精品解析：天津市武清区雍阳中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测 数学试卷

雍阳中学2026-2027学年度九年级第一次月练习（数学） 本卷满分120分，考试时间100分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第I卷（选择题） 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 方程化为一元二次方程的一般形式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 2. 已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数要求二次项系数不为0，二次函数图象与x轴有交点时对应一元二次方程的判别式，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次项系数， 又∵该函数图象和轴有交点，即方程有实根， ∴， 化简得，解得， 综上的取值范围是且． 3. … 1 2 3 … … 3 0 … 则下列关于二次函数的说法正确的是（ ） A. 二次函数图象的开口向下 B. 二次函数图象的对称轴为直线 C. 若点在该函数图象上，则 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据表格中所给数据，可利用待定系数法求出函数解析式，并化为顶点式，进而得到开口方向，增减性和对称轴，再对所给选项依次进行判断，据此可得答案． 【详解】解：将点、代入中， 得：， 解得， ∴二次函数解析式为， A、∵， ∴函数图象开口向上， 故A不符合题意； B、∵二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， 故B不符合题意； C、当时，， 故C符合题意； D、∵二次函数解析式的对称轴为直线，函数图象开口向上， ∴当时，的值随值的增大而增大， 故D项不符合题意． 4. 在下列二次函数中，其图象的对称轴在y轴左侧的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次函数顶点式的对称轴与的对应关系，判断各选项对称轴是否在轴左侧． 【详解】解：A选项，的对称轴为直线，在轴左侧，符合题意； B、C选项对应的二次函数对称轴均为轴，不符合题意； D选项，的对称轴为直线，在轴右侧，不符合题意． 5. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种草坪，要使草坪的面积为．设道路的宽为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移的性质可得草坪正好是一个长方形，其长为，宽为，据此列出方程即可． 【详解】解：由平移的性质可知，草坪正好是一个长方形，其长为，宽为， 则可列方程为． 6. 对一元二次方程的一个正数解的取值范围的探索如下表． 从表中可以看出方程的一个正数解的大致范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过表格中代数式的符号变化，确定方程正数解的范围． 【详解】解：当时，， 当时，， 故方程的一个正数解的大致范围是． 7. 某高铁交通路线从甲站出发，最终到达乙站，若共设计了56种往返车票（往返车票不同），这条线路共有多少个站点？若设这条线路共有x个站点，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：每个站点到其余个站点各有1种去程车票，往返车票不同， 总车票数为，结合共56种往返车票， 得方程. 8. 如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系式为，则此次实心球训练的成绩为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义．此次实心球训练的成绩就是抛物线与轴交点的横坐标，即当时，求的值即可． 【详解】当实心球落地时，， 即， 解得，， 因为水平距离不能为负数， 所以舍去， 则此次实心球训练的成绩为米， 故选：． 9. 若等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分两种情况进行讨论，即当腰长为，当底边长为，进而求解即可． 【详解】解：当腰长为时，将代入，得， 解得， 此时，原方程为，即， 解得，， 则三角形三边为，，， ∵， ∴符合题意； 当底边长为时，方程有两个相等的根， ∴， 解得， 此时，原方程为，即， 解得， 则三角形三边为，，， ∵， ∴符合题意； 综上，的值为或，故只有B符合． 10. 在同一直角坐标系中，函数和（m是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据一次函数图象确定m的取值范围，再由此判断同一坐标系中的二次函数图象是否符合； 对于选项A，由一次函数的图象可知，由此分析二次函数的开口方向，判断选项A是否符合题意；对于选项Ｂ，由一次函数的图象可知，由此分析二次函数的对称轴为，则对称轴应在y轴左侧，判断选项Ｂ是否符合题意；对于选项Ｃ，由一次函数的图象可知，由此分析二次函数的开口方向，判断选项Ｃ是否符合题意；对于选项Ｄ，由一次函数的图象可知，由此分析二次函数的对称轴为，则对称轴应在y轴左侧，判断选项Ｄ是否符合题意．问题即可解答． 【详解】解：A、由函数的图象可知， 则函数的图象应该开口向上，故A选项错误； B、由函数的图象可知， 则函数图象的对称轴为， 则对称轴应在y轴左侧，故B选项错误； C、由函数的图象可知， 则函数的图象应该开口向下，故C选项错误； D、由函数的图象可知， 则函数图象的对称轴为， 则对称轴应在y轴左侧，故D选项正确． 11. 如图，在中，，，，点P从点A开始，沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始，沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q同时出发，当一个点到达目的地时，所有运动停止．若四边形的面积为，则点P运动的时间是（　　） A. 3 B. 3或5 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题关键． 设点P运动的时间为，则，，根据题意易得，，根据可得关于的一元二次方程并求解，然后确定的取值范围，即可获得答案． 【详解】解：设点P运动的时间为， 则，， ∵，，， ∴， ， ∵四边形的面积为， ∴， 即，整理可得， 解得， 又∵点P，Q同时出发，点P从点A出发运动到点B用时，点Q从点B运动到点C用时，且当一个点到达目的地时，所有运动停止， ∴， ∴点P运动的时间是． 故选：A． 12. 如图，是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标为，与x轴的一个交点为．直线经过点A和点B．以下结论：①；②；③抛物线与x轴的另一个交点是；④方程有两个不相等的实数根；⑤；⑥不等式的解集为．其中结论正确的是（ ） A. ①④⑥ B. ②⑤⑥ C. ①⑤⑥ D. ②③⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】观察图象得：抛物线的对称轴为直线，可得到；进而得到同号，再有抛物线开口向上，与轴交于负半轴，可得，，从而得到；再由抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，可得抛物线与轴的另一个交点为；然后根据抛物线的顶点坐标为，可得抛物线与直线只有一个交点，从而得到方程有两个相等的实数根；再由观察图象得：当时，，根据抛物线的增减性，可得：；最后根据观察图象得：当时，直线的图象位于抛物线的上方，可得不等式的解集为，即可求解． 【详解】解：观察图象得：抛物线的对称轴为直线 ， ∴，即，故①正确； ∵， ∴，即同号， ∵抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ∴，，， ∴，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为，故③错误； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴当时， ， 即抛物线与直线只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根，故④错误； 观察图象得：当时，， 在对称轴的右侧，抛物线的图象自左向右呈上升趋势， 即此时随的增大而增大， 又当时，， ∴，故⑤正确； 观察图象得：当时，直线的图象位于抛物线的上方， ∴不等式的解集为，故⑥正确； 综上，正确的有①⑤⑥． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共18分） 13. 将二次函数化为的形式，结果为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先提取二次项系数，再利用完全平方公式配方即可得到结果. 【详解】解： ， 即. 14. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， 化简得， 解得． 15. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图像平移规则“左加右减，上加下减”，按平移顺序依次计算即可得到结果． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度， 得到的抛物线的解析式为． 16. 已知，是关于的一元二次方程的两根，且，则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到和的表达式，代入已知等式求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∵， ∴， 解得． 17. “水是生命之源，树是水的卫士．”为了更好地让大家珍惜树木，小红将宣传语转发给若干人，收到的人再把这条宣传语转发给相同的人数，若在这个过程中包括小红一共有157人收到了这条宣传语，则小红将这条宣传语转发给了______人． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握根据实际问题列一元二次方程并求解是解题的关键．设小红转发给人，根据传播过程中收到宣传语的总人数关系列方程求解． 【详解】解：设小红将这条宣传语转发给了人．依题意得 ， ， ， ∴或 解得或（舍去） 故答案为：． 18. 如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度是），围成中间有一道篱笆的长方形花圃，并在如图所示的位置留出两道宽的门，设花圃的宽是（单位：m），面积是（单位：）． （1）写出与的函数关系式___________，的取值范围为___________； （2）如果要围成面积为的花圃，则的长为___________米． 【答案】 ①. ②. ③. 9 【解析】 【分析】（1）表示出，然后根据墙的最大可用长度是求出，然后根据长方形面积公式列式即可； （2）将代入求解即可． 【详解】解：（1）设花圃的宽是，则 ∵墙的最大可用长度是 ∴ ∴ 根据题意得，； （2）根据题意得， 整理得， 解得（舍去）， ∴的长为9米． 三、解答题（共66分） 19. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【小问1详解】 解：直接开平方法： ， ∴，． 【小问2详解】 解：公式法： ， ∴， ∴，． 【小问3详解】 解：因式分解法： ， ∴，． 【小问4详解】 解：移项，平方差公式： ， ， ， 或， ∴，． 20. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将A和B两点坐标代入抛物线的解析式，求得b，c，从而得出结果； （2）运用配方法求出顶点的坐标，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线 经过点， ∴， 解得：， 所以，抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点P的坐标为， ∵， ∴， ∴． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求m的值． 【答案】（1） 即恒成立 无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）通过根的判别式的恒正性证明方程有两个不相等的实数根； （2）由根与系数关系得到的含的代数式，代入求解的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由根与系数的关系： ，， ， ， ， 解得． 22. 如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P、Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． （1）几秒后，的长度等于？ （2）线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． 【答案】（1）或 （2）能， 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用； （1）根据题意得，，由勾股定理得，据此列出方程求解即可； （2）分类讨论：当时，当时，分别列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得 ，， ， ， 解得，， 故或后，的长度等于． 【小问2详解】 解：能； ， ； 当时， ， ， 整理得， 解得； 当时， ， ， 整理得， ， 此时方程无实数解， 故此种情况不存在； 综上所述：当时，线段能将分成面积的两部分． 23. 已知二次函数． （1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； （2）根据图象回答： ①当时，求的取值范围． ②当时，的取值范围是________． 【答案】（1） （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）先对二次函数配方，再求出顶点、坐标轴交点，最后描点画出抛物线； （2）利用二次函数图像，观察图像在轴上方对应的自变量范围，再在指定自变量区间找到顶点处最大值，看区间端点的函数值，判断能否取到，从而确定的取值范围． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，与轴交点为，，与轴交点为， 图象略 【小问2详解】 由图象可知，抛物线在轴上方的部分对应， ∴当时，； ∵当时，取最大值1， 当时，， 当时，， ∴结合图象可知：当时，． 24. 某地农业研究所培育海水稻，其中第一期试验田亩产量为，在每期亩产量平均增长率保持不变的情况下，第三期亩产量达到． （1）求每期海水稻亩产量的平均增长率． （2）农业研究所将收获的海水稻对外售卖，且海水稻的进价为每千克4元．经市场调研发现：若售价定为每千克8元，则日销售量为200千克；若售价每提高0.5元，则日销售量减少10千克．当海水稻的定价为每千克多少元时，每天可获利960元？ 【答案】（1）平均增长率为 （2）海水稻的定价为每千克10元或12元 【解析】 【分析】（1）设平均增长率为，根据“第三期亩产量达到”建立等式求解即可． （2）设海水稻的定价为每千克元，根据“每天可获利960元”建立等式求解即可． 【小问1详解】 解：设平均增长率为， 则， 解得：（负值舍）， 答：每期海水稻亩产量的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设海水稻的定价为每千克元，则每千克的利润为元， 根据题意可知，日销售量减少千克，则日销售量为千克， 则：，即， 解得：或12， 答：海水稻的定价为每千克10元或12元． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，对称轴为直线，点为此抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线对称轴上，且在顶点下方； ①若，点是轴上的两个动点，点在点左侧且，连接和，求的最小值以及点坐标； ②平面内存在点，使以点为顶点的四边形为矩形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）①最小值为，点坐标为；②点Q的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）根据对称性求出点B的坐标，再运用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的性质求出点C，顶点D的坐标，进而得到点P的坐标，将点P向左平移1个单位长度，得到点，连接，，得到四边形是平行四边形，因此．作点关于x轴的对称点，连接，，则，得到，即当点E在上时，取得最小值，最小值为的长．根据两点间距离公式求出，从而求出最小值．运用待定系数法求出直线的函数解析式，令，即可求出点E的坐标； ②根据对角线的情况分三种讨论，再由矩形的性质求出点Q的坐标． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴点A，B关于对称轴直线对称， ∴． ∴将点，代入抛物线，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：①对于抛物线，令，则， ∴． ∵抛物线， ∴顶点． ∵点在抛物线对称轴上，且在顶点下方，， ∴． 将点P向左平移1个单位长度，得到点，则， 连接，， 则，且轴， ∵在x轴上，且， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 作点关于x轴的对称点，连接，， 则， ∴， 即当点E在上时，取得最小值，最小值为的长． ∵，， ∴． ∴最小值为． 设直线的函数解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的函数解析式为， 令，则，解得， ∴取得最小值时，点坐标为 ②设，，其中 由（1）知，由（2）①可知． 如图，当为矩形的对角线时， ∵四边形是矩形， ∴与互相平分，， ∴由中点坐标公式，得， 解得， ∵，， ∵，即， ∴， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； ∴或， 如图，当为矩形的对角线时， 同理，由中点坐标公式得， 解得， ∴，， 同理， ∴， 解得， ∴，不合题意，舍去。 如图，当为矩形的对角线时， 同理，由中点坐标公式得， 解得：， ∴，， 同理，， ∴， 解得， ∴，符合题意， ∴， 综上，点Q的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雍阳中学2026-2027学年度九年级第一次月练习（数学） 本卷满分120分，考试时间100分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第I卷（选择题） 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 方程化为一元二次方程的一般形式是（ ） A. B. C. D. 2. 已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 3. … 1 2 3 … … 3 0 … 则下列关于二次函数的说法正确的是（ ） A. 二次函数图象的开口向下 B. 二次函数图象的对称轴为直线 C. 若点在该函数图象上，则 D. 当时，随的增大而增大 4. 在下列二次函数中，其图象的对称轴在y轴左侧的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种草坪，要使草坪的面积为．设道路的宽为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 对一元二次方程的一个正数解的取值范围的探索如下表． 从表中可以看出方程的一个正数解的大致范围是（ ） A. B. C. D. 7. 某高铁交通路线从甲站出发，最终到达乙站，若共设计了56种往返车票（往返车票不同），这条线路共有多少个站点？若设这条线路共有x个站点，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系式为，则此次实心球训练的成绩为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 若等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 10. 在同一直角坐标系中，函数和（m是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，，，点P从点A开始，沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始，沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q同时出发，当一个点到达目的地时，所有运动停止．若四边形的面积为，则点P运动的时间是（　　） A. 3 B. 3或5 C. 4 D. 5 12. 如图，是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标为，与x轴的一个交点为．直线经过点A和点B．以下结论：①；②；③抛物线与x轴的另一个交点是；④方程有两个不相等的实数根；⑤；⑥不等式的解集为．其中结论正确的是（ ） A. ①④⑥ B. ②⑤⑥ C. ①⑤⑥ D. ②③⑤ 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共18分） 13. 将二次函数化为的形式，结果为_____． 14. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是__________． 15. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线的解析式为______． 16. 已知，是关于的一元二次方程的两根，且，则的值为__________． 17. “水是生命之源，树是水的卫士．”为了更好地让大家珍惜树木，小红将宣传语转发给若干人，收到的人再把这条宣传语转发给相同的人数，若在这个过程中包括小红一共有157人收到了这条宣传语，则小红将这条宣传语转发给了______人． 18. 如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度是），围成中间有一道篱笆的长方形花圃，并在如图所示的位置留出两道宽的门，设花圃的宽是（单位：m），面积是（单位：）． （1）写出与的函数关系式___________，的取值范围为___________； （2）如果要围成面积为的花圃，则的长为___________米． 三、解答题（共66分） 19. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为，求的面积． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求m的值． 22. 如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P、Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． （1）几秒后，的长度等于？ （2）线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． 23. 已知二次函数． （1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； （2）根据图象回答： ①当时，求的取值范围． ②当时，的取值范围是________． 24. 某地农业研究所培育海水稻，其中第一期试验田亩产量为，在每期亩产量平均增长率保持不变的情况下，第三期亩产量达到． （1）求每期海水稻亩产量的平均增长率． （2）农业研究所将收获的海水稻对外售卖，且海水稻的进价为每千克4元．经市场调研发现：若售价定为每千克8元，则日销售量为200千克；若售价每提高0.5元，则日销售量减少10千克．当海水稻的定价为每千克多少元时，每天可获利960元？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，对称轴为直线，点为此抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线对称轴上，且在顶点下方； ①若，点是轴上的两个动点，点在点左侧且，连接和，求的最小值以及点坐标； ②平面内存在点，使以点为顶点的四边形为矩形，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $