相似三角形判定常考五大重点题型分类训练2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 按五大图形模型（大A型、八字形、子母型、一线三等角、旋转型）分类训练，题型覆盖选择、解答，突出图形特征与判定方法的对应，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |大A型相似|6题|含图形剪开、中点剪法等变式|从平行线或公共角出发，应用两角对应相等判定| |八字形相似|5题|涉及平行四边形、测河宽等情境|利用对顶角或平行线，结合比例线段推理| |子母型相似|14题|含菱形、直角三角形等综合题|通过公共角与边的比例关系，强化判定定理应用| |一线三等角型|8题|涵盖等边三角形、正方形等背景|依托等角转化，构建相似三角形模型| |旋转型相似|5题|涉及旋转、动点等动态问题|结合旋转性质，推导角与边的关系判定相似|

相似三角形判定常考重点五大题型分类训练 ◆题型01相似三角形判定之大A型相似 1．如图，已知，，，．将沿图中的剪开，则剪下的阴影三角形与不相似的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（  ）种不同的剪法． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 4．如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，点，是中边上的点，． (1)求证： (2)若、，，求的长． 6．如图，点D、E分别在的边上，若，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． ◆题型02相似三角形判定之八字形型相似 7．如图，在中，F是延长线上一点，连接交于点E，请写出图中的一对相似三角形：________． 8．受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，方方设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在一条直线上，量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 9．已知平行四边形的对角线与相交于点O，点E是边所在直线上一点． (1)如图1，当点E是线段的中点时，求证：； (2)如图2，当点E在的延长线上时，连接交于点F．已知．，求的长． 10．已知如图中各有两个三角形，其边长或角的度数已在图中标注，图中，交于点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（   ） A．都相似 B．都不相似 C．只有相似 D．只有相似 11．【知识背景】华师版（2013版）九上第23章《图形的相似》习题23.3第1（2）题： 如图，点、点分别在的边、的延长线上，连接，若，则与相似吗？ (1)请解答上述习题． 【问题探究】 (2)同学们在完成这个习题后，老师进一步提出这样一个问题：如图，连接、，求与的数量关系． ①为了解决这个问题，小明提出了一个好方法： 由（1）中的两个三角形相似，通过更比性质，可进一步证出与相似，从而得到，再通过角度之间的关系，可将问题解决． 请按照小明的思路完成对与相似的证明，具体做法如下： 证明：由（1）得：________， ∴ ∴（相似三角形的对应角相等）． 请补全上述证明过程． ②根据（1）和（2）①中的结论，直接写出与的数量关系为________． (3)【拓展提升】如图，在和中，，，，延长交于点，连接、．当且时，________°，________． ◆题型03相似三角形判定之子母型相似 12．如图，下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 13．如图，点在的边上，连接，下列无法判定的条件是（   ） A． B． C． D． 14．如图，在中，，．嘉嘉想用尺规作图法，在的边上找一点，使得．其中不能实现的是（   ） A． B． C． D． 15．如图，在菱形中，，点，分别是，上的动点，且与交于点，连接，则下列说法中不正确的是（    ） A． B． C．为定值 D．平分 16．如图，是直角三角形，于是上的点，的延长线与的延长线交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 17．已知，中，，，是的中点，交的延长线于点．若． (1)求证：； (2)求的值． 18．已知中，，平分交于点，其中． (1)求的度数； (2)将绕点逆时针旋转至，其中点的对应点落在边上，先用尺规作出（要求保留作图痕迹），后标记与的交点，求证：． 19．如图，D是的边上的一点，． (1)与相似吗？请说明理由． (2)若，，求的长． 20．如图，在中，，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 21．如图，D是的边上的一点，连接，已知．求证：． 22．如图，在中，D为上一点，E为上一点，如果，． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 23．如图，在中，点是的边上的一点． (1)判断三人的对错：小星_____，小红_____，小亮_____．（填“对”“错”） (2)选择一种正确的方法求证：； (3)若，且，，求． 24．如图，是的边上的一点，连接，已知． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 25．如图，在中，点是的边上的一点． (1)请判断三人的说法的对错，小星_______，小红_______，小亮_______．（填“对”或“错”） (2)选择一种正确的方法，求证：； (3)在（）的条件下，，若，，直接写出的长． 26．将两个全等的等腰直角三角形摆放成如图所示的样子（图中所有的点、线在同一平面内）．求证： (1)； (2)． ◆题型04相似三角形判定之一线三等角型相似 27．（1）解方程： （2）如图，等边三角形中，点D在边上，，求证：． 28．如图，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，且．求证：． 29．如图，在等边三角形中，点，，分别在，，边上，连接，，，且． (1)求证：． (2)添加一个条件 求证：． 30．如图，在中，，以为边作，过点E作．交的延长线于点D．求证：． 31．如图，正方形中，M为上一点，，交于点N． (1)求证：； (2)若，，求的长． 32．如图，在四边形中，，点为的中点，． (1)求证：； (2)求证： 33．如图，在等腰三角形中，，，D是边上的一个动点，（不与B、C重合）在边上取一点E，使． (1)求证：； (2)若，求的长． 34．如图，将矩形纸片沿着过点D的直线折叠，使点A落在边上，落点为F，折痕交边于点E， (1)求证：； (2)若，，求的长． ◆题型05相似三角形判定之旋转型相似 35．如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是_____（填序号） 36．如图，已知，请添加一个条件使和相似，则不成立的是（   ） A． B． C． D． 37．如图，在锐角中，D，E两点分别在边上，于点M，于点N，． (1)求证：； (2)若，求的值． 38．已知，如图，在中，，D是线段上一点（不与端点B、C重合），连结，以为边，在的右侧作等边，线段与线段交于点F．求证：． 39．如图，在和中，． (1)求证：； (2)若，求的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026年9月11日初中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C C C A C A D C 题号 11 答案 B 1．B 【详解】解：A、，，由两角对应相等，可得出剪下的阴影三角形与相似，不符合题意； B、，但对应成比例的两边的夹角不一定相等，无法得出剪下的阴影三角形与相似，符合题意； C、，，且，由两边对应成比例及夹角相等，可得出剪下的阴影三角形与相似，不符合题意； D、由，，可得出，不符合题意． 2．B 【详解】解：A、如图， 根据题意得，， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； B、如图， ∵不知道的长度， ∴无法求出的长度， ∴无法得出和以为夹角的两边成比例 ∴剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似，符合题意； C、如图， ∵， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； D、∵，且 ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意． 3．C 【分析】根据相似三角形的判定方法进行判断即可. 【详解】解：要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有以下3种剪法： ，，，可得，，. 4．C 【分析】利用相似三角形的判定定理，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．阴影三角形的外角为，根据三角形外角定理，阴影三角形的一个内角等于．角与原三角形的相等，且阴影三角形与原三角形共享．根据两角对应相等，阴影三角形与相似． B．阴影三角形的外角为，其内角为，与原三角形的相等，且共享．根据两角对应相等，阴影三角形与相似． C．阴影三角形与原三角形共享，夹的两边为上的和上的．原三角形夹的两边比为，阴影三角形夹的两边比为．两组边的比例相同，但所夹的角不相等，不满足两边对应成比例且夹角相等的相似判定．图中无额外等角信息，无法用两角对应相等判定相似．所以，阴影三角形与不相似． D．阴影三角形与原三角形共享，夹的两边为上的（，截取了）和上的（，截取后剩余）得阴影三角形两边比：（或逆序）．原三角形两边比：；若按对应阴影边、对应阴影边，比例为，满足两边对应成比例及其夹角相等，两三角形相似，所以，阴影三角形与相似． 5．C 【分析】根据，得，观察各选项中是否满足即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 选项A：图中所作为的角平分线， 故，满足； 选项B：图中所作为线段的垂直平分线， 得， ∴， ∴，满足； 选项C：图中所作为的垂线， ∴，故不满足； 选项D：图中所作为， ∴，满足； 综上，不满足的做法为选项C． 6．A 【分析】先证明，可得，如图，过点D作于M，于N，可得，证明，，，再进一步分析即可. 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴，，为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点D作于M，于N， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 故D正确，不符合题意； ∴， ∴ ； 故A错误，符合题意； ∵，， ∴， 故B正确，不符合题意； ∵， ∴， 故C正确，不符合题意； 故选：A. 7．C 【分析】根据相似三角形的判定方法对各选项进行判断即可． 【详解】解：选项：，，， ， ， ； 选项：，， ； 选项：有一组角相等且两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似； 选项：，，， ， ，，， ， ， ， ． 8．A 【分析】根据相似三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：图中，∵， ， ∴两三角形中有两个角分别对应相等，故两三角形相似； ∵，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 综上可知两对三角形都相似． 9．D 【分析】根据各选项条件及相似三角形的判定定理逐一判定即可． 【详解】解：A、，， ，故本选项不符合题意； B、，， ，故本选项不符合题意； C、， ∴， 又， ，故本选项不符合题意； D、，与的大小无法判定， 无法判定，故本选项符合题意． 10．C 【分析】依据相似三角形的判定定理，对每个选项逐一分析能否判定和相似即可． 【详解】解：A项：∵，， ∴，故A成立，不符合题意； B项：∵，， ∴，故B成立，不符合题意； C项：∵在和中，和不是对应边， ∴不能判断和相似，故C不成立，符合题意； D项：在和中，，，故D成立，不符合题意， 综上，不成立的是C． 11．B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由图可知是公共角， 当添加时，由两角对应相等能判定，该选项符合题意； 当添加时，公共角，不是对应边成比例，无法判断，该选项符合题意； 当添加时，由两角对应相等能判定，该选项不合题意； 当添加时，公共角，由对应两边成比例且夹角相等，能判定，该选项不合题意； 故选：B． 12．①②或①③ 【分析】由可得．只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使得． 【详解】解：∵， ∴，即． 当或时，．即①②或①③符合题意． 13．（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据平行四边形的性质，可得，从而可根据平行的性质，得到，从而可判断，，，据此作答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 14．证明：∵， ∴，， ∴． 【详解】解：略 15．(1) 证明：∵， ∴， ∴； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）根据得到对应角相等，从而证明所求的两三角形相似； （2）根据相似三角形的性质，得到比例式，代入数据即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵、，， ∴， ∴． 16．(1) 证明：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】（1）根据两组对应角相等，证明； （2）根据相似三角形对应边成比例列式求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ∴， 即， 解得． 17．(1) 证明： ，， ． (2)河宽为60米 【分析】本题考查的是相似三角形的应用． （1）由，可得结论． （2）利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ， 由题意知，，，， 即， ， 答：河宽为60米． 18．(1) 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵是线段的中点， ∴，是的中位线， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质， （1）由三角形的中位线证得，由，根据平行线的性质证得∠，，根据相似三角形的判定可证得结论； （2）根据平行四边形的性质得到，，过作交于，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过作交于， ∴， ∴，即， ∴，， ∴.， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 19．(1)与相似，理由如下： ∵，， ∴； (2)①∵， ∴，，即， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴； (3)90； 【分析】（1）利用两角对应相等即可证明； （2）①利用两边对应成比例且夹角相等证明，推出； ②利用三角形内角和定理即可得到； （3）证明，推出，，利用（2）的结论即可得到；再利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：略 （2）证明：略 （3）解：∵在和中，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在四边形中，， 由（2）得， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．(1)证明：，， ， ， ， ， ， ， ． 又， ， ， ． (2) 【分析】（1）要证明乘积式，可以将其转化为比例式，通过证明完成推导； （2）将已知线段长度直接代入（1）中等积式即可求出线段的长度． 【详解】（1）略． （2）解：， ． 由（1）可知， ， ． 21．(1)证明：∵，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】（1）利用余角的性质得到，利用直角三角形斜边中线的性质结合等腰三角形的性质可得，进而得到，即可证得结论； （2）根据相似三角形的性质可得，设，表示出即可解决问题． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴． 22．(1) (2)如图，即为所求； 证明：∵旋转， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【分析】（1）等边对等角，结合三角形的内角和定理以及角平分线的定义即可得出结果； （2）先分别以、为圆心，长为半径画弧，交于点，，连接交于，则垂直平分，此时，得到，再分别以、为圆心，长为半径画弧，交点即为，此时，连接，，即得到，证明，结合即可得证. 【详解】（1）解：∵，平分交于点，， ∴，， ∴； （2）略 23．(1) ，理由如下： ∵，， ∴． (2) 【分析】（1）由，，即可证明； （2）由可得，代入，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解： 由（1）可得 ， ∴， ∴， ∴． 24．(1) 证明：，， ， ， ； (2)的长为． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质． （1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论； （2）由，得到，推出，把已知数据代入计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ，， ， 解得（负值已舍去）， 则的长为． 25．证明：∵，，∴． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据两组角对应相等的两个三角形相似可证明结论． 【详解】略 26．(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． (2) 6 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质． （1）根据，可得，即有，结合，可得； （2）根据，可得，即，代入已知条件即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，则， ∵，，， ∴， ∴． 27．(1)对，对，错 (2) 解：小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴； (3) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （2）根据相似三角形的判定方法进行证明即可求解； （3）利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：小星和小红对，小亮错，证明如下： 小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴； 小亮的证明：由， 由不是和的夹角，故不能证明． ∴小星和小红对，小亮错． 故答案为：对，对，错． （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴， 解得：． 28．(1) 证明：在和中，，， ∴； (2)2 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）根据已知角相等，再由公共角，利用两对角相等的三角形相似即可得证； （2）由相似得比例，求出即可得到的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 29．(1)对，对，错 (2) 证明：选小星说法， ∵，， ∴； 选小红说法， ∵，， ∴； (3)． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． （）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （）根据相似三角形的判定方法即可求证； （）利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星说法对；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的说法对；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的说法错； 故答案为：对，对，错； （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 30．(1) 证明∵和是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵是的一个外角， ∴， ∴． (2) 证明：∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，证明是解答本题的关键． （1）由和是等腰直角三角形可证明，再由是的一个外角得，根据相似三角形的判定定理可得结论． （2）根据得出，根据等腰直角三角形的性质可得，代入比例式，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 31．（1）； （2）证明：为等边三角形， ， ，， ， ． 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用等边三角形性质得，结合，，得出，即可证明． 【详解】（1）解：， 移项，得， 配方，得， 即， 开方，得， 解得； （2）略 32． 证明：是等边三角形， ， ， ， ， ， 又， 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够找到两角相等是证得的关键． 由，证明，可证得． 【详解】略 33．(1) 证明：为等边三角形， ， ． ， ， ， ； (2)或或 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定， 对于（1），根据等腰三角形的性质说明，再根据“两角相等的两个三角形相似”得出答案； 对于（2），分别根据“角边角”和“角角边”证明即可． 【详解】（1）略 （2）解：或或． 证明如下： 由得，． 在和中， ； 由得，． 在和中， ； 由得，． 在和中， ． 故答案为：或或． 34． 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，掌握两个角对应相等的两三角形相似是解题的关键，根据题意得到，，即可求解． 【详解】略 35．(1) ∵正方形，， ， ， ， ， ； (2) 【分析】本题考查相似三角形的综合，正方形的性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定与性质，本题属于中等题型． （1）根据相似三角形的判定即可求出答案． （2）根据可知，由与的长度即可求出的长度． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知：， ， ∵在正方形中，，， ， ， ， ∴． 36．(1) 证明：， ， ， ，， ， ． (2) 证明：由（1）得， ， ， ． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握两组角对应相等的两个三角形相似是解题的关键． （1）先说明，再结合，运用两组角对应相等的两个三角形相似即可证明结论； （2）由相似三角形的性质可得，再结合即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 37．(1) 证明：， ， ， ， ， 又， ； (2) 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质得到，根据三角形的外角性质得到，根据相似三角形的判定定理证明结论； （2）根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到的长． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ∵，， ， 解得， 38．(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴， 根据折叠性质知，， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理是解题的关键． （1）根据矩形的性质可得，从而得到，再根据折叠的性质可得，从而得到，即可求证； （2）根据折叠的性质可得，再由勾股定理可得，在中，利用勾股定理列式，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由折叠性质知，， ∵， ∴， ∴． 在中，，即， 解得：． 39．(1) 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． (2) 【分析】本题主要考查相似三角形判定定理，熟悉掌握定理是关键． （1）根据相似三角形的判定定理即可求解； （2）由得，进而证明，即可求解． 【详解】（1）略 （2）∵， ． ∵， ∴． ． 40． 证明：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 又∵（对顶角相等）， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 【分析】先根据等边三角形的性质得到，与已知的相等；再利用对顶角相等得到；最后根据两角分别相等的两个三角形相似，即可证得． 【详解】略 41．(1)见详解； (2)6 【分析】（1）先根据角的和差可得，再根据相似三角形的判定定理即可得证； （2）根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）证明：， ，即， 又， ； （2）解：由（1）已证：， ， ，， ， 解得或（不符题意，舍去）， 则的长为6． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $