第三章 图形的相似——相似三角形证明习题 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

相似三角形 一．解答题（共42小题） 1．已知：如图，AB⊥BD，垂足为B、CD⊥BD，垂足为D，AC与BD相交于点O求证：△ABO∽△CDO． 【分析】由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证△ABO∽△CDO． 【解答】证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠B＝∠D＝90°， 又∵∠AOB＝∠COD， ∴△ABO∽△CDO． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 2．如图，在△ABC，AB＝10，AC＝8，点D，E分别在边AB和AC上，且AD＝5，AE＝4．求证：△ABC∽△ADE． 【分析】利用两边成比例且夹角相等两三角形相似． 【解答】证明：∵AB＝10，AC＝8，AD＝5，AE＝4， ∴， ∵∠A＝∠A， ∴△ABC∽△ADE． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，能够根据条件运用相似三角形的判定方法是解题的关键． 3．如图，已知△ADE∽△ABC，DE与BC具有怎样的位置关系？为什么？ 【分析】根据相似三角形的对应角相等，求出∠ADE＝∠ABC，即可得到答案． 【解答】解：DE∥BC，理由如下： ∵△ADE∽△ABC， ∴∠ADE＝∠ABC， ∴DE∥BC． 【点评】本题考查相似三角形的性质，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 4．已知△ABC与△A1B1C1相似且对应中线的比为4：3，△ABC的周长为12，求△A1B1C1的周长． 【分析】利用相似三角形的性质（对应中线的比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比），通过已知的中线比和△ABC的周长，计算△A1B1C1的周长． 【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1相似且对应中线的比为4：3， ∴△ABC与△A1B1C1的相似比为4：3， ∵相似三角形周长的比等于相似比， ∴△ABC的周长：△A1B1C1的周长＝4：3， ∵△ABC的周长为12， ∴12：△A1B1C1的周长＝4：3， ∴△A1B1C1的周长＝9． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质（对应中线的比等于相似比、周长比等于相似比），熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 5．如图，△ABC中，点D，E分别是BC，AB上的点，CE，AD交于点F，BD＝AD，BE＝EC． （1）求证：△ABD∽△CBE； （2）若CD＝CF，试求∠ABC的度数． 【分析】（1）利用等边对等角可得∠BAD＝∠BCE，且∠B＝∠B，即可证明结论； （2）设∠B＝x，由（1）知∠B＝∠BAD＝∠BCE＝x，则∠ADC＝2x，∠ADC＝∠DFC＝2x，根据△CDF的内角和为180°，列出方程，从而得出答案． 【解答】（1）证明：∵BD＝AD，BE＝EC， ∴∠B＝∠BAD，∠B＝∠BCE， ∴∠BAD＝∠BCE， ∵∠B＝∠B， ∴△ABD∽△CBE； （2）解：设∠B＝x， ∴∠B＝∠BAD＝∠BCE＝x， ∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝x+x＝2x， 又∵CD＝CF， ∴∠CDA＝∠DFC＝2x， ∴2x+2x+x＝180°， 解得x＝36°， ∴∠ABC＝36°． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，运用方程思想是解题的关键． 6．如图，点D，点E是△ABC边BC上的两点，∠BAD＝∠BDA，AD平分∠EAC．求证：BD2＝BE•BC． 【分析】先利用等角对等边得到AB＝BD，将求证式转化为AB2＝BE•BC，再通过角的等量代换证明△ABE∽△CBA，最后由相似三角形对应边成比例完成证明． 【解答】证明：∵∠BAD＝∠BDA， ∴AB＝BD， ∵AD平分∠EAC， ∴∠EAD＝∠CAD， ∵∠BDA＝∠C+∠CAD，∠BAD＝∠BAE+∠EAD， ∴∠BAE+∠EAD＝∠C+∠CAD， ∴∠BAE＝∠C， ∵∠B＝∠B， ∴△ABE∽△CBA， ∴， ∴AB2＝BE•BC， ∵AB＝BD， ∴BD2＝BE•BC． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，求证：△BOC∽△DOA． 【分析】根据AD∥BC得到∠OBC＝∠ODA，∠OCB＝∠OAD，即可证明△BOC∽△DOA． 【解答】证明：在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O， ∴∠OCB＝∠OAD，∠OBC＝∠ODA， ∴△BOC∽△DOA． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，平行线的性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 8．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接AC、BE，它们相交于点F，且∠ACB＝∠ABE． （1）求证：AE2＝EF•BE； （2）若AE＝2，EF＝1，求BF的长． 【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，则∠FAE＝∠ACB，因为∠ACB＝∠ABE，所以∠FAE＝∠ABE，而∠FEA＝∠AEB，则△FEA∽△AEB，所以，则AE2＝EF•BE． （2）由AE2＝EF•BE，且AE＝2，EF＝1，求得BE4，则BF＝BE﹣EF＝3． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∵E为边AD上一点，AC与BE相交于点F， ∴∠FAE＝∠ACB， ∵∠ACB＝∠ABE， ∴∠FAE＝∠ABE， ∵∠FEA＝∠AEB， ∴△FEA∽△AEB， ∴， ∴AE2＝EF•BE． （2）解：∵AE2＝EF•BE，且AE＝2，EF＝1， ∴BE4， ∴BF＝BE﹣EF＝4﹣1＝3， ∴BF的长为3． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△FEA∽△AEB是解题的关键． 9．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝10cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动．设运动时间为t秒，如果点P，Q的运动速度分别为2cm/s和1cm/s． （1）当t为何值时，点P，Q相距10cm； （2）当t为何值时，△ABC与△PQC相似． 【分析】（1）先列出CP＝2tcm，CQ＝（10﹣t）cm，利用PQ2＝CP2+CQ2，列式求解即可； （2）利用当△PCQ∽△ACB时和当△QCP∽△ACB时，分别列式求解即可． 【解答】解：（1）由题意得CP＝2tcm，BQ＝tcm， 则CQ＝BC﹣BQ＝（10﹣t）cm， ∵∠C＝90°，点P，Q相距10cm， ∴PQ2＝CP2+CQ2， 即102＝（2t）2+（10﹣t）2， 解得：t1＝4，t2＝0， 即t＝0或4； （2）当△QCP∽△ACB时， ∴， ∴， 解得：t＝2； 当△PCQ∽△ACB时， ∴， ∴， 解得：t＝5． 【点评】本题考查勾股定理，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，熟练列出相关数据，并根据勾股定理和相似列式是解题的关键． 10．在Rt△ABC中，两直角边分别为3cm，4cm；在Rt△A'B'C'中，斜边为25cm，一条直角边为15cm．问这两个直角三角形相似吗？为什么？ 【分析】首先利用勾股定理求得Rt△ABC的斜边为5cm；然后利用相似三角形的判定方法—“两边及其夹角法”证得这两个三角形相似． 【解答】解：两个直角三角形相似，理由如下： 在Rt△ABC中，两直角边分别为3cm，4cm，则其斜边长为：5（cm）． 在Rt△A'B'C'中，斜边为25cm，一条直角边为15cm，则， 又因为两直角相等， 所以这两个直角三角形相似． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． 11．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A出发沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，两点同时出发．问运动几秒后，△PBQ与△ABC相似？ 【分析】根据相似三角形的判定定理，分两种情况讨论△PBQ与△ABC相似的情况，即△PBQ∽△ABC和△PBQ∽△CBA，再根据相似三角形对应边成比例列出方程求解． 【解答】解：设运动t秒后，△PBQ与△ABC相似． 此时AP＝tcm，则PB＝（6﹣t）cm，BQ＝2tcm， ①当△PBQA∽△ABC时， 根据相似三角形对应边成比例，可得， 将PB＝6﹣t，AB＝6，BQ＝2t，BC＝8代入上式，得到， 交叉相乘可得：8×（6﹣t）＝6×2t， 去括号：48﹣8t＝12t， 移项：48＝12t+8t， 合并同类项：20t＝48， 解得：t． ②当△PBQ∽△CBA时，根据相似三角形对应边成比例， 可得， 将PB＝6﹣t，AB＝6，BQ＝2t，BC＝8代入上式，得， 交叉相乘可得：6×（6﹣t）＝8×2t， 去括号：36﹣6t＝16t， 移项：36＝16t+6t， 合并同类项：22t＝36， 解得：t． 综上，运动秒或秒后，△PBQ与△ABC相似． 【点评】本题考查相似三角形的判定，关键是分情况讨论． 12．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝1，CD＝4，P为BC边上的一个动点，连接AP，PD． （1）若△ABP与△PDC相似，且BP，PC的长为方程x2﹣5x+m＝0的两根，求BP的长； （2）若点P在线段BC上运动时恰好存在两个位置使得△ABP与△PDC相似，求BC的长． 【分析】（1）由BP+PC＝5，设BP＝n，CP＝5﹣n，再分两种情况求解即可； （2）设BP＝x，BC＝k，PC＝k﹣x，再分两种情况：当△ABP∽△DCP时，当△ABP∽△PCD时，结合方程的解的情况进行分类讨论即可． 【解答】解：（1）∵BP，PC的长为方程x2﹣5x+m＝0的两根， ∴BP+PC＝5， 设BP＝n，CP＝5﹣n， 当△ABP∽△PCD， ∴，而AB＝1，CD＝4， ∴， ∴n1＝4，n2＝1；经检验符合题意； 当△ABP∽△DCP， ∴， ∴， ∴n＝1，经检验符合题意； ∴BP＝4或1； （2）设BP＝x，BC＝k，PC＝k﹣x 当△ABP∽△DCP时， ∴，而AB＝1，CD＝4， ∴， ∴；经检验符合题意； 当△ABP∽△PCD时， ∴， ∴， ∴x2﹣kx+4＝0， ∵有两个位置成立； ①x2﹣kx+4＝0有两个不等解，且有一解为， ∴， ∴k＝5，（k＝﹣5不符合题意）； ②x2﹣kx+4＝0有两个相等解， ∴Δ＝k2﹣16＝0， ∴k＝4， ∴BC＝4或5． 【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，相似三角形的应用，理解题意是解本题的关键． 13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以vcm/s的速度由C向A点运动，若点P运动时间为ts． （1）若四边形ADPQ是平行四边形，则t＝　2　 ，v＝　3　 ； （2）若v＝1cm/s，求△BPD与△CQP相似时t的值． 【分析】（1）由平行四边形的性质得到DP∥AQ，DP＝AQ，证明△BDP∽△BAC，推出，则可得到，解之即可得到答案； （2）分两种情况：当△BDP∽△CPQ时，则，当△BDP∽△CQP时，则，分别代入建立方程求解即可． 【解答】解：（1）∵点D为AB的中点， ∴； ∵四边形ADPQ是平行四边形， ∴DP∥AQ，DP＝AQ， ∴∠BDP＝∠A，∠BPD＝∠C， ∴△BDP∽△BAC， ∴， ∴， ∴AQ＝DP＝6cm， ∴CQ＝AC﹣AQ＝6cm； 由题意得，BP＝2tcm，CQ＝vtcm， ∴， ∴， 故答案为：2，3； （2）∵点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以vcm/s的速度由C向A点运动，v＝1cm/s， ∴BP＝2tcm，CQ＝vt＝tcm， ∵点D为AB的中点， ∴； ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C； 当△BDP∽△CPQ时，则， ∴， 解得； 当△BDP∽△CQP时，则， ∴， 解得（已检验，符合题意）或（舍去）； 综上所述，△BPD与△CQP相似时t的值为或． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，熟知以上知识是解题的关键． 14．如图在△ABC中，D为AB边上一点，且△CBD∽△ACD． （1）求∠ADC度数； （2）如果AC＝4，BD＝6，求CD的长． 【分析】（1）利用相似三角形的性质证明∠CDB＝∠ADC即可解决问题； （2）证明△ACD∽△ABC，推出，可得结论． 【解答】解：（1）∵△CBD∽△ACD， ∴∠CDB＝∠ADC， ∵∠CDB+∠ADC＝180°， ∴∠ADC＝90°． （2）如图， ∵△CBD∽△ACD， ∴∠ACD＝∠B， ∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∴， ∴， ∴AD＝2（负根已经舍弃）， ∴CD2． 【点评】本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是学会利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型． 15．如图，在△ABC中，点D为AC边上一点，连接BD，△ABC∽△BDC，E，F分别为AC，BC的中点，连接BE，DF，已知AC＝6，BC＝4，BE＝3，求DF的长． 【分析】根据已知条件得到BE，DF分别为△ABC，△BDC的中线，再根据△ABC∽△BDC得出即可求解． 【解答】解：∵E，F分别为AC，BC的中点， ∴BE，DF分别为△ABC，△BDC的中线， ∵△ABC∽△BDC， ∴根据相似三角形的性质得，， 即， ∴6DF＝12， 解得DF＝2， 所以DF的长为2． 【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 16．如图，在▱ABCD中，在AD延长线上取一点P，连接BP交CD于点E，且． （1）求的值． （2）若△BCE的面积为9，求△ABP的面积． 【分析】（1）根据平行四边形的性质证明△PDE∽△BCE，由此即可求解； （2）根据题意得到，证明△DEP∽△ABP，由相似三角形的性质即可求解． 【解答】解：（1）在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC， ∴∠P＝∠CBE， 又∵∠PED＝∠BEC， ∴△PDE∽△BCE， ∴； （2）∵， ∴， ∵S△BCE＝9， ∴S△PDE＝1， ∵， ∴， ∴， 同理可证△DEP∽△ABP， ∴， ∴S△ABP＝16，即△ABP的面积为16． 【点评】本题主要考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 17．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB＝∠ACB． （1）求证：△ABE∽△ACB； （2）若AB⊥AC，AE：EC＝1：2，求∠ABC的度数． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ADB＝∠ABE，由∠ADB＝∠ACB，得到∠ABE＝∠ACB，于是得到结论； （2）设AE＝x，由AE：EC＝1：2，得到EC＝2x，由（1）得：△ABE∽△ACB，得到，求得ABx，证得∠ACB＝30°，推出BF＝AB＝AD，即可得到结论． 【解答】证明：（1）∵AB＝AD， ∴∠ADB＝∠ABE， 又∵∠ADB＝∠ACB， ∴∠ABE＝∠ACB， 又∵∠BAE＝∠CAB， ∴△ABE∽△ACB； （2）设AE＝x， ∵AE：EC＝1：2， ∴EC＝2x， 由（1）得：△ABE∽△ACB， ∴， ∴AB2＝AE•AC，即AB2＝x•3x ∴ABx， 又∵BA⊥AC， ∴BC＝2x， ∴∠ACB＝30°， ∵F是BC中点， ∴BFx， ∴BF＝AB＝AD， 连接AF，则AF＝BF＝CF，∠ACB＝30°， ∴∠ABC＝60°． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 18．如图，在Rt△ABC和Rt△ADC中，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC平分∠BAD． （1）求证：AC2＝AD•AB； （2）点E是AB的中点，连接DE，CE，AC与DE交于点F，若AB＝6，，求AD的长． 【分析】（1）由题意易得∠DAC＝∠CAB，则有△ADC∽△ACB，然后问题可求解； （2）由直角三角形斜边中线可得CE＝AEAB＝3，然后可得AD∥CE，则有△ADF∽△CEF，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC＝∠CAB， ∵∠ADC＝∠ACB＝90°， ∴△ADC∽△ACB， ∴，即AC2＝AD•AB； （2）解：∵点E是边AB的中点，∠ACB＝90°，AB＝6， ∴， ∴∠CAB＝∠ACE＝∠DAC， ∴AD∥CE， ∴△ADF∽△CEF， ∵， ∴． 【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 19．如图，AB＝9，AC＝8，P为AB上一点，∠A＝∠CPD＝∠B，连接CD． （1）若AP＝3，求BD的长； （2）若CP平分∠ACD，求证：PD2＝CD•BD． 【分析】（1）利用一线三等角模型证明△ACP∽△BPD，即可解答； （2）利用角平分线的性质可得∠PCD＝∠ACP，从而可得∠PCD＝∠DPB，然后证明△CPD∽△PBD，即可解答． 【解答】（1）解：∵AB＝9，AC＝3， ∴BP＝AB﹣AP＝9﹣3＝6， ∵∠A＝∠CPD，∠ACP+∠APC＝180°﹣∠A，∠APC+∠BPD＝180°﹣∠CPD， ∴∠ACP＝∠BPD， ∵∠A＝∠B， ∴△ACP∽△BPD， ∴， ∴， ∴BD， ∴BD的长为； （2）证明：∵CP平分∠ACD， ∴∠PCD＝∠ACP， ∵∠ACP＝∠DPB， ∴∠PCD＝∠DPB， ∵∠CPD＝∠B， ∴△CPD∽△PBD， ∴， ∴PD2＝CD•BD． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角模型是解题的关键． 20．如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，AB＝4，点E是边BC的中点，连接DE、AE、BD． （1）求DE的长；（结果保留根号） （2）点F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，AF⊥EF．求证：△AGE∽△DGF． 【分析】（1）只要证明DE是等边△DBC的高即可解决问题； （2）由△AGD∽△EGF，可得，推出，又∠AGE＝∠DGF，即可推出△AGE∽△DGF； 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴CB＝CD， ∵∠C＝60°， ∴△CDB是等边三角形， ∴DB＝DC＝BC＝AB＝4， ∵BE＝EC， ∴DE⊥BC， ∴． （2）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∵DE⊥BC，AF⊥EF ∴∠DEC＝90°，∠AFE＝90° ∴∠ADG＝∠DEC＝∠ADG＝∠GFE＝90°， 又∵∠AGD＝∠EGF， ∴△AGD∽△EGF， ∴， ∴， ∵∠AGE＝∠DGF， ∴△AGE∽△DGF． 【点评】本题考查了相似三角形的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题． 21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，沿折痕EF折叠△AEF，使点A落在线段BC上的点D处． （1）当点D是线段BC的中点时，求线段CE的长； （2）若△DFB与△ACB相似，求线段CD的长． 【分析】（1）由中点可得CD＝4，由折叠可得AE＝ED＝AC﹣CE，再利用勾股定理进行求解即可； （2）由勾股定理得出AB＝10，△DFB与△ACB相似，分两种情况： ①，则FD∥AC，∠BDF＝90°，由折叠的性质得出AF＝DF，设AF＝DF＝x，则BF＝AB﹣AF＝10﹣x，由平行线得出△DFB∽△CAB，得到，即可得出结果； ②，则∠BFD＝90°，则△DFB∽△ACB，得出，即可得出结果． 【解答】解：（1）∵点D是线段BC的中点，BC＝8， ∴CDBC＝4， 由折叠可得AE＝ED＝AC﹣CE＝6﹣CE， ∵∠C＝90°，AC＝6， ∴ED2＝CE2+CD2， 即（6﹣CE）2＝CE2+42， 解得：CE； （2）：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB10，△DFB与△ACB相似，分两种情况： ①，则FD∥AC，∠BDF＝90°，如图1所示： 由折叠性质可知：AF＝DF，设AF＝DF＝x， 则BF＝AB﹣AF＝10﹣x， ∵FD∥AC， ∴△DFB∽△CAB， ∴，即， 解得：x， ∴ ∴BD＝5， ∴CD＝BC﹣BD＝8﹣5＝3； ②，则∠BFD＝90°，如图2所示： 则△DFB∽△ACB， ∴，即， 解得：x， ∴， ∴BD， ∴CD＝BC﹣BD； 综上所述，若△DFB与△ACB相似，则线段CD的长为3或． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、翻折变换的性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换的性质，由三角形相似得出比例式是解题的关键． 22．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，BC＝12，．点E在边BC上，过点E作边BC的垂线，交平行四边形的其它边于点F，在EF的右侧作正方形EFGH． （1）如果点G在对角线AC上，求正方形EFGH的面积； （2）设EF与对角线AC交于点P，如果点G与点D重合，求AP：CP的值； （3）如果点F在边AB上，且△GCH与△BEF相似，求BE的长． 【分析】（1）过A作AM⊥BC垂足为M，根据计算出AM＝8，根据勾股定理计算出，从而得到AM垂直平分BC，再证明△BEF≌△CHG得到BE＝HC，设FE＝x，分别得到，根据BC＝BE+EH+HC建立方程，解方程即可得到答案； （2）根据矩形的性质推到得EF＝AM＝8，得出AF＝AD﹣FD＝12﹣8＝4，再根据勾股定理计算出CH＝6，通过AF∥EC证明△AFP∽△CEP，通过三角形的相似比计算出AP：CP； （3）根据∠B＝∠HCG和∠B＝∠HGC两种情况进行讨论，当∠B＝∠HCG可利用（1）得结论得到答案，当∠B＝∠HGC时，EF＝x，得，，EH＝GH＝x，根据HC＝BC﹣BE﹣EH得到，再根据相似三角形的相似比建立方程，解方程即可得到答案． 【解答】解：（1）如图所示，过A作AM⊥BC垂足为M， ∵sinB，AB＝10， ∴AM＝8， ∴BM6， ∴MC＝6， ∴AM垂直平分BC， ∴AB＝AC，∠B＝∠ACB， 设FE＝x，得sinB， ∴BFx， ∴BEx， ∵， ∴△BEF≌△CHG（AAS）， ∴BE＝HCx， ∵EH＝EF＝x，BC＝BE+EH+HC， ∴x＝12， ∴x， ∴S正方形EFGH＝EF2； （2）如图所示，过A作AM⊥BC垂足为M， ∴AM∥EF，AM⊥BC， ∵平行四边形ABCD， ∴AF∥BC， ∴四边形AMEF为矩形， ∴EF＝AM＝8， ∵AD＝BC＝12，FD＝EF， ∴AF＝AD﹣FD＝12﹣8＝4， ∵CD＝10，DH＝8， ∴CH＝6， ∴EC＝EH﹣CH＝8﹣6＝2， ∵AF∥EC， ∴∠FAP＝∠PCE，∠AFP＝∠PEC， ∴△AFP∽△CEP， ∴2， ∴AP：CP＝2：1； （3）如图所示， ∵△BEF∽△CHG，当∠B＝∠HCG时，点G在AC上时， 由（1）得△BEF≌△CHG，BE， 当∠B＝∠HGC时，点G不在AC上，如图所示， ∵△BEF∽△CHG， ∴， 设EF＝x， 得BFx，BEx，EH＝GH＝x， ∴HC＝BC﹣BE﹣EH＝12x， ∴， ∴， ∴x， ∴x＝9x， ∴x， ∴BE． 【点评】本题考查直角三角函数、正方形、平行四边形、全等三角形和相似三角形的性质，解题的关键是灵活运用直角三角函数和相似三角形的相似比建立方程． 23．如图，在菱形ABCD中，点E在边BC上，连结DE并延长，交AB的延长线于点F，连结AC交DE于点P，连结BP，∠CDP＝∠CBP． （1）求证：△PCD∽△PAF． （2）若AD＝6，PB＝2PE，求BF的长． 【分析】（1）根据菱形的性质得到CD∥AB，则∠CDP＝∠F，∠DCP＝∠PAF，即可证明结论成立； （2）利用菱形的性质得∠CDP＝∠F，∠CDP＝∠CBP，得∠CBP＝∠F，由∠BPE＝∠FPB，即得△BPE∽△FPB，由相似三角形性质和PB＝2PE，得，得，由△CDP∽△AFP，得，由AD＝AB＝CD＝6，即得BF＝AF﹣AB＝6． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴CD∥AB， ∴∠DCP＝∠PAF，∠CDP＝∠F， ∴△PCD∽△PAF； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴CD∥AB， ∴∠CDP＝∠F， ∵∠CDP＝∠CBP， ∴∠CBP＝∠F， 又∵∠BPE＝∠FPB，PB＝2PE， ∴△BPE∽△FPB， ∴， 由对称性知PB＝PD， ∴， ∵△CDP∽△AFP， ∴， ∵AD＝AB＝CD＝6， ∴AF＝12， ∴BF＝AF﹣AB＝6． 【点评】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与方法是解题的关键． 24．如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点，且BEEC，BD与AE相交于点F． （1）求△BEF的周长与△DAF的周长之比； （2）若△BEF的面积为6cm2，求△DAF的面积． 【分析】（1）先利用平行四边形的性质得AD＝BC，AD∥BC，再利用BEEC得到BEAD，接着证明△BEF∽△DAF，然后利用相似三角形的性质可得到△BEF的周长与△AFD的周长之比； （2）根据相似三角形的性质计算△DAF的面积． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵BEEC， ∴BEBC， ∴BEAD， ∵AD∥BE， ∴△BEF∽△DAF， ∴△BEF的周长：△DAF的周长＝BE：AD＝1：3； （2）∵△BEF∽△DAF， ∴△BEF的面积：△AFD的面积＝12：32； ∴S△DAF＝9S△BEF＝9×6＝54（cm2）． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在利用相似三角形的性质时主要利用相似比进行几何计算．也考查了平行四边形的性质． 25．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是边BC的中点，连接AD，作BE⊥AD，垂足为E，连接CE． （1）求证：△DBE∽△DAB； （2）若，CE＝2，求AC的长． 【分析】（1）利用相似三角形的判定定理即可得证； （2）利用相似三角形的判定与性质即可解答． 【解答】（1）证明：∵BE⊥AD， ∴∠BED＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠BED＝∠ABC＝90°， 又∵∠BDE＝∠ADB， ∴△DBE∽△DAB； （2）解：由（1）得△DBE∽△DAB， ∴， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∵△DCE和△DAC同高， ∴， 设DE＝k，则DA＝5k， ∴AE＝DA﹣DE＝4k， ∵△DBE∽△DAB， ∴， ∴DB2＝DE•DA＝k•5k＝5k2， ∴， ∴， 在△CDE和△ADC中， ∵，， ∴， 又∵∠CDE＝∠ADC， ∴△CDE∽△ADC， ∴， ∵CE＝2， ∴， ∴． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 26．在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．求证：△ACP∽△CBP． 【分析】根据AB＝AC，得出∠ABC＝∠ACB，结合∠PCB＝∠PBA，得出∠PBC＝∠PCA，结合∠PAC＝∠PCB，即可证明． 【解答】证明：在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠PBA+∠PBC＝∠ABC，∠PCA+∠PCB＝∠ACB，∠PCB＝∠PBA， ∴∠PCB＝∠PCA， 又∵∠PAC＝∠PCB， ∴△ACP∽△CBP． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 27．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且EF⊥AC于点O，连接AF、CE． （1）请在不增加新的点和线的情况下，添加一个条件：_____，使得四边形AFCE是菱形，并加以证明； （2）在（1）的条件下，在线段AC有一点P，满足2AE2＝AC•AP，求证：CD∥PE． 【分析】（1）当添加OA＝OC时，利用矩形为中心对称图形得到OE＝OF，加上EF⊥AC，则AC和EF互相垂直平分，从而根据菱形的判定方法得到四边形AFCE为菱形； （2）利用AC＝2OA，则2AE2＝2AO•AP可变形为，然后利用∠EAP＝∠OAE可证明△APE∽△AEO，所以∠AEP＝∠AOE＝90°，然后根据平行线的判定方法得到结论． 【解答】（1）解：添加：OA＝OC，则四边形AFCE是菱形． 理由如下：∵OA＝OC， ∴点O为矩形的对称中心， ∴OE＝OF， ∵EF⊥AC， ∴AC和EF互相垂直平分， ∴四边形AFCE为菱形； 故答案为：OA＝OC（答案不唯一）； （2）证明：∵2AE2＝AC•AP， ∴2AE2＝2AO•AP， 即AE2＝AO•AP， ∴， ∵∠EAP＝∠OAE， ∴△APE∽△AEO， ∴∠AEP＝∠AOE＝90°， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠D＝90°， ∴∠AEP＝∠D， ∴CD∥PE． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，利用相似比表示线段之间的关系或计算相应线段的长．也考查了菱形的判定与性质和矩形的性质． 28．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为AC边的中点，延长ED，AB交于点F，求证：△DBF∽△ADF． 【分析】由已知条件得到∠BAC＝∠ADB＝90°，根据余角的性质得到∠BAD＝∠C，由直角三角形的性质和对顶角相等得到∠BAD＝∠BDF，推出△DFB∽△AFD． 【解答】证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC于D， ∴∠BAC＝∠ADB＝90°， ∴∠BAD+∠ABD＝∠ABD+∠C＝90°， ∴∠BAD＝∠C， ∵E是AC的中点， ∴DE＝CE， ∴∠C＝∠EDC， ∵∠EDC＝∠BDF， ∴∠BAD＝∠BDF， ∵∠F＝∠F， ∴△DBF∽△ADF． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质，证明△DFB∽△AFD是解题的关键． 29．如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，交BA于点E，EC与AD相交于点F． 求证：△ABC∽△FCD． 【分析】根据已知利用有两组角对应相等的两个三角形相似来证明． 【解答】证明：∵AD＝AC， ∴∠ADC＝∠ACD， ∵D为BC中点，且DE⊥BC， ∴EB＝EC． ∴∠B＝∠DCF． ∴△ABC∽△FCD． 【点评】此题主要考查学生对有两组角对应相等的两个三角形相似的运用． 30．△ABC∽△A′B′C′，，AB边上的中线CD＝4cm，△ABC的周长为20cm，△A′B′C′的面积是64cm2，求： （1）A′B′边上的中线C′D′的长； （2）△A′B′C′的周长； （3）△ABC的面积． 【分析】（1）根据相似三角形的对应中线的比等于相似比，解答出即可； （2）根据相似三角形的周长之比也等于相似比，解答出即可； （3）根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，解答出即可； 【解答】解：（1）∵△ABC∽△A′B′C′，，AB边上的中线CD＝4cm， ∴， ∴C′D′＝4cm×2＝8cm， ∴A′B′边上的中线C′D′的长为8cm； （2）∵△ABC∽△A′B′C′，，△ABC的周长为20cm， ∴， ∴C△A′B′C′＝20cm×2＝40cm， ∴△A′B′C′的周长为40cm； （3）∵△ABC∽△A′B′C′，，△A′B′C′的面积是64cm2， ∴， ∴S△ABC＝64cm2÷4＝16cm2， ∴△ABC的面积是16cm2． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 31．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D．点E、F分别在边AB、AC上，且BE＝AF，FG∥AB交线段AD于点G，连接BG、EF． （1）求证：四边形BGFE是平行四边形； （2）若△ABG∽△AGF，AB＝10，AG＝6，求线段BE的长． 【分析】（1）根据FG∥AB，又AD平分∠BAC，可证得，∠AGF＝∠GAF，从而得：AF＝FG＝BE，又因为FG∥AB，所以可知四边形BGFE是平行四边形； （2）根据△ABG∽△AGF，可得，求出AF的长，再由（1）的结论：AF＝FG＝BE，即可得BE的长． 【解答】（1）证明：∵FG∥AB， ∴∠BAD＝∠AGF． ∵∠BAD＝∠GAF， ∴∠AGF＝∠GAF，AF＝GF． ∵BE＝AF，∴FG＝BE， 又∵FG∥BE， ∴四边形BGFE为平行四边形．（4分） （2）解：△ABG∽△AGF， ∴， 即， ∴AF＝3.6， ∵BE＝AF， ∴BE＝3.6． （8分） 【点评】解决此类题目，要掌握平行四边形的判定及相似三角形的性质． 32．如图，四边形ABCD是平行四边形，CE⊥AD于点E，DF⊥BA交BA的延长线于点F． （1）求证：△ADF∽△DCE； （2）当AF＝2，AD＝6，且点E恰为AD中点时，求AB的长． 【分析】（1）由平行四边形的性质知CD∥AB，即∠DAF＝∠CDE，再由CE⊥AD、DF⊥BA知∠AFD＝∠DEC＝90°，据此可得； （2）根据△ADF∽△DCE知，据此求得DC＝9，再根据平行四边形的性质可得答案． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB， ∴∠DAF＝∠CDE， 又∵CE⊥AD、DF⊥BA， ∴∠AFD＝∠DEC＝90°， ∴△ADF∽△DCE； （2）∵AD＝6、且E为AD的中点， ∴DE＝3， ∵△ADF∽△DCE， ∴，即， 解得：DC＝9， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝9． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质及平行四边形的性质． 33．如图，△ABC中，AD是中线，点E在AD上，且CE＝CD＝2，∠BAD＝∠ACE． （1）求证：△ABD∽△CAE； （2）求线段AC的长． 【分析】（1）根据等边对等角可得∠CED＝∠CDE，根据相似三角形的判定即可证明△AEC∽△BDA； （2）根据相似三角形的性质可得∠ABD＝∠CAE，推得∠BAC＝∠CED＝∠CDE，根据相似三角形的判定即可证明△ADC∽△BAC，相似三角形对应边成比例即可求解． 【解答】（1）证明：∵CE＝CD， ∴∠CED＝∠CDE， ∴∠BDA＝∠CEA， ∵∠BAD＝∠ACE， ∴△ABD∽△CAE； （2）解：△ABD∽△CAE， ∴∠ABD＝∠CAE， ∵∠BAD＝∠ACE， ∴∠BAD+∠EAC＝∠ACE+∠EAC， ∴∠BAC＝∠ACE+∠EAC， 又∵∠CED＝∠EAC+∠ACE， ∴∠BAC＝∠CED＝∠CDE， ∵∠BAC＝∠CDE，∠DAC＝∠B， ∴△ADC∽△BAC， ∴， △ABC中，AD是中线， ∴BC＝2CD＝4， ∴， ∴AC＝2， ∴线段AC的长为2． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 34．如图，已知在菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，连接EF、ED、DF，DE交AF于点G，且DE⊥EF． （1）求证：AE2＝EG•ED； （2）求证：BC2＝2DF•BF． 【分析】（1）根据直角三角形的性质得到AE＝FE，根据菱形的性质得到AD∥BC，求得∠DAG＝∠AFB＝90°，然后证明△AEG∽△DEA，即可得到结论； （2）由AE＝EF，AE2＝EG•ED，得到FE2＝EG•ED，推出△FEG∽△DEF，根据相似三角形的性质得到∠EFG＝∠EDF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【解答】证明：（1）∵AF⊥BC于点F， ∴∠AFB＝90°， ∵点E是AB的中点， ∴AE＝FE， ∴∠EAF＝∠AFE， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD∥BC， ∴∠DAG＝∠AFB＝90°， ∵DE⊥EF， ∴∠FEG＝90°， ∴∠DAG＝∠FEG， ∵∠AGD＝∠FGE， ∴∠EFG＝∠ADG， ∴∠EAG＝∠ADG， ∵∠AEG＝∠DEA， ∴△AEG∽△DEA， ∴， ∴AE2＝EG•ED； （2）∵AE＝EF，AE2＝EG•ED， ∴FE2＝EG•ED， ∴， ∵∠FEG＝∠DEF， ∴△FEG∽△DEF， ∴∠EFG＝∠EDF， ∴∠BAF＝∠EDF， ∵∠DEF＝∠AFB＝90°， ∴△ABF∽△DFE， ∴， ∵四边形ACBD是菱形， ∴AB＝BC， ∵∠AFB＝90°， ∵点E是AB的中点， ∴FEABBC， ∴， ∴BC2＝2DF•BF． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 35．（1）基础知识：如图，在矩形ABCD中，ADAB，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边上，且EG⊥FH，求证：EGFH． （2）类比探究：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BCD＝60°，AD＝2，点E、F分别在边AB、BC上，且CE⊥DF，6，求AB的长． 【分析】（1）过点D作DM∥EG交AB于点M，过点A作AN∥FH交BC于点N，则四边形EGDM为平行四边形，则EG＝DM，同理AN＝FH，再证明△ADM∽△BAN，利用对应边成比例求解即可； （2）过点D作DG∥BC交BA的延长线于点G，过点C作CH⊥DG于点H．则四边形BCHG为矩形，由（1）得：，可得∠DCH＝∠ADG＝30°，那么GA＝1，由勾股定理得，，设DH＝x，同理可得：，则，解得x＝2，即可求解． 【解答】（1）证明：如图1，四边形ABCD为矩形，过点D作DM∥EG交AB于点M，过点A作AN∥FH交BC于点N， ∴∠DAM＝∠B＝90°，AB∥DC， ∵AB∥CD，DM∥EG， ∴四边形EGDM为平行四边形， ∴EG＝DM， 同理AN＝FH， ∵EG⊥FH， ∴AN⊥DM， ∴∠BAN+∠DAN＝∠DAN+∠ADM＝90°， ∴∠ADM＝∠BAN， ∴△ADM∽△BAN， ∴， ∵ADAB， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2，∠ABC＝90°，过点D作DG∥BC交BA的延长线于点G，过点C作CH⊥DG于点H． ∴∠G＝∠ABC＝90°， 又∵CH⊥DG， ∴∠G＝∠ABC＝∠H＝90°， ∴四边形BCHG为矩形， ∴∠BCH＝90° 由（1）得：， ∵∠BCD＝60°， ∴∠DCH＝30°， ∵∠ADC＝90°， ∴∠DCH+∠CDH＝∠ADG+∠CDH， ∴∠DCH＝∠ADG＝30°， ∵AD＝2， ∴GA＝1， 在直角三角形ADG中，由勾股定理得：， 设DH＝x， 同理可得：， ∴， 解得：x＝2， ∴， ∴． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，矩形的性质，正确构造相似三角形是解题的关键． 36．如图，在正方形ABCD中，边长为4，∠MDN＝90°，将∠MDN绕点D旋转，其中DM边分别与射线BA、直线AC交于E、Q两点，DN边与射线BC交于点F；连接EF，且EF与直线AC交于点P． （1）如图1，点E在线段AB上时， ①求证：AE＝CF； ②求证：DP垂直平分EF； （2）当AE＝1时，求PQ的长． 【分析】（1）①只要证明△ADE≌△CDF（ASA）即可解决问题； ②利用相似三角形的性质证明∠PDQ＝45°即可解决问题； （2）①当点E在线段AB上时，作QH⊥AD于H，QG⊥AB于G．由△AQD∽△EQP，可知AQ•PQ＝DQ•EQ，想办法求出AQ，EQ，DQ即可解决问题；②当点E在BA的延长线上时，作QH⊥AD于H，QG⊥AB于G，方法类似． 【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴DA＝DC，∠ADC＝∠DAE＝∠DCF＝90°， ∴∠ADC＝∠MDN＝90°， ∴∠ADE＝∠CDF， ∴△ADE≌△CDF（ASA）， ∴AE＝CF． ②∵△ADE≌△CDF（ASA）， ∴DE＝DF，∵∠MDN＝90°， ∴∠DEF＝45°， ∵∠DAC＝45°， ∴∠DAQ＝∠PEQ，∵∠AQD＝∠EQP， ∴△AQD∽△EQP， ∴， ∴，∵∠AQE＝∠PQD， ∴△AQE∽△DQP， ∴∠QDP＝∠QAE＝45°， ∴∠DPE＝90°， ∴DP⊥EF，∵DE＝DF， ∴PE＝PF， ∴DP垂直平分线段EF． （2）解：①当点E在线段AB上时，作QH⊥AD于H，QG⊥AB于G． 在Rt△ADE中，DE， ∵∠QAH＝∠QAG＝45°， ∴HQ＝QG＝AH＝AG，设QH＝x， ∵4×x1×x1×4， ∵x， ∴AQ，DQ，EQ， ∵△AQD∽△EQP， ∴AQ•PQ＝DQ•EQ， ∴PQ． ②当点E在BA的延长线上时，作QH⊥AD于H，QG⊥AB于G． 在Rt△ADE中，DE， ∵∠QAH＝∠QAG＝45°， ∴HQ＝QG＝AH＝AG，设QH＝x， ∵4×x1×x1×4， ∵x， ∴AQ，DQ，EQ， ∵△AQD∽△EQP， ∴AQ•PQ＝DQ•EQ， ∴PQ． 综上所述，PQ的长为或． 【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 37．如图，在△ABC中，AB＝AC，△ADE∽△ABC，连接BD，CE． （1）判断BD与CE的数量关系，并证明你的结论； （2）若AB＝3，AD＝3，∠BAC＝105°，∠CAD＝30°． ①BD的长为　3　 ； ②点P，Q分别为BC，DE的中点，连接PQ，写出求PQ长的思路． 【分析】（1）根据SAS证明△ABD≌△ACE即可； （2）①如图1中，作DH⊥BA交BA的延长线于H．想办法证明△AHD是等腰直角三角形，求出BH，DH即可解决问题； ②如图2中，连接PQ，AQ，AP，作QH⊥PA交PA的延长线于H．想办法求出HQ，PH，根据PQ计算即可． 【解答】解：（1）结论：BD＝CE， 理由：∵△ADE∽△ABC， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE， 即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）①如图1中，作DH⊥BA交BA的延长线于H． ∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝135°， ∴∠DAH＝45°， ∵∠H＝90°，AD＝3， ∴AH＝DH＝3， 在Rt△BDH中，BD3， 故答案为：3； ②如图2中，连接PQ，AQ，AP，作QH⊥PA交PA的延长线于H． 在Rt△ABP中，AP＝AB•sin37.5°， 在Rt△AQD中，AQ＝AD•sin37.5°， 在Rt△AHQ中，根据∠HAQ＝45°，可得AH＝HQAQ， 求出HQ，PH，根据PQ计算即可． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 38．已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，BC＝2AD，E是BC的中点，连接AE、AC． （1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图1），求证：△AOE∽△COF； （2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE与点G（如图2），求证：四边形EFDG是菱形． 【分析】（1）由点E是BC的中点，BC＝2AD，可证得四边形AECD为平行四边形，即可得△AOE∽△COF； （2）连接DE，易得四边形ABED是平行四边形，又由∠ABE＝90°，可证得四边形ABED是矩形，根据矩形的性质，易证得EF＝GD＝GE＝DF，则可得四边形EFDG是菱形． 【解答】证明：（1）∵点E是BC的中点，BC＝2AD， ∴EC＝BEBC＝AD， 又∵AD∥BC， ∴四边形AECD为平行四边形， ∴AE∥DC， ∴△AOE∽△COF； （2）连接DE， ∵AD∥BE，AD＝BE， ∴四边形ABED是平行四边形， 又∠ABE＝90°， ∴四边形ABED是矩形， ∴GE＝GA＝GB＝GDBDAE， ∴E、F分别是BC、CD的中点， ∴EF、GE是△CBD的两条中位线， ∴EFBD＝GD，GECD＝DF， 又GE＝GD， ∴EF＝GD＝GE＝DF， ∴四边形EFDG是菱形． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形与菱形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是要注意数形结合思想的应用． 39．在三角形ABC中，∠ACB＝90°，，点D在线段AB上，△ACB∽△CDE，连接BE． （1）如图1，若AB平行CE，求； （2）如图2，若，AC＝1，求线段BD的长度； （3）如图3，若∠AEC＝∠BCD，求的值． 【分析】（1）利用平行线的性质得出内错角相等，结合相似三角形的对应角关系，推导出角平分线结论；再通过相似三角形的对应边成比例，并借助勾股定理求出边长关系，最终得出； （2）本题属于旋转手拉手相似；先证△ACD∽△BCE，得到对应角相等推出∠ABE＝90°，再依靠勾股定理建立方程求出BD； （3）由已知角度相等及相似三角形的性质，推导出新的相似三角形△ACM∽△ACB；由此得出对应边的比例关系，确定两个三角形的相似比；最后根据“相似三角形面积比等于相似比的平方”，直接得出面积比为． 【解答】（1）由△ACB∽△CDE， 得∠A＝∠DCE， ∠ACB＝∠CDE＝90°， ∵AB∥CE， ∴∠ADC＝∠DCE． ∴AC＝CD， ∵AC：CB＝1：2， 设AC＝CD＝k，则CB＝2k， 由勾股定理，得ABk， 因此，； （2）∵∠ACB＝90°，， AC＝1， ∴BC＝2， 由勾股求得， ∵△ACB∽△DCE（∠ACB＝∠DCE＝90°）， ∴∠ACD＝∠BCE， ， ∴△ACD∽△BCE， ∴∠CAD＝∠CBE， ． ∵∠CAD+∠ABC＝90°， ∴∠CBE+∠ABC＝90°，即∠ABE＝90°， 设BD＝x，则ADx， BE＝2AD＝2（x）， 在Rt△DBE中，由勾股定理：BE2+BD2＝DE2， 由相似， 解得； （3）∵△ACB∽△CDE， ∴∠ABC＝∠DEC， ∴CD 所对的角∠ABC＝∠DEC， ∴D、B、E、C四点共圆， 设AE与CB交于点F， 如图所示： ∵DB＝DB， ∴∠DCB＝∠DEB， ∴∠DCB＝∠DEB＝∠AEC， ∴∠AEC+∠AED＝∠BED+∠AED， 即∠CED＝∠AEB， ∵EC＝CE， ∠CDE＝90°， ∴∠CDE＝∠CBE＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠CBE， ∴AC∥BE， ∴∠FEB＝∠CAE， ∴∠FEB＝∠CAE＝∠CED， ∴∠CAF＝∠CBD， ∵∠ACB＝∠FCA， ∴△ACF∽△BCA， ∴， 设CF＝b， 则AC＝2b， BC＝4b， ∴， ， BF＝CB﹣CF＝3b， ∵AC∥BE， ∴△ACF∽△EBF， ∴， ∴BE＝6b， ∴， ∵△ACB∽△CDE， ∴． 【点评】题目考查了相似三角形的性质，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 40．如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，AB＝4，点E是边BC的中点，连接DE、AE、BD． （1）求DE的长；（结果保留根号） （2）点F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，AF⊥EF． ①求证：△AGE∽△DGF； ②求DF的长．（提示：过点E作EH⊥CD于点H．） 【分析】（1）只要证明DE是等边△DBC的高即可解决问题； （2）①由△AGD∽△EGF，可得，推出，又∠AGE＝∠DGF，即可推出△AGE∽△DGF； ②求出CF的长即可解决问题． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴CB＝CD， ∵∠C＝60°， ∴△CDB是等边三角形， ∴DB＝DC＝AB＝4， ∵BE＝EC ∴DE⊥BC， ∴DE＝CD•sinC＝2． （2）①证明：∵AD∥BC ∴∠ADG＝∠DEC＝90°， ∴∠ADG＝∠GFE＝90°， 又∵∠AGD＝∠EGF， ∴△AGD∽△EGF， ∴， ∴， ∵∠AGE＝∠DGF， ∴△AGE∽△DGF， ②解：作EH⊥CD于H． ∵△AGE∽△DGF， ∴∠EAG＝∠GDF＝30°， ∵∠GFE＝∠ADG＝90°， ∴EFAE， 在Rt△ECH中，CH＝1，EH， 在Rt△EFH中，FH2， ∴CF＝2+1＝3， ∴DF＝CD﹣CF＝1． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、直角三角形30°角性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题． 41．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD2＝AD•BC，点E是腰CD上的点，∠ABD＝∠DBE，点F是线段BC上的点，联结DF交BE于点O． （1）求证：∠ABD＝∠C； （2）当DB＝DF时，求证：． 【分析】（1）证明△ADB∽△DBC，即可利用性质证得结论； （2）因为∠ABD＝∠DBE，∠ABD＝∠C．所以∠DBE＝∠C．证明△DBE∽△DCB，可得∠DEB＝∠DBC，又DB＝DF，则∠DBC＝∠DFB，∠DEB＝∠DFB，∠BEC＝∠DFC．又∠C＝∠C，可证明△DCF∽△BCE，从而，由△ADB∽△DBC可得，从而． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC． ∵BD2＝AD•BC，即， ∴△ADB∽△DBC， ∴∠ABD＝∠C． （2）证明：∵∠ABD＝∠DBE，∠ABD＝∠C． ∴∠DBE＝∠C． ∵∠BDE＝∠CDB， ∴△DBE∽△DCB， ∴∠DEB＝∠DBC， ∵DB＝DF， ∴∠DBC＝∠DFB， ∴∠DEB＝∠DFB， ∴∠BEC＝∠DFC． 又∵∠C＝∠C， ∴△DCF∽△BCE， ∴， 由△ADB∽△DBC可得， 从而可得． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握以上内容是解题关键． 42．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD有交点，且∠ABC+∠ADC＝90°．点E与点C在BD同侧，连接BE，CE，DE，若△ABD∽△CBE． （1）求证：DC⊥CE； （2）若，BD＝20，，求△BDE的面积． 【分析】（1）根据四边形内角和定理求出∠DAB+∠DCB＝270°，再根据相似三角形的性质证得∠BCE＝∠BAD，可得∠BCE+∠BCD＝270°，再根据周角360°即可证明； （2）过点A作AF⊥CD于F，过点D作DN⊥BE于N，设CE＝16k （k＞0），则AF＝5k，通过证明△BAD∽△BCE，求得AD＝10k，解直角三角形得∠ABC＝60°，再根据相似三角形的性质得出BE的长和∠DBE的度数，由勾股定理得DN，则答案可解． 【解答】（1）证明：∵∠ABC+∠ADC＝90°， ∴∠BAD+∠BCD＝360°﹣∠ABC﹣∠ADC＝270°， ∵△ABD∽△CBE， ∴∠BCE＝∠BAD， ∴∠BCE+∠BCD＝270°， ∴∠DCE＝360°﹣∠BCE﹣∠BCD＝90°， ∴CD⊥CE； （2）解：过点A作AF⊥CD于F， ∵， ∴， ∴设CE＝16k （k＞0），则AF＝5k， ∵△BAD∽△BCE， ∴， ∴AD＝10k， 在Rt△DAF中，， ∴∠AFD＝90°， ∴sin∠ADF， ∴∠ADC＝30°， ∵∠ABC十∠ADC＝90°， ∴∠ABC＝60°， ∵△BAD∽△BCE， ∴∠ABD＝∠CBE， ， ∴∠ABD+∠DBC＝∠CBE+∠DBC， ∴BE＝BD•2032， ∴∠DBE＝∠ABC＝60°， 过点D作DN⊥BE于N， 在Rt△DBN中，∠DBN＝60°， ∴∠BDN＝30°， ∴BNBD＝10， DN， ∴BE•DN32×10160． 【点评】本题考查了相似三角形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三边形解决问题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/20 13:32:50；用户：李琴；邮箱：18982220585；学号：32223137 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 相似三角形 一．解答题（共42小题） 1．已知：如图，AB⊥BD，垂足为B、CD⊥BD，垂足为D，AC与BD相交于点O求证：△ABO∽△CDO． 2．如图，在△ABC，AB＝10，AC＝8，点D，E分别在边AB和AC上，且AD＝5，AE＝4．求证：△ABC∽△ADE． 3．如图，已知△ADE∽△ABC，DE与BC具有怎样的位置关系？为什么？ 4．已知△ABC与△A1B1C1相似且对应中线的比为4：3，△ABC的周长为12，求△A1B1C1的周长． 5．如图，△ABC中，点D，E分别是BC，AB上的点，CE，AD交于点F，BD＝AD，BE＝EC． （1）求证：△ABD∽△CBE； （2）若CD＝CF，试求∠ABC的度数． 6．如图，点D，点E是△ABC边BC上的两点，∠BAD＝∠BDA，AD平分∠EAC．求证：BD2＝BE•BC． 7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，求证：△BOC∽△DOA． 8．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接AC、BE，它们相交于点F，且∠ACB＝∠ABE． （1）求证：AE2＝EF•BE； （2）若AE＝2，EF＝1，求BF的长． 9．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝10cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动．设运动时间为t秒，如果点P，Q的运动速度分别为2cm/s和1cm/s． （1）当t为何值时，点P，Q相距10cm； （2）当t为何值时，△ABC与△PQC相似． 10．在Rt△ABC中，两直角边分别为3cm，4cm；在Rt△A'B'C'中，斜边为25cm，一条直角边为15cm．问这两个直角三角形相似吗？为什么？ 11．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A出发沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，两点同时出发．问运动几秒后，△PBQ与△ABC相似？ 12．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝1，CD＝4，P为BC边上的一个动点，连接AP，PD． （1）若△ABP与△PDC相似，且BP，PC的长为方程x2﹣5x+m＝0的两根，求BP的长； （2）若点P在线段BC上运动时恰好存在两个位置使得△ABP与△PDC相似，求BC的长． 13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以vcm/s的速度由C向A点运动，若点P运动时间为ts． （1）若四边形ADPQ是平行四边形，则t＝　2　 ，v＝　3　 ； （2）若v＝1cm/s，求△BPD与△CQP相似时t的值． 14．如图在△ABC中，D为AB边上一点，且△CBD∽△ACD． （1）求∠ADC度数； （2）如果AC＝4，BD＝6，求CD的长． 15．如图，在△ABC中，点D为AC边上一点，连接BD，△ABC∽△BDC，E，F分别为AC，BC的中点，连接BE，DF，已知AC＝6，BC＝4，BE＝3，求DF的长． 16．如图，在▱ABCD中，在AD延长线上取一点P，连接BP交CD于点E，且． （1）求的值． （2）若△BCE的面积为9，求△ABP的面积． 17．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB＝∠ACB． （1）求证：△ABE∽△ACB； （2）若AB⊥AC，AE：EC＝1：2，求∠ABC的度数． 18．如图，在Rt△ABC和Rt△ADC中，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC平分∠BAD． （1）求证：AC2＝AD•AB； （2）点E是AB的中点，连接DE，CE，AC与DE交于点F，若AB＝6，，求AD的长． 19．如图，AB＝9，AC＝8，P为AB上一点，∠A＝∠CPD＝∠B，连接CD． （1）若AP＝3，求BD的长； （2）若CP平分∠ACD，求证：PD2＝CD•BD． 20．如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，AB＝4，点E是边BC的中点，连接DE、AE、BD． （1）求DE的长；（结果保留根号） （2）点F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，AF⊥EF．求证：△AGE∽△DGF． 21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，沿折痕EF折叠△AEF，使点A落在线段BC上的点D处． （1）当点D是线段BC的中点时，求线段CE的长； （2）若△DFB与△ACB相似，求线段CD的长． 22．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，BC＝12，．点E在边BC上，过点E作边BC的垂线，交平行四边形的其它边于点F，在EF的右侧作正方形EFGH． （1）如果点G在对角线AC上，求正方形EFGH的面积； （2）设EF与对角线AC交于点P，如果点G与点D重合，求AP：CP的值； （3）如果点F在边AB上，且△GCH与△BEF相似，求BE的长． 23．如图，在菱形ABCD中，点E在边BC上，连结DE并延长，交AB的延长线于点F，连结AC交DE于点P，连结BP，∠CDP＝∠CBP． （1）求证：△PCD∽△PAF． （2）若AD＝6，PB＝2PE，求BF的长． 24．如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点，且BEEC，BD与AE相交于点F． （1）求△BEF的周长与△DAF的周长之比； （2）若△BEF的面积为6cm2，求△DAF的面积． 25．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是边BC的中点，连接AD，作BE⊥AD，垂足为E，连接CE． （1）求证：△DBE∽△DAB； （2）若，CE＝2，求AC的长． 26．在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．求证：△ACP∽△CBP． 27．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且EF⊥AC于点O，连接AF、CE． （1）请在不增加新的点和线的情况下，添加一个条件：_____，使得四边形AFCE是菱形，并加以证明； （2）在（1）的条件下，在线段AC有一点P，满足2AE2＝AC•AP，求证：CD∥PE． 28．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为AC边的中点，延长ED，AB交于点F，求证：△DBF∽△ADF． 29．如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，交BA于点E，EC与AD相交于点F． 求证：△ABC∽△FCD． 30．△ABC∽△A′B′C′，，AB边上的中线CD＝4cm，△ABC的周长为20cm，△A′B′C′的面积是64cm2，求： （1）A′B′边上的中线C′D′的长； （2）△A′B′C′的周长； （3）△ABC的面积． 31．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D．点E、F分别在边AB、AC上，且BE＝AF，FG∥AB交线段AD于点G，连接BG、EF． （1）求证：四边形BGFE是平行四边形； （2）若△ABG∽△AGF，AB＝10，AG＝6，求线段BE的长． 32．如图，四边形ABCD是平行四边形，CE⊥AD于点E，DF⊥BA交BA的延长线于点F． （1）求证：△ADF∽△DCE； （2）当AF＝2，AD＝6，且点E恰为AD中点时，求AB的长． 33．如图，△ABC中，AD是中线，点E在AD上，且CE＝CD＝2，∠BAD＝∠ACE． （1）求证：△ABD∽△CAE； （2）求线段AC的长． 34．如图，已知在菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，连接EF、ED、DF，DE交AF于点G，且DE⊥EF． （1）求证：AE2＝EG•ED； （2）求证：BC2＝2DF•BF． 35．（1）基础知识：如图，在矩形ABCD中，ADAB，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边上，且EG⊥FH，求证：EGFH． （2）类比探究：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BCD＝60°，AD＝2，点E、F分别在边AB、BC上，且CE⊥DF，6，求AB的长． 36．如图，在正方形ABCD中，边长为4，∠MDN＝90°，将∠MDN绕点D旋转，其中DM边分别与射线BA、直线AC交于E、Q两点，DN边与射线BC交于点F；连接EF，且EF与直线AC交于点P． （1）如图1，点E在线段AB上时， ①求证：AE＝CF； ②求证：DP垂直平分EF； （2）当AE＝1时，求PQ的长． 37．如图，在△ABC中，AB＝AC，△ADE∽△ABC，连接BD，CE． （1）判断BD与CE的数量关系，并证明你的结论； （2）若AB＝3，AD＝3，∠BAC＝105°，∠CAD＝30°． ①BD的长为　　 ； ②点P，Q分别为BC，DE的中点，连接PQ，写出求PQ长的思路． 38．已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，BC＝2AD，E是BC的中点，连接AE、AC． （1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图1），求证：△AOE∽△COF； （2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE与点G（如图2），求证：四边形EFDG是菱形． 39．在三角形ABC中，∠ACB＝90°，，点D在线段AB上，△ACB∽△CDE，连接BE． （1）如图1，若AB平行CE，求； （2）如图2，若，AC＝1，求线段BD的长度； （3）如图3，若∠AEC＝∠BCD，求的值． 40．如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，AB＝4，点E是边BC的中点，连接DE、AE、BD． （1）求DE的长；（结果保留根号） （2）点F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，AF⊥EF． ①求证：△AGE∽△DGF； ②求DF的长．（提示：过点E作EH⊥CD于点H．） 41．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD2＝AD•BC，点E是腰CD上的点，∠ABD＝∠DBE，点F是线段BC上的点，联结DF交BE于点O． （1）求证：∠ABD＝∠C； （2）当DB＝DF时，求证：． 42．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD有交点，且∠ABC+∠ADC＝90°．点E与点C在BD同侧，连接BE，CE，DE，若△ABD∽△CBE． （1）求证：DC⊥CE； （2）若，BD＝20，，求△BDE的面积． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $