4.5.1 二次函数的应用（1）（课件）2026-2027学年湘教版九年级数学上册

二次函数的应用（1） 湘教·九年级上册 探究新知 已知某拱桥的纵截面可看作是抛物线的一部分，拱桥的跨度是 4.9 m，当水面宽 4 m 时，拱顶离水面 2m. 水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化？可以通过建立函数模型来解决这个问题吗？ 拱桥的纵截面可看作是抛物线的一部分，应当是某个二次函数的图象，因此可以建立二次函数模型来刻画. 为简便起见，以拱顶为原点，抛物钱的对称轴为 y 轴，建立平面直角坐标系，如图 4.5-1所示. 图4.5-1 由于顶点坐标是 (0，0)，因此，这个二次函数的表达式为 y = ax² (a为常数，a≠0). 已知水面宽 4m 时，拱顶离水面高 2m， 因此，点 A(2，－2)在抛物线上. 图4.5-1 A 由此得出 －2 = a·22 解得 因此，这个函数的表达式是 图4.5-1 A 其中 |x| 是水面宽度的一半，y 是拱顶离水面高度的相反数. 这样，就可以从水面宽度的变化情况了解到拱顶离水面高度的变化情况. 由于拱桥的跨度为 4.9m，因此自变量 x 的取值范围是：－2.45 ≤ x ≤ 2.45. 反 思 建立不同的平面直角坐标系，求解函数表达式的难易程度就不同，所得的函数表达式也不同，一般以简洁为原则来建立平面直角坐标系. A 做一做 试用流程图表示利用二次函数模型解决实际问题的基本步骤. 实际问题 建立二次函数模型 利用二次函数的图象和性质求解 实际问题的解 归 纳 利用二次函数解决实际问题的详细步骤： 审 分析问题中的变量、常量及它们之间的关系，设出变量. 用函数解析式表示出它们之间的关系. 借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题. 检验结果，得出符合实际意义的结论. 根据题意及解答写出问题. 审清题意，理解问题. 设 列 解 验 答 1. 如图是某抛物线形悬索桥的截面示意图，已知悬索桥两端主塔高 150m，主塔之间的距离为 900m，试建立适当的平面直角坐标系，求出桥悬索所对应的二次函数表达式. 【选自教材P163 练习 第1题】 900 m 150 m 针对训练 900 m 150 m 解：设二次函数表达式为 y = ax2 ，A (450，150) A 将点A坐标代入，得 150 = 4502a 解得 所以 (－450 ≤ x ≤ 450) 总 结 实际生活中的抛物线模型问题及求解步骤： 建立：建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放置在平面直角坐标系中，将与实际问题有关的距离、长度、高度等数据转化为点的坐标(实际问题坐标化). 分析：结合图形和已知条件，分析变量及常量之间的数量关系. 求解析式：用待定系数法求函数解析式. 求解：运用二次函数解析式及其性质求出实际问题的解. 总 结 实际生活中的抛物线模型问题及求解步骤： 2. 在一定条件下，若物体运动的路程 s(m) 关于时间 t(s) 的函数表达式为 s＝ 5t2＋2t ，则当物体经过的路程是 88 m 时，该物体所用的时间为 ( ) A．2 s B．4 s C．6 s D．8 s B 3. 某座桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的表达式为 ， 当水位线在 AB 位置时，水面宽 AB ＝ 30 m，这时水面离桥顶的高度是 ( ) A．5 m B．6 m C．8 m D．9 m D 4. 小明练习推铅球时，发现铅球的高度 y (m) 与水平距离 x (m) 之间的关系为 ，由此可知铅球推出的距离是________m． 10 1. 如图，一段拱形栅栏为抛物线的部分，已知拱高OA为 1m，栅栏的跨径 BC 间有 5 根间距为 0.5m 的立柱.试建立适当的平面直角坐标系，求出该拱形栅栏所对应二次函数的表达式，并求出立柱 DE 的高度. 【选自教材P163 练习 第2题】 练习 解：设二次函数表达式为 y = ax2 C (1.5，1) 代入点C，得 1 = 1.52a 解得 所以 令 x = 0.5 所以 答：立柱 DE 的高度为 . 2. 已知两个正数的和为定值 a，问：这两个数分别取何值时，它们的积达到最大值？ 解：设两个正数分别为 x，y，所以 x + y = a. 则 y = a－ x 则 xy = x(a－x) = －x2 + ax 整理，得 答：两个正数都为 时，它们的积达到最大值. 【选自教材P163 练习 第3题】 3. 世界最大单口径射电望远镜(FAST工程) —“中国天眼”如图所示，其设计原理是利用了抛物线光学性质，查阅相关资料，了解抛物线的光学性质，并与同学分享你的结果。 【选自教材P163 练习 第4题】 课堂小结 利用二次函数解决实际问题的详细步骤： 审 分析问题中的变量、常量及它们之间的关系，设出变量 用函数解析式表示出它们之间的关系 借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题 检验结果，得出符合实际意义的结论 根据题意及解答写出问题 审清题意，理解问题 设 列 解 验 答 $