4.3 二次函数表达式的求法 课件 2026-2027学年湘教版九年级数学上册

二次函数表达式的求法 湘教·九年级上册 复习导入 一次函数的表达式是 y = kx + b ，只要求出____和____的值， 就可以确定一次函数的表达式 y = kx + b. k b 如何才能确定一个二次函数的表达式？ 探究新知 例1 已知二次函数的图象的顶点坐标是 (－1，－6) ，并且图象经过点 (2，3). 求这个二次函数的表达式. 解 因为二次函数图象的顶点坐标是(－1，－6) 所以可设该二次函数的表达式为 y = a(x+1)2－6 (a为常数，a≠0). 例1 已知二次函数的图象的顶点坐标是 (－1，－6) ，并且图象经过点 (2，3). 求这个二次函数的表达式. 又因为图象经过点 (2，3)，将该点的坐标代入上式，得 3 = a(2+1)2－6 解得 a = 1 因此，所求二次函数的表达式是 y = (x+1)2－6. 归 纳 二次函数表达式的求法—— 顶点式 已知二次函数的顶点坐标、对称轴或最值 通常设函数的解析式为顶点式：y = a(x－h) + k 然后将已知点(非顶点) 的坐标代入，解方程。 针对训练 1. 已知二次函数的顶点为(1，－1)，且经过点(2，1)，求这个二次函数的表达式. 解 因为二次函数图象的顶点坐标是(1，－1) 所以可设该二次函数的表达式为 y = a(x－1)2－1. 又因为图象经过点 (2，1)，将该点的坐标代入上式，得 1 = a(2－1)2 － 1. 解得 a = 2 因此，这个二次函数的表达式是 y =2 (x－1)2－1. 2. 已知二次函数图象经过点(－1，3)，且它的顶点是原点，求这个二次函数的表达式. 解 因为二次函数图象的顶点坐标是(0，0) 所以可设该二次函数的表达式为 y = ax2. 又因为图象经过点 (－1，3)，将该点的坐标代入上式，得 3 = (－1)2a 解得 a = 3 因此，这个二次函数的表达式是 y = 3x2. 3. 已知二次函数图象经过点(3，0)和(2，－3)，且以直线 x = 1为对称轴，求这个二次函数的表达式. 解 因为二次函数图象的对称轴为 x = 1， 所以可设该二次函数的表达式为 y = a(x－1)2 + k. 又因为图象经过点 (3，0)，(2，－3)将两点的坐标代入上式，得 所以 y = (x－1)2－4. 4a + k = 0， a + k = －3， 解得 a = 1，k = －4. 例2 已知三个点的坐标，是否存在一个二次函数，它的图象经过这三个点？ (1) P(1，-5) ， Q(-1，3)， R (2，-3) ； 解 设二次函数 y = ax2 + bx + c (a，b，c为常数，a ≠ 0) 的图象经过 P，Q，R 三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组： a + b + c = －5， a － b + c = 3， 4a + 2b + c = －3， 解得 a = 2，b = －4，c = －3. 因此，二次函数 y = 2x2－4x－3 的图象经过 P，Q，R 三点. (2) P (1，－5) ， Q (－1，3) ， M (2，－9). 例2 已知三个点的坐标，是否存在一个二次函数，它的图象经过这三个点？ 解 设二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象经过 P，Q，M 三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组： a + b + c = －5， a － b + c = 3， 4a + 2b + c = －9， 解得 a = 0，b = －4，c = －1. 由于 a = 0，因而不存在一个二次函数，其图象经过 P，Q，M 三点. 数学上可以证明： 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象上任意三个不同的点都不在一条直线上. 还可以证明： 若给定不共线三点的坐标 (且它们的横坐标两两不等)， 则可以确定唯一的一个二次函数， 它的图象经过这三点. 共线的三点可以确定一个二次函数吗？ 思 考 设二次函数的解析式为 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 如果三点 (x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)共线，说明三点满足一次函数 y = kx + m. 把共线三点代入二次方程，最后得出 a = 0， 若 a = 0时，式子就变成一次函数，不再是二次函数。 归 纳 二次函数表达式的求法—— 一般式 已知二次函数上任意三点的坐标。 通常设函数的解析式为一般式：y = ax2 + bx + c 然后列出关于 a，b，c 的三元一次方程组求解。 针对训练 根据下列条件，求出对应二次函数的解析式. (1) 已知二次函数过点 (－1，2) ， (0，1)，(2，－7) ； 解 设二次函数的解析式为 y = ax2 + bx + c ，则得到关于a，b，c的三元一次方程组： a － b + c = 2， c = 1， 4a + 2b + c = －7， 解得 a = －1，b = －2，c = 1. 因此，二次函数为 y = －x2－2x+1. 根据下列条件，求出对应二次函数的解析式. (2) 已知二次函数过点 (－1，－5) ， (0，－4)，(1，1) ； 解 设二次函数的解析式为 y = ax2 + bx + c ，则得到关于a，b，c的三元一次方程组： a － b + c = －5， c = －4， a + b + c = 1， 解得 a = 2，b = 3，c = －4. 因此，二次函数为 y = 2x2 + 3x －4. 思 考 已知二次函数过点 P(－1，0)，Q(3，0)， R(2，－6)，求这个二次函数的表达式. 与 x 轴的交点 解 因为二次函数图象过点 P(－1，0)， P(3，0) 所以可设该二次函数的表达式为 y = a(x + 1) (x－3). 又因为图象经过点 (2，－6)，将该点的坐标代入上式，得 －6 = a (2 + 1) (2 － 3) 解得 a = 2. 所以 y =2(x+1)(x－3) =2x2－4x－6. 归 纳 二次函数表达式的求法—— 交点式 已知二次函数与 x 轴的两交点坐标。 通常设函数的解析式为交点式：y = a(x－x1)(x－x2)，其中 x1，x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标，然后将另一点的坐标代入，解关于 a 的一元一次方程。 已知二次函数与 x 轴交于点 A(－2，0) ，B(1，0) ，且经过点 C(2，8). 求二次函数的解析式. 解：A(－2，0) ，B(1，0)在 x 轴上，设二次函数解析式为 y = a(x + 2)(x－1). 针对训练 所以 y = 2(x+2)(x－1)=2x2+2x－4. 又因为图象过点 C (2，8)，代入解析式得，8 = a(2+2)(2－1) 解得 a = 2 设解析式的技巧： 看顶点 在原点 在 y 轴上 在 x 轴上 在任意位置 设 y = ax2 设 y = ax2 + k 设 y = a(x－h)2 设 y = a(x－h)2 +k 设解析式的技巧： 看与 x 轴的交点 含原点 有两个交点(x1，0)， (x2，0) 设 y = ax2+bx 设 y = a(x－x1) (x－x2) 练习 1. 已知二次函数图象的顶点坐标为 (1，2) 且图象过原点，求这个二次函数的表达式. 【选自教材P153 练习 第1题】 解 因为二次函数图象的顶点坐标是(1，2) 所以可设该二次函数的表达式为 y = a(x－1)2+2 . 又因为图象经过原点 (0，0)，将该点的坐标代入上式，得 0 = a(0－1)2 + 2. 解得 a = －2 因此，所求二次函数的表达式是 y =－2 (x－1)2+2. 2. 已知二次函数 y = ax2+bx+c的图象经过 A(0，2)， B(1，3)，C(－1，－1) 三点，求这个二次函数的表达式. 【选自教材P153 练习 第2题】 解 设二次函数的解析式为 y = ax2 + bx + c ，则得到关于a，b，c的三元一次方程组： a + b + c = 3， c = 2， a － b + c = －1， 解得 a = －1，b = 2，c = 2. 因此，二次函数为 y = －x2 + 2x + 2. 3. 已知对于二次函数 y = ax2+bx+c，当 x 分别取－4，－3，－2时，其函数值依次为 3，5，3. 求当 x = 1时 y 的值。 【选自教材P153 练习 第3题】 解 设二次函数的解析式为 y = ax2 + bx + c ，则得到关于a，b，c的三元一次方程组： 9a －3b + c = 5， 4a －2b + c = 3， 16a －4b + c = 3， 解得 a = －2，b = －12，c =－13. 因此，y = －2x2 －12x － 13. 将 x = 1 代入方程得 y = －2 －12 － 13 = －27 4. 已知一个二次函数的图象经过三点(1， 3)，(－1， －5)，(3，－13) ，求这个二次函数的表达式. 解 设二次函数的解析式为 y = ax2 + bx + c ，则得到关于a，b，c的三元一次方程组： a － b + c = －5， 9a + 3b + c = －13， a + b + c = 3， 解得 a = －3，b = 4，c = 2. 因此，二次函数为 y = －3x2 + 4x + 2. 5. 已知二次函数的顶点为 A(1，－4)且过 B(3，0)，求二次函数解析式. 解 因为二次函数图象的顶点坐标是(1，－4) 所以可设该二次函数的表达式为 y = a(x－1)2－4. 又因为图象经过点 (3，0)，将该点的坐标代入上式，得 0 = a(3－1)2 － 4. 解得 a = 1 因此，这个二次函数的表达式是 y = (x－1)2－4. 课堂小结 求二次函数解析式的三种表达式的形式. (1) 已知三点坐标，设二次函数解析式为 y = ax2+bx+c. (2) 已知顶点坐标：设二次函数解析式为 y = a(x－h)2+k. (3) 已知抛物线与 x 轴两交点坐标为(x1，0)，(x2，0)可设二次函数解析式为 y = a(x－x1)(x－x2). $