专题05 相似三角形11大题型53题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题05 相似三角形 基础·固本强基 题型一．相似三角形的判定（重点） 题型二．相似三角形的性质（重点） 题型三．相似三角形的判定与性质 题型四．相似三角形的应用 提升·进阶突破 题型五．相似三角形运动型问题（难点） 题型六．相似三角形变换型问题（难点） 题型七．相似三角形存在型问题（难点） 题型八．相似三角形特殊三角形存在型问题（难点） 拔高·压轴破难 题型九．相似三角形最值型问题（重难点） 题型十．相似三角形创新型问题（重难点） 题型十一．相似三角形综合题（重难点） 基础·固本强基 题型一．相似三角形的判定 核心判定定理：两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例，SSA不能判定相似. 对应考法：平行四边形内找相似三角形，利用平行得等角，结合边比例逐一验证；判断三角形相似，举反例排除错误选项；正方形内三角形相似，计算边长比，验证夹角相等；添加条件判定相似，注意边成比例必须夹角相等. 1．[2026•闵行区期中]如图，在▱ABCD中，AB，AO＝1，CO＝2，则下列各对三角形中相似的有（　　）个． ①△AOE与△COB； ②△AOB与△ABC； ③△AOE与△CBA； ④△BAE与△COB． A．1 B．2 C．3 D．4 2．[25-26九年级上•闵行区期中]下列语句叙述正确的是（　　） A．有一个角是30°的等腰三角形都相似 B．有一个角是30°的直角三角形都相似 C．有一个角是30°的锐角三角形都相似 D．有一个角是30°的钝角三角形都相似 3．[25-26九年级上•杨浦区期中]如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，且∠DAC＝∠DBC，那么下列结论不一定正确的是（　　） A．△AOD∽△BOC B．△AOB∽△DOC C．CD＝BC D．BC•CD＝AC•OA 4．[25-26九年级上•普陀区期中]如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，如果添加下列其中之一的条件，不一定能使△ADE与△ABC相似，那么这个条件是（　　） A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C． D． 5．[25-26九年级上•闵行区期中]如图，已知点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD上，BM＝2，CM＝4，．那么可以判断△ABM与△MCN　 　 （选填“相似”或“不相似”）． 6．[25-26九年级上•浦东新区期中]如图，在△ABC中，DE∥BC，求证：△ADE∽△ABC，并若AD＝3，AB＝5，DE＝4，求BC的长． 题型二．相似三角形的性质 核心结论：相似比=对应边比=对应中线/高/角平分线比=周长比，面积比=相似比的平方. 对应考法：已知相似比求对应中线、周长比，直接等于相似比；已知面积比求相似比或周长比，开方得相似比；已知周长比求面积比，平方得面积比. 7．[25-26九年级上•浦东新区期中]如果两个相似三角形的相似比是1：2，那么它们的对应中线的比是（　　） A． B．1：2 C．1：4 D．2：1 8．[25-26九年级上•宝山区期中]如果两个相似三角形对应周长之比是3：2，那么它们的对应边之比是（　　） A．2：3 B．4：9 C．3：2 D．9：4 9．[25-26九年级上•青浦区期中]如果两个相似三角形面积的比为1：3，那么它们周长的比为 　 　 ． 10．[25-26九年级上•嘉定区期中]如果两个相似三角形的面积比为3：4，那么它们的相似比为　 　 ． 11．[25-26九年级上•嘉定区期中]已知两个相似三角形的周长比是9：4，那么这两个三角形的面积比是　 　 ． 题型三．相似三角形的判定与性质 核心思路：先判定相似，再用性质求线段长、面积比. 对应考法：平行四边形内线段比例，由平行得三角形相似，列比例式求比值；梯形内三角形面积关系，由相似得面积比，结合同高三角形面积比等于底之比；三角形内接矩形，由相似得高的比等于边的比，求矩形边长或周长；正方形内相交线段比例，作平行线构造相似，结合中位线性质计算. 12．[25-26九年级上•浦东新区期中]如图，平行四边形ABCD中，点E是边BC上的一点，AE交对角线BD于F点，如果BE：BC＝2：3，那么下列各式中错误的是（　　） A． B． C． D． 13．[25-26九年级上•闵行区期中]如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，，S△ABO＝1，以下说法中，正确的个数是（　　） ①S△ADC＝S△BCD；②S△BOC；③S△DOC；④S△ACD﹣S△ABC． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．[25-26九年级上•长宁区期中]如图，点D、E分别在△ABC的边CA、BA的延长线上，且DE∥BC，如果，DE＝4cm，那么BC＝ 　 　 cm． 15．[2026•闵行区期中]如图，在▱ABCD中，F在BC的延长线上，，那么　 　 ． 16．[25-26九年级上•闵行区期中]如图，在△ABC中，AD是BC上的高，AD＝BC＝13，如果矩形PQMN内接于△ABC中，点P、N分别在边AB、AC上，点Q、M在BC上，那么矩形PQMN的周长为　 　 ． 17．[25-26九年级上•崇明区期中]如图，长方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在AB、AC上．已知△ABC的边BC长120cm，高AH为40cm，且长方形DEFG的长DG是宽DE的2倍，那么DE的长度是 　 　 cm． 18．[25-26九年级上•浦东新区期中]如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE＝3ED，DF＝CF，则的值是　 　 ． 19．[25-26九年级上•闵行区期中]如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则S△DMN：S四边形DBCM＝　 　 ． 20．[25-26九年级上•黄浦区期中]如图，在平行四边形ABCD中，AB＝BD，过点A作对角线BD的垂线，交边BC于点F，如果F是边BC的中点，那么AF：CD的值是　 　 ． 21．[25-26九年级上•长宁区期中]如图，已知在△ABC中，点F在△ABC的角平分线AG上，，过点F作线段DE，分别交边AB、AC于点D、E．如果∠ADE＝∠C，那么 　 　 ． 22．[25-26九年级上•浦东新区期中]已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点E，点F在边AB上，连接CF交线段BE于点G，CG2＝GE•GD． （1）求证：∠ACF＝∠ABD； （2）连接EF，求证：EF•CG＝EG•CB． 23．[25-26九年级上•普陀区期中]已知：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F，射线EF交AD的延长线于点G． （1）求证：CE＝CF； （2）如果FG2＝AG•DG，求证：． 24．[25-26九年级上•杨浦区期中]已知：如图，在△ABC中，点D是边AC上的一点（不与点A、C重合），BD＝CD，点E是边BC上一点，∠CDE＝∠ABD． （1）求证：△DEB∽△ABC； （2）联结AE，如果BD平分AE，求证：CD2＝AD•AC． 25．[25-26九年级上•青浦区期中]如图，已知AD、BC相交于点E，AB＝4，BE＝2，BC＝8，且AE：ED＝1：3，连接AC． （1）求线段CD的长； （2）如果AE＝3，求线段AC的长． 题型四．相似三角形的应用 核心是将实际场景转化为相似三角形模型，利用对应边成比例求解. 对应考法：交叉卡钳测内径，由对顶角加边比例得相似，求内孔直径；小孔成像问题，物高与像高之比等于物距与像距之比；三角形余料加工正方形，由相似得高的比等于边的比，求正方形边长；测树高问题，利用镜面反射构造相似，列比例式求高度. 26．[25-26九年级上•杨浦区期中]如图是一个圆形零件的剖面图，已知零件的外直径为25毫米，为求出它的壁的厚度x，需知内孔的直径AB，但由于不能直接量出AB，因此用一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）去量．如果，且量得CD长为7毫米，那么零件的壁的厚度x是　 　 毫米． 27．[25-26九年级上•奉贤区期中]我国2000多年前的《墨经》记载了有关“小孔成像”的论述．物体经“小孔成像”成倒立的实像，像可能放大，也可能缩小．如图，小嘉制作了一个简易小孔成像仪来开展蜡烛成像实验，测得蜡烛火焰的像的高度是3厘米．则蜡烛火焰的实际高度为　 　 厘米． 28．[25-26九年级上•闵行区期中]如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝12m，高AD＝8m，要把它加工成一个正方形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．则该正方形的边长 是 　　 m． 29．[25-26九年级上•上海期中]如图，△ABC是一块余料，BC＝120mm，现要把它加工成正方形零件DEFG，使得正方形的四个顶点D，E，F，G都在三角形的三边上，其中点E，F在BC边上，加工后正方形的边长为48mm，则△ABC的面积为 　 ． 30．[25-26九年级上•浦东新区期中]小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器CD，测得∠ACD＝135°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG＝5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG＝2米，小明眼睛与地面的距离EF＝1.6米，测量器的高度CD＝0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，则这棵古树的高度AB为多少米？（小平面镜的大小忽略不计） 提升·进阶突破 题型五．相似三角形运动型问题 核心是设运动时间，用表示线段长度，结合相似、勾股定理列方程或函数式. 对应考法：直角三角形内动点直角问题，作垂线构造相似，求三角函数值或函数关系式；等腰直角旋转动点，证三角形相似，求线段函数式与定义域；等腰三角形存在性，分三类讨论，结合相似列方程求. 31．[25-26九年级上•浦东新区期中]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点（点F不与点B重合），且∠FDE＝90°． （1）当DF∥AB时，连接EF，求∠DEF的余切值； （2）当点F在线段BC上时，设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）连接CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长． 32．[24-25九年级上•闵行区月考]在△ABC中，已知∠B＝45°，∠C＝30°，AC＝8，点T是射线CB上一动点，联结AT，在AT右侧作等腰直角△ATK，即AT＝AK，∠TAK＝90°． （1）如图（a），当点K落在线段AC上时，求线段BT的长度； （2）如图（b），当点T在线段BC上且点K在△ABC内部（不包括边界）时，联结CK，设BT＝x，△AKC面积为y，即S△AKC＝y，求y关于x的函数解析式及定义域； （3）若点K落在△ABC某一边垂直平分线上时，具体求出线段BT的长度． 题型六．相似三角形变换型问题 核心是折叠、裁剪变换，抓住变换前后角、边的等量关系，结合相似求解. 对应考法：等腰三角形折叠相似，结合折叠角相等，证相似求边长；直角三角形裁剪轴对称图形，利用角平分线、全等证明边相等，求裁剪线长度；不同位置裁剪的多解问题，分轴对称位置讨论，分别列方程求解. 33．[25-26九年级上•虹口区月考]如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，． （1）求边BC的长； （2）点M在AB边上，AM＝2MB，点P是边AC上的一个动点．把△MPA沿着直线MP翻折后得到△MPN． ①当PN⊥BC时，求AP的长； ②当△MPN的一条边与AC垂直时，求AP的长． 34．图1是一张三角形纸片ABC，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，沿垂直于斜边AC的方向裁剪一刀（裁剪线为MN），会分得两个图形． 情境：（1）当裁剪线MN恰好经过顶点B时，如图2，直接写出MN的长； 操作：（2）要使经过沿MN裁剪的三角形纸片ABC，分得的其中一个图形为轴对称图形， ①嘉嘉想出了如下作法：先作出了∠C的平分线CN交AB于N，如图3，再过点N沿垂直于AC的方向裁剪，得到的四边形BCMN一定是轴对称图形．在图3中，请用无刻度的直尺和圆规过点N作出AC的垂线MN，垂足为点M（保留作图痕迹，不写作法）； ②试对CB与CM相等进行说理，并直接写出裁剪线MN的长． 探究：（3）在（2）的情形中，淇淇说：“裁剪线MN还应有另一个不同的值．”请直接写出淇淇所说的MN的长． 题型七．相似三角形存在型问题 核心是假设存在，按顶点分类讨论，利用相似对应边成比例列方程求解. 对应考法：双动点三角形面积问题，用相似表示高，写面积函数，解方程验证；倍长中线类存在性，构造全等转化线段，结合相似列比例式；等角条件下的线段存在性，通过角的和差证等角，得相似三角形求解. 35．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q移动到点C时，两点停止移动．设移动时间为ts．（t＞0） （1）填空：BQ＝　 cm，PB＝　 　 cm（用含t的代数式表示） （2）当t为何值时，PQ的长为5cm？ （3）是否存在t的值，使得△PBQ的面积为4cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 36．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝24，动点P从A开始沿边AB向B以2的速度移动，动点Q从B开始沿边BC以4的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，设△PBQ的面积为S，出发时间为t． （1）写出S和t的函数关系式； （2）当t为何值时，△PBQ面积为36？ （3）存不存在某一时刻△PBQ的面积是△ABC的面积的三分之一？如若存在，求出t的值；如若不存在，说明理由． 37．已知在△ACD中，P是CD的中点，B是AD延长线上的一点，连结BC，AP． （1）如图1，若∠ACB＝90°，∠CAD＝60°，BD＝AC，AP，求BC的长． （2）过点D作DE∥AC，交AP延长线于点E，如图2所示，若∠CAD＝60°，BD＝AC，求证：BC＝2AP． （3）如图3，若∠CAD＝45°，是否存在实数m，当BD＝mAC时，BC＝2AP？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 38．【三角形综合探究】 如图1，在△ABC中，已知∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC． （1）【推理演算】如果AD＝4，DC＝5，求BC的长； （2）如图2，在图1的基础上，过点A作AC的垂线AP，与边CB的延长线交于点P． ①【猜想证明】猜想线段PC与边AB的数量关系并证明； ②【深入探究】在线段DB上截取DQ＝DA，连接AQ，当∠PAQ＝2∠BAQ时，探究是否存在实数k，使得AB＝kBQ+PB成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由． 题型八．相似三角形特殊三角形存在型问题 核心是等腰、直角等特殊三角形存在性，分情况讨论腰或直角顶点，结合相似性质列方程. 对应考法：等腰三角形存在，分、两类，分别证相似列比例式求边长；平行线+等角的等腰存在，分三种等腰情况，结合相似、勾股定理列方程；直角三角形存在，分三个直角顶点，用相似或勾股定理求解. 39．[25-26九年级上•闵行区期中]如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝2，点D是边AC的中点，点M、N是射线BD上的动点（点M在左边），以CM为一边作∠MCN＝∠ABC． （1）求BD的长； （2）当点M是△ABC的重心时，求CN：BN的值； （3）如果△MCN是以MN为腰的等腰三角形，求BM的长． 40．[青浦区期中]如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，过点A作射线AM∥BC，点D、E是射线AM上的两点（点D不与点A重合，点E在点D右侧），联结BD、BE分别交边AC于点F、G，∠DBE＝∠C． （1）当AD＝1时，求FB的长； （2）设AD＝x，FG＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）联结DG并延长交边BC于点H，如果△DBH是等腰三角形，请直接写出AD的长． 41．[25-26九年级上•浦东新区期末]已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，点P从点B出发，沿BC向点C匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动，速度为2cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5），解答下列问题： （1）①BQ＝　 ，BP＝　 ；（用含t的代数式表示） ②设△PBQ的面积为y（cm2），试确定y与t的函数关系式； （2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△PBQ的面积为△ABC面积的二分之一？如果存在，求出t的值；不存在，请说明理由； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△BPQ为等腰三角形？如果存在，求出t的值；不存在，请说明 理由． 42．[徐汇区期中]（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥AC，交BC于点E． ①若DE＝1，，求BC的长；②如果△ACD是等腰三角形，请直接写出的值； （2）如图2，∠CBD和∠BCF是△ABC的2个外角，∠BCF＝2∠CBD，CD平分∠BCF，交AB的延长线于点D，DE∥AC，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为S1，△CDE的面积为S2，△BDE的面积为S3，若，求cos∠CBD的值． 拔高·压轴破难 题型九．相似三角形最值型问题 核心是利用相似转化线段，结合轴对称、旋转构造最短路径，或转化为二次函数求最值. 对应考法：倍长中线类最短周长，利用垂直平分线转化线段，三点共线时取最小值；等边三角形内动点最值，证相似得二次函数，配方求最大值；线段和最小值，旋转对称转化线段，共线时最小. 43．[徐汇区期中]当已知三角形一边中点时，我们常通过“倍长中线”来构造全等的两个三角形，从而解决问题． 如图，已知△ABC，点D是BC的中点，延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE，易得到△ECD≌△ABD，从而得到CE＝AB，∠CED＝∠BAD． 已知△ABC，点D是BC的中点． （1）如图1，点E在AD上，延长CE交AB于点F，且FA＝FE，求证：CE＝AB；小明同学应用倍长中线的方法，延长ED至点M，使ED＝DM，连接BM，请你帮助他写出证明过程； （2）如图2，点E，G在射线DA上，连接BE，CG，BG，延长CG交BE于点F，若FE＝FG，G为ED的中点，求证：BG＝BD； （3）在（2）的条件下，若点M是线段DG的中点，∠DBG＝40°，NH垂直平分线段BG，在NH上有一动点P，连接GP，DP，PM，当△GPM的周长最小时，求∠DPH的度数． 44．[普陀区期中]如图，在△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，BC＝6，D为直线BC上一动点（不与点B、点C重合），向AB的右侧作△ADE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）当点D在线段BC上时，求证：△BAD≌△CAE； （2）在（1）的条件下，当AC⊥DE时，求BD的长； （3）当CE∥AB时，若△ABD中有最小的内角为23°，试求∠AEC的度数．（直接写结果，无需写出求解过程） 45．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AC上的动点，连接BD，点E是平面内一点，AE＝BE，∠AEB＝90°+2∠CBD． （1）如图1，点E在△ABC的内部，且在BD上，求∠ABC的度数； （2）如图2，点E在边BC上，连接DE，DE平分∠AEC，求证：AD＝2EC； （3）如图3，在（1）问的条件下，点F是边BC上的动点，且AD＝CF，连接AF，当AF+BD最小时，请直接写出的值． 题型十．相似三角形创新型问题 核心是新定义、类比探究，从特殊到一般推导规律，结合相似证明. 对应考法：中点分线段比例，作平行线构造全等+相似，推导比例规律；手拉手模型（等边、等腰直角、直角），证全等或相似，求线段比与夹角；直角三角形斜边中线定理拓展，结合中位线、相似求角度. 46．[24-25九年级上•青浦区期中]已知：△ABC中，AB＝AC． （1）如图1，如果点D在线段BA的延长线上，点E在线段BC上，DE＝DC，DE与AC交于点F，且DF＝FE． ①图1中是否存在与∠BDE相等的角？如果存在，写出与∠BDE相等的角，并写出简要的证明过程；如果不存在，请简述理由； ②求证：BE＝CE； （2）如图2，如果点D在线段AB上，点E在线段CB的延长线上，DE＝DC，ED的延长线交AC于点F，当AB＝3，BC＝2，DF＝k•EF时，求BE的长（用含k的代数式表示）． 47．如图1，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，点D为斜边AB边上一动点（不含端点）．作∠EDF＝90°，DE，DF分别交AB，AC于点E和点F．请根据图形解答下面问题： 【问题发现】 （1）如图1，若点D为BC边中点，请直接写出DE，DF的数量关系 _________． 【类比探究】 （2）如图2，若点D为BC边上一动点，且DC＝mBD．猜想DF与DE的数量关系．并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在边长为4的等边△ABC中，点D为BC边上一动点，作∠ADE＝60°．DE交AC边于点E．请问在点D的运动过程中，CE是否有最大值．如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由． 48． 如图1，画Rt△ABC并画出斜边AB上的中线CD，量一量，看看CD与AB有什么关系．相信你与你的同伴一定会发现：CD恰好是AB的一半． 下面让我们用演绎推理证明这一猜想． 已知：如图2，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线． 求证：． 【定理证明】小明根据教材图2的提示，证明过程为：延长CD至点E，使DE＝CD，连接BE、AE…， 结合图①帮助小明完成直角三角形的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明． 【定理应用】如图②，在△ABC中，点D是边BC上的一点，连接AD，AD＝AB．点E、点F分别是边AC、BD的中点．若，则EF的长为　 　 ； 【拓展提高】如图③，在△ABC中，BC＞AB，BD是△ABC的中线，过点A作AE⊥BD于点E，且AB＝2DE．若∠BAE＝54°，则∠DBC的大小是　 　 度． 49． 【问题呈现】 （1）如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD、CE．求证：BD＝CE． 【类比探究】 （2）如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，连接BD、CE，则　　 ． 【拓展提升】 （3）如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠DAE＝∠BAC＝30°，连接BD、CE． ①求的值； ②延长CE交BD于点F，交AB于点G，求∠BFC． 50．【问题感知】如图，点D是△ABC的边BC上的一点，连接AD，点E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F．若BD＝CD，则（不用证明）；【问题解决】（1）填空：①若BD＝2CD，则 AF＝　　 CF； ②若BD＝3CD，则AF＝　 　 CF； … （2）论证：请选取（1）中的一种情况，证明你的结论； 【猜想】根据上述规律，猜想BD＝nCD，则AF＝　 　 CF（用含n的式子表示，不用说理）． 题型十一．相似三角形综合题 核心是综合相似、全等、等腰、菱形判定等知识，层层推导. 对应考法：等积式证等腰，先由等积式证相似，得等角，再证等腰；等边三角形内相交线段比例，作平行线构造相似，结合方程求比值；直角梯形内等腰三角形存在，分三类讨论，结合相似、勾股定理求解. 51．[25-26九年级上•金山区期中]在△ABC中，AC＝BC，点D在AC的延长线上，点F在线段BC上，直线DF交线段AB于点E，CD2＝CF•CB． （1）求证：DE＝BD； （2）过点D作AB的平行线交BC的延长线于点M，如果DF：DE＝1：2，∠ADE＝∠CBA，求证：四边形AEDM是菱形． 52．[25-26九年级上•黄浦区期中]某校九年级数学兴趣小组在学习“图形的相似”后，开展了一次主题探究活动．他们从一个基本图形出发，逐步深入，请你参与他们的探究过程，完成下列任务． 如图1，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在边AC、AB上，且AD＝BE，BD与CE相交于点O． 任务1：观察与发现——寻找相似三角形写出图中的相似三角形（全等三角形除外），并选择其中一对写出证明过程； 任务2：特殊情况探究——中点条件下的比例如图2，如果BO＝OD，求AD：DC的值； 任务3：一般化推广——比例条件下的规律，如果BO：OD＝m，直接写出AD：DC的值（用含m的代数式表示） 53．[24-25九年级上•青浦区期中]如图，已知 AD∥BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝8，AB＝4，点P是射线BC上一个动点，联结AP，作 DE⊥AP于点E，联结BE，过点E作BE垂线交线段AD于点F． （1）设BP＝x，BP＝x，FD＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （2）当BP＞AD时，若∠AEB＝∠DPB，求x的值； （3）若△FED是等腰三角形，直接写出x的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 相似三角形 基础·固本强基 题型一．相似三角形的判定（重点） 题型二．相似三角形的性质（重点） 题型三．相似三角形的判定与性质 题型四．相似三角形的应用 提升·进阶突破 题型五．相似三角形运动型问题（难点） 题型六．相似三角形变换型问题（难点） 题型七．相似三角形存在型问题（难点） 题型八．相似三角形特殊三角形存在型问题（难点） 拔高·压轴破难 题型九．相似三角形最值型问题（重难点） 题型十．相似三角形创新型问题（重难点） 题型十一．相似三角形综合题（重难点） 基础·固本强基 题型一．相似三角形的判定 核心判定定理：两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例，SSA不能判定相似. 对应考法：平行四边形内找相似三角形，利用平行得等角，结合边比例逐一验证；判断三角形相似，举反例排除错误选项；正方形内三角形相似，计算边长比，验证夹角相等；添加条件判定相似，注意边成比例必须夹角相等. 1．[2026•闵行区期中]如图，在▱ABCD中，AB，AO＝1，CO＝2，则下列各对三角形中相似的有（　　）个． ①△AOE与△COB； ②△AOB与△ABC； ③△AOE与△CBA； ④△BAE与△COB． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用平行四边形性质，可以得到AD∥BC，用两角分别相等的两个三角形相似得到△AOE∽△COB；利用AO＝1，CO＝2，，得到，用两边对应成比例，且夹角相等证明△AOB∽△ABC；用△AOB∽△ABC得到∠ABO＝∠ACB，两直线平行，内错角相等得到∠AEB＝∠CBO，用两角分别相等的两个三角形相似得到△BAE∽△COB． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEO＝∠CBO，∠EAO＝∠BCO， ∴△AOE∽△COB； ∵AO＝1，CO＝2，， ∴AC＝AO+OC＝3， ∵，， ∴， 又∵∠BAO＝∠CAB， ∴△AOB∽△ABC； ∴∠ABO＝∠ACB， 即∠ABE＝∠OCB， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBO， 又∵∠ABE＝∠OCB， ∴△BAE∽△COB， 综上所述，各对三角形中相似的有3对， 故选：C． 【点评】本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键． 2．[25-26九年级上•闵行区期中]下列语句叙述正确的是（　　） A．有一个角是30°的等腰三角形都相似 B．有一个角是30°的直角三角形都相似 C．有一个角是30°的锐角三角形都相似 D．有一个角是30°的钝角三角形都相似 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定定理进行判断．可以通过举反例来证明． 【解答】解：A、有一个角是30°的等腰三角形不一定相似，如30°、75°、75°的等腰三角形和30°、30°、120°的等腰三角形不相似，故本选项错误； B、有一个角是30°的直角三角形都相似，正确； C、有一个角是30°的锐角三角形不一定相似，如30°、70°、80°的锐角三角形和30°、65°、85°的锐角三角形不相似，故本选项错误； D、有一个角是30°的钝角三角形不一定相似，如30°、100°、50°的钝角三角形和30°、110°、40°的钝角三角形不相似，故本选项错误； 故选：B． 【点评】本题考查了相似三角形的判定．此题难度不大，注意掌握举反例的解题方法，注意掌握有两角对应相等的三角形相似定理的应用． 3．[25-26九年级上•杨浦区期中]如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，且∠DAC＝∠DBC，那么下列结论不一定正确的是（　　） A．△AOD∽△BOC B．△AOB∽△DOC C．CD＝BC D．BC•CD＝AC•OA 【答案】D 【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案． 【解答】解：A、∵∠DAC＝∠DBC，∠AOD＝∠BOC， ∴△AOD∽△BOC，故此选项正确，不合题意； B、∵△AOD∽△BOC， ∴， ∴， 又∵∠AOB＝∠COD， ∴△AOB∽△DOC，故此选项正确，不合题意； C、∵△AOB∽△DOC， ∴∠BAO＝∠ODC， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠BAC， ∴∠BAC＝∠BDC， ∵∠DAC＝∠DBC， ∴∠CDB＝∠CBD， ∴CD＝BC，故此选项正确，不合题意； D、无法得出BC•CD＝AC•OA，故此选项错误，符合题意． 故选：D． 【点评】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 4．[25-26九年级上•普陀区期中]如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，如果添加下列其中之一的条件，不一定能使△ADE与△ABC相似，那么这个条件是（　　） A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C． D． 【答案】D 【分析】由已知及三角形相似的判定方法，对每个选项分别分析、判断解答出即可． 【解答】解：由题意得，∠A＝∠A， A、当∠ADE＝∠B时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意； B、当∠ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB；故本选项不符合题意； C、当时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意； D、当时，不能推断△ADE与△ABC相似；故选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了直角三角形相似的判定：①有两个对应角相等的三角形相；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 5．[25-26九年级上•闵行区期中]如图，已知点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD上，BM＝2，CM＝4，．那么可以判断△ABM与△MCN　相似　 （选填“相似”或“不相似”）． 【答案】相似． 【分析】根据正方形的性质证明，进而可得结论． 【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠B＝∠C＝90°， ∵BM＝2，CM＝4， ∴AB＝BC＝BM+CM＝6， ∴， ∵CN， ∴， ∴， ∴， ∵∠B＝∠C＝90°， ∴△ABM∽△MCN， 故答案为：相似． 【点评】本题考查相似三角形的判定，正方形的性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定． 6．[25-26九年级上•浦东新区期中]如图，在△ABC中，DE∥BC，求证：△ADE∽△ABC，并若AD＝3，AB＝5，DE＝4，求BC的长． 【答案】在△ABC中，DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC； ． 【分析】根据两直线平行，同位角相等，进而判断三角形相似，再根据相似三角形的性质求解BC的长即可． 【解答】证明：在△ABC中，DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC； ∴， ∵AD＝3，AB＝5，DE＝4， ∴， 解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意）． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题关键． 题型二．相似三角形的性质 核心结论：相似比=对应边比=对应中线/高/角平分线比=周长比，面积比=相似比的平方. 对应考法：已知相似比求对应中线、周长比，直接等于相似比；已知面积比求相似比或周长比，开方得相似比；已知周长比求面积比，平方得面积比. 7．[25-26九年级上•浦东新区期中]如果两个相似三角形的相似比是1：2，那么它们的对应中线的比是（　　） A． B．1：2 C．1：4 D．2：1 【答案】B 【分析】根据相似三角形的性质，三角形中对应线段的比等于相似比，即可得到答案． 【解答】解：根据相似三角形的性质，三角形中对应线段的比等于相似比可知：两个相似三角形的相似比是1：2， ∴它们的对应中线的比等于相似比1：2， 故选：B． 【点评】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 8．[25-26九年级上•宝山区期中]如果两个相似三角形对应周长之比是3：2，那么它们的对应边之比是（　　） A．2：3 B．4：9 C．3：2 D．9：4 【答案】C 【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形的周长的比等于相似比，求解即可． 【解答】解：∵两个相似三角形对应周长之比是3：2， ∴它们的对应边之比为3：2， 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 9．[25-26九年级上•青浦区期中]如果两个相似三角形面积的比为1：3，那么它们周长的比为 　 　 ． 【答案】1：． 【分析】根据相似三角形的面积比＝相似比的平方解决问题即可． 【解答】解：∵两个相似三角形面积的比为1：3， ∴两个相似三角形周长的比为1：． 故答案为：1：． 【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质． 10．[25-26九年级上•嘉定区期中]如果两个相似三角形的面积比为3：4，那么它们的相似比为　 　 ． 【答案】：2． 【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方得到它们的相似比，然后化简即可． 【解答】解：∵两个相似三角形面积的比为3：4， ∴它们的相似比：2． 故答案为：：2． 【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 11．[25-26九年级上•嘉定区期中]已知两个相似三角形的周长比是9：4，那么这两个三角形的面积比是　 　 ． 【答案】81：16． 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得答案． 【解答】解：∵相似三角形的周长比是9：4， ∴对应边之比为9：4， ∴这两个三角形的面积比是81：16， 故答案为：81：16． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 题型三．相似三角形的判定与性质 核心思路：先判定相似，再用性质求线段长、面积比. 对应考法：平行四边形内线段比例，由平行得三角形相似，列比例式求比值；梯形内三角形面积关系，由相似得面积比，结合同高三角形面积比等于底之比；三角形内接矩形，由相似得高的比等于边的比，求矩形边长或周长；正方形内相交线段比例，作平行线构造相似，结合中位线性质计算. 12．[25-26九年级上•浦东新区期中]如图，平行四边形ABCD中，点E是边BC上的一点，AE交对角线BD于F点，如果BE：BC＝2：3，那么下列各式中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意设BE＝2k，则BC＝3k，求出CE＝k，即可判断A选项；根据平行四边形的性质，证明△BEF∽△DAF，列出比例式即可判断B选项；根据题意设BE＝2k，则BC＝3k，求出CE＝k，即可判断C选项；根据题意证明△BEF∽△DAF，列出比例式即可判断D选项． 【解答】解：∵BE：BC＝2：3， ∴设BE＝2k，则BC＝3k， ∴EC＝BC﹣BE＝k， ∴， 故A选项正确，不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝CB， ∵BE：BC＝2：3， ∴， ∵AD∥BC， ∴△BEF∽△DAF， ∴， ∴， 故B选项错误，符合题意； ∵BE：BC＝2：3， ∴设BE＝2k，则BC＝3k， ∴EC＝BC﹣BE＝k， ∵AD＝BC＝3k， ∴， 故C选项正确，不符合题意； ∵BE：BC＝2：3，AD＝BC， ∴， ∵BC∥AD， ∴△BEF∽△DAF， ∴， 故D选项正确，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质是解题的关键． 13．[25-26九年级上•闵行区期中]如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，，S△ABO＝1，以下说法中，正确的个数是（　　） ①S△ADC＝S△BCD；②S△BOC；③S△DOC；④S△ACD﹣S△ABC． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定与性质逐一进行判断即可． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴S△ADC＝S△BCD，故①正确； ∵AB∥CD， ∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC， ∴△AOB∽△COD， ∴， ∴， ∵S△ABO＝1， ∴S△BOC，故②正确； ∵△AOB∽△COD， ∴（ ）2， ∵S△ABO＝1， ∴S△DOC，故③正确； ∵△AOB∽△COD， ∴， ∴S△AOD， ∴S△ACD﹣S△ABC1，故④正确； 故结论正确的是①②③④，共4个． 故选：D． 【点评】此题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 14．[25-26九年级上•长宁区期中]如图，点D、E分别在△ABC的边CA、BA的延长线上，且DE∥BC，如果，DE＝4cm，那么BC＝ 　 　 cm． 【答案】6． 【分析】判定△DAE∽△CAB，对应边成比例即可解决问题． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△DAE∽△CAB， ∴， ∵DE＝4cm， ∴BC＝6cm， 故答案为：6． 【点评】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形性质． 15．[2026•闵行区期中]如图，在▱ABCD中，F在BC的延长线上，，那么　 　 ． 【答案】． 【分析】过点O作BC的平行线，交CD于点G，证明△EOG∽△EFC，得到；证明△OGD∽△BCD，得到，则，据此可得答案． 【解答】解：如图，，过点O作OG∥BC，交CD于点G， ∴△EOG∽△EFC， ∴． 在▱ABCD中，对角线交于点O， ∴． ∵OG与BC平行， ∴△OGD∽△BCD， ∴， ∴， ∵BF＝BC+CF， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键． 16．[25-26九年级上•闵行区期中]如图，在△ABC中，AD是BC上的高，AD＝BC＝13，如果矩形PQMN内接于△ABC中，点P、N分别在边AB、AC上，点Q、M在BC上，那么矩形PQMN的周长为　 　 ． 【答案】26． 【分析】证明△ABC∽△APN，根据相似三角形的性质得出PQ和PN的关系，再求周长即可． 【解答】解：如图，设AD与PN交于点E， ∵PN∥BC， ∴△ABC∽△APN， ∵AD⊥BC， ∴AE⊥PN， ∴， ∵AD＝BC＝13， ∴PN＝AE， ∴PQ+PN＝PQ+AE＝AD＝13， 矩形周长为2×13＝26． 故答案为：26． 【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质，解题关键是根据相似三角形的性质得出矩形两邻边的关系． 17．[25-26九年级上•崇明区期中]如图，长方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在AB、AC上．已知△ABC的边BC长120cm，高AH为40cm，且长方形DEFG的长DG是宽DE的2倍，那么DE的长度是 　 　 cm． 【答案】24． 【分析】设AH交DG于点L，由长方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在AB、AC上，AH是△ABC的高，得∠ALD＝∠AHB＝90°，则AL⊥DG，四边形DEHL是矩形，所以DE＝LH，可证明△ADG∽△ABC，得，则，求得DE＝24cm，于是得到问题的答案． 【解答】解：设AH交DG于点L， ∵长方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在AB、AC上， ∴DG∥BC，∠DEC＝∠EDG＝90°， ∴AH是△ABC的高， ∴AH⊥BC， ∴∠ALD＝∠AHB＝90°， ∴AL⊥DG，四边形DEHL是矩形， ∴DE＝LH， ∵DG∥BC， ∴△ADG∽△ABC， ∴， ∵BC＝120cm，AH＝40cm，DG＝2DE， ∴AL＝40﹣LH＝40﹣DE， ∴， 解得DE＝24， ∴DE的长度是24cm， 故答案为：24． 【点评】此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△ADG∽△ABC是解题的关键． 18．[25-26九年级上•浦东新区期中]如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE＝3ED，DF＝CF，则的值是　 　 ． 【答案】 【分析】如图，作FN∥AD，交AB于N，交BE于M．设DE＝a，则AE＝3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可； 【解答】解：如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，∵FN∥AD， ∴四边形ANFD是平行四边形， ∵∠D＝90°， ∴四边形ANFD是矩形， ∵AE＝3DE，设DE＝a，则AE＝3a，AD＝AB＝CD＝FN＝4a，AN＝DF＝2a， ∵AN＝BN，MN∥AE， ∴BM＝ME， ∴MN， ∴FMa， ∵AE∥FM， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数解决问题． 19．[25-26九年级上•闵行区期中]如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则S△DMN：S四边形DBCM＝　 　 ． 【答案】1：15 【分析】由DE为三角形ABC的中位线，利用中位线定理得到DE平行于BC，且DE等于BC的一半，再由M为DE的中点，得到DM为DE的一半，可得出DM为BC的四分之一，由DM与BC平行，得到两对同位角相等，进而确定出三角形DMN与三角形NBC相似，由相似三角形面积之比等于相似比的平方，求出三角形DMN与三角形NBC面积之比，即可求出四边形DBCM与三角形DMN的面积之比． 【解答】解：∵DE为△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DEBC， ∴∠NDM＝∠B，∠NMD＝∠NCB， ∴△NDM∽△NBC， ∵M为DE的中点， ∴DMDEBC，即相似比为1：4， ∴S△NDM：S△NBC＝1：16， 则S△DMN：S四边形DBCM＝1：15． 故答案为：1：15． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及三角形的中位线定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 20．[25-26九年级上•黄浦区期中]如图，在平行四边形ABCD中，AB＝BD，过点A作对角线BD的垂线，交边BC于点F，如果F是边BC的中点，那么AF：CD的值是　 　 ． 【答案】． 【分析】通过设线段长度，利用平行四边形的性质得到边的关系，结合相似三角形的判定与性质求出相关线段长度，再借助勾股定理计算AF，最后结合平行四边形对边相等求出CD，进而得到两者的比值． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，F是BC的中点， ∴AD∥BC，AD＝BC，CD＝AB，BC＝2BF， ∴AD＝2BF． ∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠FBE，∠DAE＝∠BFE， ∴△ADE∽△FBE，且相似比为AD：BF＝2：1． ∴DE：BE＝AD：BF＝2：1， 设BE＝x，则DE＝2x， ∴BD＝BE+DE＝3x． 又∵AB＝BD， ∴AB＝3x， ∴CD＝AB＝3x． ∵AE⊥BD， ∴△ABE是直角三角形， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：， ∵△ADE∽△FBE，相似比为2：1， ∴AE：EF＝2：1， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质，通过设未知数将线段关系量化是解题的关键． 21．[25-26九年级上•长宁区期中]如图，已知在△ABC中，点F在△ABC的角平分线AG上，，过点F作线段DE，分别交边AB、AC于点D、E．如果∠ADE＝∠C，那么 　 　 ． 【答案】． 【分析】由已知可得，进而由△ADF∽△ACG得到，再由△ADE∽△ACB得到，即可求解． 【解答】解：∵， ∴， ∵AG是∠BAC的角平分线， ∴∠DAF＝∠CAG， 又∵∠ADE＝∠C， ∴△ADF∽△ACG， ∴， ∵∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠CAB， ∴△ADE∽△ACB， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 22．[25-26九年级上•浦东新区期中]已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点E，点F在边AB上，连接CF交线段BE于点G，CG2＝GE•GD． （1）求证：∠ACF＝∠ABD； （2）连接EF，求证：EF•CG＝EG•CB． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先根据CG2＝GE•GD得出，再由∠CGD＝∠EGC可知△GCD∽△GEC，∠GDC＝∠GCE．根据AB∥CD得出∠ABD＝∠BDC，故可得出结论； （2）先根据∠ABD＝∠ACF，∠BGF＝∠CGE得出△BGF∽△CGE，故．再由∠FGE＝∠BGC得出△FGE∽△BGC，进而可得出结论． 【解答】证明：（1）∵CG2＝GE•GD， ∴． 又∵∠CGD＝∠EGC， ∴△GCD∽△GEC． ∴∠GDC＝∠GCE． ∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠BDC． ∴∠ACF＝∠ABD． （2）∵∠ABD＝∠ACF，∠BGF＝∠CGE， ∴△BGF∽△CGE． ∴． 又∵∠FGE＝∠BGC， ∴△FGE∽△BGC． ∴． ∴FE•CG＝EG•CB． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． 23．[25-26九年级上•普陀区期中]已知：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F，射线EF交AD的延长线于点G． （1）求证：CE＝CF； （2）如果FG2＝AG•DG，求证：． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据菱形的性质和AAS可以证明△ABE和△ADF全等，即可得到BE＝DF，然后即可证明结论成立； （2）根据FG2＝AG•DG和相似三角形的判定和性质，可以得到∠GFD＝∠GAF，再根据（1）中△ABE≌△ADF，可以得到BE＝DF，AE＝AF，再根据∠AFD＝90°，可以得到∠ADF＝∠AEG，然后根据这两个角的正切值，可以证明结论成立． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴∠B＝∠ADF，AB＝AD，BC＝DC， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴BE＝DF， ∴BC﹣BE＝DC﹣DF， ∴CE＝CF； （2）∵FG2＝AG•DG， ∴， ∵∠DGF＝∠FGA， ∴△DGF∽△FGA， ∴∠GFD＝∠GAF， 由（1）知：△ABE≌△ADF， ∴BE＝DF，AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE， ∵∠AFD＝90°， ∴∠GAF+∠ADF＝90°，∠AFE+∠GFD＝90°， ∴∠ADF＝∠AFE， ∴∠ADF＝∠AEF， ∵tan∠ADF，tan∠AEF， ∴， ∴， 即． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 24．[25-26九年级上•杨浦区期中]已知：如图，在△ABC中，点D是边AC上的一点（不与点A、C重合），BD＝CD，点E是边BC上一点，∠CDE＝∠ABD． （1）求证：△DEB∽△ABC； （2）联结AE，如果BD平分AE，求证：CD2＝AD•AC． 【答案】（1）∵BD＝CD， ∴∠DBC＝∠C， ∵∠DEB＝∠C+∠CDE，∠ABC＝∠DBC+∠ABD，∠CDE＝∠ABD， ∴∠DEB＝∠ABC， ∴△DEB∽△ABC． （2）如图，过点A作AG∥BC交BD延长线于点G，BD与AE相交于H， ∴∠BEH＝∠GAH，∠EBH＝∠G， ∵BD平分AE， ∴AH＝EH， 在△BEH和△GAH中， ， ∴△BEH≌△GAH（AAS）， ∴AG＝BE， ∵AG∥BC， ∴△ADG∽△CDB， ∴， ∵△DEB∽△ABC， ∴， ∴， ∵BD＝CD， ∴，即CD2＝AD•AC． 【分析】（1）根据等边对等角可得∠DBC＝∠C，再根据三角形外角的性质、角的和差以及等量代换可得∠DEB＝∠ABC，然后根据两组角对应相等的三角形相似即可证明结论； （2）如图：过点A作AG∥BC交BD延长线于点G，BD与AE相交于H，先证明△BEH≌△GAH（AAS）可得AG＝BE，再通过证明△DEB∽△ABC并结合△DEB∽△ABC可得，进而证明结论． 【解答】证明：（1）∵BD＝CD， ∴∠DBC＝∠C， ∵∠DEB＝∠C+∠CDE，∠ABC＝∠DBC+∠ABD，∠CDE＝∠ABD， ∴∠DEB＝∠ABC， ∴△DEB∽△ABC． （2）如图，过点A作AG∥BC交BD延长线于点G，BD与AE相交于H， ∴∠BEH＝∠GAH，∠EBH＝∠G， ∵BD平分AE， ∴AH＝EH， 在△BEH和△GAH中， ， ∴△BEH≌△GAH（AAS）， ∴AG＝BE， ∵AG∥BC， ∴△ADG∽△CDB， ∴， ∵△DEB∽△ABC， ∴， ∴， ∵BD＝CD， ∴，即CD2＝AD•AC． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 25．[25-26九年级上•青浦区期中]如图，已知AD、BC相交于点E，AB＝4，BE＝2，BC＝8，且AE：ED＝1：3，连接AC． （1）求线段CD的长； （2）如果AE＝3，求线段AC的长． 【答案】（1）12； （2）6， 【分析】（1）结合题意推出，进而证明△AEB∽△DEC，再利用相似三角形性质建立等式求解，即可解题； （2）根据题意求出ED＝9，结合相似三角形性质证明△ABC∽△ECD，再利用相似三角形性质建立等式求解，即可解题． 【解答】解：（1）∵BE＝2，BC＝8， ∴EC＝BC﹣BE＝8﹣2＝6， ∵AE：ED＝1：3， ∴， ∵∠AEB＝∠DEC， ∴△AEB∽△DEC， ∴， ∵AB＝4， ∴， 解得CD＝12； （2）∵AE＝3， ∴ED＝9， ∵AB＝4，BC＝8，CE＝6，CD＝12， ∴， ∴， ∵△AEB∽△DEC， ∴∠B＝∠DCE， ∴△ABC∽△ECD， ∴， ∴， 解得AC＝6． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 题型四．相似三角形的应用 核心是将实际场景转化为相似三角形模型，利用对应边成比例求解. 对应考法：交叉卡钳测内径，由对顶角加边比例得相似，求内孔直径；小孔成像问题，物高与像高之比等于物距与像距之比；三角形余料加工正方形，由相似得高的比等于边的比，求正方形边长；测树高问题，利用镜面反射构造相似，列比例式求高度. 26．[25-26九年级上•杨浦区期中]如图是一个圆形零件的剖面图，已知零件的外直径为25毫米，为求出它的壁的厚度x，需知内孔的直径AB，但由于不能直接量出AB，因此用一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）去量．如果，且量得CD长为7毫米，那么零件的壁的厚度x是　 　 毫米． 【答案】2． 【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得AB的长，再根据某零件的外径为25毫米，即可求得x的值． 【解答】解：，∠COD＝∠AOB， ∴△COD∽△AOB， ∴， ∵CD的长为7毫米， ∴AB的长为21毫米， ∵零件的外径为25毫米， ∴零件的厚度为：（毫米）， 故答案为：2． 【点评】本题考查相似三角形的应用，掌握其性质是解题的关键． 27．[25-26九年级上•奉贤区期中]我国2000多年前的《墨经》记载了有关“小孔成像”的论述．物体经“小孔成像”成倒立的实像，像可能放大，也可能缩小．如图，小嘉制作了一个简易小孔成像仪来开展蜡烛成像实验，测得蜡烛火焰的像的高度是3厘米．则蜡烛火焰的实际高度为　 　 厘米． 【答案】2． 【分析】过O作OM⊥CD于点M，过O作ON⊥AB于点N，证明△AOB∽△COD，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求解． 【解答】解：如图，连接AB，CD，过O作ON⊥AB于点N，OM⊥CD于点M， 由题意得，OM＝18厘米，ON＝12厘米，CD＝3厘米，AB∥CD， ∴△AOB∽△COD， ∴， ∴， 解得：AB＝2， ∴蜡烛火焰的实际高度为2厘米， 故答案为：2． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 28．[25-26九年级上•闵行区期中]如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝12m，高AD＝8m，要把它加工成一个正方形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．则该正方形的边长 是 　　 m． 【答案】4.8． 【分析】设PN与AD的交点为E，设PN＝xm，由题意可得，PN∥BC，则△APN∽△ABC，则，求解即可． 【解答】解：设PN与AD的交点为E，如图： 设PN＝xm，则DE＝MN＝PN＝xm，AE＝AD﹣DE＝（8﹣x）m， 由题意可得，PN∥BC， ∴△APN∽△ABC， ∴，即， 解得x＝4.8， 即PN＝4.8m， 故答案为：4.8． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 29．[25-26九年级上•上海期中]如图，△ABC是一块余料，BC＝120mm，现要把它加工成正方形零件DEFG，使得正方形的四个顶点D，E，F，G都在三角形的三边上，其中点E，F在BC边上，加工后正方形的边长为48mm，则△ABC的面积为 　 ． 【答案】4800mm2． 【分析】过A作AH⊥BC于H，交DG于M，根据矩形的性质得到MH＝DE＝48mm，根据相似三角形的性质得到AH＝80，由三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：过A作AH⊥BC于H，交DG于M， 则MH＝DE＝48mm， ∵DG∥BC， ∴△ADG∽△ABC， ∴， 即， 解得AH＝80， ∴S△ABCBC•AH120×80＝4800mm2． 故答案为：4800mm2． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键． 30．[25-26九年级上•浦东新区期中]小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器CD，测得∠ACD＝135°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG＝5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG＝2米，小明眼睛与地面的距离EF＝1.6米，测量器的高度CD＝0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，则这棵古树的高度AB为多少米？（小平面镜的大小忽略不计） 【答案】18m． 【分析】过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝0.5米，∠ACH＝∠CAH＝45°，进而得出AH＝CH＝BD，那么AB＝AH+BH＝BD+0.5，再证明△EFG∽△ABG，根据相似三角形对应边成比例求出BD＝17.5米，进而求出AB即可． 【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H， 则CH＝BD，BH＝CD＝0.5米， ∴∠DCH＝90°， ∵∠ACD＝135°， ∴∠ACH＝45°， 在Rt△ACH中，∠CAH＝45°， ∴AH＝CH＝BD， ∴AB＝AH+BH＝BD+0.5． ∵EF⊥FB，AB⊥FB， ∴∠EFG＝∠ABG＝90°． 由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB， ∴△EFG∽△ABG， ∴， 即， 解得：BD＝17.5， ∴AB＝17.5+0.5＝18（m）． ∴这棵古树的高AB为18m． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形． 提升·进阶突破 题型五．相似三角形运动型问题 核心是设运动时间，用表示线段长度，结合相似、勾股定理列方程或函数式. 对应考法：直角三角形内动点直角问题，作垂线构造相似，求三角函数值或函数关系式；等腰直角旋转动点，证三角形相似，求线段函数式与定义域；等腰三角形存在性，分三类讨论，结合相似列方程求. 31．[25-26九年级上•浦东新区期中]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点（点F不与点B重合），且∠FDE＝90°． （1）当DF∥AB时，连接EF，求∠DEF的余切值； （2）当点F在线段BC上时，设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）连接CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长． 【答案】（1）； （2）； （3）6． 【分析】（1）先根据勾股定理求出AB的长，再由相似三角形的性质求出DF的长，利用等腰直角三角形的性质求出DE的长，最后由锐角三角函数的定义即可求出∠DEF的余切值； （2）过点E作EH⊥AC于点H，由平行线的性质及等腰三角形的性质可求出HE、HD的表达式，再由相似三角形的判定定理求出△HDE∽△CFD，根据相似三角形的性质可写出y关于x的函数关系式； （3）先分析出△DCE为等腰三角形时的两种情况，再根据题意画出图形，当DC＝DE时，证明∠AEC＝90°，得到AE＝CE，再根据等腰三角形三线合一得到DE⊥AC，从而得到F与C重合，进而得出BF的长；当ED＝EC时，先判断出点F的位置，再根据相似三角形的性质及判定定理解答即可求解． 【解答】解：（1）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，连接EF， ∴∠A＝∠B＝45°， 由勾股定理得：AB6， ∵点D为AC中点， ∴， ∵DF∥AB，∠FDE＝90°，如图2， ∴△CDF∽△CAB，∠AED＝∠FDE＝90°， ∴，△ADE为等腰直角三角形， ∴，， 在Rt△DEF中，； （2）如图3，BC⊥AC，过点E作EH⊥AC于点H， ∴EH∥BC， ∴∠AEH＝∠B， ∵∠B＝∠A， ∴∠AEH＝∠A，， ∴， ∵∠EDF＝90°， ∴∠EDH+∠CDF＝90°， ∵∠C＝90°， ∴∠CDF+∠CFD＝90°， ∴∠EDH＝∠CFD， ∵∠EHD＝∠C＝90°， ∴△HDE∽△CFD， ∴， ∴， ∴； （3）∵，CD＝3， ∴CE＞CD， ∴若△DCE为等腰三角形，分两种情况讨论： ①当DC＝DE时，如图4，则∠DCE＝∠DEC， ∵AD＝CD，DE＝DC， ∴AD＝DE， ∴∠A＝∠AED， ∵∠A+∠AED+∠DEC+∠DCE＝180°， ∴∠AED+∠DEC＝90°， ∴∠AEC＝90°， ∴CE⊥AB， ∵AC＝BC， ∵∠A＝45°，∠AEC＝90°， ∴AE＝CE， ∵AD＝CD， ∴DE⊥AC， ∴此时F与C重合， ∴BF＝6； ②当ED＝EC时，如图5，点F在BC的延长线上，过点E作EM⊥CD于点M， ∴， ∵EM⊥CD， ∴△DME是直角三角形， ∵DE⊥DF， ∴∠EDM+∠FDC＝90°， ∵∠FDC+∠F＝90°， ∴∠F＝∠EDM， ∴△DFC∽△EDM， ∴， ∴， ∴CF＝1， ∴BF＝1+6＝7（在线段AB延长线上，故舍去）； 综上所述，BF的长为6． 【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了锐角三角函数，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，余角性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键． 32．[24-25九年级上•闵行区月考]在△ABC中，已知∠B＝45°，∠C＝30°，AC＝8，点T是射线CB上一动点，联结AT，在AT右侧作等腰直角△ATK，即AT＝AK，∠TAK＝90°． （1）如图（a），当点K落在线段AC上时，求线段BT的长度； （2）如图（b），当点T在线段BC上且点K在△ABC内部（不包括边界）时，联结CK，设BT＝x，△AKC面积为y，即S△AKC＝y，求y关于x的函数解析式及定义域； （3）若点K落在△ABC某一边垂直平分线上时，具体求出线段BT的长度． 【答案】（1）4；（2）；（3）4或BT＝4． 【分析】（1）如图，过A作AE⊥BC交BC于点E，先求出三角形的另两边长，根据勾股定理得到，进而即可解； （2）如图，过K作KH⊥BC交BC于点H，过T作TG⊥AB交AB于点G，先证△ATG∽△THK，得出，进而可得出AT，GT，KH 与x的关系，用三角形面积的和差即可； （3）点K落在△ABC某一边垂直平分线上时，分三种情况讨论即可得解． 【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC交BC于点E， ∵∠B＝45°，∠C＝30°，AC＝8， ∴， ∴根据勾股定理得，，CE＝4， ∴BC， ∵在Rt△CAT中，∠C＝30°，AC＝8，∠TAK＝90°， ∴AT， ∴根据勾股定理得，， ∴CT， ∴BT4； （2）如图，过K作KH⊥BC交BC于点H，过T作TG⊥AB交AB于点G， ∵AT＝AK，∠TAK＝90° ∴∠ATK＝∠AKT＝45°， ∴根据勾股定理得，， ∵∠B＝45°， ∴∠BAT+∠BTA＝∠KTH+∠BTA＝180°﹣45°＝135°， ∴∠BAT＝∠KTH， ∵∠AGT＝∠KHT＝90°， ∴△ATG∽△THK， ∴， ∵∠B＝45°， ∴根据勾股定理得，， ∴KH＝x，， ∴， ∴根据勾股定理得，AT2＝x2﹣8x+32， ∴S△AKC＝S△ABC﹣S△ABT﹣S△CKT ， ∴， 由（1）知，当点K落在线段AC上时，， ∴函数的定义域为， （3）点K落在△ABC某一边垂直平分线上时，可分三种情况， ①如图，当点K落在AB边垂直平分线上时，过点T作TM⊥AB交AB的延长线于M点，设AB的垂直平分线交AB于点N， ∴，∠TAM+∠MAK＝∠MAK+∠AKN＝90°，∠AMT＝∠ANT＝90°， ∴∠TAM＝∠AKN， ∵AT＝AK， ∴△ATM≌△KAN（AAS），AN＝TM， ∵∠ABC＝45°， ∴∠TBM＝∠ABC＝45°，BM＝MT， ∴BT， ②如图，当点K落在AC边垂直平分线上时，过点T作TD⊥AC交AC于M点，设AC的垂直平分线交AC于点Q， ∴AQ＝CQ＝4， 由①可证得△ATD≌△KAQ（AAS）， ∴TD＝AQ＝4，在Rt△CDT中，∠ACB＝30°， ∴CT＝8， ∴， ③如图，当点K落在BC边垂直平分线上时，过A作BC的平行线，与过点K作KR⊥BC交BC于R点的直线交于点P，过点T作TO⊥AP交P的延长线于O点， ∴KP∥AE， ∴K在直线KP上运动，由①可证得△ATO≌△KAP（AAS）， ∴TO＝AP＝ER＝4， ∴， ∴R不是BC边的中点， ∵∠B＝45°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣45°＝105°， ∴△ABC为不等腰三角形， ∴K不可能落在BC边的垂直平分线上， 综上所述：4或BT＝4． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，垂直平分线的性质，一次函数的解析式等知识点，熟练掌握其性质准确作出辅助线是解决此题的关键． 题型六．相似三角形变换型问题 核心是折叠、裁剪变换，抓住变换前后角、边的等量关系，结合相似求解. 对应考法：等腰三角形折叠相似，结合折叠角相等，证相似求边长；直角三角形裁剪轴对称图形，利用角平分线、全等证明边相等，求裁剪线长度；不同位置裁剪的多解问题，分轴对称位置讨论，分别列方程求解. 33．[25-26九年级上•虹口区月考]如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，． （1）求边BC的长； （2）点M在AB边上，AM＝2MB，点P是边AC上的一个动点．把△MPA沿着直线MP翻折后得到△MPN． ①当PN⊥BC时，求AP的长； ②当△MPN的一条边与AC垂直时，求AP的长． 【答案】（1）； （2）①；②AP的长为2或5或14． 【分析】（1）作BH⊥AC于点H，根据题意得出AH＝12，BH＝9，再由勾股定理求解即可； （2）①当PN⊥BC时，过点A作AF⊥BC，过点M作MD⊥BC，根据相似三角形的判定和性质及解三角形得出△MBD△ABF，，确定，设GN＝4x，NH＝5x，利用正弦得出，，结合图形，继续利用相似三角形的判定和性质求解即可； ②分两种情况分析：当PN⊥AC时，再分开若点P1在AG上，∠AP1N1＝90°，若点P2在CG上，由折叠知：∠AP2M＝45°；当MN⊥AC时，根据折叠的性质及勾股定理求解即可． 【解答】解：（1）作BH⊥AC于点H，如图1， ∵在Rt△ABH中，cos∠A，AB＝15， ∴AH＝12， ∴BH9， ∵AC＝15， ∴CH＝3， 在Rt△ABH中，BC2＝BH2+CH2， ∴BC2＝92+32＝90， ∴BC＝3； （2）①当PN⊥BC时，过点A作AF⊥BC，过点M作MD⊥BC，如图所示： ∴PN∥AF∥DM，， ∴△MBD∽△ABF，， ∴， ∵AM＝2MB， ∴， ∴， ∴， 由折叠可知∠BAC＝∠N， ∵， ∴， ∴设GN＝4x，NH＝5x， ∴MH＝MN﹣NH＝AM﹣NH＝10﹣5x，GH＝3x， ∵PN∥AF∥DM， ∴∠DMH＝∠N， ∴，即， 解得：， ， ∴，， ∴GC＝BC﹣BD﹣DH﹣HG6， 同理△CPG∽△CAF， ∴， 解得：PG18， ； （3）∵AB＝AC＝15，AM＝2MB， ∴AM＝10，BM＝5， 当PN⊥AC时，如图2，作MG⊥AC于点G， ∵在Rt△AMG中，cos∠A，AM＝10， ∴AG＝8， ∴MG＝6， 若点P1在AG上，∠AP1N1＝90°，由折叠知：∠AP1M＝∠N1P1M＝135°， ∴∠MP1G＝45°， ∵MG⊥AC， ∴P1G＝MG＝6， ∴AP1＝AG﹣P1G＝2． 若点P2在CG上，由折叠知：∠AP2M＝45°， ∵MG⊥AC， ∴P2G＝MG＝6， ∴AP2＝AG+P2G＝14． 当MN⊥AC时，如图3， 由折叠知：∠AMP3＝∠NMP3，P3N3＝AP3＝x，MN3＝MA＝10， ∴P3G＝8﹣x，GN3＝4， ∵P3P3G2， ∴x2＝（8﹣x）2+42， ∴x＝5， 综上所述，x＝2或5或14时满足△MPN的一条边与AC垂直． 【点评】本题要考查解三角形，等腰三角形的性质，折叠的性质，理解题意，进行分情况分析是解题关键． 34．图1是一张三角形纸片ABC，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，沿垂直于斜边AC的方向裁剪一刀（裁剪线为MN），会分得两个图形． 情境：（1）当裁剪线MN恰好经过顶点B时，如图2，直接写出MN的长； 操作：（2）要使经过沿MN裁剪的三角形纸片ABC，分得的其中一个图形为轴对称图形， ①嘉嘉想出了如下作法：先作出了∠C的平分线CN交AB于N，如图3，再过点N沿垂直于AC的方向裁剪，得到的四边形BCMN一定是轴对称图形．在图3中，请用无刻度的直尺和圆规过点N作出AC的垂线MN，垂足为点M（保留作图痕迹，不写作法）； ②试对CB与CM相等进行说理，并直接写出裁剪线MN的长． 探究：（3）在（2）的情形中，淇淇说：“裁剪线MN还应有另一个不同的值．”请直接写出淇淇所说的MN的长． 【答案】（1）4.8； （2）①图见解析； ②证明见解析，MN； （3）MN＝3． 【分析】（1）由勾股定理求出AC＝10，由三角形ABC的面积可得出答案； （2）①按题意画出图形；②证明Rt△BCN≌Rt△MCN（HL），得出CB＝CM．设MN＝BN＝x，则AN＝BA﹣BN＝6﹣x，BC＝CM＝8，由勾股定理得出答案； （3）由勾股定理得出答案． 【解答】解：（1）∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8， ∴AC10， ∵S△ACBAB•BCAC•MN， ∴AB•BC＝AC•NM， ∴6×8＝10NM， ∴NM＝4.8； （2）①尺规作图如图所示， ②∵CN平分∠ACB，NB⊥BC，NM⊥AC， ∴NB＝NM， 又CN＝CN， ∴Rt△BCN≌Rt△MCN（HL）， ∴CB＝CM． 设MN＝BN＝x，则AN＝BA﹣BN＝6﹣x，BC＝CM＝8， ∴AM＝2， 在Rt△AMN中，由勾股定理，得x2+22＝（6﹣x）2， 解得：x， 裁剪线MN的长为； （3）如图，四边形ABNM是轴对称图形， ∵△ABN与△AMN关于AN成轴对称， ∴AB＝AM＝6，BN＝MN，∠ABN＝∠AMN＝∠NMC＝90°， ∴CM＝AC﹣AM＝10﹣6＝4， 设MN＝BN＝x，则CN＝BC﹣BN＝8﹣x， 在Rt△CMN中，由勾股定理，得x2+42＝（8﹣x）2， 解得：x＝3， ∴MN＝3． 【点评】此题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 题型七．相似三角形存在型问题 核心是假设存在，按顶点分类讨论，利用相似对应边成比例列方程求解. 对应考法：双动点三角形面积问题，用相似表示高，写面积函数，解方程验证；倍长中线类存在性，构造全等转化线段，结合相似列比例式；等角条件下的线段存在性，通过角的和差证等角，得相似三角形求解. 35．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q移动到点C时，两点停止移动．设移动时间为ts．（t＞0） （1）填空：BQ＝　 cm，PB＝　 　 cm（用含t的代数式表示） （2）当t为何值时，PQ的长为5cm？ （3）是否存在t的值，使得△PBQ的面积为4cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2t，（5﹣t）； （2）t＝2； （3）t＝1． 【分析】（1）根据路程＝速度×时间就可以表示出BQ，AP．再用AB﹣AP就可以求出PB的值． （2）在Rt△PBQ中由（1）结论根据勾股定理就可以求出其值． （3）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程就可以求出t的值． 【解答】解：（1）由题意，得 BQ＝2t（cm），PB＝（5﹣t）cm． 故答案为：2t，（5﹣t）． （2）在Rt△PBQ中，由勾股定理，得 4t2+（5﹣t）2＝25， 解得： t1＝0（舍去），t2＝2． ∴t＝2时，PQ＝5； （3）由题意，得4， 解得：t1＝1，t2＝4（不符合题意，舍去）， ∴当t＝1时，△PBQ的面积等于4cm2． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了行程问题的运用，一元二次方程的解法，勾股定理的运用，三角形面积公式的运用．在解答时要注意所求的解使实际问题有意义． 36．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝24，动点P从A开始沿边AB向B以2的速度移动，动点Q从B开始沿边BC以4的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，设△PBQ的面积为S，出发时间为t． （1）写出S和t的函数关系式； （2）当t为何值时，△PBQ面积为36？ （3）存不存在某一时刻△PBQ的面积是△ABC的面积的三分之一？如若存在，求出t的值；如若不存在，说明理由． 【答案】（1）S＝﹣4t2+24t． （2）t＝3时，△PBQ面积为36． （3）不存在． 【分析】（1）由题意AP＝2t，BQ＝4t，利用三角形的面积公式求解即可． （2）构建方程求出x即可． （3）假设存在，构建方程解决问题即可． 【解答】解：（1）由题意，AP＝2t，BQ＝4t， ∵AB＝12， ∴PB＝12﹣2t， ∴S•BP•BQ•（12﹣2t）•4t＝﹣4t2+24t（0≤t＜6）． （2）由题意﹣4t2+24t＝36， ∴t2﹣6t+9＝0， ∴（t﹣3）2＝0， ∴t1＝t2＝3， ∴t＝3时，△PBQ面积为36． （3）不存在． 理由：由题意，﹣4t2+24t12×24， ∴t2﹣6t+12＝0， ∵Δ＝36﹣48＜0， ∴方程无解， ∴不存在某一时刻△PBQ的面积是△ABC的面积的三分之一． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 37．已知在△ACD中，P是CD的中点，B是AD延长线上的一点，连结BC，AP． （1）如图1，若∠ACB＝90°，∠CAD＝60°，BD＝AC，AP，求BC的长． （2）过点D作DE∥AC，交AP延长线于点E，如图2所示，若∠CAD＝60°，BD＝AC，求证：BC＝2AP． （3）如图3，若∠CAD＝45°，是否存在实数m，当BD＝mAC时，BC＝2AP？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2；（2）见解答过程；（3）． 【分析】（1）证△ADC是等边三角形，P为CD中点，通过等边三角形三线合一，得到AP⊥CD，解三角形即可； （2）借助中点和平行，可证得△CPA≌△DPE，得出AP＝EP，DE＝AC，再证明△CAB≌△EBA，即可得出结论； （3）由（2）总结的解题方法延伸到图3中，类比解决问题． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠CAD＝60°， ∴AB， ∵BD＝AC， ∴AD＝AC， ∴△ADC是等边三角形， ∴∠ACD＝60°， ∵P是CD的中点， ∴AP⊥CD， 在Rt△APC中，AP， ∴， ∴， （2）证明：连接BE， ∵DE∥AC， ∴∠CAP＝∠DEP， 在△CPA和△DPE中 ， ∴△CPA≌△DPE（AAS）， ∴AP＝EP，DE＝AC， ∵BD＝AC， ∴BD＝DE， 又∵DE∥AC， ∴∠BDE＝∠CAD＝60°， ∴△BDE是等边三角形， ∴BD＝BE，∠EBD＝60°， ∵BD＝AC， ∴AC＝BE， 在△CAB和△EBA中 ， ∴△CAB≌△EBA（SAS）， ∴AE＝BC， ∴BC＝2AP， （3）存在这样的m，m． 理由如下：作DE∥AC交AP延长线于E，连接BE， 由（2）同理可得DE＝AC，∠EDB＝∠CAD＝45°，AE＝2AP， 当BD时， ∴BD， 作BF⊥DE于F， ∵∠EDB＝45°， ∴BD， ∴DE＝DF， ∴点E，F重合， ∴∠BED＝90°， ∴∠EBD＝∠EDB＝45°， ∴BE＝DE＝AC， 同（2）可证：△CAB≌△EBA（SAS）， ∴BC＝AE＝2AP， ∴存在m，使得BC＝2AP， 【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角函数的计算等知识，构造出全等三角形是解决（2）的关键，类比（2）来解决（3）是解决几何题常用的方法，体现了变中不变的思想． 38．【三角形综合探究】 如图1，在△ABC中，已知∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC． （1）【推理演算】如果AD＝4，DC＝5，求BC的长； （2）如图2，在图1的基础上，过点A作AC的垂线AP，与边CB的延长线交于点P． ①【猜想证明】猜想线段PC与边AB的数量关系并证明； ②【深入探究】在线段DB上截取DQ＝DA，连接AQ，当∠PAQ＝2∠BAQ时，探究是否存在实数k，使得AB＝kBQ+PB成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）BC的长为； （2）①PC＝2AB； 证明：如图，取PC中点E，连接AE， ∵AC⊥AP， ∴△APC是直角三角形， ∴PC＝2AE，AE＝EC， ∴∠EAC＝∠C， ∴∠AEB＝∠C+∠EAC＝2∠C＝∠ABC， ∴AB＝AE， ∴PC＝2AB； ②存在实数k，且k． 【分析】（1）利用角平分线性质得等角，进而判定等腰三角形，结合相似三角形的判定与性质，通过相似比计算线段长度； （2）①取PC中点E，连接AE，证明PC＝2AE，AE＝AB即可； ②通过角度关系推导出特殊角度，结合等腰三角形性质与三角形相似，分析线段间的等量关系，进而确定k的值． 【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD∠ABC， ∵∠ABC＝2∠C， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠C， ∴BD＝CD＝5． ∵∠ADB＝∠CBD+∠C＝2∠C＝∠ABC， ∴△ADB∽△ABC， ∴， ∵AD＝4，DC＝5， ∴AC＝AD+CD＝9，BD＝5， ∴， ∴AB＝6（负值舍去）， ∴， ∴BC； （2）①PC＝2AB； 证明：如图，取PC中点E，连接AE， ∵AC⊥AP， ∴△APC是直角三角形， ∴PC＝2AE，AE＝EC， ∴∠EAC＝∠C， ∴∠AEB＝∠C+∠EAC＝2∠C＝∠ABC， ∴AB＝AE， ∴PC＝2AB； ②如图， ∵DQ＝DA， ∴∠DAQ＝∠AQD90°﹣∠C， ∴∠BAQ＝180°﹣∠C﹣∠ABC﹣∠DAQ＝90°﹣2∠C．， ∵∠PAQ＝2∠BAQ， ∴∠PAQ＝180°﹣4∠C． ∵∠PAQ+∠QAD＝180°﹣4∠C+90°﹣∠C＝90°， ∴∠C＝∠ABD＝∠CBD＝36°． ∴∠BAC＝180°﹣36°﹣72°＝72°， ∴∠BAC＝∠ABC＝72°， ∴AC＝BC， 同理：AB＝BD＝CD， ∴AD＝AC﹣CD＝AC﹣AB． 由（1）得△ADB∽△ABC， 设m， 则AD＝mAB，AB＝mAC，BD＝mBC， 由（1）得AB2＝AD•AC， 即m2AC2＝（AC﹣mAC）•AC， 整理得m2+m﹣1＝0， 解得m（负值舍去）， 由①得PC＝2AB＝2mBC， ∴PB＝PC﹣BC＝（2m﹣1）BC， ∴AB﹣PB＝（1﹣m）BC，DQ＝DA＝m2BC， ∴BQ＝BD﹣QD＝m（1﹣m）BC， ∴k， ∴存在实数k，且k使得AB＝kBQ+PB成立． 【点评】本题是三角形的综合题，主要考查相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形判定与性质等知识，涉及角度关系推导与线段长度计算，综合性较强． 题型八．相似三角形特殊三角形存在型问题 核心是等腰、直角等特殊三角形存在性，分情况讨论腰或直角顶点，结合相似性质列方程. 对应考法：等腰三角形存在，分、两类，分别证相似列比例式求边长；平行线+等角的等腰存在，分三种等腰情况，结合相似、勾股定理列方程；直角三角形存在，分三个直角顶点，用相似或勾股定理求解. 39．[25-26九年级上•闵行区期中]如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝2，点D是边AC的中点，点M、N是射线BD上的动点（点M在左边），以CM为一边作∠MCN＝∠ABC． （1）求BD的长； （2）当点M是△ABC的重心时，求CN：BN的值； （3）如果△MCN是以MN为腰的等腰三角形，求BM的长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）过A、D作BC的垂线，垂足分别为E、F，通过解直角三角形求出CF，BF，利用勾股定理求出DF，即可解答； （2）连接AM并延长交BC于点H，根据题意得到AM是BC的垂直平分线，证明△NCD∽△NBC，列出比例式即可解答； （3）若△MCN是以MN为腰的等腰三角形，分以下两种情况，①当MN＝NC时，证明△DMC∽△DCB，求出DM，即可解答；②当MN＝MC时，证明△BCD∽△BNC，求得BN，NC，过M作MH⊥NC，垂足为H，求出MN，即可解答． 【解答】解：（1）如图，过A、D作BC的垂线，垂足分别为E、F， ∵AB＝AC，AE⊥BC，AB＝AC，BC＝2， ∴CEBC＝1，cosC， ∵点D是边AC的中点， ∴CD， 在Rt△CFD中，cos，CD， ∴， ∴BF＝BC﹣CF＝2， ∴DF1， 在Rt△BDF中，BD； （2）如图，连接AM并延长交BC于点H， ∵点M是△ABC的重心， ∴点M是△ABC的三条中线的交点， ∴AH是△ABC的中线， ∵AB＝AC， ∴AM是BC的垂直平分线， ∴BM＝CM， ∴∠1＝∠4， ∵∠1+∠2＝∠2+∠3， ∴∠1＝∠3， ∴∠3＝∠4， ∵∠N＝∠N， ∴△NCD∽△NBC， ∴， ∴CN：BN； （3）若△MCN是以MN为腰的等腰三角形，分以下两种情况， ①当MN＝NC时，如图， ∵∠1+∠2＝∠3+∠2， ∴∠1＝∠3， ∵MN＝NC， ∴∠NMC＝∠2+∠3， ∵∠NMC＝∠1+∠4， ∴∠2＝∠4， ∵∠MDC＝∠CDB， ∴△DMC∽△DCB， ∴， ∴， ∴DM， ∴BM＝BD﹣DM； ②当MN＝MC时，如图， ∴∠MCN＝∠MNC， ∵∠ACB＝∠MCN， ∴∠ACB＝∠MNC， ∵∠BCD＝∠BCN， ∴△BCD∽△BNC， ∴， 即， ∴BN，NC， 过M作MH⊥NC，垂足为H， ∵MC＝MN， ∴NH， ∵cosN＝cos∠MCN＝cos∠ACB， ∴MN， ∴BM＝BN﹣MN； 综上，BM为或． 【点评】本题考查三角形的综合应用，主要考查勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 40．[青浦区期中]如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，过点A作射线AM∥BC，点D、E是射线AM上的两点（点D不与点A重合，点E在点D右侧），联结BD、BE分别交边AC于点F、G，∠DBE＝∠C． （1）当AD＝1时，求FB的长； （2）设AD＝x，FG＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）联结DG并延长交边BC于点H，如果△DBH是等腰三角形，请直接写出AD的长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用勾股定理计算AC和BD的长，再证明△ADF∽△CBF，列比例式可得BF的长； （2）如图1，先证明△ADF∽△BGF，得，再证明△ADF∽△CBF，得，分别表示DF，AF和BF的长，代入比例式计算即可；根据∠DBE无限接近∠DBC时，AD的值接近4，可得x的取值； （3）分三种情况：①当BD＝DH时，②当BD＝BH时，③当BH＝DH时，分别根据平行线分线段成比例定理列比例式，结合方程可解答． 【解答】解：（1）∵AM∥BC， ∴∠DAB+∠ABC＝180°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠DAB＝90°， 由勾股定理得：BD， ∵AM∥BC， ∴△ADF∽△CBF， ∴， ∵AD＝1， ∴， ∴BF； （2）如图1，∵AM∥BC， ∴∠C＝∠CAM， ∵∠DBE＝∠C， ∴∠DBE＝∠CAM， ∵∠BFG＝∠AFD， ∴△ADF∽△BGF， ∴， ∴AF•FG＝BF•DF， ∵AM∥BC， ∴△ADF∽△CBF， ∴， ∴，， ∴DF，AF， 同理得：BF， ∴y•， ∴y； 如图2，当点E在直线BC上时，∠DBC＝∠ACB＝∠ADB， ∵AB＝BA，∠ABC＝∠DAB， ∴△DAB≌△CBA（AAS）， ∴AD＝BC＝4， ∴x的取值范围是0＜x＜4； （3）分三种情况： ①当BD＝DH时，如图3，过点D作DP⊥BC于P， ∵BD＝DH， ∴BP＝PH＝AD＝x， ∴CH＝4﹣2x，∠DBP＝∠DHP， ∴∠DBE+∠GBH＝∠C+∠CGH， ∴∠CGH＝∠GBH， ∵∠C＝∠C， ∴△CHG∽△CGB， ∴， ∴CG2＝4（4﹣2x）， ∵AD∥CH， ∴，即， ∴， ∴CG， ∴4（4﹣2x）， ∴2x2+9x﹣18＝0， ∴x1，x2＝﹣6（舍）， ∴AD； ②当BD＝BH时，如图4， 由勾股定理得：BD＝BH， 由（2）同理得：CG＝CF﹣FG， ∵AD∥CH， ∴， ∴，即， ∴（9+4x）4（x2+9）， 解得：x， ∴AD； ③当BH＝DH时，如图5，过点D作DK⊥BC于K， 设KH＝a， ∵BK＝AD＝x， ∴DH＝BH＝x+a， 在Rt△DKH中，由勾股定理得：DK2+KH2＝DH2， ∴32+a2＝（a+x）2， ∴a， ∴CH＝4﹣BH＝4﹣x， ∵AD∥CH， ∴， ∴，即， ∴， ∴（x2+9）（4x﹣9）＝0， ∴x， ∴AD， 综上，AD的长是或或． 【点评】本题属于三角形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想解决问题，并与方程相结合，本题计算量大，属于中考压轴题． 41．[25-26九年级上•浦东新区期末]已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，点P从点B出发，沿BC向点C匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动，速度为2cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5），解答下列问题： （1）①BQ＝　5﹣2t ，BP＝t ；（用含t的代数式表示） ②设△PBQ的面积为y（cm2），试确定y与t的函数关系式； （2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△PBQ的面积为△ABC面积的二分之一？如果存在，求出t的值；不存在，请说明理由； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△BPQ为等腰三角形？如果存在，求出t的值；不存在，请说明 理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）①先利用勾股定理求出AB，即可得出结论； ②先作出高，进而得出△BDQ∽△BCA，表示出DQ，最后用三角形的面积公式即可得出结论； （2）先求出△ABC的面积，再利用△PBQ的面积为△ABC面积的二分之一，建立方程，进而判断出此方程无解，即可得出结论； （3）分三种情况，利用等腰三角形的性质和相似三角形的性质得出比例式建立方程求解即可得出结论． 【解答】解：（1）①在Rt△ABC中，AC＝3cm，BC＝4cm， 根据勾股定理得，AB＝5cm， 由运动知，BP＝t，AQ＝2t， ∴BQ＝AB﹣AQ＝5﹣2t， 故答案为：5﹣2t，t； ②如图1，过点Q作QD⊥BC于D， ∴∠BDQ＝∠C＝90°， ∵∠B＝∠B， ∴△BDQ∽△BCA， ∴， ∴， ∴DQ（5﹣2t） ∴y＝S△PBQBP•DQt（5﹣2t）t2t； （2）不存在，理由：∵AC＝3，BC＝4， ∴S△ABC3×4＝6， 由（1）知，S△PBQt2t， ∵△PBQ的面积为△ABC面积的二分之一， ∴t2t＝3， ∴2t2﹣5t+10＝0， ∵Δ＝25﹣4×2×10＜0， ∴此方程无解， 即：不存在某一时刻t，使△PBQ的面积为△ABC面积的二分之一； （3）由（1）知，AQ＝2t，BQ＝5﹣2t，BP＝t， ∵△BPQ是等腰三角形， ∴①当BP＝BQ时， ∴t＝5﹣2t， ∴t， ②当BP＝PQ时，如图2过点P作PE⊥AB于E， ∴BEBQ（5﹣2t）， ∵∠BEP＝90°＝∠C，∠B＝∠B， ∴△BEP∽△BCA， ∴， ∴， ∴t ③当BQ＝PQ时，如图3，过点Q作QF⊥BC于F， ∴BFBPt， ∵∠BFQ＝90°＝∠C，∠B＝∠B， ∴△BFQ∽△BCA， ∴， ∴， ∴t， 即：t为秒或秒或秒时，△BPQ为等腰三角形． 【点评】此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 42．[徐汇区期中]（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥AC，交BC于点E． ①若DE＝1，，求BC的长；②如果△ACD是等腰三角形，请直接写出的值； （2）如图2，∠CBD和∠BCF是△ABC的2个外角，∠BCF＝2∠CBD，CD平分∠BCF，交AB的延长线于点D，DE∥AC，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为S1，△CDE的面积为S2，△BDE的面积为S3，若，求cos∠CBD的值． 【答案】（1）BC， ②； （2）． 【分析】（1）①证出∠ACD＝∠DCB＝∠B，由等腰三角形的判定得出CD＝BD，求出CE＝DE＝1，证明△CED∽△CDB，由相似三角形的性质可求出BC的长； ②根据等腰三角形的性质得到AC＝CD，根据角平分线的定义得到∠ACD＝∠BCD，根据相似三角形的性质即可得到结论； （2）证出，由题意可得出，设BC＝9x，则CE＝16x，证明△CDB∽△CED，由相似三角形的性质得出，求出CD＝12x，过点D作DH⊥BC于点H，则BHBCx，根据锐角三角函数的定义可得出答案． 【解答】解：（1）∵①CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠DCB∠ACB， ∵∠ACB＝2∠B， ∴∠ACD＝∠DCB＝∠B， ∴CD＝BD， ∵DE∥AC， ∴∠ACD＝∠EDC， ∴∠EDC＝∠DCB＝∠B， ∴CE＝DE＝1， ∴△CED∽△CDB， ∴， ∴， ∴BC， ②∵△ACD是等腰三角形， ∴AC＝CD， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD， ∵∠ACB＝2∠B， ∴∠B＝∠ACD＝∠BCD， ∴CD＝BD， ∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∴， ∴， ∴ACAD， ∴， 当AD＝DC， ∴∠A＝∠ADC， ∴∠A＝∠ADC＝∠BDC＝∠B， ∵∠A+∠ADC+∠BDC+∠B＝180°， ∴∠A＝∠ADC＝∠BDC＝∠B＝45°， ∴∠ADC＝∠BDC+∠B﹣90°， ∴cosAcos45°； （2）∵DE∥AC， ∴， ∵， ∴， 又∵S1•S3S22， ∴， 设BC＝9x，则CE＝16x， ∵CD平分∠BCF， ∴∠ECD＝∠FCD∠BCF， ∵∠BCF＝2∠CBG， ∴∠ECD＝∠FCD＝∠CBD， ∴BD＝CD， ∵DE∥AC， ∴∠EDC＝∠FCD， ∴∠EDC＝∠CBD＝∠ECD， ∴CE＝DE， ∵∠DCB＝∠ECD， ∴△CDB∽△CED， ∴， ∴CD2＝CB•CE＝144x2， ∴CD＝12x， 过点D作DH⊥BC于点H， ∵BD＝CD＝12x， ∴BHBCx， ∴cos∠CBD 【点评】本题是三角形综合题，考查了角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 拔高·压轴破难 题型九．相似三角形最值型问题 核心是利用相似转化线段，结合轴对称、旋转构造最短路径，或转化为二次函数求最值. 对应考法：倍长中线类最短周长，利用垂直平分线转化线段，三点共线时取最小值；等边三角形内动点最值，证相似得二次函数，配方求最大值；线段和最小值，旋转对称转化线段，共线时最小. 43．[徐汇区期中]当已知三角形一边中点时，我们常通过“倍长中线”来构造全等的两个三角形，从而解决问题． 如图，已知△ABC，点D是BC的中点，延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE，易得到△ECD≌△ABD，从而得到CE＝AB，∠CED＝∠BAD． 已知△ABC，点D是BC的中点． （1）如图1，点E在AD上，延长CE交AB于点F，且FA＝FE，求证：CE＝AB；小明同学应用倍长中线的方法，延长ED至点M，使ED＝DM，连接BM，请你帮助他写出证明过程； （2）如图2，点E，G在射线DA上，连接BE，CG，BG，延长CG交BE于点F，若FE＝FG，G为ED的中点，求证：BG＝BD； （3）在（2）的条件下，若点M是线段DG的中点，∠DBG＝40°，NH垂直平分线段BG，在NH上有一动点P，连接GP，DP，PM，当△GPM的周长最小时，求∠DPH的度数． 【答案】（1）证明见解析过程； （2）证明见解析过程； （3）30°． 【分析】（1）如图所示，延长ED至点M，使ED＝DM，连接BM，证明△DEC≌△DMB得到CE＝BM，∠M＝∠DEC，再根据等边对等角和对顶角相等证明∠BAE＝∠M，得到BA＝BM，从而可证明AB＝CE； （2）延长GD至点H，使DH＝GD，连接BH，证明△GDC≌△HDB，得到∠DGC＝∠H，再证明GD＝EG＝DH，进而证明△EBG≌△HBD，即可证明BG＝BD； （3）如图所示，连接BM交NH与P′，连接GP′，DP′，MP′，由线段垂直平分线的性质得到BP′＝GP′，由三线合一定理得到BM垂直平分DG，，则DP′＝GP′，故当P点运动到点P′时，BP+PM最小，即△GPM的周长最小，最小为BM+GM，此时DP＝BP＝GP，则∠PDB＝∠PBD＝20°，求出∠NHB＝50°，则∠DPH＝∠NHB﹣PDH＝30°． 【解答】（1）证明：如图所示，延长ED至点M，使ED＝DM，连接BM， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∵在△DEC和△DMB中， ， ∴△DEC≌△DMB（SAS）， ∴CE＝BM，∠M＝∠DEC， ∵FA＝FE， ∴∠FEA＝∠FAE， ∵∠FEA＝∠DEC， ∴∠BAE＝∠M， ∴BA＝BM， ∴AB＝CE； （2）证明：延长GD至点H，使DH＝GD，连接BH， ∵点D是BC的中点， ∴CD＝BD， 在△GDC和△HDB中， ， ∴△GDC≌△HDB（SAS）， ∴∠DGC＝∠H， ∵FE＝FG， ∴∠E＝∠FGE＝∠DGC， ∴∠E＝∠H， ∴BE＝BH， ∵G为ED的中点， ∴GD＝EG＝DH， ∴在△EBG和△HBD中 ， ∴△EBG≌△HBD（SAS）， ∴BG＝BD； （3）解：如图所示，连接BM交NH与P′，连接GP′，DP′，MP′， ∵NH垂直平分线段BG， ∴BP′＝GP′， ∵BG＝BD且M为GD的中点， ∴BM垂直平分DG，， ∴DP′＝GP′， ∵△GPM的周长＝PG+PM+GM＝BP+PM， ∴当P点运动到点P′时，BP+PM最小，即△GPM的周长最小，最小为BM+GM， ∴此时DP＝BP＝GP， ∴∠PDB＝∠PBD＝20°， ∵∠HNB＝90°， ∴∠NHB＝90°﹣40°＝50°， ∴∠DPH＝∠NHB﹣PDH＝30°． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 44．[普陀区期中]如图，在△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，BC＝6，D为直线BC上一动点（不与点B、点C重合），向AB的右侧作△ADE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）当点D在线段BC上时，求证：△BAD≌△CAE； （2）在（1）的条件下，当AC⊥DE时，求BD的长； （3）当CE∥AB时，若△ABD中有最小的内角为23°，试求∠AEC的度数．（直接写结果，无需写出求解过程） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据SAS即可证明△BAD≌△CAE； （2）利用等腰三角形的三线合一可得出BD＝CD，则可得出答案； （3）分D在线段BC上、点D在BC的延长线上两种情形根据等边三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【解答】（1）证明：①如图1， ∵∠DAE＝∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）； （2）解：∵AE＝AD，AC⊥DE， ∴∠DAC＝∠EAC， ∵△BAD≌△CAE， ∴∠BAD＝∠EAC， ∴∠DAC＝∠BAD， ∵AB＝AC， ∴BD＝DC ∵BC＝6， ∴BDBC＝3； （3）如图2，当D在线段BC上时， ∵CE∥AB， ∴∠ACE＝∠BAC， ∵△BAD≌△CAE， ∴∠ABD＝∠ACE，∠ADB＝∠AEC， ∴∠ABD＝∠BAC，又∠ABC＝∠ACB， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∴∠AEC＝∠ADB＝180°﹣60°﹣23°＝97°； 即当△ABD中的最小角是∠DAB时，∠ADB＝∠AEC＝37°， 当点D在BC的延长线上时，只能∠ADB＝23°，则∠AEC＝23°． ∴∠AEC的度数为97°或23°． 【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题． 45．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AC上的动点，连接BD，点E是平面内一点，AE＝BE，∠AEB＝90°+2∠CBD． （1）如图1，点E在△ABC的内部，且在BD上，求∠ABC的度数； （2）如图2，点E在边BC上，连接DE，DE平分∠AEC，求证：AD＝2EC； （3）如图3，在（1）问的条件下，点F是边BC上的动点，且AD＝CF，连接AF，当AF+BD最小时，请直接写出的值． 【答案】（1）45°； （2）证明：延长EC至点F，使得FC＝EC，连接FD，在FB上截取FM＝EA，连接DM， ∵∠AEB＝90°+2∠CBD＝90°+∠CAE， ∴∠CAE＝2∠CBD． ∵FC＝EC，∠ACB＝90°， ∴DF＝DE，∠DFC＝∠DEC． ∵DE平分∠AEC， ∴∠AED＝∠DEC＝∠DFE． ∵FM＝AE， ∴△DFM≌△DEA（SAS）， ∴AE＝FM，AD＝DM，∠DMF＝∠CAE． ∵AE＝EB， ∴EB＝FM， ∴EF＝BM＝2EC． ∵∠DMF＝∠CAE＝2∠CBD，∠DMF＝∠CBD+∠MDB， ∴∠CBD＝∠MDB， ∴DM＝BM． ∵AD＝DM， ∴AD＝2EC． （3）． 【分析】（1）设∠CBD＝x，利用等腰△AEB内角和表示∠EAB，∠EBA，求出∠ABC． （2）先表示∠AEB＝90°+2∠CBD利用AE＝BE得底角；由DE平分∠AEC得等角，结合平角、三角形内角证明AD＝2EC． （3）将△BCD逆时针旋转90°得到△ACP，过点A作直线l⊥AC，作△ACP关于直线l对称的△AMN，连接FN，得到当F为BC的中点时AF+BD最小，即可求． 【解答】（1）解：设∠CBD＝x，则∠AEB＝90°+2x， ∵AE＝BE， ∴， ∴∠ABC＝∠ABE+∠CBD＝（45°﹣x）+x＝45°； （2）证明：延长EC至点F，使得FC＝EC，连接FD，在FB上截取FM＝EA，连接DM， ∵∠AEB＝90°+2∠CBD＝90°+∠CAE， ∴∠CAE＝2∠CBD． ∵FC＝EC，∠ACB＝90°， ∴DF＝DE，∠DFC＝∠DEC． ∵DE平分∠AEC， ∴∠AED＝∠DEC＝∠DFE． ∵FM＝AE， ∴△DFM≌△DEA（SAS）， ∴AE＝FM，AD＝DM，∠DMF＝∠CAE． ∵AE＝EB， ∴EB＝FM， ∴EF＝BM＝2EC． ∵∠DMF＝∠CAE＝2∠CBD，∠DMF＝∠CBD+∠MDB， ∴∠CBD＝∠MDB， ∴DM＝BM． ∵AD＝DM， ∴AD＝2EC． （3）解：将△BCD绕点C逆时针旋转90°得到△ACP，过点A作直线l⊥AC，作△ACP关于直线l对称的△AMN，连接FN， 则有MN＝CP＝CD，AN＝AP＝BD，AC＝AM，∠NMA＝∠ACP＝∠BCD＝90°， ∴AF+BD＝AF+AN， 当点A，F，N共线时，AF+AN取得最小值， 此时∠MAN＝∠CAF， ∴△MAN≌△CAF（ASA）， ∴MN＝CF＝CD， ∵又AD＝CF， ∴AD＝CF＝CD， ∴D为AC的中点， ∴， ∴F为BC的中点， ∴AF，BD是△ABC的中线， ∴E为△ABC中线的交点， 连接CE交AB于点Q， ∴， ∴，，S△EBA＝2S△QBE， ∵S△EBAS△ABC， 即． 【点评】本题主要考查了三角形及全等三角形、轴对称最短路径问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 题型十．相似三角形创新型问题 核心是新定义、类比探究，从特殊到一般推导规律，结合相似证明. 对应考法：中点分线段比例，作平行线构造全等+相似，推导比例规律；手拉手模型（等边、等腰直角、直角），证全等或相似，求线段比与夹角；直角三角形斜边中线定理拓展，结合中位线、相似求角度. 46．[24-25九年级上•青浦区期中]已知：△ABC中，AB＝AC． （1）如图1，如果点D在线段BA的延长线上，点E在线段BC上，DE＝DC，DE与AC交于点F，且DF＝FE． ①图1中是否存在与∠BDE相等的角？如果存在，写出与∠BDE相等的角，并写出简要的证明过程；如果不存在，请简述理由； ②求证：BE＝CE； （2）如图2，如果点D在线段AB上，点E在线段CB的延长线上，DE＝DC，ED的延长线交AC于点F，当AB＝3，BC＝2，DF＝k•EF时，求BE的长（用含k的代数式表示）． 【答案】（1）①∠DCA＝∠BDE．证明见解析；②证明见解析； （2）BE． 【分析】（1）①运用等腰三角形的性质及三角形的外角性质就可解决问题． ②过点E作EG∥AC，交AB于点G，如图1，要证BE＝CE，只需证BG＝AG，由DF＝FE可证到DA＝AG，只需证到DA＝BG即DG＝AB，也即DG＝AC即可．只需证明△DCA≌△EDG即可解决问题． （2）过点E作EG∥AC，交AB的延长线于点G，如图2，证明△DCA≌△EDG（AAS）．得出DA＝EG，CA＝DG，证明△ADF∽△GDE．得出，求出AD，证明△ABC∽△GBE．得出，则可得出答案． 【解答】（1）①解：∠DCA＝∠BDE． 证明：∵AB＝AC，DC＝DE， ∴∠ABC＝∠ACB，∠DEC＝∠DCE． ∴∠BDE＝∠DEC﹣∠DBC＝∠DCE﹣∠ACB＝∠DCA． ②证明：过点E作EG∥AC，交AB于点G，如图1， 则有∠DAC＝∠DGE． 在△DCA和△EDG中， ， ∴△DCA≌△EDG（AAS）． ∴DA＝EG，CA＝DG． ∴DG＝AB． ∴DA＝BG． ∵AF∥EG，DF＝EF， ∴DA＝AG． ∴AG＝BG． ∵EG∥AC， ∴BE＝EC． （2）解：过点E作EG∥AC，交AB的延长线于点G，如图2， ∵AB＝AC，DC＝DE， ∴∠ABC＝∠ACB，∠DEC＝∠DCE， ∴∠BDE＝∠DBC﹣∠DEC＝∠ACB﹣∠DCE＝∠DCA． ∵AC∥EG， ∴∠DAC＝∠DGE． 在△DCA和△EDG中， ， ∴△DCA≌△EDG（AAS）． ∴DA＝EG，CA＝DG， ∴DG＝AB＝3． ∵AF∥EG， ∴△ADF∽△GDE． ∴， ∵DF＝kFE， ∴DE＝EF﹣DF＝（1﹣k）EF． ∴． ∴AD． ∴GE＝AD． ∵AC∥EG， ∴△ABC∽△GBE． ∴， ∴， ∴BE． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 47．如图1，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，点D为斜边AB边上一动点（不含端点）．作∠EDF＝90°，DE，DF分别交AB，AC于点E和点F．请根据图形解答下面问题： 【问题发现】 （1）如图1，若点D为BC边中点，请直接写出DE，DF的数量关系 _________． 【类比探究】 （2）如图2，若点D为BC边上一动点，且DC＝mBD．猜想DF与DE的数量关系．并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在边长为4的等边△ABC中，点D为BC边上一动点，作∠ADE＝60°．DE交AC边于点E．请问在点D的运动过程中，CE是否有最大值．如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和ASA证明△DBE≌△DAF，进而利用全等三角形的性质解答即可； （2）根据等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可； （3）根据相似三角形的判定和性质以及二次函数的最值解答即可． 【解答】（1）解：DE＝DF，理由如下： 连接AD， ∵△ABC是等腰直角三角形，点D为BC边的中点， ∴AD平分∠BAC，AD⊥BC，AD＝BD， ∴∠B＝∠DAF＝45°， ∵∠EDF＝90°， ∴∠BDE＝∠ADE＝∠ADE+∠ADF＝90°， ∴∠BDE＝∠ADF， ∴△DBE≌△DAF（ASA）， ∴DE＝DF； 故答案为：DE＝DF； （2）解：DF＝mDE，理由如下： 过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N， ∵∠B＝∠C＝45°，∠DMB＝∠DNC＝90°， ∴△CND与△BDM均为等腰直角三角形， ∴△CDN∽△BDM， ∴， ∵∠DMA＝∠DNA＝∠A＝90°， ∴∠MDN＝90°， ∵∠EDF＝90°， ∴∠EDM+∠EDN＝∠EDN+∠FDN＝90°， ∴∠EDM＝∠FDN， ∵∠DME＝∠DNF＝90°， ∴△DNF∽△DME， ∴， ∴DF＝mDE； （3）解：CE有最大值，最大值为1， 设BD＝x，CE＝y，则DC＝4﹣x，0＜x＜4， ∵∠ADE＝60°， ∴∠BAD+∠ADB＝∠ADB+∠CDE＝120°， ∴∠BAD＝∠CDE， ∵∠B＝∠C＝60°， ∴△ABD∽△DCE， ∴， 即， 整理得：y（x﹣2）2+1， ∴当x＝2时，即点D为BC边的中点时，CE有最大值1． 【点评】此题考查三角形综合题，关键是根据全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质解答． 48．[25-26九年级上•南关区期中] 如图1，画Rt△ABC并画出斜边AB上的中线CD，量一量，看看CD与AB有什么关系．相信你与你的同伴一定会发现：CD恰好是AB的一半． 下面让我们用演绎推理证明这一猜想． 已知：如图2，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线． 求证：． 【定理证明】小明根据教材图2的提示，证明过程为：延长CD至点E，使DE＝CD，连接BE、AE…， 结合图①帮助小明完成直角三角形的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明． 【定理应用】如图②，在△ABC中，点D是边BC上的一点，连接AD，AD＝AB．点E、点F分别是边AC、BD的中点．若，则EF的长为　 　 ； 【拓展提高】如图③，在△ABC中，BC＞AB，BD是△ABC的中线，过点A作AE⊥BD于点E，且AB＝2DE．若∠BAE＝54°，则∠DBC的大小是　 　 度． 【答案】【定理证明】证明：延长CD至点E，使DE＝CD，连接BE、AE， 则， ∵CD是斜边AB上的中线， ∴， 又DE＝CD，AB与AE相交于点D， ∴四边形AEBC是平行四边形， 又△ABC是直角三角形， ∠ACB＝90° ∴四边形AEBC是矩形， ∴CE＝AB， ∴； 【定理应用】； 【拓展提高】18； 【分析】【定理证明】先证明四边形AEBC是平行四边形，再证明四边形AEBC是矩形，从而可得出CE＝AB，于是有，即结论成立； 【定理应用】先根据三线合一得出AF⊥BD，再利用直角三角形斜边上的中线的性质求解； 【拓展提高】先利用直角三角形斜边上的中线的性质得出，BG＝EG，再根据等边对等角得出∠B＝∠BEG，接着利用直角三角形两个锐角互余求得∠B，从而可得∠BEG＝∠B＝36°，再说明∠EGD＝∠GDE，然后利用三角形外角的性质得出∠BEG＝2∠GDE，再根据中位线定理得出DG∥BC，从而可利用平行线的性质得出∠DBC＝∠GDE，进而得出∠BEG＝2∠DBC，于是可求得∠DBC． 【解答】【定理证明】证明：延长CD至点E，使DE＝CD，连接BE、AE， 则， ∵CD是斜边AB上的中线， ∴， 又DE＝CD，AB与AE相交于点D， ∴四边形AEBC是平行四边形， 又△ABC是直角三角形， ∠ACB＝90° ∴四边形AEBC是矩形， ∴CE＝AB， ∴； 【定理应用】解：连接AF， ∵AD＝AB，点F是BD的中点， ∴AF⊥BD， 又点E是边AC的中点，， ∴， 故答案为：； 【拓展提高】解：取AB的中点G，连接DG，EG， ∵AE⊥BD， ∴，BG＝EG， ∴∠B＝∠BEG， 又∠BAE＝54°， ∴∠B＝90°﹣∠BAE＝36°， ∴∠BEG＝∠B＝36°， 又AB＝2DE， ∴EG＝DE， ∴∠EGD＝∠GDE， 又∠BEG是△GED的一个外角， ∴∠BEG＝∠EGD+∠GDE＝2∠GDE， 又BD是△ABC的中线， ∴DG是△ABC的中位线， ∴DG∥BC， ∴∠DBC＝∠GDE， ∴∠BEG＝2∠DBC， ∴， 故答案为：18． 【点评】本题考查了三角形的外角的定义及性质，等边对等角，斜边的中线等于斜边的一半，与三角形中位线有关的求解问题，根据矩形的性质与判定求线段长等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 49． 【问题呈现】 （1）如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD、CE．求证：BD＝CE． 【类比探究】 （2）如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，连接BD、CE，则　　 ． 【拓展提升】 （3）如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠DAE＝∠BAC＝30°，连接BD、CE． ①求的值； ②延长CE交BD于点F，交AB于点G，求∠BFC． 【答案】（1）证明见解析部分； （2）； （3）①； ②30°． 【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结论； （2）证明△BAD∽△CAE，进而得出结果； （3）①先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果； ②在①的基础上得出∠ACE＝∠ABD，进而∠BGC＝∠BAC，进一步得出结果． 【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴，∠DAE＝∠BAC＝45°， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD∽△CAE， ∴． 故答案为：； （3）解：①∵∠ABC＝∠ADE＝90°，∠BAC＝∠DAE＝30°， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE，， ∴∠CAE＝∠BAD， ∴△CAE∽△BAD， ∴； ②由①得：△CAE∽△BAD， ∴∠ACE＝∠ABD， ∵∠AFC＝∠BFG， ∴∠BFC＝∠BAC＝30°． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形． 50．【问题感知】如图，点D是△ABC的边BC上的一点，连接AD，点E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F．若BD＝CD，则（不用证明）；【问题解决】（1）填空：①若BD＝2CD，则 AF＝　　 CF； ②若BD＝3CD，则AF＝　 　 CF； … （2）论证：请选取（1）中的一种情况，证明你的结论； 【猜想】根据上述规律，猜想BD＝nCD，则AF＝　 　 CF（用含n的式子表示，不用说理）． 【答案】（1）①； ②； （2）证明见解析； 【猜想】． 【分析】（1）根据[问题感知]即可得出①和②的结论； （2）选取（1）①给予证明．如图，过点D作DM∥AC交BF于点M，证明△DME≌△AFE（AAS），得DM＝AF，证明△BDM∽△BCF，得，由BD＝2CD得，继而推出，可得结论；选取（1）②可按同样的方法证明； 【猜想】结合（2）的证明及结论即可得出答案． 【解答】（1）解：①∵点D是△ABC的边BC上的一点，点E是AD的中点，BD＝2CD， 同理可知：， 故答案为：； ②∵点D是△ABC的边BC上的一点，点E是AD的中点，BD＝3CD， 同理可得：， 故答案为：； （2）证明：选取（1）①：如图1，过点D作DM∥AC交BF于点M， ∴∠DME＝∠AFE，∠MDE＝∠FAE， ∵点E是AD的中点， ∴DE＝AE， 在△DME和△AFE中， ， ∴△DME≌△AFE（AAS）， ∴DM＝AF， ∵DM∥AC， ∴∠BDM＝∠BCF，∠BMD＝∠BFC， ∴△BDM∽△BCF， ∴， ∵BD＝2CD， ∴， ∴， ∴， ∴； 选取（1）②：如图2，过点D作DM∥AC交BF于点M， 由①得：△DME≌△AFE， ∴DM＝AF， 由①得：△BDM∽△BCF， ∴， ∵BD＝3CD， ∴， ∴， ∴， ∴； 【猜想】解：∵BD＝nCD， ∴， 由（1）得：DM＝AF，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，中点的定义，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． 题型十一．相似三角形综合题 核心是综合相似、全等、等腰、菱形判定等知识，层层推导. 对应考法：等积式证等腰，先由等积式证相似，得等角，再证等腰；等边三角形内相交线段比例，作平行线构造相似，结合方程求比值；直角梯形内等腰三角形存在，分三类讨论，结合相似、勾股定理求解. 51．[25-26九年级上•金山区期中]在△ABC中，AC＝BC，点D在AC的延长线上，点F在线段BC上，直线DF交线段AB于点E，CD2＝CF•CB． （1）求证：DE＝BD； （2）过点D作AB的平行线交BC的延长线于点M，如果DF：DE＝1：2，∠ADE＝∠CBA，求证：四边形AEDM是菱形． 【答案】（1）如图1，∵CD2＝CF•CB， ∴， ∵∠FCD＝∠DCB， ∴△FCD∽△DCB， ∴∠CDF＝∠CBD， ∵AC＝BC， ∴∠A＝∠ABC， ∴∠A+∠CDF＝∠ABC+∠CBD， ∵∠DEB＝∠A+∠CDF，∠DBE＝∠ABC+∠CBD， ∴∠DEB＝∠DBE， ∴DE＝BD； （2）过点D作AB的平行线交BC的延长线于点M， ∵DM∥AB， ∴∠M＝∠ABC，∠MDE＝∠DEA， 由（1）可知，∠ADE＝∠ABC， ∴∠M＝∠ADE， ∴DF：DE＝1：2， 即DF＝FE， ∵∠DFM＝∠EFB，∠M＝∠FBE， ∴△DFM≌△EFB（AAS）， ∴DM＝BE， 由（1）可知，AE＝DE，且DE＝BD， ∴AE＝BD， ∵DM＝BE， ∴AE＝DM， ∵DM∥AB且AE＝DM， ∴四边形AEDM是平行四边形， ∵AE＝DE， ∴平行四边形AEDM是菱形． 【分析】（1）由CD2＝CF•CB，得，因为∠FCD＝∠DCB，所以△FCD∽△DCB，得∠CDF＝∠CBD，由AC＝BC，得∠A＝∠ABC，所以∠A+∠CDF＝∠ABC+∠CBD，则∠DEB＝∠DBE，即可证明DE＝BD； （2）根据AAS证明△DFM≌△EFB，进而利用全等三角形的性质得出DM＝BE，进而利用平行四边形的判定与菱形的判定解答即可． 【解答】证明：（1）如图1，∵CD2＝CF•CB， ∴， ∵∠FCD＝∠DCB， ∴△FCD∽△DCB， ∴∠CDF＝∠CBD， ∵AC＝BC， ∴∠A＝∠ABC， ∴∠A+∠CDF＝∠ABC+∠CBD， ∵∠DEB＝∠A+∠CDF，∠DBE＝∠ABC+∠CBD， ∴∠DEB＝∠DBE， ∴DE＝BD． （2）过点D作AB的平行线交BC的延长线于点M， ∵DM∥AB， ∴∠M＝∠ABC，∠MDE＝∠DEA， 由（1）可知，∠ADE＝∠ABC， ∴∠M＝∠ADE， ∴DF：DE＝1：2， 即DF＝FE， ∵∠DFM＝∠EFB，∠M＝∠FBE， ∴△DFM≌△EFB（AAS）， ∴DM＝BE， 由（1）可知，AE＝DE，且DE＝BD， ∴AE＝BD， ∵DM＝BE， ∴AE＝DM， ∵DM∥AB且AE＝DM， ∴四边形AEDM是平行四边形， ∵AE＝DE， ∴平行四边形AEDM是菱形． 【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与菱形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，证明△FCD∽△DCB是解题的关键． 52．[25-26九年级上•黄浦区期中]某校九年级数学兴趣小组在学习“图形的相似”后，开展了一次主题探究活动．他们从一个基本图形出发，逐步深入，请你参与他们的探究过程，完成下列任务． 如图1，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在边AC、AB上，且AD＝BE，BD与CE相交于点O． 任务1：观察与发现——寻找相似三角形写出图中的相似三角形（全等三角形除外），并选择其中一对写出证明过程； 任务2：特殊情况探究——中点条件下的比例如图2，如果BO＝OD，求AD：DC的值； 任务3：一般化推广——比例条件下的规律，如果BO：OD＝m，直接写出AD：DC的值（用含m的代数式表示） 【答案】任务1：△COD∽△CAE，△EBO∽△ECB，△DOC∽△DCB，△BOED； ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵AD＝BE， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠ABD＝∠BEC， ∴∠CBO+∠BCE＝∠BOE＝∠ABD+∠CBO＝60°＝∠ABC＝∠A＝∠ACB， ∴∠ACE＝60°﹣∠BCE＝∠CBD， ∴△COD∽△CAE，△EBO∽△ECB，△DOC∽△DCB，△BOE∽△BAD； 任务2：； 任务3：． 【分析】任务1：先利用等边三角形的性质证明三角形全等，再根据全等得到角相等，进而找出相似三角形，最后选择一对通过角的关系证明相似； 任务2：通过作平行线构造全等三角形和相似三角形，利用全等得到线段相等，再结合相似三角形的性质建立比例关系求解； 任务3：类比任务2的思路，通过作平行线，结合相似三角形的性质和线段比例关系推导． 【解答】解：任务1：△DOC∽△DCB，△BOE∽△BAD，△COD∽△CAE，△EBO∽△ECB， 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC， ∵AD＝BE， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠ABD＝∠BEC， ∴∠CBO+∠BCE＝∠BOE＝∠ABD+∠CBO＝60°＝∠ABC＝∠A＝∠ACB， ∴∠ACE＝60°﹣∠BCE＝∠CBD， ∴△DOC∽△DCB，△BOE∽△BAD，△COD∽△CAE，△EBO∽△ECB， 任务2：过点D作DM∥AB交CE于M． ∵DM∥AB， ∴∠ODM＝∠OBE， ∵∠BOE＝∠DOM，BO＝DO， ∴△BOE≌△DOM（ASA）， ∴BE＝DM＝AD， ∴AB﹣BE＝AC﹣AD即AE＝CD， ∵DM∥AB， ∴△CDM∽△CAE， ∴即， 设AD＝x，CD＝y，则，即x2+xy﹣y2＝0， 解得（舍去负根）， ∴，即； 任务3： 过点D作DM∥AB交CE于M， ∵DM∥AB， ∴△ODM∽△OBE， ∵BO：OD＝m， ∴， 又∵AD＝BE， ∴，即， ∵DM∥AB， ∴△CDM∽△CAE， ∴， 设AD＝x，DC＝y，则AC＝x+y，AE＝AC﹣AD＝y， ∴， 整理得x2+xy﹣my2＝0， 解得（舍去负根）， ∴，即． 【点评】本题主要考查了三角形综合，等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 53．[24-25九年级上•青浦区期中]如图，已知 AD∥BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝8，AB＝4，点P是射线BC上一个动点，联结AP，作 DE⊥AP于点E，联结BE，过点E作BE垂线交线段AD于点F． （1）设BP＝x，BP＝x，FD＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （2）当BP＞AD时，若∠AEB＝∠DPB，求x的值； （3）若△FED是等腰三角形，直接写出x的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先证明△ABE∽△DFE，得；再证明△AED∽△PBA，得， 则有，即可求得y关于x的函数解析式；当点F与点A重合时，B、E、D三点共线，由相似求得PB＝2，从而求得函数的定义域； （2）由∠AEB＝∠DPB及三角形外角性质得∠EBP＝∠APD，从而有△PDA∽△BEP，则有；由△ADE∽△PAB有，则得，由建立关于x的方程即可求得x的值； （3）由（1）知△ABE∽△DFE，则当△DFE是等腰三角形时，△ABE也是等腰三角形；就△ABE是等腰三角形的情况，分三种情况：①AE＝BE，则由（2）易求得x的值；②AB＝AE，则△AED∽△PBA，由相似三角形的性质即可求解；③AB＝BE，则有DF＝EF，进而得EF＝FA，则DF＝4，由（1）中函数关系式求得x＝4，此时P、E两点重合；综合起来即可． 【解答】解：（1）∵DE⊥AP，BE⊥EF， ∴∠FED+∠FEA＝∠FEA+∠AEB， ∴∠FED＝∠AEB； ∵DE⊥AP，∠BAD＝90°， ∴∠BAE+∠DAE＝∠DAE+∠EDF＝90°， ∴∠BAE＝∠EDF， ∴△ABE∽△DFE， ∴； ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠APB； ∵∠DEA＝∠ABC＝90°， ∴△AED∽△PBA， ∴， ∴， 即， ∴； 即y关于x的函数解析式为； 当点F与点A重合时，B、E、D三点共线，如图1， ∵∠ADB+∠DAE＝∠DAE+∠BAP＝90°， ∴∠ADB＝∠BAP， ∴tan∠ADB＝tan∠BAP， ∴， ∴； 由于点F在线段AD上，则PB≥2， ∴函数的定义域为x≥2； （2）∵∠AEB＝∠DPB，∠AEB＝∠EBP+∠BPE，∠DPB＝∠BPE+∠APD， ∴∠EBP＝∠APD， ∵∠DAE＝∠APB， ∴△PDA∽△BEP， ∴； ∵∠DAE＝∠APB，∠DEA＝∠ABP＝90°， ∴△ADE∽△PAB， ∴， 即， ∴； ∵， ∴， 即； ∵PA2＝AB2+PB2＝16+x2， ∴， 整理得：x2﹣16x+16＝0， 解得：， ∵BP＞AD， ∴； （3）由（1）知△ABE∽△DFE，则当△DFE是等腰三角形时，△ABE也是等腰三角形； 就△ABE是等腰三角形的情况，分三种情况： ①当AE＝BE时，如图2， 则∠EAB＝∠EBA； ∵∠EAB+∠APB＝∠EBA+∠EBP＝90°， ∴∠EBP＝∠APB， ∴EB＝EP＝EA， 由（2）知，； 但，不合题意，故； ②当AB＝AE时，如图2，则AE＝4， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：； ∵△AED∽△PBA， ∴，即AE•AB＝PB•EC； ∴， 即； ③当AB＝BE时，则有DF＝EF，如图4， ∴∠FDE＝∠FED， ∵∠FDE+∠DAE＝∠DEF+∠AEF＝90°， ∴∠DAE＝∠AEF， ∴FA＝EF， 即； ∵ ∴x＝4；此时P、E两点重合； 综上，x的值为或或4． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，求函数关系式，勾股定理，解直角三角形，涉及分类讨论思想的运用；证明三角形相似是解题的关键． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $