第4章 二次函数 复习题（课件）2026-2027学年湘教版九年级数学上册

湘教·九年级上册 复习题4 1. 如图，一张正方形纸板的边长为 4，将它剪去 4 个全等的直角三角形，设这 4 个直角三角形较短直角边的长为 x，四边形 ABCD 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数表达式. 学而时习之 y = 2(x－2)2 + 8 (0 < x ≤ 2 ) (0 < x ≤ 2 ) 2. 画出下列二次函数的图象， 并指出图象的对称轴、顶点坐标和开口方向. (1) ； 对称轴 x = 0，顶点坐标 (0，0) ，开口向下. 2. 画出下列二次函数的图象， 并指出图象的对称轴、顶点坐标和开口方向. (2) ； 对称轴 x = 2，顶点坐标 (2，0) ，开口向上. 2. 画出下列二次函数的图象， 并指出图象的对称轴、顶点坐标和开口方向. (3) ； 对称轴 x = 3，顶点坐标 (3，2) ，开口向下. 2. 画出下列二次函数的图象， 并指出图象的对称轴、顶点坐标和开口方向. (4) ； 对称轴 x = ，顶点坐标 ( ，2) ，开口向上. 2. 画出下列二次函数的图象， 并指出图象的对称轴、顶点坐标和开口方向. (5) ； 对称轴 x = ，顶点坐标 ( ， ) ，开口向下. 2. 画出下列二次函数的图象， 并指出图象的对称轴、顶点坐标和开口方向. (6) ； 对称轴 x = 5，顶点坐标 (5，－4) ，开口向上. 3. 填空. (1) 将函数 y =3x2 的图象先向左平移 2 个单位长度，得到函数_____________的图象；接着向上平移 1 个单位长度，得到函数_______________的图象. (2) 将函数 沿着 x 轴的翻折过去，得到函数_____________的图象；接着向右平移 5 个单位长度，得到函数____________的图象；再接着向下平移 2 个单位长度，得到函数________________的图象. y = 3(x+2)2 y = 3(x+2)2+1 4. 已知二次函数的图象的顶点坐标为 ，且过点 .求这个二次函数的表达式及它与 y 轴的交点坐标. 解 设该二次函数的表达式为 又因为图象经过点 ，将该点的坐标代入上式，得 解得 a = 因此，这个二次函数的表达式是 . 二次函数与 y 轴的交点坐标是 . 5. 用配方法求下列二次函数的最大值或最小值. (1) y =－x2+3x+4； (2) (1) y = －x2 + 3x + 4 最大值 解： (2) 最小值 －3 6. 已知二次函数的图象与 x 轴交于(2，0)，(－1，0)两点，与 y 轴交于点(0，－1).求这个二次函数的表达式及顶点坐标. 解：设二次函数解析式为 y = a(x － 2)(x+1). 又因为图象过点 (0，－1)，代入解析式，得 －1 = a(0－2)(0 + 1) 解得 a = 所以 . 顶点坐标 7. 用图象法求一元二次方程 x2 + 4x－3=0 的根的近似值(精确到0.1). 解 设二次函数 y = x2 + 4x － 3 . 画出二次函数 y = x2 + 4x － 3的图象. 通过观察或测量，可得抛物线与 x 轴的交点的横坐标约为－4.7 或 0.7，即一元二次方程 x2 + 4x － 3 = 0的实数根为x1 ≈ －4.7， x2 ≈ 0.7. 8. 将一个小球以 20m/s 的初速度从地面竖直抛向空中，经过 t(s)，小球的高度h(m)为 h =20t－5t2. (1) 经过多长时间，小球到达最高点？此时小球离地面多高？ 解： h = 20t － 5t2 = －5(t－2)2 + 20 当 t = 2时，h 最大，最大值为 20 答：经过 2s，小球达到最高点，离地面 20m。 8. 将一个小球以 20m/s 的初速度从地面竖直抛向空中，经过 t(s)，小球的高度h(m)为 h =20t－5t2. (2) 经过多长时间，小球落到地上？ 解：h = －5(t－2)2 + 20 令 h = 0，解得 t = 4 或 t = 0 (舍去) 答：经过 4s，小球落到地上。 9. 某矩形苗圃的一边利用已经建好的围墙，另外三边用钢丝网围成。已知围墙长为 60 m，另外三边的总长为 100 m.设这个苗圃垂直于围墙的一边的长为 x m. (1) 若平行于围墙的一边的长为 y m，求 y 关于 x 的函数表达式. 解： y = 100 －2x (20 ≤ x < 50) (2) 当 x 为多少时，这个苗圃的面积最大，并求出这个最大值. 解：S = x (100 －2x) (20 ≤ x < 50) = -2(x－25)2 + 1250 当 x = 25时，S 取最大值 答：当 x 为 25 时，这个苗圃的面积最大，为1250m2. 9. 某矩形苗圃的一边利用已经建好的围墙，另外三边用钢丝网围成。已知围墙长为 60 m，另外三边的总长为 100 m.设这个苗圃垂直于围墙的一边的长为 x m. 10. 已知二次函数 y = (x + m)2 + k 的图象如图所示. 温故而知新 (1) 根据图中提供的信息求该二次函数的表达式. 解：由图象知 所以 10. 已知二次函数 y = (x + m)2 + k 的图象如图所示. (2) 求图象与 x 轴的交点坐标. 解：令 y = 0 解得 x = 1或 4 所以交点坐标为(1，0)，(4，0). 10. 已知二次函数 y = (x + m)2 + k 的图象如图所示. (3) 观察图象回答：当 x 取何值时，y > 0？当 x 取何值时，y = 0？当x取何值时，y < 0？ 解 由(2)知交点坐标为(1，0)，(4，0). 所以当 x < 1或 x > 4 时，y > 0； 当 x = 1或 x =4 时，y = 0； 当 1 < x < 4 时，y < 0. 11. 如图，已知抛物线 y = ax2+bx+c 与 x 轴交于 A(－4，0)，B(2，0)两点，且点 C(1，5)在该抛物线上. (1) 求抛物线的表达式. 解：由题意得到关于a，b，c的三元一次方程组： 4a + 2b + c = 0， 16a－4b + c = 0， a + b + c = 5， 解得 a = －1，b = －2，c = 8. 因此，二次函数为 y = －x2 － 2x + 8. (2) 若 P 是该抛物线上的点且在直线 AC 上方，连接 PA，PC，求当 △PAC 面积最大时点 P 的坐标及该面积的最大值. 解： A(－4，0)， C(1，5)，设 y = kx + m. k + m = 5， －4k + m = 0， 解得 k = 1，m = 4. 所以直线 AC：y = x + 4. 设 P(t，－t2－2t+8) 过 P 作x轴垂线，交直线AC于点M 所以 M (t，t+4) 因为P在AC上方，线段PM的长度： PM = yP－ yM = (－t2－2t+8)－(t+4) = －t2－3t + 4 所以 所以当 t = 时面积最大. 所以 答：当 △PAC 面积最大时点 P 的坐标为 该面积的最大值为 . 12. 如图，排球运动员站在点 O 处练习发球，将球从O点正上方 2m 的 A 处发出，把球看成点，其运行的高度 y(m) 与运行的水平距离 x(m) 满足表达式 y = a(x一6)² + h已知球网与 O 点的水平距离为 9 m，高度为 2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18m. (1) 当 h = 2.6 时，求 y 关于 x 的函数表达式. 解： A点坐标 (0，2)，代入表达式 解得 (2) 当 h = 2.6 时，球能否越过球网？球会不会出界？试说明理由. 解：当 x = 9 时 2.45 > 2.43 当 x = 18 时 0.2 > 0 答：当 h = 2.6 时，球能越过球网，球会出界. 上下而求索 13. 在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”，例如(1，3)，(－2，－6)， 都是“纵三倍点”. (1) 分别求出函数 y =－2x + 1，y = x2 + x + 1图象上的“纵三倍点”的坐标. 解：令 3x =－2x + 1 解得 所以“纵三倍点”： 令 3x = x2 + x + 1 解得 x = 1 所以“纵三倍点”：(1，3) (2) 已知直线 y = x + 4 上的“纵三倍点”的横坐标满足一元二次方程 x2+(m－1)x + n－4=0，且抛物线 y = x2 + mx + n + 19 与 x 轴只有一个交点，求抛物线的表达式. 解：令 3x = x + 4 解得 x = 2 由题意，得 22 + 2×(m－1) + n－4 = 0 m2 + 4×1×(n+19) = 0 解得 m = 6，n=－10或m = －14，n = 30 所以 y = x2 + 6x + 9 或 y = x2－14x + 49. 14. 如图，以 D 为顶点的抛物线 y=－x2+bx+c 交 x 轴于A，B 两点，交 y 轴于点 C，直线 y = －x+3经过 B，C 两点. (1) 求抛物线的表达式. 解： 0 = －x + 3 解得 x = 3 所以 B (3，0) y = －0 + 3 解得 x = 3 所以 C (0，3) 14. 如图，以 D 为顶点的抛物线 y=－x2+bx+c 交 x 轴于A，B 两点，交 y 轴于点 C，直线 y = －x+3经过 B，C 两点. (1) 求抛物线的表达式. 代入 B，C 两点，得 －32 + 3b + c = 0 c = 3 解得 b = 2，c = 3 所以 y =－x2 + 2x + 3 (2) 在 x 轴上是否存在一点 Q，使得以 A，C，Q 为顶点的三角形与 △BCD 相似？若存在，请求出点 Q 的坐标；坐不存在，请说明理由. 解：因为 y =－x2 + 2x + 3 所以 D(1，4) 所以 因为 所以△BCD是直角三角形，∠BCD=90°， 若△ACQ与△BDC相似，则必有点Q在A点右边 又因为A(－1，0) 所以 所以 AQ = 1或10 所以 Q的坐标为(0，0)或(9，0) 课堂小结 1. 说一说本节课的收获。 2. 你还存在哪些疑惑？ $