）根据题意得款牛奶贝的进货量为袋，根据题意列出w与x之间的函数关系式，根据一次函数的性质求最大值即可． 【详解】（1）解：设函数解析式为， 由图可知直线穿过原点，当时，， 可得， 解得， 所以y关于x的函数解析式为； （2）解：由材料2可得， ， 化简得， ∵， ∴随增大而减小， ∴当时，有最大值为8500， 答：进款牛奶贝300袋，款牛奶贝700袋，该特产店能获得最大利润． 19．（25-26八年级下·河南洛阳·期末）洛阳依托文旅特色打造夜间文旅消费市场，鼓励商户拓展线下外摆经营．商户小王借此售卖牡丹手工皂与牡丹瓷书签两款特色文创产品，两款文创的进价、售价如下表： 类型 牡丹手工皂 牡丹瓷书签 进价/（元/件） 售价/（元/件） 小王计划购进牡丹手工皂与牡丹瓷书签两种商品共件进行销售，设小王购进牡丹手工皂件，两种商品全部销售完后获得的总利润为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若牡丹瓷书签的进货数量不少于牡丹手工皂的倍，当购进两种商品各多少件时，可使得两种商品全部销售完后获得的总利润最大？并求出最大的总利润． 【答案】(1)（，且为整数） (2)当购进牡丹手工皂件，牡丹瓷书签件时，总利润最大，最大总利润为元． 【分析】（1）先求出小王购进牡丹瓷书签件，再根据总利润手工皂总利润书签总利润即可求解； （2）先根据题意求出的取值范围，再根据一次函数的增减性即可求解． 【详解】（1）∵小王购进牡丹手工皂与牡丹瓷书签两种商品共件，购进牡丹手工皂件， ∴小王购进牡丹瓷书签件， ∴由题意可得， 整理得：（，且为整数）； （2）∵牡丹瓷书签的进货数量不少于牡丹手工皂的倍， ∴，解得， ∴ ∵，， ∴当时，有最大值，即的最大值为， ∴， ∴当购进牡丹手工皂件，牡丹瓷书签件时，总利润最大，最大总利润为元． 20．（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）某经销商欲购进甲、乙两种水果．甲、乙两种水果的售价分别为12元和18元，甲种水果的进价为8元，乙种水果的进货总金额（单位：元）与乙种水果的进货量（单位：）之间的关系如图所示． (1)直接写出关于的函数解析式； (2)若该经销商购进甲、乙两种水果共，并能全部售出，其中乙种水果的进货量不低于，且不高于．设销售完这两种水果所获总利润为（单位：元）． ①求关于的函数解析式； ②请为该经销商设计出获得最大总利润的进货方案． 【答案】(1)与之间的函数表达式为： (2)①与乙种产品进货量之间的函数表达式为：；②当购进甲产品千克，乙产品千克时，总利润最大为元． 【分析】（1）先根据图像特点判断函数类型，再利用待定系数法对两段一次函数分别求解即可．注意分段函数的书写格式． （2）依据‘利润售价成本’，根据乙种产品进货量的不同范围，分别求出总利润的函数表达式，并根据一次函数的增减性，结合取值范围，求最大总利润，即可得到获得最大总利润的进货方案． 【详解】（1）解：（1）当时，设，根据题意可得，， 解得：； ． 当时，设， 根据题意可得，，解得：， ． 与之间的函数表达式为：． （2）根据题意可知，购进甲种产品千克， ，解得． 当时，， ， 随值的增大而减小． 当时，的最大值为元； 当时，， ， 随值的增大而增大． 当时，的最大值为元， 综上，与乙种产品进货量之间的函数表达式为：， 当购进甲产品千克，乙产品千克时，总利润最大为元． 题型3 一次函数的应用之行程问题（共10小题） 【模型】用一次函数表示路程、速度、时间关系，结合图象或分段求行程。 【步骤】先设时间或路程为变量，按s=vt列一次函数，确定各段取值范围，结合图象交点或端点求相遇、追及等。 【易错】注意分段行程各段速度不同，须分段列式；图象交点表示相遇，勿与追及混淆；时间、路程单位统一，别漏取值范围。 21．（25-26八年级下·河南南阳·期中）小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图所示． (1)分别求出小丽和小明骑行的速度． (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程． 【答案】(1)小丽：；小明： (2) (3) 【分析】（1）根据速度路程时间计算即可； （2）求出点B的坐标，由路程速度时间写出线段所在直线的函数表达式即可； （3）写出线段所在直线的函数表达式，求出与交点坐标，再根据出发点与山庄之间的距离计算小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程即可． 【详解】（1）解：小丽骑行的速度为， ， ∴， 小明骑行的速度为． 答：小丽骑行的速度为，小明骑行的速度为； （2）解：， ， ∴， ， ∴线段所在直线的函数表达式为； （3）解：线段所在直线的函数表达式， 当小明第二次追上小丽时，得 ， 解得， ． 答：小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程为． 22．（25-26八年级下·河南漯河·期中）甲、乙两台智能机器人从同一地点出发，沿着笔直的路线行走了．甲比乙先出发，并且匀速走完全程，乙出发一段时间后速度提高为原来的倍．设甲行走的时间为，甲、乙行走的路程分别为、，、与之间的函数图像如图所示，根据图像所提供的信息解答下列问题： (1)乙比甲晚出发________，乙提速前的速度是每秒________，________，________； (2)求出何时乙恰好追上甲？ 【答案】(1)，，， (2)当秒时，乙追上了甲 【分析】（1）由图可知，乙比甲晚出发，由乙提速前的路程除以其时间即可得到乙提速前的速度，进而求出乙提速后的速度，得到乙提速后的所用的时间，即可得到，从而可求出甲的速度，最后根据路程除以速度可求出； （2）先分别求得段、段对应的函数关系式，根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，乙比甲晚出发，乙提速前的速度是， 乙提速后的速度是， 乙提速后的所用的时间为， ， 甲的速度为， ， 故答案为：，，，； （2）设段对应的函数关系式为， 在上， ， 解得， ． 设段对应的函数关系式为， 在上， ， 解得， ， 由乙追上了甲得， 解得． 答：当秒时，乙追上了甲． 23．（25-26八年级下·福建龙岩·期中）甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离与甲行驶的时间之间的关系如图所示． (1)A、B两地之间的路程为________； (2)求甲骑摩托车的速度； (3)甲出发多少小时后，甲、乙两人相距． 【答案】(1)240 (2) (3)甲出发或后，甲、乙两人相距 【分析】（1）由图象可得，A、B两地之间路程为； （2）出发2小时时，甲乙在途中相遇，从而可以求得它们各自的速度； （3）根据图象可知相遇前和相遇后，存在这两种情况甲、乙两人相距，然后列式计算即可． 【详解】（1）解：根据函数图象可得，A、B两地之间路程为； （2）解：根据函数图象可得，甲的速度是：； （3）解：乙的速度是：， 相遇之前：， 相遇之后，乙到达终点时，两人相距， 因此甲、乙两人相距时，正好是甲行驶的时间，即， 综上，甲出发或后，甲、乙两人相距． 24．（25-26八年级下·吉林松原·期中）无人机产业已经成为新兴产业的热点之一，中国无人机研发技术后来居上，世界领先．如图所示为某型无人机的飞行高度（单位：米）与操控无人机的时间（单位：分钟）之间的关系图，上升和下降过程中速度相同，根据所提供的图象信息解答下列问题： (1)在上升或下降过程中，无人机的速度为________米/分钟． (2)无人机在米高的上空停留的时间是________分钟． (3)图中表示的数是________；表示的数是________． (4)求第分钟时无人机的飞行高度是多少米？ 【答案】(1) (2) (3)； (4) 【分析】（1）根据第分钟内，无人机上升的高度和上升时间，即可求解； （2）观察图象即可求解无人机在米高的上空停留的时间； （3）由（1）可知无人机上升或下降的速度，分别求解、； （4）先计算经过分钟无人机下降的高度，再计算第分钟时无人机的飞行高度． 【详解】（1）解：观察图象可知，在第分钟内，无人机上升的高度为， 所以在上升或下降过程中，无人机的速度为； （2）解：观察图象可知，无人机在米高的上空停留的时间为； （3）解：观察图象可知，在第分钟内，无人机上升的高度为， ∴此段时间内，上升时间为， ∴， 在第分钟内，无人机下降的高度为， ∴此段时间内，下降时间为， ∴； （4）解：在第分钟内，无人机下降的高度为， 第分钟时无人机的飞行高度为． 25．（25-26八年级下·上海青浦·期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图中折线所示． (1)求线段的表达式； (2)求乙的步行速度； (3)求乙到达终点时，甲离终点还有多少米？ 【答案】(1) (2)80米/分 (3)510米 【分析】（1）运用待定系数法即可解答； （2）首先求出甲的速度，然后求出相遇时行走的路程，然后求解即可； （3）求出与终点的距离，分别计算出相遇后，到达终点甲和乙所用的时间，二者的时间差即可所求答案． 【详解】（1）解：根据题意得：点，， 设线段的表达式的解析式为， 代入得：， 解得：， ∴线段的表达式为； （2）解：甲的速度为（米/分）， 相遇时行走的路程为（米）， ∵甲先出发4分钟， ∴相遇时乙行走的时间为（分） ∴乙的步行速度为（米/分）， （3）解：由（2）得：相遇时行走的路程960米， ∴与终点的距离为米， 相遇后，到达终点甲所用的时间为：分， 相遇后，到达终点乙所用的时间为：分， ∴乙比甲早分钟到达终点， ∴乙到达终点时，甲离终点还有米． 26．（25-26八年级下·广东广州·期中）小方同学骑车上学，当他骑了一段路时，想起要带当天的报纸回班级分享每日时事，于是又折回到刚经过的报刊亭，买到报纸后继续去学校．以下是他离家距离（米）与上学所用的时间（分钟）的关系图．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小方在报刊亭停留了______分钟； (2)本次上学途中，小方一共行驶了多少米？ (3)通过计算说明，在整个上学的途中哪个时间段小方骑车速度最快，最快的速度是多少米／分钟？ 【答案】(1)2 (2) (3)在分钟时，速度最快，速度是 【分析】本题考查一次函数的实际应用和一次函数与图形之间的关系．通过读题显然得知，小方同学在分钟时想起要带报纸开始折返，在分钟时到达报刊亭，在分钟时继续往学校走，在分钟时到达学校． 【详解】（1）解：小方在报刊亭停留时间是：． （2）解：小方行驶的路程是：． （3）解：小方在分钟时，速度是：； 在分钟时，速度是：； 在分钟时，速度是：； , 在分钟时，速度最快，速度是． 27．（25-26九年级下·吉林长春·期中）为推进乡村道路硬化工程建设，，两地技术员甲、乙前往施工现场C地开展专项工作．如图①，已知，，三地共线，距地10千米，距地80千米，甲乘车从地出发，乙骑摩托车从地同时启程；甲抵达地停留0.5小时后，随即返回地．两人离地的距离（千米）与时间（小时）之间的关系如图②所示． (1)图中_____，_____； (2)求乙离地的距离（千米）与时间（小时）之间的函数表达式； (3)请直接写出当甲、乙二人相遇时的值． 【答案】(1)90；2 (2) (3)的值为或 【分析】（1）根据图象可知a的值表示的是A、C两地的距离，b的值表示的是甲从C返回A开始的时间，据此可得答案； （2）求出乙的速度，即可得到函数解析式； （3）求出甲前往C地时的速度和甲返回A地时的速度，再分两种情况：甲前往地和甲返回地，分别列出方程，解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得， ∵甲抵达C地停留0.5小时后，随即返回A地． ∴； （2）解：由图象可知，乙的速度为（千米/小时）， ∴； （3）解：∵（千米/小时），（千米/小时） ∴甲前往C地时的速度为千米/小时，甲返回A地时的速度为千米/小时； 当甲前往地的途中两人相遇时，则， 解得， 当甲返回地的途中两人相遇时，则， 解得； 综上所述，甲，乙二人相遇时x的值为或． 28．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）4月22日，上万名大连球迷远征沈阳客场，为家乡球队助威，最终大连英博客场击败辽宁铁人，斩获中超五连胜．球迷甲、乙自驾从大连前往沈阳观赛，其中甲先出发并匀速前进，在熊岳服务区休息了一段时间后保持原来的速度前往目的地，乙比甲晚出发1小时，以的速度匀速前进，最终乙先到达沈阳．如图是甲、乙距离大连的距离（单位：）与车辆行驶时间（单位：h）的函数的完整图象． (1)请直接写出甲车的速度为_____，图中_____，_____； (2)求乙车的行进过程中的与的函数关系式，并写出自变量取值范围； (3)两车相遇时，距离沈阳的距离是多少？ 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）根据函数图象分析即可； （2）根据“乙比甲晚出发1小时，以的速度匀速前进”即可写出函数表达式； （3）联立甲乙的函数表达式求解即可． 【详解】（1）解：甲的速度为，； （2）解：由题意得， （3）解：由题意得，当时，， ∴， 解得 此时距离沈阳 29．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期中）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地装货耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：    (1)A，B两地之间的距离是______千米，______，巡逻车的速度为____千米／时； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可） 【答案】(1)60，1；25 (2) (3)小时或小时或小时 【分析】（1）根据货车从A地到B地花了小时结合路程速度时间即可求出A、B两地的距离；根据货车装货花了15分钟即可求出a的值； （2）利用待定系数法求解即可； （3）分两车从A前往B途中相遇前后和货车从B往A途中相遇前后，四种情况建立方程求解即可． 【详解】（1）解：千米， ∴A，B两地之间的距离是60千米， ∵货车到达B地装货耗时15分钟， ∴， 由题意得，巡逻车的速度为千米/小时； （2）解：设线段所在直线的解析式为 将，代入，得 解得， ∴线段所在直线的函数解析式为 （3）解：设货车出发x小时两车相距15千米， 当两车都在前往B地的途中且未相遇时两车相距15千米， 则， 解得（舍去）； 当两车都在前往B地的途中且相遇后两车相距15千米， 则， 解得； ∵， ∴货车装货过程中两车不可能相距15千米， 当货车从B地前往A地途中且两车未相遇时相距15千米， 则， 解得； 当货车从B地前往A地途中且两车相遇后相距15千米，则， 解得； 综上所述，当货车出发小时或小时或小时时，两车相距15千米． 30．（25-26八年级下·江苏南通·期中）“一盔一带、注意安全！”某天小华乘坐妈妈骑的电瓶车上学，骑行一段时间后，小华发现自己没戴头盔，于是她们又原路返回到刚经过的头盔售卖点，买到头盔后继续赶往学校．以下是她们本次行程中离家距离（米）与所用时间（分钟）之间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小华家到学校的距离是__________米，她们中途停留了_________分钟． (2)本次上学途中，她们一共用了__________分钟，一共骑行了_________米． (3)按照《道路交通安全法》的规定，骑电瓶车的速度超过250米/分就超越了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段她们骑行的速度最快，最快速度在安全限度内吗？从遵守交通法规的角度，请你写一条好的建议． 【答案】(1)1500； (2)18；2700 (3)分钟她们骑行的速度最快，最快速度不在安全限度内；建议骑电瓶车时不超速行驶，自觉遵守交通法规． 【分析】本题考查了一次函数的实际应用（行程问题的函数图像解读），解题的关键是理解图像中横、纵坐标的含义，分析每一段图像对应的行程状态（行驶、停留、往返），结合速度公式进行计算与分析． （1） 家到学校的距离为图像终点的纵坐标值；停留时间为图像中水平线段对应的时间差； （2） 总用时为图像终点的横坐标值；总骑行路程为各段行驶路程之和（含往返）； （3） 分段计算各时间段的速度，比较大小判断最快速度，再与安全限度250米/分比较，最后提出合理建议． 【详解】（1）解：由图像可知， 小华家到学校的距离为图像终点纵坐标：1500 米．中途停留时间为水平线段对应的时间差： 分钟． 故答案为：1500；． （2）解：总用时为图像终点横坐标：18分钟． 总骑行路程为各段行驶路程之和： 米． 故答案为：18；2700 （3）解：分段计算各时间段速度: 0～6分钟:米/分． 分钟:米/分． 分钟:米/分． ， 分钟速度最快，为300米/分, ∵， 超过安全限度，不在安全限度内． 建议：骑电瓶车时要控制车速，不超速行驶，自觉遵守交通法规． 答：分钟她们骑行的速度最快，最快速度不在安全限度内；建议骑电瓶车时不超速行驶，自觉遵守交通法规． 题型4 一次函数的应用之梯度计费问题（共10小题） 【模型】费用按用量分段计价，各段用一次函数表示，合成分段函数求费。 【步骤】先按计费标准分段，分别列出各段一次函数表达式，确定分段点与取值范围，代入用量计算费用或比较。 【易错】分段点归属勿弄错，各段单价不同别混用；须写清每段自变量范围；计算时注意超出部分按新单价，别全程用同一价。 31．（25-26八年级上·四川成都·期中）为了鼓励市民节约用水，三明市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量（） 单价（元） 第一档 3.5 第二档 5.0 第三档 6.5 (1)当时，写出水费y（单位：元）与x之间的关系式； (2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费； (3)某户去年一年的水费是1020元，求该户去年一年的用水量． 【答案】(1) (2)该户这一年的水费是920元 (3)该户去年一年的用水量是 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，理解表格中每档的费用，正确列式求解是关键． （1）根据题意得到第一档的费用，结合分段函数列式求解即可； （2）根据得到某用户的用水量处于第二档，代入计算即可求解； （3）根据题意得到该用户的用水量处于第二档，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，第一档的水费为元，超过部分的水量为，这部分按单价5元计费． 所以水费，化简可得：， 即当时，与之间的关系式为； （2）解：因为，将代入可得： （元）， 所以该户这一年的水费是920元； （3）解：当时，代入可得： （元）， 因为， 所以该用户用水量在第二档，即． 将代入，可得， 解得． 所以该户去年一年的用水量是． 32．（25-26八年级上·四川成都·期中）为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 （不超过300的部分） 2.73 第二档 （超过300，不超过600的部分） 3.28 第三档 （超过600的部分） 3.82 (1)写出用气费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用气量是，求该户这一年的用气费； (3)某户去年一年的用气费是1311元，求该户去年一年的用气量． 【答案】(1) (2)该户这一年的用气费为1147元 (3)该户去年一年的用气量为 【分析】本题考查了一次函数的应用，解答时求出函数的解析式是关键． （1）根据表格分段列出函数关系式即可； （2）将代入，求出值即可； （3）求出第一档和第二档的最高费用，可推出该户的年用气量属于第二档，所以，即可求解． 【详解】（1）解：由表格可知， 当时，； 当时，； 当时，． 所以y与x的函数关系式为； （2）解：当时，， 即该户这一年的用气费为1147元； （3）解：第一档的最高费用为（元）， 第二档的最高费用为（元）， 因为， 所以该户的年用气量属于第二档， 所以， 解得：． 答：该户去年一年的用气量为． 33．（25-26八年级上·山西运城·期中）某省居民生活用电阶梯式收费探索卡 素材1 能源有限，节约无限．为鼓励市民节约用电，某省电费采用“阶梯收费”的方式． 素材2 居民生活用电阶梯式价格计费方式如下： 第一档：月用电量不超过170度的部分，电价为元/度． 第二档：月用电量超过170度不超过260度的部分，电价为元/度． 第三档：月用电量超过260度的部分，电价为元/度． 问题解决 任务1 已知某户月用电量x度，写出电费y（单位：元）与x之间的关系式． 任务2 已知小迪同学家8月用电量180度，求小迪同学家8月的电费． 任务3 某户10月的电费是127元，求该户10月的用电量． 【答案】任务1：；任务2：91元；任务3：240度； 【分析】本题考查了分段函数． 任务1：分情况列出关系式即可； 任务2：用电量180度，在第二档，将代入计算即可； 任务3：先求出用电量在第二档，进而根据列方程计算即可． 【详解】解：任务1：当时，， 当时，，即， 当时，，即， 任务2：， ∴当时，（元） 答：小迪同学家8月的电费91元． 任务3：当时，， 当时，， ， ． 当时，． ． 答：该户10月的用电量为240度． 34．（25-26七年级上·福建泉州·期中）根据以下素材．探索完成任务． 泉州土笋冻是独具地方风味的特色小吃，以其独特口感享誉一方．泉州本地土笋冻企业与京东快递公司合作，为各地食客寄送新鲜土笋冻．以下是本次合作的相关素材信息，请根据素材完成后续任务． 素材1 京东快递公司规定： 从当地寄送土笋冻到市按重量收费：当土笋冻重量不超过千克时，需要寄送费元；当重量超过千克时，超过部分另收元/千克． 素材2 电子存单 电子存单 托寄物：土笋冻 包装服务产品类型：京东快递公司 计量重量：千克 件数： 总费用：元 托寄物：土笋冻 包装服务产品类型：京东快递公司 计量重量：千克 件数： 总费用：元 任务1 根据以上信息，请确定的值 任务2 求出土笋冻重量千克的寄送费用，结果用的代数式表示 任务3 若土笋冻重量达到千克，请求出最省的寄送费用． 【答案】任务1： 任务2： 任务3：元 【分析】本题考查一元一次方程和一次函数的实际应用，解题的关键根据快递收费规则建立函数关系． 任务1：利用电子存单的数据列方程求解； 任务2：根据收费规则写出时的函数表达式； 任务3：如果把土笋冻一次寄走，直接将代入函数表达式计算费用；把土笋冻分成两次寄走所需费用是元件；把土笋冻分三次寄送且每次不超过千克，所需费用是元；通过比较选择最省钱的寄送方法． 【详解】任务1：当重量不超过千克时，寄送费为元；当重量超过千克时，超过部分每千克收费元， 根据电子存单，重量千克，费用元， ， ， ； 任务2：当时，寄送费用； 任务3：当时， 若一次全部寄走，所需费用为（元）； 若先寄一个千克，再寄一个千克，所需费用为（元）； 若分三次寄走，且每次的重量都不超过10千克，所需费用为（元）； ； 答：最省的寄送费用为元． 35．（25-26八年级上·河南郑州·期中）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，某市出台了“阶梯价格”制度，具体收费标准如表所示： 阶梯 月用电量 单价元 第一档 第二档 第三档      (1)当时，写出电费（单位：元）与x之间的关系式； (2)小亮家6月份用电，应缴纳电费多少元？ (3)小亮家7月份开始用电增多，缴纳电费220元，求小亮家7月份的用电量． 【答案】(1)y与x的关系式为； (2)应缴纳电费129元； (3)小亮家7月份用电量为． 【分析】本题主要考查了一次函数及一元一次方程的应用，能根据题意列出函数关系式是解题的关键． （1）根据所给收费标准，得出y与x的关系式即可； （2）根据所给收费标准及用电量进行计算即可； （3）根据所给收费标准及电费进行计算即可； 【详解】（1）解：当时，月用电量属于第二组， 则， 所以y与x的关系式为； （2）解：将代入得， 元， 所以应缴纳电费129元； （3）解：因为，，且， 则将代入得， ， 解得， 所以小亮家7月份用电量为 36．（25-26八年级上·河南·期中）为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计费．下表是户年用电量及分档计费标准： 计费档 户年用电量 单价/[元] 第一档 0.53 第二档 0.58 第三档 0.83 (1)当时，写出电费y（单位：元）与x之间的关系式； (2)某户年用电量是，求该户这一年的电费； (3)某户去年一年的电费是2978元，求该户去年一年的用电量． 【答案】(1) (2)2182元 (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据题意列出y与x之间的关系式即可； （2）代入到（1）中的关系式即可求解； （3）通过计算说明该户去年一年的用电量超过，设该户去年一年的用电量为，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，； ∴当时，y与x之间的关系式为； （2）解：∵， ∴代入到，得， ∴该户这一年的电费为2182元； （3）解：代入到，得， ∵， ∴该户去年一年的用电量超过， 设该户去年一年的用电量为， 根据题意得，， 解得， 答：该户去年一年的用电量为． 37．（25-26八年级上·广东茂名·期中）为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 单价/(元) 第一档 第二档 第三档 (1)当时，写出水费(单位：元)与之间的关系式； (2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费； (3)某户去年一年的水费是元，求该户去年一年的用水量． 【答案】(1)当时， (2) (3) 【分析】本题主要考查分段函数的运用，理解表格中每档的费用，正确列式求解是关键． （1）根据题意得到第一档的费用，结合分段函数列式求解即可； （2）根据得到某用户的用水量处于第二档，代入计算即可求解； （3）根据题意得到该用户的用水量处于第二档，将代入（1）中关系式即可求解． 【详解】（1）解：第一档的水费为（元）， 第二档的水费为， ∴水费（单位：元）与之间的关系式为：； （2）解：当某户一年用水量是时，处于第二档， 当时，（元）； （3）解：当时，水费为（元）， ∵， ∴该户去年一年的用水量在第二档， 当时，， 解得， ∴该户去年一年的用水量为． 38．（25-26八年级上·四川成都·期中）为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量 单价/[元] 第一档 第二档 第三档 (1)请直接写出电费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户上一个月的用电量为，求该户上一个月的电费； (3)某户上一个月的电费是元，求该户上一个月的用电量． 【答案】(1) (2)元 (3) 【分析】本题考查分段函数的应用．根据不同用电量范围的单价来计算电费是解题的关键． （1）根据各档次计费方法计算即可； （2）已知某户上一个月的用电量为，判断其处于内，将代入（1）中相应的关系式计算即可； （3）先分别计算第一档最多电费为（元），再计算用电量为时的电费，然后与已知电费元比较，可知该户上一个月的用电量超过第二档，即用电量在内，最后将代入（1）中相应的关系式计算即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， ∴与之间的关系式为； （2）解：将代入， 得：（元）， ∴该户上一个月的电费为元； （3）解：∵，， ∴该户上一个月的用电量超过， 将代入， 得：， 解得：， ∴该户上一个月的用电量为． 39．（25-26八年级上·山西晋中·期中）为引导居民节约用水，某县出台了城镇居民用水阶梯水价制度（如下表）．每年水费的计算方法：年交水费第一阶梯水价第一阶梯用水量第二阶梯水价第二阶梯用水量第三阶梯水价第三阶梯用水量． 阶梯 用户年用水量 水价（元） 第一阶梯 5 第二阶梯 7 第三阶梯 9 (1)当时，求出水费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费； (3)该市某同学家在实施阶梯水价制度后的第一年缴纳水费1730元，求该同学家这一年的用水量． 【答案】(1) (2)1040元 (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）理解题意，根据用水量及分档计费标准且结合列出寒素解析式即可． （2）结合（1），得当时，，故代入进行计算，即可作答． （3）先充分分析题意，得出水费在第三档，再结合第三档的计费方式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，当时，； （2）解：由（1）得当时， 当时，， 答：该户这一年的水费是1040元； （3）解：依题意，；； ∵ ∴水费在第三档， 当时，可知， 令，即， 解得， 答：该户这一年的用水量是． 40．（25-26八年级上·河南郑州·期中）为响应“节能”“环保”“减排”号召，张明家购买了一台电动汽车，需要申请加装电表，有两种电表可供选择：一种是普通电表，一种是峰谷分时计费电表． 该市居民用电的收费标准（注：峰段8：00～22：00，谷段：22：00～次日8：00）： 计费档 户年用电量 普通电价/[元/] 峰谷电价/[元/] 峰段电价 谷段电价 第一档 0.53 0.56 0.28 第二档 0.58 0.61 0.33 第三档 0.83 0.86 0.58 (1)张明的朋友李斌家去年总用电量为，峰段用电量为，哪种计费方式电费较少？为什么？ (2)截至今年9月底，李斌家的用电量已经超过，已知李斌家10月共用电，峰段用电量为（单位：），写出峰谷计费方式的电费（单位：元）与之间的关系式？并计算李斌家10月峰段用电量为多少时，两种计费方式相同？ (3)张明通过调查发现：安装哪种电表，取决于峰段用电量占总用电量的比值，比值越大，越适合安装普通电表，否则，安装峰谷计费电表．若张明家年用电量为，峰段用电量与总用电量的比值为．请你直接写出张明安装电表的方案． 【答案】(1) 选择普通电表电费较少， 理由：普通电表：（元）， 峰谷计费：（元）， ， 因此，选择普通电表电费较少． (2)，用电量为时，两种计费方式相同； (3)当时，选择安装普通计费电表；当时，两种电表的费用相同；当时，选择安装峰谷计费电表． 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据计价表可直接进行求解； （2）由题意易得，然后可得，进而问题可求解； （3）设峰段电量为，谷段为，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 解得， 因此，小明家月峰段用电量为时，两种计费方式相同． （3）解：设峰段电量为，谷段为， 分档讨论： ①第一档（）：普通电费， 峰谷电费， 令相等得， 解得：， 当时，选普通电表； 当时，选峰谷电表； ②第二档（）：普通电费， 峰谷电费， 令相等得， 解得：， 当时，选普通电表； 当时，选峰谷电表； ③第三档（）：普通电费， 峰谷电费， 令相等得， 解得：， 当时，选普通电表； 当时，选峰谷电表， 综上，当时，选择安装普通计费电表；当时，两种电表的费用相同；当时，选择安装峰谷计费电表． 题型5 一次函数的应用之动态几何问题（共2小题） 【模型】动点运动产生线段或面积变化，用一次函数表示变量间关系并求解。 【步骤】先设运动时间为t，用t表示相关线段长，按面积或距离关系列一次函数，确定t取值范围，求值或最值。 【易错】注意动点运动边界与分段讨论，t范围勿漏；线段长须为正；不同阶段函数表达式不同，别全程用一个式子。 41．（25-26八年级下·重庆万州·期中）如图1，在中，，，动点P从A出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达C点停止运动，设P点的运动时间为秒（），的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，如图2，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若直线与的图象只有一个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)函数图象见解析，当时，的面积取得最大值 (3)或 【分析】（1）当时，，当时，由，，得，，设在中，边上的高为，由，得，即，化简得，，故； （2）先描点再连线，画出图象即可，注意空心点；性质：当时，的面积取得最大值；当时，的面积随点P运动的时间增大而增大；当时，的面积随点P运动的时间增大而减小；任选一条即可； （3）或，理由：由直线与的图象只有一个交点得，即当时，直线与只有一个交点，得；当时，直线与只有一个交点，得，故或． 【详解】（1）解：当时，， 如图，当时， ，，， ，， 设在中，边上的高为， ，， ， ，即， ； （2）解：函数图象如图， 性质：当时，的面积取得最大值；当时，的面积随点P运动的时间增大而增大；当时，的面积随点P运动的时间增大而减小； （3）解：或，理由如下： 直线与的图象只有一个交点，如图， 当时，，把代入直线得， 故当时，直线与的图象只有一个交点， 把代入直线得，把代入直线得， 故当时，直线与的图象只有一个交点， 若直线与的图象只有一个交点，或． 42．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）已知动点从点出发，沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按的路径移动，的面积与点移动路程之间的关系图象如图2，若，根据图象信息回答下列问题： (1)______________________________； (2)求的值； (3)当点运动到点时，求的值； (4)当的面积为2时，的值为__________． 【答案】(1)3，6，26 (2)9 (3)4 (4)2或24或28 【分析】（1）根据图象找到点P运动对应的函数图象，结合三角形面积公式求解即可； （2）根据当点P运动在段时，面积保持不变为m，结合三角形面积公式求解即可； （3）先求出的长度，再求出的长度，结合三角形的面积公式求解即可； （4）根据点P运动在段时，与点P运动在段时，这两种情况由面积求解即可． 【详解】（1）解：当点P运动到点B时，则， 即，可得； 当点P运动在段时，面积保持不变为3， 当点P运动到点D时，则； 当点P运动在段时，面积保持不变为m， 当点P运动在段时，当点A，点H，点P三点共线时，面积为0， 此时，则； （2）解：当点P运动在段时，面积保持不变为m， 此时的高的长度为， 则，即； （3）解：，则， 则，即； （4）解：当点P运动在段时，则， 即，解得； 当点P运动在段时，由（1）知，， 则， 即，则， 解得或； 故当的面积为2时，的值为2或24或28． $