4.4 二次函数与一元二次方程的关系 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

第4章 二次函数 4.4　二次函数与一元二次方程的关系 情景导入 1．一次函数y＝ax＋b(a≠0)与一元一次方程ax＋b＝0(a≠0)有何关系？ 从图象看，一次函数y＝ax＋b与x轴交点的横坐标即方程ax＋b＝0的解． 2．求下列二次函数与x轴交点坐标，并判断交点个数． (1)y＝x2＋x－6；　　(2)y＝x2－2x＋1；　　 (3)y＝x2－2x＋2. 解：(1)由y＝x2＋x－6＝0可得x1＝－3，x2＝2， ∴有两个交点(－3，0)，(2，0). (2)由y＝x2－2x＋1＝0可得x1＝x2＝1， ∴只有一个交点(1，0). (3)由y＝x2－2x＋2＝0可得Δ＝(－2)2－4×2＝－4<0， ∴无交点． 自学互研 知识模块一　二次函数与一元二次方程的关系 你能从图象中看出它与 x 轴的交点吗？ (-1，0) 与 (3，0) 思考 画出二次函数 y = x² - 2x - 3的图象 二次函数 y = x2 - 2x - 3 与一元二次方程 x2 - 2x - 3 = 0 又有怎样的关系？ 当 x = -1时，y = 0，即 x2 - 2x -3 =0， 也就是说，x = -1是一元二次方程 x2 - 2x - 3 = 0 的一个根； 同理，当 x = 3 时，y = 0，即 x2 - 2x - 3 = 0， 也就是说，x = 3 是一元二次方程 x2 - 2x -3 = 0 的一个根. 归纳总结 一般地，如果二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有两个交点( x1，0)，( x2，0 )，那么一元二次方程ax2 +bx+c=0 有两个不相等的实数根 x1，x2. 观察二次函数y = x2－6x＋9 ，y=x2－2x＋2的图象(如图所示)，分别说出一元二次方程x2－6x＋9 =0和x2－2x＋2 =0的根的情况. 抛物线与 x 轴交点个数 交点的 横坐标 相应的一元二次 方程的根 y = x2－2x＋2 y = x2－6x＋9 0个 2个重合的点 x2-2x＋2=0无解 3 x2-6x+9=0，x1=x2=3 二次函数 y = ax2+bx+c(a＞0 ) 的图象 一元二次方程 ax2+bx+c = 0 (a＞0 )的根 判别式Δ=b2-4ac 二次函数 y = ax2+bx+c 与 x 轴交点与一元二次方程 ax2+bx+c = 0 根的关系 有两个不相等的实数根x1， x2 (x1 < x2 ) Δ ＞0 二次函数 y = ax2+bx+c(a＞0 ) 的图象 一元二次方程 ax2+bx+c = 0 (a＞0 )的根 判别式Δ=b2-4ac 有两个相等的实数根x1= x2 =- Δ =0 二次函数 y = ax2+bx+c(a＞0 ) 的图象 一元二次方程 ax2+bx+c = 0 (a＞0 )的根 判别式Δ=b2-4ac 没有实数根 Δ < 0 从上面的分析可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切，那么解一元二次方程能不能借助二次函数呢? 求一元二次方程ax2+bx+c = 0的根就是求二次函数y = ax2+bx+c在y=0时自变量x的值，也就是二次函数图象与x轴交点的横坐标，因而可以利用二次函数的图象来求一元二次方程的根.要注意的是，由于作图或观察容易产生误差，因而利用图象求得的根，一般是近似的。 1．二次函数与一元二次方程有何关系？ 练一练 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y＝0时，自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根． 2．如何判断二次函数与x轴交点的情况？ 二次函数的图象与x轴的关系，对应着一元二次方程根的三种情况： 当b2－4ac>0时，该抛物线与x轴有两个交点； 当b2－4ac＝0时，该抛物线与x轴有一个交点； 当b2－4ac＜0时，该抛物线与x轴没有交点． 【例1】二次函数y＝x2－3x－1与x轴的交点个数是 ( ) A．0　　　　　　　B．1　　　　　　　 C．2　　　　　　　D．3 C A ． 5，6，7 B．4，5，6 C．3，4，5 D．2，3，4 【变例1】若二次函数y＝x2－4x＋c的图象与x轴有交点，则整数c可以取下列四组中的 ( ) D 【变例2】已知二次函数y＝－x2＋4x＋m的部分图象如图，则关于x的一元二次方程－x2＋4x＋m＝0的解是________________ ． x1＝－1，x2＝5 【变例3】二次函数y＝x2＋kx＋2k－4的图象与x轴只有一个交点，则k＝____． 4 【变例4】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则ax2＋bx＋c＝0的解为_____________，ax2＋bx＋c>0的解为_____________． x1＝－1，x2＝3 x<－1或x>3 知识模块二　利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 例 求一元二次方程 x² - 2x - 1 = 0 的根的 近似值(精确到 0.1). 分析：一元二次方程 x² - 2x - 1 = 0 的根就是抛物线 y = x² - 2x - 1 与 x 轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与 x 轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法. 解：设二次函数 y = x² -2x-1。 通过观察或测量，可得抛物线与x轴的交点的横坐标约为-0.4或2.4， 画出二次函数 y = x² -2x-1的图象，如图所示。 可以发现，抛物线与x轴的一个交点在 -1 与 0 之间，另一个交点在 2 与 3 之间. 即一元二次方程x² -2x-1 =0的实数根为x1≈-0.4， x2 ≈2.4. 我们还可以借助计算器分析所求方程的实数根.将二次函数y=x2-2x-1在-1至0范围内的部分x值所对应的y值列表如下： x -1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 y 2 1.61 1.24 0.89 0.56 0.25 -0.04 -0.31 -0.56 -0.79 -1 可以发现，当x=-0.5时，y=0.25＞0；而当x=-0.4时，y=-0.04＜0. 结合图象可以看出，使y=0的一个x值在-0.5与-0.4之间，即-0.5＜x＜-0.4.题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5作为所求的根均满足要求.但当x=-0.4时，y=-0.04；当x=-0.5时y=0.25.前者的函数值更接近于0.因此选x=-0.4.同样，可以确定一元二次方程的另一个实数根为x=2.4. 例 如图，小李扔铅球时，若将铅球看作一个点，则铅球被扔出后其运行轨迹可用函数 y=- + x+ 的图象来刻画，其中 x (m)是铅球离初始位置的水平距离，y (m)是铅球离地面的高度. 解：由函数的表达式得 (1) 当铅球离地面的高度为 2.1 m 时，它离初始位置的水平距离是多少？ 2.1=- + x+ 即 x2-6x+5=0 解得 x1=1， x2 =5. 即当铅球离地面的高度为 2.1 m时，它离初始 位置的水平距离是 1 m或 5 m. (2) 铅球离地面的高度能否达到 2.5 m，它离初始位置的水平距离是多少？ 解：由函数的表达式得 2.5=- + x+ 即 x2-6x+9=0 解得 x1=x2 =3. 即当铅球离地面的高度为 2.5 m时，它离初始位置的水平距离是 3 m. 解：由抛物线的表达式 (3) 铅球离地面的高度能否达到 3 m？为什么？ 因为 Δ=（-6）2-4×1×14=-20<0,所以方程无实根. 3=- + x+ 即 x2-6x+14=0 所以铅球离地面的高度不能达到 3 m. 【例2】根据下列表格的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)一个解的范围是 ( ) A．3<x<3.23 B．3.23<x<3.24 C．3.24<x<3.25 D．3.25<x<3.26 x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09 C 【变例1】用图象法求一元二次方程2x2－4x－1＝0的近似解． 解：设y＝2x2－4x－1. 画出抛物线y＝2x2－4x－1的图象如图所示． 由图象知，当x≈2.2或x≈－0.2时，y＝0. 即方程2x2－4x－1＝0的近似解为x1≈2.2，x2≈－0.2. 【变例2】根据下列表格中的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的个数是 ( ) x 6.17 6.18 6.19 6.20 y＝ax2＋bx＋c 0.02 －0.01 0.02 0.04 A．0　　　　 B．1　　　　　　 C．2　　　　　　D．1或2 C 随堂检测 1.试判断下列函数的图象与x轴的交点情况: (1) y= x2x 2; (2) y= 9x2x 4; (3)y= x22x 3. 解:(1)令y=0,得x2x 2 =0, 因为a=1,b=-1,c=-2, 所以b2-4ac =(-1) 2-4×1× (-2)= 1+8 =9>0, 所以函数图象与x轴有两个不同的交点。 解:(2)令y=0,得9x2x 4 =0, 因为a=9,b=12,c=4, 所以b2-4ac =122-4×9× 4= 144-144=0, 所以函数图象与x轴有一个交点。 解:(3)令y=0,得x2x 3 =0, 因为a=1,b=-2,c=3, 所以b2-4ac =（-2）2-4×1× 3= 4-12=-8<0, 所以这个一元二次方程没有实数解。 因此函数图象与x轴没有交点. 2 .用图象法求一元二次方程x2x 1=0的根的近似值(精确到0.1). 解:设二次函数y= x2x 1. y= x2x 1=（x+）-. 列表:自变量x从顶点的横坐标-开始取值. x - 0 1 2 3 … y= （x+）- - -1 1 5 11 … 描点和连线:画出图象在对称轴右边的部分. 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分，就得到了函数y= x2x 1的图象，如图所示. . . . . . . . . . y= x2x 1 可以发现抛物线与x轴的一个交点的横坐标在-2和-1之间，另一个交点的横坐标在0和1之间. 通过观察或测量，可得抛物线与x轴的交点的横坐标约为-1.6,0.6, . . . . . . . . . y= x2x 1 即一元二次方程x2x 1的根的近似值为x1≈-1.6, x2 ≈ 0.6. 3. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程。已知可以用y =的图象刻画该公司今年的累积利润y(万元)与销售时 间(月)之间的关系， 如右图所示. 试根据图象提供的信息，回答下列问题: (1)该公司亏损了几个月?几月末开始盈利? (2)求截止到几月末公司累积利润达到30万元. (3)该公司第8月末所获利润是多少? 解： (1) y<0代表亏损，图像在轴下方:0< <4 =1,2,3,共亏损3个月; 4月末开始盈利。 (2)令y=30 =30 -4 -60=0 (-10)(+6)=0 x1=10, x2 =-6(舍去) 答:截止到10月末累积利润达到30万元。 (3)第8月末，代入=8 y= =16 答:第8月末累积利润为16万元。 课堂小结 二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次方程的关系 y = ax2+bx+c(a ≠ 0)，当 y 取定值时就成了一元二次方程；ax2+bx+c = 0(a ≠0)，右边换成 y 时就成了二次函数. 二次函数与一元二次方程根的情况 二次函数与 x轴的交点个数 一元二次方程根的情况 判别式 的符号 二次函数图象 由图象与 x 轴的交点位置， 判断方程根的近似值 一元二次方程的根 $