第三章位置与坐标专题训练·中点坐标公式 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

北师大版八年级数学上册第三章位置与坐标专题训练 中点坐标公式 【专题简介】 在平面直角坐标系中，若点 、，则线段 的中点 的坐标为 ．这一公式把几何中的“平分”关系转化为横、纵坐标各自的算术平均，是坐标法处理中点问题的基本工具． 中点坐标公式运用方向．一是“正向求中点”，把两个端点的坐标代入公式直接算出中点坐标；二是“逆向求端点”，已知中点和其中一个端点，用“端点坐标等于中点坐标的两倍减去已知端点坐标”这一变形求出另一端点．这一逆向思路在“求一点关于另一点的对称点”时尤为常用：若点 是线段 的中点，则点 就是点 关于点 的对称点． 本专题还把中点公式与象限判断、坐标轴位置、图形面积等问题结合起来．中点的横坐标为 时中点在 轴上，中点的纵坐标为 时中点在 轴上；中点的横、纵坐标均为正时中点在第一象限．当三角形的两个顶点关于某点成中心对称时，第三个顶点与中点的连线往往成为分割面积的依据，此时“中点把底边平分，从而把面积平分”这一结论可反复使用． 专题一　中点坐标公式的直接应用 1．【教材改编·中点坐标公式】如图，在平面直角坐标系中，已知点 、， 为线段 的中点． （1）求点 的坐标； （2）求线段 的中点 的坐标； （3）求点 关于点 的对称点 的坐标． 2．【已知中点求端点】已知线段 的中点 ，端点 ． （1）求端点 的坐标； （2）求线段 的中点 的坐标； （3）求点 关于点 的对称点 的坐标． 3．【数轴上的中点】如图，在数轴上，点 表示的数是 ，点 表示的数是 ． （1）求线段 的中点 表示的数； （2）若点 表示的数是 ，求线段 的中点 表示的数； （3）若点 表示的数是 ，且点 是线段 的中点，求 的值． 4．【中点与坐标轴】已知点 、，线段 的中点 ． （1）求 、 的值； （2）求点 、 的坐标； （3）判断点 所在的象限． 专题二　由中点求点的坐标 5．【教材改编·中点公式的运用】已知点 、、、． （1）求线段 的中点坐标； （2）求线段 的中点坐标； （3）若点 与点 的中点在 轴上，求 的值． 6．【含参数的中点】已知点 、，线段 的中点 ． （1）求 的值； （2）求点 、 的坐标； （3）若点 与点 关于点 对称，求点 的坐标，并判断点 与点 的位置关系． 7．【中点与象限】如图，在平面直角坐标系中，已知点 、， 为线段 的中点． （1）求点 的坐标； （2）判断点 所在的象限； （3）若点 与点 的中点 在 轴上，求 的值． 8．【中点与对称】已知点 、． （1）求线段 的中点 的坐标； （2）判断点 是否在第二象限； （3）若点 与点 关于点 对称，求点 的坐标，并判断点 与点 的位置关系． 专题三　中点与点的对称 9．【教材改编·两点关于某点对称】 （1）若点 与点 关于点 对称，求点 的坐标； （2）若点 与点 关于点 对称，求点 的坐标； （3）若点 与点 关于点 对称，求 、 的值． 10．【中点与轴对称】如图，在平面直角坐标系中，已知点 、． （1）求线段 的中点 的坐标； （2）判断点 的位置； （3）判断点 与点 的位置关系． 11．【中点与线段长度】如图，在平面直角坐标系中，已知点 、， 为线段 的中点． （1）求点 的坐标； （2）求线段 的长度； （3）求线段 的长度，并判断线段 与 的数量关系． 12．【中点与面积】如图，在平面直角坐标系中，已知点 、、， 为 的中点， 为 的中点． （1）求点 、 的坐标； （2）求 的面积； （3）求 的面积，并判断 的面积与 的面积的数量关系． 专题四　中点坐标与参数 13．【中点在坐标轴上】已知点 、，线段 的中点 在 轴上． （1）求 的值； （2）求点 、 的坐标； （3）求点 的坐标． 14．【中点坐标的确定】已知点 、， 为线段 的中点． （1）若点 在 轴上，求 的值； （2）若点 的横坐标为 ，求 的值； （3）若点 的坐标为 ，求 的值． 15．【中点与代数式求值】已知点 、，线段 的中点 ． （1）求 、 的值； （2）求 的值； （3）求 的值． 16．【中点坐标的规律】如图，在平面直角坐标系中，已知点 、、． （1）求线段 的中点 的坐标； （2）求线段 的中点 的坐标； （3）求线段 的中点 的坐标． 专题五　中点与图形面积 17．【教材改编·中点分割三角形】如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点为 、、， 为 的中点， 为 的中点． （1）求点 、 的坐标； （2）求 的面积； （3）求 的面积． 18．【中点与三角形面积】如图，在平面直角坐标系中，已知点 、、， 为 的中点， 为 的中点． （1）求点 、 的坐标； （2）求线段 的长度； （3）求 的面积． 19．【中点与四边形】如图，在平面直角坐标系中，四边形 的顶点为 、、、， 为 的中点， 为 的中点． （1）求点 、 的坐标； （2）求线段 的长度； （3）判断线段 与边 的位置关系． 20．【中点与规律】在平面直角坐标系中，已知点 、、，……，点 的横坐标为 ，纵坐标为 ． （1）求线段 的中点 的坐标； （2）求线段 的中点 的坐标； （3）求线段 的中点 的坐标（用含 的式子表示）． 专题六　中点与综合探究 21．【中点与直线位置】如图，在平面直角坐标系中，已知点 、， 为线段 的中点． （1）求点 的坐标； （2）判断点 是否在直线 上； （3）判断点 是否在直线 上． 22．【中点与线段长度】如图，在平面直角坐标系中，已知点 、， 为线段 的中点． （1）求点 的坐标； （2）求线段 的长度； （3）求线段 的长度，并判断线段 与 的数量关系． 23．【中点新定义】在平面直角坐标系中，规定：若点 是线段 的中点，则称点 为点 、 的“中心点”． （1）求点 、 的“中心点” 的坐标； （2）若点 与点 的“中心点”为 ，求点 的坐标； （3）若点 、 的“中心点”为 ，求 、 的值． 24．【类比探究·中点三角形】如图，在平面直角坐标系中，已知点 、、， 为 的中点， 为 的中点， 为 的中点． （1）求点 、、 的坐标； （2）求 的面积； （3）求 的面积，并判断 的面积与 的面积的数量关系． 参考答案与解析 1．解：（1）∵ 点 、， 为线段 的中点， ∴ ，， ∴ 点 的坐标为 ． （2）∵ 为线段 的中点， ∴ ，， ∴ 点 的坐标为 ． （3）∵ 点 是线段 的中点， ∴ ， ， ∴ 点 的坐标为 ． 2．解：（1）∵ 是线段 的中点，， ∴ ， ， ∴ 点 的坐标为 ． （2）∵ 为线段 的中点， ∴ ，， ∴ 点 的坐标为 ． （3）∵ 点 是线段 的中点， ∴ ， ， ∴ 点 的坐标为 ． 3．解：（1）∵ 点 表示的数是 ，点 表示的数是 ， ∴ 线段 的中点 表示的数为 ． （2）∵ 点 表示的数是 ，点 表示的数是 ， ∴ 线段 的中点 表示的数为 ． （3）∵ 点 是线段 的中点，点 表示的数是 ，点 表示的数是 ， ∴ ， ∴ ，∴ ． 4．解：（1）∵ 是线段 的中点，，， ∴ ，， ∴ ，， ∴ ，． （2）当 、 时，，， ∴ 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ． （3）∵ 点 的横坐标为正数、纵坐标为正数， ∴ 点 在第一象限． 5．解：（1）∵ 点 、， ∴ 线段 的中点坐标为 ． （2）∵ 点 、， ∴ 线段 的中点坐标为 ． （3）∵ 点 与点 的中点在 轴上， ∴ 该中点的横坐标为 ，即 ， ∴ ． 6．解：（1）∵ 是线段 的中点，，， ∴ ，， ∴ ，， ∴ ． （2）当 时，，， ∴ 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ． （3）∵ 点 是线段 的中点， ∴ ，， ∴ 点 的坐标为 ． ∵ 点 与点 的坐标完全相同， ∴ 点 与点 重合． 7．解：（1）∵ 点 、， 为线段 的中点， ∴ ，， ∴ 点 的坐标为 ． （2）∵ 点 的横坐标为负数、纵坐标为正数， ∴ 点 在第二象限． （3）∵ 点 与点 的中点 在 轴上， ∴ 点 的横坐标为 ，即 ， ∴ ． 8．解：（1）∵ 点 、， ∴ 线段 的中点 的坐标为 ． （2）∵ 点 的横坐标为负数、纵坐标为正数， ∴ 点 在第二象限． （3）∵ 点 是线段 的中点， ∴ ，， ∴ 点 的坐标为 ． ∵ 点 与点 的坐标完全相同， ∴ 点 与点 重合． 9．解：（1）∵ 点 与点 关于点 对称，即点 是线段 的中点， ∴ ，， ∴ 点 的坐标为 ． （2）∵ 点 是线段 的中点，， ∴ ，， ∴ 点 的坐标为 ． （3）∵ 点 是线段 的中点，，， ∴ ，， ∴ ，． 10．解：（1）∵ 点 、， ∴ 线段 的中点 的坐标为 ． （2）∵ 点 的横坐标为 ， ∴ 点 在 轴上． （3）∵ 点 与点 的纵坐标相同、横坐标互为相反数， ∴ 点 与点 关于 轴对称． 11．解：（1）∵ 点 、， ∴ 线段 的中点 的坐标为 ． （2）∵ 点 、 都在 轴上， ∴ ． （3）∵ 点 、 都在 轴上， ∴ ， ∴ ． 12．解：（1）∵ 、， 为 的中点， ∴ ，， ∴ 点 的坐标为 ． ∵ 、， 为 的中点， ∴ ，， ∴ 点 的坐标为 ． （2）∵ 点 、 都在 轴上，∴ ； 点 在 轴上，且 ， 与 互相垂直， ∴ ． （3）∵ 、 都在 轴上，∴ ； 点 在 轴上，且 ， 与 互相垂直， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 13．解：（1）∵ 线段 的中点 在 轴上， ∴ 点 的横坐标为 ，即 ， ∴ ，∴ ． （2）当 时，，， ∴ 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ． （3）∵ ，， ∴ 点 的坐标为 ． 14．解：∵ 点 、， 为线段 的中点， ∴ ，． （1）∵ 点 在 轴上，∴ ，即 ， ∴ ． （2）∵ 点 的横坐标为 ，∴ ， ∴ ，∴ ． （3）∵ 点 的坐标为 ，∴ ， ∴ ，∴ ． 此时 ，与点 的纵坐标相符． 15．解：（1）∵ 是线段 的中点，，， ∴ ，， ∴ ，， ∴ ，． （2）． （3）． 16．解：（1）∵ 点 、， ∴ 线段 的中点 的坐标为 ． （2）∵ 点 、， ∴ 线段 的中点 的坐标为 ． （3）∵ 点 、， ∴ 线段 的中点 的坐标为 ． 17．解：（1）∵ 、， 为 的中点， ∴ ，，∴ ． ∵ 、， 为 的中点， ∴ ，，∴ ． （2）∵ 点 、 都在 轴上，∴ ； 点 到 轴的距离为 ， ∴ ． （3）∵ 、 都在 轴上，∴ ； 点 到 轴的距离为 ， ∴ ． 18．解：（1）∵ 、， 为 的中点， ∴ ，，∴ ． ∵ 、， 为 的中点， ∴ ，，∴ ． （2）∵ 点 、 的纵坐标相同，都在直线 上， ∴ ． （3）∵ 点 、 都在直线 上，∴ ； 点 到直线 的距离为 ， ∴ ． 19．解：（1）∵ 、， 为 的中点， ∴ ，，∴ ． ∵ 、， 为 的中点， ∴ ，，∴ ． （2）∵ 点 、 的横坐标相同，都在直线 上， ∴ ． （3）∵ 点 、 的横坐标相同，都在直线 上，即边 在 轴上； 而点 、 都在直线 上， ∴ 线段 与边 平行． 20．解：（1）∵ 点 、， ∴ 线段 的中点 的坐标为 ． （2）∵ 点 、， ∴ 线段 的中点 的坐标为 ． （3）∵ 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， ∴ 线段 的中点 的坐标为 ． ∵ ， ∴ 点 的坐标为 ． 21．解：（1）∵ 点 、， 为线段 的中点， ∴ ，， ∴ 点 的坐标为 ． （2）∵ 点 的横坐标为 ， ∴ 点 在直线 上． （3）∵ 点 的纵坐标为 ， ∴ 点 在直线 上． 22．解：（1）∵ 点 、， ∴ 线段 的中点 的坐标为 ． （2）∵ 点 、 都在 轴上， ∴ ． （3）∵ 点 、 都在 轴上， ∴ ， ∴ ． 23．解：（1）∵ 点 、， 为点 、 的“中心点”，即 为线段 的中点， ∴ ，， ∴ 点 的坐标为 ． （2）∵ 点 是线段 的中点，， ∴ ，， ∴ 点 的坐标为 ． （3）∵ 点 是线段 的中点，，， ∴ ，， ∴ ，． 24．解：（1）∵ 、， 为 的中点，∴ ； ∵ 、， 为 的中点，∴ ； ∵ 、， 为 的中点， ∴ ，，∴ ． （2）∵ 点 、 的横坐标相同，都在直线 上，∴ ； 点 、 的纵坐标相同，都在直线 上，∴ ； 且 与 互相垂直， ∴ ． （3）∵ 、 都在 轴上，∴ ； 点 在 轴上，且 ， 与 互相垂直， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 学科网（北京）股份有限公司 $