专题07 平面直角坐标系中面积、规律、新定义型问题11大题型62题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材北师大版

专题07 平面直角坐标系中面积、规律、新定义型问题 基础·固本强基 题型1 平面直角坐标系中面积多解问题（重点） 题型2 平面直角坐标系中的中点坐标问题（重点） 提升·进阶突破 题型3 平面直角坐标系中点坐标变换问题（重点） 题型4 平面直角坐标系中点坐标规律问题（重点） 拔高·压轴破难 题型5 平面直角坐标系中点点距离问题（难点） 题型6 平面直角坐标系中新定义型问题（难点） 题型7 平面直角坐标系中动点探究问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 平面直角坐标系中面积多解问题（共5小题） 【模型】由面积条件反求动点坐标，因底或高位置不定，需分类讨论多解。 【步骤】先设动点坐标，用坐标差表示底和高，按面积列绝对值方程，分情况去绝对值求解，检验取舍。 【易错】面积对应底高组合不唯一，须分类讨论；去绝对值别漏负号情况；动点可能在坐标轴两侧，解出坐标要检验是否符合题意。 1．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）已知点，点A在x轴上，且三角形的面积是3，则点A的坐标是________ 【答案】或 【分析】根据x轴上点的坐标特征确定点A的纵坐标为0，将看作的底边，得到三角形的高为点B纵坐标的绝对值，结合三角形面积公式求出的长度，分情况得到点A的坐标，即可解题． 【详解】解：设点的坐标为，则， ，点在轴上， 中，边上的高为点的纵坐标的绝对值，即高为， 三角形的面积是3， ， 解得或， 点的坐标为或． 2．（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形中，，动点C从点O出发，沿，当三角形的面积等于三角形一半时，点C的坐标为______． 【答案】或 【分析】由题意可得，，分两种情况：当点在上运动时；当点在上运动时；分别结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵三角形中，， ∴，， ∵动点C从点O出发，沿，三角形的面积等于三角形一半， ∴当点在上运动时，，， ∴， ∴，即此时点的坐标为； 当点在上运动时，设点到的距离为，则，， ∴， ∴，即点为的中点， ∴此时点的坐标为，即； 综上所述，点C的坐标为或． 3．（25-26七年级下·北京·期中）已知点，，点在坐标轴的正半轴上，三角形的面积是4，则点的坐标为_________ 【答案】或 【分析】分点A在x轴正半轴和y轴正半轴两种情况讨论． 根据三角形面积公式列方程求解，即可得到点A的坐标． 【详解】解：∵点A在坐标轴的正半轴上， ∴分两种情况讨论： ①当点A在x轴正半轴时，设，其中，则． ∵三角形的面积为4，点B的纵坐标为3， ∴ ． 代入得 ． 解得． 此时点A的坐标为 ． ②当点A在y轴正半轴时，设，其中，则． ∵三角形的面积为4，点B的横坐标为1， ∴ ． 代入得 ． 解得． 此时点A的坐标为． 综上所述，点A的坐标为或． 4．（24-25七年级下·江西赣州·期末）在平面直角坐标系中，点，点，若在坐标轴上有一点（不与点重合），使三角形和三角形面积相等，则点的坐标为___________． 【答案】、或 【分析】先根据三角形的面积公式求出，再分当点P在x轴上时，当点P在y轴上时，分别进行计算即可得到答案． 本题主要考查了坐标与图形，三角形面积的计算，解题的关键是采用分类讨论的思想解决问题． 【详解】解：根据题意得， 当点P在x轴上时，， ， 解得， ∴，或； 当点P在y轴上时，， ， 解得， ∴（舍去），或． 综上，点的坐标为或或， 故答案为：、或． 5．（25-26七年级下·江西赣州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点也在坐标轴上（不与A，B，C重合），若三角形的面积与三角形的面积相等，则满足条件的点的坐标是_____．    【答案】或或 【分析】根据点A，点B，点C的坐标求出三角形的面积，则可得到三角形的面积，再分两种情况：点D在x轴上和点D在y轴上，根据三角形的面积公式讨论求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵三角形的面积与三角形的面积相等， ∴， 当点D在x轴上时，则， ∴， ∴， ∴点D的横坐标为或（舍去）， ∴点D的坐标为； 当点D在y轴上时，则， ∴， ∴， ∴点D的纵坐标为或， ∴点D的坐标为或； 综上所述，点D的坐标为或或． 题型2 平面直角坐标系中的中点坐标问题（共5小题） 【模型】线段两端点坐标的横纵坐标分别取平均，得中点坐标。 【步骤】先写线段两端点坐标，横坐标相加除以2得中点横坐标，纵坐标相加除以2得中点纵坐标，写出中点。 【易错】中点坐标是两端点坐标和的一半，勿忘除以2；横纵分别对应，勿把横纵坐标加错；注意坐标符号，别漏负号。 6．（25-26七年级下·吉林松原·期中）在平面直角坐标系中，已知点和点，则线段的中点的坐标为__________． 【答案】 【分析】若已知点，，则线段的中点坐标为，将已知点坐标代入公式即可求解． 【详解】解：，， 线段的中点坐标为，即． 7．（25-26七年级下·河南安阳·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，若线段轴，且，则线段的中点的坐标为______． 【答案】或 【分析】线段轴，是的中点，点的横坐标、点的横坐标与点的横坐标相同，都等于，点的纵坐标加上或者减去，即为点的纵坐标． 【详解】解：因为点的坐标为，若线段轴，是的中点， 所以点的横坐标、点的横坐标与点的坐标相同，等于， ，， 若点在点的上方，此时点的坐标为，即 ， 若点在点的下方，此时点的坐标为，即 ． 8．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）长方形和在平面直角坐标系中的位置如图所示，若将这两个长方形视为一个组合图形，则这个组合图形的重心坐标是____________． 【答案】 【分析】根据中点坐标公式计算出长方形和的重心坐标，再利用不规则图形的重心坐标计算公式即可求解． 【详解】解：如图， 、分别为长方形和的重心， ∵，，，，，，， ∴，，，，，， ∴长方形的面积，长方形的面积， ∴重心的坐标， ， ∴重心坐标为． 9．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点的坐标为，连结，，作的角平分线，过点作于点，则点的坐标为______________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，图形与坐标，正确作出辅助线是解题的关键． 延长交于点，证明，可得，即可求得点的坐标，根据中点坐标公式可得点的坐标． 【详解】解：如图，延长交于点， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ，即， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·天津红桥·期末）在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两个部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点为坐标原点，“”为一个单位长度，建立平面直角坐标系． （1）矩形的重心的坐标为______，矩形的重心的坐标为_____； （2）此“”形平面组合图形的重心坐标为_____． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了图形与坐标，中点坐标公式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，，，，可得，，，，，，然后通过中点公式即可求解； （）先求出，，然后代入，即可求解． 【详解】解：（）∵，，，， ∴，，，，，， ∵，分别是矩形，矩形重心， ∴，，即，， 故答案为：，， （），， 由（）得：，， ∴，，，， ∴，， ∴此“”形平面组合图形的重心坐标为， 故答案为：． 提升·进阶突破 题型3 平面直角坐标系中点坐标变换问题（共5小题） 【模型】点按平移、对称或旋转规则变换，坐标依对应规律改变。 【步骤】先写原坐标，判断变换类型，按平移左减右加、对称变号、旋转对应规律，写出新坐标并验证。 【易错】平移左减右加、上加下减勿弄反；对称分x轴、y轴、原点，符号规律不同；旋转方向与角度要对应，别漏坐标变化。 11．（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点C的坐标是．则经过第2026次变换后点C的对应点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律和轴对称．根据题意点的坐标变化规律为每4次对称变换为一个循环．据此进行解答即可． 【详解】解：点C第1次关于y轴对称后的对应点在第二象限，坐标为， 第2次关于x轴对称后的对应点在第三象限，坐标为， 第3次关于y轴对称后的对应点在第四象限，坐标为， 第4次关于x轴对称后的对应点在第一象限，坐标为， 即点C回到了原始位置， ∴每4次对称变换为一个循环． ∵， ∴经过第2025次变换后点C的对应点与第1次变换后的位置相同，在第二象限，坐标为． 12．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图是蜡烛平面镜成像原理图（物体与像关于平面镜对称），若以桌面为轴，镜面侧面为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻烛焰点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则的值为______． 【答案】 【分析】根据物体与像关于平面镜对称，求出、的值，再求代数式的值即可． 【详解】解：物体与像关于平面镜对称， 可得：， 解得：， ． 13．（25-26八年级下·广东揭阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，、分别在轴正半轴与轴正半轴上，点坐标为，将点关于对称得到，将关于点对称得到，将关于点对称得到，将关于点对称得到，将关于点对称得到，按照顺序以此类推，则的坐标为________． 【答案】 【详解】解：如图，经过4次操作后与重合，即4次一个循环， ∵， 故与重合，坐标为． 14．（25-26八年级下·湖南·期中）如图，在平面直角坐标系中，依次作点关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点，关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为____________． 【答案】 【分析】根据题意，依次求出点，，，，的坐标，可推出从点开始，每6次变换为一个循环，求出2025除以6的余数即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵点的坐标为， ∴点关于直线的对称点的坐标为， ∴关于轴的对称点的坐标为， ∴关于轴的对称点的坐标为， ∴关于直线的对称点的坐标为， ∴关于轴的对称点的坐标为， ∴关于轴的对称点的坐标为， ， 以此类推，可知，从点开始，每6次变换为一个循环，变换后的点的坐标依次为，，，，， ∴， ∴点的坐标为． 15．（25-26八年级下·北京房山·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形关于轴对称，，，将四边形沿直线翻折后得到四边形，接着将四边形沿直线翻折后得到四边形，第三次将四边形沿直线翻折后得到四边形，第四次将四边形沿直线翻折后得到四边形 依此方式 （1）点的坐标是___________， （2）翻折2026次得到四边形，则点的坐标是___________ 【答案】 / 【分析】（1）根据轴对称的性质求出点和点的坐标，利用关于直线对称的点的坐标特征求出的坐标； （2）通过计算前几次变换后点的坐标，发现坐标变化的循环规律，根据规律求出的坐标； 【详解】（1）四边形关于轴对称，， ，， 过点作轴， 在中，，， ， ， 点的坐标为， 在中，，， ， ， 点的坐标为； 点与点关于直线对称， 点的坐标为； （2）由题意可知： 第一次翻折，点关于直线对称得到， 第二次翻折，点关于直线对称得到， 第三次翻折，点关于直线对称得到， 第四次翻折，点关于直线对称得到， 点的坐标每4次翻折为一个循环周期， ， 点的坐标与点的坐标相同， 点的坐标为． 题型4 平面直角坐标系中点坐标规律问题（共13小题） 【模型】点按平移、对称、旋转或周期规律变化，坐标按对应法则改变。 【步骤】先写原坐标，判断变化类型，按对应规律写出新坐标，若为周期变化先求周期，再定位置求坐标。 【易错】平移左减右加、上加下减勿弄反；对称符号规律不同，旋转方向角度要对应；周期问题先定周期，余数对应位置别数错。 16．（25-26七年级下·四川泸州·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，如，，，，，，，……，根据这个规律探索可得第个点的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，通过观察前几层点的坐标变化，归纳出纵坐标与层数的关系、每层点的个数规律以及横坐标的排列方向，利用完全平方数确定第2026个点所在的层数及具体位置是解题关键． 【详解】解：观察点的坐标规律可知：第1层纵坐标为，有个点，总点数为； 第2层纵坐标为，有个点，总点数为，该层点从左向右排列，横坐标从到； 第3层纵坐标为，有个点，总点数为，该层点从右向左排列，横坐标从到； ……， 由此可得，第层纵坐标为，有个点，前层共有个点． 当为偶数时，该层点从左向右排列，起始横坐标为； 当为奇数时，该层点从右向左排列，起始横坐标为． ，，， 第个点是第层的最后一个点， 第个点是第层的第个点． 为偶数， 第层的点从左向右排列， 第层第个点的横坐标为，纵坐标为， 第个点的坐标为． 17．（25-26七年级下·北京·期中）如图，在一个单位为1的方格纸上，三角形，三角形，三角形，．．．都是等腰直角三角形．若三角形的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的横坐标为______，的纵坐标为______． 【答案】 【分析】观察图形可以看出，，；，则，即． 【详解】解：观察图形可得，，， 故的横坐标为； 观察图形可得， ，即， 故的纵坐标为． 18．（25-26七年级下·广西南宁·期中）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点出发，按“向上→向右→向下→向右→向下→向右→向上→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点，第二次移动到点，第次移动到点，则点的坐标是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律探究，先确定一个完整循环包含的移动次数以及每个循环结束后坐标的变化量，最后利用除法运算确定第2026次移动在循环中的位置，从而计算坐标． 【详解】解：第1次移动（向上）：， 第2次移动（向右）：， 第3次移动（向下）：， 第4次移动（向右）：， 第5次移动（向下）：， 第6次移动（向右）：， 第7次移动（向上）：， 第8次移动（向右）：， 观察发现，第8次移动后，机器人回到了轴上，且横坐标增加了， 接下来的第9次移动指令又是“向上”，与第1次相同， 因此，机器人的移动路线是以8次移动为一个循环周期， 在一个周期内，横坐标增加4，纵坐标最终回到0， 那么2026次移动后的坐标为：， 即机器人完成了253个完整的循环，又进行了2次移动， 个循环后，此时相当于点，此时的横坐标：，纵坐标为0， 从开始，按照前面循环移动的指令：向上→向右， 即，向上：， 向右：， 综上所述，的坐标为． 19．（25-26七年级下·广东江门·期中）如图，在平面直角坐标系中，点第1次向右跳动1个单位至点，紧接着第2次向上跳动1个单位至点，第3次向左跳动2个单位至点，第4次向上跳动1个单位至点，第5次又向右跳动3个单位至点，第6次向上跳动1个单位至点，…．照此规律，的坐标是__________． 【答案】 【分析】通过观察前几个点的坐标，归纳出点的坐标随跳动次数变化的规律，利用周期性求解即可． 【详解】解：观察发现： ， ， ， ， ， ， ， ， ……， ∴ ， ， ， （为自然数）， ， ∴对应的形式，其中， ∴ ，即． 20．（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，将沿轴向右无滑动的滚动到的位置，再到的位置依次进行下去，若已知点，，，则点的坐标为____． 【答案】 【分析】结合滚动规律，得到点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，从而得出的规律，最后计算出的坐标． 【详解】解：，， ，， ∵将沿轴向右无滑动的滚动到的位置，再到的位置依次进行下去，又， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为，横坐标为． 同理可求得，点的纵坐标为，横坐标为． 点的纵坐标为，横坐标为． …… ∴点的纵坐标恒为，横坐标为． ， 的横坐标为，纵坐标为， ∴的坐标为． 拔高·压轴破难 题型5 平面直角坐标系中点点距离问题（共5小题） 【模型】用坐标差构造直角三角形，以勾股定理求两点间距离。 【步骤】先写两点坐标，算横坐标差与纵坐标差，构造直角三角形，用勾股定理求斜边即两点距离。 【易错】横纵坐标差取绝对值或平方，勿弄反；同轴两点距离为坐标差绝对值；注意坐标符号，别漏平方后再开方。 21．（25-26八年级下·安徽滁州·期中）定义：在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，则，两点的距离是． (1)点与点之间的距离是 ． (2)已知点，，，连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形，见解析 【分析】（1）根据两点的距离公式代入数值计算，即可作答． （2）分别算出，再得出，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，； （2）解： 是等腰直角三角形．理由如下： 由题意可知，， 则， 是等腰三角形， ， 是等腰直角三角形． 22．（25-26七年级下·江苏南通·期中）先阅读下列一段文字，再解答问题． 已知在平面内有两点，其两点间的距离公式为，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知点，试求两点间的距离； (2)已知点在平行于轴的直线上，点的横坐标为，点的横坐标为，试求两点间的距离； (3)应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值． 【答案】(1)13； (2)10； (3)． 【分析】（1）直接根据两点间距离公式计算即可； （2）根据平行于坐标轴的距离公式计算即可； （3）先根据的意义得出点在以和为端点的线段上时，原式值最小，再根据两点间距离公式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：根据题意可知：点A，B在平行于x轴的直线上， ∴； （3）解：∵表示点到和的距离之和， 又∵两点之间线段最短， ∴点在以和为端点的线段上时，原式值最小， ∴的最小值为：． 23．（25-26八年级下·广东广州·期中）阅读材料，在平面直角坐标系中，已知轴上两点，的距离记作，如果，是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离．如图，过、分别向轴、轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点，在中，，，． 由此得到平面直角坐标系内任意两点、间的距离公式为：       (1)直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离为__________； (2)在平面直角坐标系中的两点，，为轴上任一点，求的最小值． (3)应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用两点之间距离公式，将，代入公式，直接求出即可； （2）作点B关于x轴的对称点连接，直线与x轴的交点即为所求的点P，的最小值即为线段的长度，根据两点间的距离公式，进而求出的最小值； （3）根据原式表示的几何意义是点到点和的距离之和，当点在以和为端点的线段上时其距离之和最小，进而求出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：作点B关于x轴对称的点，连接，直线与x轴的交点即为所求的点P，的最小值就是线段的长度， ∵点与点关于x轴对称， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∴的最小值为； （3）解：代数式，表示点到点和的距离之和， 由两点之间线段最短，可知点在以和为端点的线段上时，其距离之和最小， ∴， ∴代数式的最小值为． 24．（25-26七年级下·山东淄博·期中）【发现与提出问题】 在学习方程和一次函数之后，某数学小组认识到，一次函数是将二元一次方程与直线建立联系的“桥梁”，“数”与“形”产生了美妙联系．在此基础上，小组成员对用点的坐标表示两点间距离产生了兴趣．具体探究过程如下： (1)①若，，则两点间距离_______； ②若，，则两点间距离_______； 【分析与解决问题】 小组成员发现，对于平面内任意两点，当不与坐标轴平行时，两点间的距离无法用横坐标或纵坐标的差来表示．为解决此问题，小组又做了以下探究： (2)①若，，则两点间距离______； ②通过（3）的探究，小组发现，可以用构建直角三角形的方法解决任意两点间距离的问题．若平面直角坐标系内任意两点，则两点间的距离______； 【公式应用】 (3)利用以上公式计算：已知点，且，求的值； (4)简单阐述代数式的几何意义，并求其最小值． 【答案】(1)①6；②4 (2)①；② (3)或 (4)几何意义为平面直角坐标系中动点到定点、的距离之和，最小值为 【分析】（1）①②根据两点间的距离公式进行计算便可； （2）①②构造直角三角形利用勾股定理求解即可； （3）直接利用公式建立方程求解即可； （4）把看作是平面直角坐标系中动点到定点、的距离之和，再结合图形求解最小值即可． 【详解】（1）解：①，，则两点间距离， ②，，则两点间距离. （2）解：①∵，，如图， ∴. ②如图， ∴，， ∴. （3）解：∵点，且， ∴， ∴， ∴或， 解得：或. （4）解：代数式的几何意义为： 平面直角坐标系中动点到定点、的距离之和， 如图， 当在线段上时，，此时最小， 最小值为：. 25．（25-26八年级下·福建龙岩·期中）先阅读下列一段文字，再回答问题。 我们已经知道在数轴上，如果点A表示的数为a，点B表示的数为b，那么的长度等于，借助平面直角坐标系与勾股定理可以研究平面内两点，之间的距离，小明已经构建了如图所示平面直角坐标系及直角三角形，则两点间距离； (1)根据上面结论，已知点，，求的长； (2)已知点A，B所在的直线平行于y轴，点A的纵坐标为，点B的纵坐标为1，求A，B两点间的距离；当两点，所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，求两点间的距离； (3)已知，，在y轴上找点Q，使是以为腰的等腰三角形． 【答案】(1)10 (2)；或 (3)点的坐标为或或或 【分析】（1）根据给出公式求解； （2）根据坐标的特征，利用公式求解； （3）根据等腰三角形的定义，利用公式分两种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：，， ∴； （2）解：设点A横坐标为t， ∵点A，B所在的直线平行于y轴，点A的纵坐标为，点B的纵坐标为1， ∴点A的坐标为， ∴； ①当点，在x轴上时，则， ∴； ②当点，在y轴上时，则， ∴； ③当平行y轴（或垂直x轴）时，则， ∴； ④当平行x轴（或垂直y轴）时，则， ∴； 综上所述：当点，所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，或； （3）解：设点Q的坐标为， ∵点，， ∴，，， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴有以下两种情况： ①如图所示，当点M为顶点，为底边时，则， ∴， 整理得：， 解得：或， ∴点Q的坐标为或； ②如图所示，当点N为顶点，为底边时，则， ∴， 整理得：， 解得：或， ∴点Q的坐标为或， 综上所述：点Q的坐标为或或或． 题型6 平面直角坐标系中新定义型问题（共4小题） 【模型】按新定义规则对点的坐标进行变换或运算，再求坐标或判断位置。 【步骤】先读懂新定义含义，将点的坐标按定义代入运算，得出新坐标或结论，再检验是否符合定义限制。 【易错】须严格按新定义代入，勿套用旧平移对称法则；注意定义中坐标顺序与符号；结果要检验，别漏限制条件与取舍。 26．（25-26七年级下·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：点到，轴的距离中的最大值等于点到，轴的距离中的最大值，则称，两点为“等距点”．如点与两点即为等距点． 已知点的坐标为 (1)点，，中，与点为“等距点”的是______； (2)若点的坐标为，且，两点为“等距点”，求出点的坐标； 【答案】(1)C、D (2)或 【分析】（1）根据“等距点”的定义作答即可； （2）根据“等距点”的定义列出方程及m的取值范围，再计算即可． 【详解】（1）解：点到x，y轴的距离中的最大值为4， 到x，y轴的距离中的最大值为，不是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； （2）解：∵A，M两点为“等距点”，点到x，y轴的距离中的最大值为4， 根据定义，需分情况讨论： 情况一：当且时，若，则，成立； 若，则，不成立． 情况二：当且时，若，则，此时，成立； 若，则，此时，不成立． 综上所述，的取值为2或4． ∴点的坐标为或． 27．（25-26八年级上·福建漳州·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，当点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”． (1)点的“长距”为___________； (2)若点是“完美点”，求的值； (3)若点是“完美点”，且点在第一象限内，为整数，若，请说明一定是偶数． 【答案】(1) (2)或 (3) 解：∵点在第一象限， ∴，． ∵点是“完美点”， ∴， ∴， ∴， ，， ∴． ∵， ∴， 为整数， ∴为整数，为偶数， 一定是偶数． 【分析】本题主要考查了新定义，解一元一次方程，求一个数的算术平方根，弄清题意是解题的关键． （1）先求出点到坐标轴的距离，再比较即可； （2）根据题意可得，再解方程即可； （3）根据题意可得，即可说明． 【详解】（1）解：到轴、轴的距离分别为，， 且， 点的“长距”为． 故答案为： （2）解：点是“完美点”， ， ， 解得，或． 答：的值为或． （3）略 28．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）定义：当点的坐标满足时，我们称为“等差点”． (1)判断，是否为“等差点”，并说明理由； (2)已知点为“等差点”，且点到轴的距离是它到轴距离的2倍，求点的坐标； (3)已知点和点是平面直角坐标系中的两个等差点，点在第一象限，横坐标为，点在轴上，纵坐标为，连接，将线段平移得到线段，点和点的对应点分别是点和点，且，连接，，若三角形的面积为4，求点的坐标． 【答案】(1)是“等差点”，不是“等差点”，理由见解析 (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为． 【分析】（1）根据“等差点”的定义判断即可； （2）根据“等差点”的定义得到，再根据点到轴的距离是它到轴距离的2倍，列式计算即可求解； （3）根据“等差点”的定义，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：是“等差点”，不是“等差点”， 理由：对于，， 是“等差点”； 对于，， 不是“等差点”； （2）解：为“等差点”， ∴，即， ∴， 点到轴的距离是它到轴距离的2倍， ， 或， 当时，，点的坐标为； 当时，，点的坐标为； 点的坐标为或； （3）解：点的横坐标为，且点是“等差点”， ， 点在轴上，纵坐标为， ， 点是“等差点”， 即， ， ， 的面积为4， ， ， 点在第一象限， ， ， ，， 点和点的对应点分别是点和点， 点的坐标为． 29．（25-26七年级下·河南新乡·期中）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足：，，那么称点是点和点的“衍生点”．例如：，，则点是点和点的“衍生点”．已知点，点，点是点和点的“衍生点”． (1)若点的坐标为，则点的坐标为_____； (2)请直接写出点的坐标（用含的代数式表示）； (3)若直线交轴于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)点的坐标为 【分析】（1）根据“衍生点”的定义，即可求出点的横、纵坐标； （2）根据“衍生点”的定义，分别用含的代数式表示出点的横、纵坐标； （3）根据垂直于轴的直线上的点横坐标相等，进而求出的值和点的坐标． 【详解】（1）解：由题意得，点的坐标为，即． （2）解：由题意得，点的坐标为， 即点的坐标为． （3）解：根据题意可知，点与点不重合， 又， 直线轴， 点和点的横坐标相等， 即， 解得，， ， 点的坐标为． 30．（25-26七年级下·广西南宁·期中）在平面直角坐标系中，给出如下新定义：点到轴、轴的距离的较小值称为点的“短距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“等距点”． (1)点的“短距”为__________； (2)若点是“等距点”，求的值； (3)若点的短距为5，且点在第三象限内，点的坐标为，点是否为“等距点”？如果是，请说明理由． 【答案】(1) (2) 或 (3) 点是“等距点”，理由见解析 【分析】（1）根据“短距”的定义，分别求出点到轴、轴的距离，再比较大小，取较小值即可； （2）根据“等距点”的定义，得到点到轴、轴的距离相等，列方程求解； （3）根据“短距”的定义求出的值，再结合点在第三象限确定的具体值，最后根据“等距点”的定义判断即可． 【详解】（1）解：点到轴的距离：，到轴的距离， ， 点的“短距”为． （2）解：点是“等距点”， 点到轴、轴的距离相等， ， 即或， 解得：或． （3）解：点的短距为5， ， 即或， 解得：或， 点在第三象限， ， 将代入点的坐标， 得， 即， 到轴的距离为，到轴的距离为， 是“等距点”． 题型7 平面直角坐标系中动点探究问题（共5小题） 【模型】动点坐标随时间或位置变化，用变量表示坐标，依几何关系列方程探究。 【步骤】先设动点坐标或时间为变量，用变量表示相关线段与面积，根据等量关系列方程，解出并检验取舍。 【易错】注意动点取值范围与边界，坐标符号随象限变化；解出多解要逐一检验；别漏分类讨论，线段长须取正。 31．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点、和， ，将线段平移到的位置． (1)求点的坐标； (2)点为轴正半轴上一动点，连接，． ①当点在线段上时，求证：； ②当时，求点的坐标，此时、和有何数量关系？请直接写出它们的关系，不需证明． 【答案】(1) (2)①证明：如图，作， 由平移的性质得：， ， ∴，． ∵， ∴． ②点的坐标为， 【分析】（1）由平方和算术平方根的非负性可求得，的值，即可求出点，的坐标，再根据平移的性质即可求得点的坐标； （2）①作，则，可得 ，，根据即可求证；②设点的坐标为，，则，分两种情况讨论：当点在线段上时，，求出点的值，不符合题意，舍去；当点在线段的延长线上时，，求出点的值，即可得出点的坐标；过点作，则，可得，，根据，即可得出结论． 【详解】（1）解∵， ∴，． ，． ，． ∴． 由平移的性质得：，， ， ． （2）解：①略 ②∵， ∴． 设点的坐标为， 当点在线段上时，即， 则， 解得， ∵， ∴此种情况不成立． 如图，当点在线段的延长线上时，即， 则， 解得， ． 此时，． 如图，过点作， ∵， ， ∴，． ∵， ∴． 32．（25-26七年级下·重庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，其中和满足，连接和． (1)点A的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)如图2，点是内一点，连接，动点从点出发，沿方向运动到点，再沿轴正方向运动，连接，当的面积等于面积的时，求点的坐标； (3)如图3，点为轴上一点，连接，将绕着点以每秒的速度顺时针旋转得，在旋转过程中，作的三等分线；同时绕着点以每秒的速度顺时针旋转得，当和轴负半轴重合时，立即以原来速度的两倍逆时针旋转；当第二次和轴重合时，整个旋转过程停止．请直接写出旋转过程中的一边与的一边互相垂直时，旋转时间的值． 【答案】(1) (2)或或 (3)或或或或 【分析】（1）根据根号内为非负数，可得，再代入可得，然后解方程组即可求解； （2）先根据题意可得，再分点在上和点在轴两种情况，结合三角形面积公式求解； （3）根据旋转，分未旋转过轴，、时，旋转过轴，、当和轴负半轴重合后逆时针旋转，、五种情况讨论求解． 【详解】（1）解：， ，则，， ， ， 由解得， ； （2）解：由题可知， 当点在上时，设，， ，解得， ； 当点在轴时，设， 由（1）知，又， 所以直线的解析式为，则在直线上，延长交于原点， 设，则， ，解得， ， ； 综上，或或； （3）解：设与相交于点， ①如图，当未旋转过轴，时， 此时，，为等腰直角三角形， ， 的三等分线为， ， ， ， 解得； ②如图，当时，延长交于点， 此时，， ， 解得； ③如图，当旋转过轴，时， 此时， ， ， ， 解得； ④如图，当和轴负半轴重合后逆时针旋转，且时， 此时， 与轴负半轴重合需要， ， ， 解得； ⑤如图，当和轴负半轴重合后逆时针旋转，且时， 此时，，， ， 解得； 综上，或或或或． 33．（25-26七年级下·云南昆明·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，满足．将线段向上平移6个单位长度得到线段（点A，B分别对应点C，D），连接． (1)分别求出a，b的值； (2)如图1，若点E是线段上的一个动点（不与点C，D重合），小智认为：无论点E如何运动，始终成立，你是否同意他的看法？请说明理由； (3)如图2，点F是x轴负半轴上的一个动点，连接，，当点F运动到某个位置时，的面积和四边形的面积相等，试求出此时点F的坐标． 【答案】(1)， (2)成立，理由见解析 (3)F的坐标为 【分析】（1）根据绝对值以及平方的非负性可得，，，即可求解； （2）如图，过点E作，利用平行线的性质，即可求证； （3）先求得四边形的面积为，再求得和四边形的面积，设，分两种情况，表示出的面积，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，． ∴，． （2）解：成立，理由如下： 如图，过点E作， 则． 由平移可得，． ∴． 则． ∵， ∴． （3）解：由题可得，，，，． ∴四边形的面积． 的面积． ∴四边形的面积． 设点F的坐标为．点F在x轴负半轴上时，有两种情况： ①点D在线段的下方时，， ∴， 解得． ∴点F的坐标为． ②点D在线段的上方时，， ∴， 解得． ∵点F在x轴负半轴上， ∴f的值应为负数，不符合题意，舍去． 综上所述，满足条件的点F的坐标为． 34．（25-26七年级下·福建福州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，，且，过A，B两点分别作y轴，x轴的垂线交于C点． (1)请直接写出A，B，C三点的坐标． (2)P，Q为两动点，其中点P从C点出发，在线段，上以3个单位长度每秒的速度沿着运动；点Q从B点出发以1个单位长度每秒的速度沿着线段向O点运动，P，Q两点同时出发，当其中一点到达点O时，另一点也停止运动．设运动时间为t，当点P在上时，t取何值时，三角形的面积为2？ (3)如图2，连接，点在线段上，且M到x轴的距离为1，点N在y轴负半轴上，连接交x轴于K点，记三角形的面积为，记三角形的面积为，若，求N点的坐标． 【答案】(1)，， (2)t的值为或 (3) 【分析】（1）先利用非负性求出a，b，进而得出点A，B坐标，利用垂直确定出点C坐标； （2）由题意可得，当P在上时，，用含t的式子表示出，根据三角形的面积为2求解即可； （3）连接，过M点作轴，垂直于x轴，根据的面积得到，，结合，得到的面积为16，从而可计算出的长，即可得到点N的坐标． 【详解】（1）解：由题意可得：，， ，， 、， 、， ∴， ∴； （2）解：，， ∴点P运动的时间，点Q运动的时间， ∵当其中一点到达点O时，另一点也停止运动 ∴ ∴当P在上时，，即， 点P的横坐标为，点Q的横坐标为， ， ， ， 或； 当P在上时，t取或时，P，Q，C三点构成的三角形面积为2； （3）解：连接，过M点作轴，垂直于x轴， ， ∴， ∵M到x轴的距离为1，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 35．（25-26七年级下·福建龙岩·期末）操作与探究 【问题情景】 数学课上，数学老师以平面直角坐标系中的运动问题作为研究方向，提出如下问题： 如图，点在第二象限，轴交轴于点，点在轴负半轴上，，连，点为线段上的一个动点，点为线段上的一个动点． (1)【问题初探】 ①点的坐标为________； ②若，则四边形的面积为________； (2)【深入研究】如图1，动点从点出发向点移动，速度为每秒4个单位长度，同时动点从点出发向点移动，速度为每秒2个单位长度．运动要求：当其中一个动点到达终点时，另一个动点也同时停止运动．设运动时间为秒，连接．在运动的过程中，当线段恰好把四边形的面积分成相等的两部分时，求时间的值； (3)【拓展提升】如图2，连接交于点，连接，若（2）中的动点和动点速度保持不变，，求点的横坐标． 【答案】(1)①；②480 (2) (3) 【分析】（1）①由题意可得，即得，即可求解；②由题意得，即得，再根据四边形的面积为解答即可求解； （2）由题意得，，，，即得，根据四边形与四边形面积相等列方程，解方程即可； （3）连接，设点到轴的距离为，可得，即得，进而得到，解方程即可求解； 【详解】（1）解：①∵点在第二象限，轴交y轴于点B， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵点A在x轴负半轴上， ∴点A坐标， ②∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． （2）解：由题意得，，，，， ∴， ∵恰好平分四边形的面积，　 ∴四边形的面积四边形的面积， ， 解得． （3）解：设点D到y轴的距离为， ∵， ，　 ∴，　　 ∴，　 即， ∴， 即点D的横坐标是．　 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07平面直角坐标系中面积、规律、新定义型问题 题型图谱导航总览 题型1平面直角坐标系中面积多解问题（重点） 基础固本强基 题型2平面直角坐标系中的中点坐标问题（重点） 题型3平面直角坐标系中点坐标变换问题（重点） 提升进阶突破 题型4平面直角坐标系中点坐标规律问题（重点） 题型5平面直角坐标系中点点距离问题（难点） 拔高压轴破难 题型6平面直角坐标系中新定义型问题（难点） 题型7平面直角坐标系中动点探究问题（难点） 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1平面直角坐标系中面积多解问题（共5小题) 【模型】由面积条件反求动点坐标，因底或高位置不定，需分类讨论多解。 【步骤】先设动点坐标，用坐标差表示底和高，按面积列绝对值方程，分情况去绝对值求解，检验取 舍。 【易错】面积对应底高组合不唯一，须分类讨论：去绝对值别漏负号情况；动点可能在坐标轴两侧，解 出坐标要检验是否符合题意。 1. (25-26七年级下湖北武汉期中)已知点0(0,0)，BL,2),点A在x轴上，且三角形0AB的面积是3， 则点A的坐标是： 1/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26七年级下山东临沂·期中)如图，在平面直角坐标系中，已知三角形AOB中OA=6,OB=8, 动点C从点O出发，沿O→A→B,当三角形OBC的面积等于三角形AOB一半时，点C的坐标为一 A A B 3.(25-26七年级下北京期中)已知点 0(0,0)B(1,3) ,点A在坐标轴的正半轴上，三角形40B的面积 是4，则点A的坐标为 M(2,1)N(0,2 4.(2425七年级下江西赣州期末)在平面直角坐标系中，点 ，点 ,若在坐标轴上有一点 P(不与点N重合)，使三角形OPM和三角形OMN面积相等，则点P的坐标为. 3 N M -4-3-2-101234x -2 -3 5.(25-26七年级下江西赣州期中)如图，在平面直角坐标系中，已知点 (0,2)B(-1,0)C(3,0) 点D也在坐标轴上（不与A,B,C重合），若三角形ABD的面积与三角形ABC的面积相等，则满足条件 的点D的坐标是 2人A C 3 2/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型2平面直角坐标系中的中点坐标问题（共5小题) 【模型】线段两端点坐标的横纵坐标分别取平均，得中点坐标。 【步骤】先写线段两端点坐标，横坐标相加除以2得中点横坐标，纵坐标相加除以2得中点纵坐标， 出中点。 【易错】中点坐标是两端点坐标和的一半，勿忘除以2：横纵分别对应，勿把横纵坐标加错：注意坐标 符号，别漏负号。 6.(25-26七年级下吉林松原期中)在平面直角坐标系中，己知点M(5,2)和点N(L,2),则线段MN的中 点的坐标为 7.(25-26七年级下河南安阳期中)在平面直角坐标系中，1点的坐标为 -2,-1 ,若线段1BU轴，且 AB=3,则线段AB的中点M的坐标为一 8.(25-26八年级上内蒙古赤峰期末)长方形ABOC和DEFO在平面直角坐标系中的位置如图所示，若 将这两个长方形视为一个组合图形，则这个组合图形的重心坐标是 E F 6 9.(25.26八年级上浙江金华期末)如图，在平面直角坐标系中，已知点4的坐标为4,0)，点8的坐标 为4-3) 连结4B,0B,作∠ABO的角平分线BP,过点O作OC1BP于点C,则点C的坐标为 3/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.(25-26八年级上·天津红桥·期末)在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙 两个部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为S,S,重心分别为 (x,y) M,,)原图形的重心坐标为M少，则有=十8，y=S5+8 S+S2, =S+S,、如图，若=2' AB=5,BC=6,CD=2,以点B为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系. D OB) G C ABGF M. GCDE M, (1)矩形 的重心的坐标为一，矩形 的重心的坐标为 (2)此“L”形平面组合图形的重心坐标为 提升进阶突破 题型3平面直角坐标系中点坐标变换问题（共5小题） 【模型】点按平移、对称或旋转规则变换，坐标依对应规律改变。 【步骤】先写原坐标，判断变换类型，按平移左减右加、对称变号、旋转对应规律，写出新坐标并验 证。 【易错】平移左减右加、上加下减勿弄反；对称分x轴、y轴、原点，符号规律不同；旋转方向与角度要 对应，别漏坐标变化。 4/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.(25-26八年级上山东德州期末)如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换， (3,1) 若原来点C的坐标是 则经过第2026次变换后点C的对应点的坐标为 第1次关于 第2次关于 充第3次关于 左第4次关于 y轴对称 x轴对称 y轴对称 x轴对称 12.(25-26八年级下·河南周口期末)如图是蜡烛平面镜成像原理图（物体与像关于平面镜对称），若以 桌面为x轴，镜面侧面为'轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻烛焰$点的坐标是 (m+1,2) 此时对应的虚像S的坐标是4”4 ,则m+n的值为 (1m+1,2 (4.n-4) 13.(25-26八年级下·广东揭阳阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，四边形A0CB是边长为2的正方 形，A、C分别在》轴正半轴与销正半轴上，P点坐标为)，将P点关于1对称得到，将P关于 P P P P … 点对称得到B,将B关于C点对称得到月，将P关于B点对称得到P,将”关于4点对称得到 按照顺序以此类推，则的坐标为 5/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 14.(25-26八年级下·湖南期中)如图，在平面直角坐标系中，依次作点 八-3，关于直线y=-的对称 PP 点， '关于轴的对称点，关于轴的对称点，关于直线’=- P “的对称点4,4关于轴的对 PsPs 称点， 关于轴的对称点只拉照上述变换规律维续作下去，则点“的坐标为 5 3 2 -5-4-3-2-1Q 2345 2 3 4 15.(25-26八年级下·北京房山期中)如图，在平面直角坐标系x0少中，四边形0ABC关于x轴对称， ∠AOC=60°∠ABC=90°，OA=2 OABC y=x OABC ，将四边形 沿直线 翻折后得到四边形 接着将四 OABC y=一X OA B.C2 y=x 边形 沿直线翻折后得到四边形 OAB2C 2,第三次将四边形 沿直线翻折后得到四 OA,B.Cs OA BCs OA,B,C4… 边形 ，第四次将四边形 y=-x ”沿直线 翻折后得到四边形 6/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B B 依此方式 B (1)点的坐标是 (2)翻折2026次得到四边形 4,则点 2026 的坐标是 题型4平面直角坐标系中点坐标规律问题（共13小题） 【模型】点按平移、对称、旋转或周期规律变化，坐标按对应法则改变。 【步骤】先写原坐标，判断变化类型，按对应规律写出新坐标，若为周期变化先求周期，再定位置求坐 标。 【易错】平移左减右加、上加下减勿弄反：对称符号规律不同，旋转方向角度要对应；周期问题先定周 期，余数对应位置别数错。 16.(25-26七年级下·四川泸州期中)如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，如 0,)（-1,2) (0,2)(1,2)(2,3)(1,3)(0,3) ,根据这个规律探索可得第2026个点的坐标是 (0.1 7/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A4,4 A44 17.(25-26七年级下·北京期中)如图，在一个单位为1的方格纸上，三角形 ,三角形 ，三 角形4人山，，·都是等腰直角三角形.若三角形444的顶点坐标分别为 4(2,0）4(1,-1) 4(0,0) 则依图中所示规律，A1的横坐标为 A26的纵坐标为 18.(25-26七年级下广西南宁·期中)在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点0出 发，按“向上→向右→向下一向右→向下→向右→向上→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位 长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点，第二次移动到点名，第”次移动到点，则点“的坐 A 标是 9 A10 A A2A15 A13 A14 19.(25-26七年级下广东江门期中)如图，在平面直角坐标系中，点 0(0,0)第1次向右跳动1个单位至 点0) 紧接者第2次向上跳动1个单位至点B(,) 第3次向左跳动2个单位至点 （-1, ,第4次 ”” 8/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 向上联动1个单位至点B,第5次又向跳动3个单位至点5，第6次向上跳动1个单位至点只，，照 P 此规律， P2026 的坐标是 P,P: -4-3-2-1⊙1P,234x 20.(25-26七年级下·山东临沂·期中)如图，在平面直角坐标系中，将△AB0沿x轴向右无滑动的滚动到 △BC的位量.再到4公C的位四依次进行下去，若已知点4,0)，0，)，4B=5,则点8的 坐标为 B B B 拔高压轴破难 题型5平面直角坐标系中点点距离问题（共5小题） 【模型】用坐标差构造直角三角形，以勾股定理求两点间距离。 【步骤】先写两点坐标，算横坐标差与纵坐标差，构造直角三角形，用勾股定理求斜边即两点距离。 【易错】横纵坐标差取绝对值或平方，勿弄反；同轴两点距离为坐标差绝对值；注意坐标符号，别漏平 方后再开方。 9/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21.(2526八年级下安徽滁州期中)定义：在平面直角坐标系中，点P的坐标是，），点的坐标 是(x),则P,两点的距离是P四=：-x广+(2- ①点M(35)与点5,3)之间的距离是. (2)已知 点A(0,4),B(3,0)C(7,3),连接MB,4C,BC,试判断△MBC的形状，并说明理由. 22.(25-26七年级下·江苏南通期中)先阅读下列一段文字，再解答问题。 已知在平面内有两点(：，4)(3，)，其两点间的距离公式为B=V(:-广+（仍-，同时，当 两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为，-或 y2- (1)已知点 (,3,B(2,9),试求4，B两点间的距离： (②)已知点A,B在平行于x轴的直线上，点A的横坐标为8，点B的横坐标为-2，试求A,B两点间的距离： ()应用平面内两点间的距离公式.求代数式(x-+(++(x-2+(0-7ヅ的最小值. 23。（25-26八年级下广东广州期中)阅读材料，在平面直角坐标系中，已知产轴上两点1(：，0)， B(长，0的距离记作B-6,如果1(6，），8(，必 是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三 角形来求B间的距离。如图，过4、B分别向轴、'轴作垂线 AM AN BM2 BN, 和 ,垂足分别是 M、N、M、心，直线交BM于点0，在RuaM0中，1D=k-,B0=以-， 10/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB2=AQ2+B02x-x22+|-2P=(x-x2)2+0y-y2)2 由此得到平面直角坐标系内任意两点A(,)、B(x,)间的距离公式为：4B=V:一》'+(？-乃)} y Bx--N2 3 2 M M -5-4-3-2-1012345x -2 备用图 (1)直接应用平面内两点间距离公式计算点 1,-2）),B(-2,2)之间的距离为 ②在平面直角坐标系中的两点1-，3)，B4,P为'轴上任一点，求PA+PB的最小值. ()应用平面内两点间的距离公式，求代数式V?+0-2y+V-3y+0- 的最小值. 24.(25-26七年级下·山东淄博期中)【发现与提出问题】 在学习方程和一次函数之后，某数学小组认识到，一次函数是将二元一次方程与直线建立联系的“桥梁”， “数”与“形”产生了美妙联系.在此基础上，小组成员对用点的坐标表示两点间距离产生了兴趣.具体 探究过程如下： @0若1(-，)B5,) 则两点间距离AB=】 (3,1)B(3,5) ②若 则两点间距离AB= 2 【分析与解决问题】 小组成员发现，对于平面内任意两点 (,)B(,),当AB不与坐标轴平行时，AB两点间的距离无 法用横坐标或纵坐标的差来表示.为解决此问题，小组又做了以下探究： A(-3,0)B(0,1) (2)①若 ,则两点间距离AB= ②通过(3)的探究，小组发现，可以用构建直角三角形的方法解决任意两点间距离的问题.若平面直角 11/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Ax,片)，B(x2,y2) 坐标系内任意两点 则两点间的距离AB= 【公式应用】 (3)利用以上公式计算：已知点 m5)B(,2)且AB=5,求m的值： ④简单阐述代数式V+-+(x-3+(-2的几何意义，并求其最小值。 25.(25-26八年级下·福建龙岩·期中)先阅读下列一段文字，再回答问题。 我们已经知道在数轴上，如果点A表示的数为a,点B表示的数为b,那么AB的长度等于 a-b ,借助平 面直角坐标系与勾股定理可以研充平面内两点P(:）,B(:)之间的距离，小明己经构建了如图所示 平面直角坐标系及直角三角形，则B两点间距离B=V(,-尸+(-)}， (1)根据上面结论，已知点 A2,4)B(4,-4) 求AB的长： (2)已知点A,B所在的直线平行于y轴，点A的纵坐标为-5，点B的纵坐标为1，求A,B两点间的距离： 当两点 (:),B(3)所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，求两点间的距离： M(-3,2)N(2,2 (3)已知 ,在y轴上找点Q,使△MNO是以MN为腰的等腰三角形. 题型6平面直角坐标系中新定义型问题（共4小题） 12/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【模型】按新定义规则对点的坐标进行变换或运算，再求坐标或判断位置。 【步骤】先读懂新定义含义，将点的坐标按定义代入运算，得出新坐标或结论，再检验是否符合定义限！ 制。 【易错】须严格按新定义代入，勿套用旧平移对称法则；注意定义中坐标顺序与符号；结果要检验，别 漏限制条件与取舍。 26. (25-26七年级下广东广州期中)在平面直角坐标系中，对于P,Q两点给出如下定义：点P到x, y轴的距离中的最大值等于点到x,y轴的距离中的最大值，则称P,Q两点为“等距点”，如点 P3,2)与1,3) 两点即为等距点 已知点A的坐标为 -1,4) (1) B3,1)C(-2,4.D(4,)中，与点4为“等距点”的是一 (2②)若点M的坐标 为M(m,-m+6）,且4，M两点为“等距点”，求出点M的坐标： 27.(25-26八年级上·福建漳州期中)在平面直角坐标系中，给出如下定义：点Q到x轴、y轴的距离的 较大值称为点Q的“长距”，当点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”. 点4(-3)的“长距”为 B(4a-1,-3) (2)若点 是“完美点”，求a的值： C(m,n-2） (3)若点 是“完美点”，且点C在第一象限内，m为整数，若P=Vmn+2n+m-2m 请说 明P一定是偶数. 28.(25-26七年级下辽宁葫芦岛期中)定义：当 P(》的坐标满足'-x=4时，我们称 (x,为 “等差点” G(-l,3).H,-3)是香为“等差点”，并说明理由： (1)判 (2)已知点 M(m,n 为“等差点”，且点M到轴的距离是它到'轴距离的2倍，求点M的坐标： 13/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)已知点A和点B是平面直角坐标系中的两个等差点，点A在第一象限，横坐标为a,点B在'轴上，纵 C(2a,4) 坐标为b,连接4B,将线段4B平移得到线段CD,点4和点B的对应点分别是点C和点D,且 连接BC,AC,若三角形ABC的面积为4，求点D的坐标. 29.(25-26七年级下·河南新乡·期中)定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点 ab)B(cd),若 点T(x)满足：x=a牛e b+d 3,y= 3,那么称点T是点4和点B的“衍生点”.例如：M(-2,5), N8-2列，则点T,是点M和点N的“衍生点”，已知点D2,0),点B(m-4m叭，点7是点D和 点E的“衍生点” (①)若点E的坐标为 -1,3) ,则点T的坐标为一： (2)请直接写出点T的坐标（用含m的代数式表示）； (3)若直线ET交x轴于点H,当∠DHT=90°时，求点E的坐标. 30.(25-26七年级下·广西南宁·期中)在平面直角坐标系中，给出如下新定义：点P到x轴、y轴的距离 的较小值称为点P的“短距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“等距点”. ①点4(5-2）的“短距”为 (2)若点 (2m-l,-3) 是“等距点”，求m的值： (3)若点 C(-7,2n+1) 的短距为5，且点C在第三象限内，点D的坐标为 (4-2n,-10 ,点D是否为“等距 点”？如果是，请说明理由， 题型7平面直角坐标系中动点探究问题（共5小题） 【模型】动点坐标随时间或位置变化，用变量表示坐标，依几何关系列方程探究。 【步骤】先设动点坐标或时间为变量，用变量表示相关线段与面积，根据等量关系列方程，解出并检验 取舍 14/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【易错】注意动点取值范围与边界，坐标符号随象限变化；解出多解要逐一检验；别漏分类讨论，线段 长须取正。 31.(25-26七年级下·湖北孝感期中)如图，在平面直角坐标系中，己知 点4(a,0）、B6.0)和C(0.3) (a+1)2+Vb-4=0 将线段AB平移到CD的位置. AO B末AO 备用图 (1)求点D的坐标： (2)点P为y轴正半轴上一动点，连接PD,PB ①当点P在线段OC上时，求证：∠DPB=∠PDC+∠PBA: 3 ②当S,am亏SC时，求点p的坐标，此时∠DPB∠PDC和∠PBA有何数量关系？请直接写出它们 的关系，不需证明. 32.(25-26七年级下·重庆期中)如图1，在平面直角坐标系中，己知点A-6,m),B(n,0),C(-6,0),其中 m和”满足Vm+n-9+9-m-n=m-n-3 连接MB和AC E B B主 B 图1 图2 图3 (1)点A的坐标为 ,点B的坐标为 15/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)如图2，点D(-3,3)是△ABC内一点，连接AD,动点P从点A出发，沿A→C方向运动到点C,再沿x 2 轴正方向运动，连接AP,PD,当△APD的面积等于AABC面积的g时，求点P的坐标： (3)如图3，点E(0,3)为y轴上一点，连接BE,将BE绕着点B以每秒6°的速度顺时针旋转得BE',在旋转 过程中，作∠OBE'的三等分 BF'(∠FB0<∠下BE）,同时∠ACB绕若点C以每秒4“的速度顺时针旋转得 ∠ACB,当B'C和x轴负半轴重合时，∠A'CB立即以原来速度的两倍逆时针旋转；当BE第二次和x轴重 合时，整个旋转过程停止.请直接写出旋转过程中∠FBE的一边与∠A'CB的一边互相垂直时，旋转时间 t的值. A(a,0)B(0,b) 33.(25-26七年级下·云南昆明期中)如图，在平面直角坐标系中，点 满足 a-3+(b+2)=0 将线段AB向上平移6个单位长度得到线段CD(点A,B分别对应点C,D),连接 AC 图1 图2 (1)分别求出a,b的值： (2)如图1，若点E是线段CD上的一个动点（不与点C,D重合），小智认为：无论点E如何运动， ∠DOE+∠CAE=∠AEO始终成立，你是否同意他的看法？请说明理由； (3)如图2，点F是x轴负半轴上的一个动点，连接CF,DF,当点F运动到某个位置时，△CDF的面积 和四边形ABDC的面积相等，试求出此时点F的坐标. 34.(25-26七年级下·福建福州期中)如图1，在平面直角坐标系中， 40,a)B6.0）,且 16/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (a-4)2+Vb+8=0 过A,B两点分别作y轴，x轴的垂线交于C点. A M 图1 图2 (①)请直接写出A,B,C三点的坐标。 (②)P,Q为两动点，其中点P从C点出发，在线段CB,B0上以3个单位长度每秒的速度沿着C→B→O 运动：点Q从B点出发以1个单位长度每秒的速度沿着线段BO向O点运动，P,O两点同时出发，当其中 一点到达点O时，另一点也停止运动.设运动时间为t,当点P在BO上时，t取何值时，三角形PQC的面 积为2？ ⑤)如图2，连接B,点M(m,”川在线段B上，且M到x轴的距离为1，点N在y轴负半轴上，连接MN 交x销于K点，记三角形BK的面积为、，记三角形M0水的面积为8，若8=8，求V点的坐标 35.(25-26七年级下·福建龙岩期末)操作与探究 【问题情景】 数学课上，数学老师以平面直角坐标系中的运动问题作为研究方向，提出如下问题： C(-23,c 如图，点 在第二象限，CB∥x轴交'轴于点8，点4在*轴负半轴上，40-8C=2,连4C,点 M为线段BC上的一个动点，点N为线段OA上的一个动点. CM D 图1 图2 (1)【问题初探】 17/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①点A的坐标为 ②若c=20,则四边形OACB的面积为 (2)【深入研究】如图1，动点N从点A出发向点O移动，速度为每秒4个单位长度，同时动点M从点B出 发向点C移动，速度为每秒2个单位长度.运动要求：当其中一个动点到达终点时，另一个动点也同时停 止运动.设运动时间为1秒，连接MN.在运动的过程中，当线段MN恰好把四边形OACB的面积分成相等 的两部分时，求时间的值： (3)【拓展提升】如图2，连接OC交MN于点D,连接BD,若(2)中的动点N和动点M速度保持不变， CD:OD=3:2,求点D的横坐标。 18/18