4.5 二次函数的应用 第1课时 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

第4章 二次函数 4.5 二次函数的应用 第1课时 利用二次函数解决抛物线形建筑、面积问题 旧知回顾 1．y＝2x2－4x＋1化为顶点式为_____________，其顶点为________，对称轴为直线x＝1，当x＝____时，有最小值____． y＝2(x－1)2－1 (1，－1) 1 －1 2．一条抛物线，顶点坐标为(4，－2)，且形状与抛物线y＝x2＋2相同，则它的函数表达式是______________． 3．抛物线y＝－x2＋bx＋c的部 分图象如右图所示，若y>0，则 x的取值范围是____________． y＝x2－8x＋14 －3<x<1 自学互研 知识模块一　抛物线形建筑问题 已知某拱桥的纵截面可看作是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9m，当水面宽4m时，拱顶离水面2m.水面宽度变 化时，拱顶离水面的高度怎 样变化?可以通过建立函数 模型来解决这个问题吗? 思 考 拱桥的纵截面可看作是抛物线的一部分，应当是某个二次函数的图象，因此可以建立二次函数模型来刻画. 为简便起见，以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示. 由于顶点坐标是(0，0)，因此，这个二次函数的表达式为y=ax²(a为常数，a≠0). 已知水面宽4m时，拱顶离水面高2m， 因此，点A(2，一2)在抛物线上. 由此得出-2=a·2², 解得a=- 因此，这个函数的表达式是y=- x² ，其中|x|是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数.这样，就可以从水面宽度的变化情况了解到拱顶离水面高度的变化情况. 由于拱桥的跨度为4.9m，因此自变量x的取值范围是:-2.45≤x≤2.45. 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？ 实际问题 建立二次函数模型 利用二次函数的图象和性质求解 实际问题的解 解决抛物线型问题的基本方法是什么？ 解决抛物线形问题的基本方法是： 利用数形结合思想和函数思想，建立适当直角坐标系. 根据已知数据，求出二次函数表达式. 再由二次函数性质分析解决． 【例1】某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽度AB＝1.6 m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4 m，那么在如图所示的直角坐标系中，涵洞所在抛物线的函数表达式是______________． y＝－x2 【变例1】如图，小明家门前有一座抛物线形拱桥，当水面在L时，拱顶高出水面2 m，水面宽4 m，水面下降1 m时，水面宽度增长_________m. (2－4) 【变例2】如图，四边形ABCD是矩形，A，B两点在x轴的正半轴上，C，D两点在抛物线y＝－x2＋6x上，设OA的长为m(0<m<3)，矩形ABCD的周长l的最大值为____． 20 【变例3】有一个抛物线形的桥拱，这个桥拱的最大高度为16 m，跨度为40 m，现把它的图形放在坐标系中(如图)．若在离跨度中心M点5 m处垂直竖立一铁柱支撑拱顶，则这根铁柱的长为____m. 15 知识模块二　面积问题 例 如图，用8m长的铝材做一个“日”字形窗框.试问:窗框的宽和高各为多少时，窗框的透光面积最大?最大面积是多少?(假设铝材的宽度不计) 解： 由于做窗框的铝材长度已确定，而窗框的透光面积S随矩形一边长的变化而变化。 因此设窗框的宽为xm，则窗框的高为m，其中0< <。 于是，窗框的透光面积为S= ·=- ²+4 配方，得S=- ²+4 （ -） ²+ 当 这时高为=2（m） 因此，当窗框的宽为m，高为2m时，窗框的透光面积最大，最大透光面积为m² 【例2】学校打算用长16 m的篱笆围成一个矩形生物园饲养小兔．如图，生物园的一边靠墙，另外三边用篱笆围成，墙长8 m．求矩形生物园的面积的最大值． 解：设矩形生物园的面积为y m2，设垂直于墙的一边为x m，则平行于墙的一边为(16－2x)m. ∴y＝x(16－2x)＝－2x2＋16x＝－2(x－4)2＋32. 解得4≤x<8， ∴当x＝4时，矩形生物园的面积的最大值为32 m2. 由题意 ，得 x>0 0 【变例】如图，小明的爸爸用一段长20 m的铁丝网围成一个一边靠墙(墙的长度为12 m)的矩形鸭舍，并在垂直于墙的某一边中间留一个宽为1 m的门(由其他材料制成)．已知矩形的宽DC为x m，当矩形面积S最大时，则矩形的长BC为 ( ) A．9.5 m　　　　　 B．10 m　　　　　 C．10.5 m　　　　　 D．11 m C 随堂检测 1. 赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=- x² ，当水面离桥拱顶的高度 DO 是 2 m时，这时水面宽度 AB 为(　　 ) A. -10 m B. -5 m C. 5 m D.10 m D 2. 足球被从地面上踢起，它距地面的高度 h ( m )可用公式 h = -4.9t2 + 19.6t 来表示，其中 t ( s ) 表示足球被踢出后经过的时间，则球在____s后落地. 4 3. 如图是某抛物线形悬索桥的截面示意图，已知悬索桥两端主塔高150m，主塔之间的距离为900m，试建立适当的平面直角坐标系，求出桥悬索所对应的二次函数表达式. 解:如图所示，建立平面直角坐标系，则 A(-450,150),B (450,150), 设该抛物线形悬索桥所对应的二次函数表达式为y=ax², 把点B(450,150)的坐标代人y=a²中，得450²a = 150, 解得a=, 所以y= x² 答:该抛物线形悬索桥所对应的二次函数表达式为y= x² 课堂小结 实际问题 数学模型 转化 回归 (二次函数的图象和性质) 拱桥问题 运动中的抛物线问题 (实物型抛物线问题) 转化的关键 建立恰当的直角坐标系 能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择运算简便的方法. $