第三章 位置与坐标 （·坐标与距离、坐标与面积）专题训练 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

北师大版八年级数学上册第三章位置与坐标专题训练 坐标与距离、坐标与面积 “坐标与距离、坐标与面积”体现“数形结合”思想的一类问题．平面直角坐标系建立之后，点的位置被一对有序实数唯一确定，于是几何中的“长度”与“面积”都可以用坐标之间的运算来表示：点 到 轴的距离等于 ，到 轴的距离等于 ；到直线 的距离等于 ，到直线 的距离等于 ；平行于坐标轴的直线上两点间的距离，则等于它们横坐标之差或纵坐标之差的绝对值． 专题一：点到坐标轴的距离与象限特征 1．【教材改编·北师大八上第三章】如图，在平面直角坐标系中，已知点 ． （1）求点 到 轴的距离； （2）求点 到 轴的距离； （3）若点 在第二象限，且到 轴的距离为 、到 轴的距离为 ，求点 的坐标． 2．【由距离与象限确定坐标】如图，已知点 在第二象限，且到 轴的距离为 ． （1）求 的值； （2）求点 的坐标； （3）判断点 到 轴的距离与到 轴的距离哪一个大． 3．【教材改编·到两坐标轴距离相等】如图，已知点 到两坐标轴的距离相等． （1）求 的值； （2）求点 的坐标； （3）判断点 所在的象限． 4．【含参点的距离问题】如图，已知点 ． （1）若点 在 轴上，求 的值及点 的坐标； （2）若点 到 轴的距离为 ，求 的值及点 的坐标； （3）若点 到两坐标轴的距离相等，求 的值及点 的坐标． 专题二：点到与坐标轴平行的直线的距离 5．【点到定直线的距离】如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，直线 ，直线 ． （1）求点 到直线 的距离； （2）求点 到直线 的距离； （3）若点 在直线 上，且到直线 的距离为 ，求点 的坐标． 6．【含参点到定直线的距离】如图，已知点 ． （1）若点 到直线 的距离为 ，求 的值及点 的坐标； （2）若点 到直线 的距离为 ，求 的值及点 的坐标； （3）若点 到直线 的距离等于它到 轴的距离，求 的值． 7．【两条平行直线间的距离】如图，在平面直角坐标系中，直线 ，直线 ． （1）求直线 与直线 之间的距离； （2）若点 在直线 上，求点 到直线 的距离； （3）若点 到直线 的距离等于它到直线 的距离，求 的值． 8．【点到两定直线的距离】如图，已知点 ，直线 ，直线 ． （1）若点 在直线 上，求 的值及点 的坐标； （2）若点 到直线 的距离为 ，求 的值及点 的坐标； （3）若点 到直线 的距离为 ，求 的值及点 的坐标． 专题三：平行于坐标轴的直线上两点间的距离 9．【水平与竖直两点的距离】如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，，． （1）求线段 的长度； （2）求线段 的长度； （3）判断直线 与直线 的位置关系，并求 的面积． 10．【由距离反求坐标】如图，已知点 ，，且 ． （1）求 的值； （2）若点 ，且 ，求 的值； （3）取 、，求 的面积． 11．【线段中点与距离】如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，． （1）求线段 的中点 的坐标； （2）若点 在直线 上，且 ，求点 的坐标； （3）若点 与点 的距离为 ，求 的值． 12．【直角三角形与面积】如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，，． （1）求 的面积； （2）若点 在直线 上，且 的面积等于 面积的一半，求点 的坐标； （3）若点 在 轴上，且 的面积等于 的面积，求点 的坐标． 专题四：坐标与三角形面积 13．【底平行于坐标轴的三角形】如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点为 ，，． （1）求 的面积； （2）若点 在直线 上，且 的面积等于 的面积，求 的值； （3）若点 在 轴上，且 的面积等于 的面积，求点 的坐标． 14．【格点三角形的面积】如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点为 ，，． （1）求 的面积； （2）若点 在 轴上，且 的面积等于 的面积，求点 的坐标； （3）若点 在 轴上，且 的面积等于 面积的两倍，求点 的坐标． 15．【已知面积求坐标】如图，已知点 ，． （1）若点 在 轴上，且 的面积为 ，求点 的坐标； （2）若点 在第四象限，且 的面积为 ，求 的值； （3）若点 在第四象限，且 的面积为 ，求 的值． 16．【平移与面积】如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点为 ，，．将 沿 轴正方向平移 个单位长度、沿 轴正方向平移 个单位长度，得到 ． （1）求 的面积； （2）求 的坐标； （3）判断 的面积与 的面积有何关系，并说明理由． 专题五：坐标与四边形、多边形面积 17．【长方形中的面积问题】如图，在平面直角坐标系中，四边形 的顶点为 ，，，． （1）判断四边形 的形状，并求它的面积； （2）若点 在四边形 的边上，且 的面积为 ，求点 的坐标； （3）若点 在四边形 的边上，且 的面积为 ，求点 的坐标． 18．【动点与不变的面积】如图，在平面直角坐标系中，四边形 的顶点为 ，，，． （1）判断四边形 的形状，并求它的面积； （2）求 的面积； （3）若点 在 轴上移动， 的面积是否发生变化？若不变，求出该面积；若变化，说明理由． 19．【三角形内部一点分割面积】如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点为 ，，，点 在 的内部． （1）求 的面积； （2）求 的面积； （3）求 与 的面积之和． 20．【动点与面积的变化】如图，在平面直角坐标系中，点 ，，． （1）求 的面积； （2）若点 在 轴上从点 向点 移动（不与 重合），判断 的面积如何变化； （3）当 的面积为 时，求点 的坐标． 专题六：距离与面积的综合探究 21．【点线距离与三角形面积】如图，在平面直角坐标系中，点 ，，点 ． （1）求线段 的长度； （2）求点 到直线 的距离； （3）求 的面积． 22．【面积相等求坐标】如图，在平面直角坐标系中，点 ，，． （1）求 的面积； （2）若点 在 轴上，且 的面积等于 的面积，求点 的坐标； （3）若点 的横坐标为 ，且 的面积等于 的面积，求点 的坐标． 23．【割补法求四边形面积】如图，在平面直角坐标系中，四边形 的顶点为 ，，，． （1）求四边形 的面积； （2）求 的面积； （3）求 的面积，并验证 与 的面积之和等于四边形 的面积． 24．【类比探究·三步递进开放压轴题】如图，（1）【初步感知】在平面直角坐标系中，点 ，，点 ．求线段 的长度及点 到直线 的距离； （2）【类比应用】在平面直角坐标系中， 的三个顶点为 ，，，点 ．求 的面积，并求点 到 轴与到 轴的距离之和； （3）【拓展深化】如图，在平面直角坐标系中，四边形 的顶点为 ，，，．点 是四边形 内部（含边界）的一点，设点 到四边形四条边所在直线的距离之和为 ．探究 是否为定值：若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 参考答案 1．解：（1）点 到 轴的距离等于它纵坐标的绝对值， ∴ 点 到 轴的距离为 ． （2）点 到 轴的距离等于它横坐标的绝对值， ∴ 点 到 轴的距离为 ． （3）设点 的坐标为 ． ∵ 点 到 轴的距离为 ，∴ ； ∵ 点 到 轴的距离为 ，∴ ． ∵ 点 在第二象限，∴ ，， ∴ ，， ∴ 点 的坐标为 ． 2．解：（1）∵ 点 在第二象限， ∴ 点 的横坐标为负数、纵坐标为正数，即 ，． ∵ 点 到 轴的距离为 ，∴ ， ∴ 或 ， 解得 或 ． 检验：当 时，，，点 在第二象限，符合题意； 当 时，，点 的纵坐标为负数，不在第二象限，不符合题意，舍去． ∴ ． （2）当 时，，， ∴ 点 的坐标为 ． （3）点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 ， ∴ 点 到 轴的距离与到 轴的距离相等． 3．解：（1）∵ 点 到两坐标轴的距离相等， ∴ ． ∴ 或 ． 由 得 ； 由 得 ，即 ，． ∴ 或 ． （2）当 时，，，此时点 的坐标为 ； 当 时，，，此时点 的坐标为 ． （3）点 的横、纵坐标均为负数，在第三象限； 点 的横坐标为负、纵坐标为正，在第二象限． 4．解：（1）∵ 点 在 轴上， ∴ ，解得 ． 此时 ，∴ 点 的坐标为 ． （2）∵ 点 到 轴的距离为 ，∴ ， ∴ 或 ，即 或 ． 当 时，，，此时点 的坐标为 ； 当 时，，，此时点 的坐标为 ． （3）∵ 点 到两坐标轴的距离相等，∴ ． ∴ 或 ． 由 得 ，此时 ； 由 得 ，即 ，，此时 ． 5．解：（1）点 到直线 的距离为 ． （2）点 到直线 的距离为 ． （3）∵ 点 在直线 上，∴ 可设点 的坐标为 ． ∵ 点 到直线 的距离为 ，∴ ， ∴ 或 ，即 或 ． ∴ 点 的坐标为 或 ． 6．解：（1）∵ 点 到直线 的距离为 ， ∴ ，即 ， ∴ 或 ，即 或 ． 当 时，，，此时 ； 当 时，，，此时 ． （2）∵ 点 到直线 的距离为 ， ∴ ， ∴ 或 ，即 或 ． 当 时，；当 时，，，此时 ． （3）∵ 点 到直线 的距离等于它到 轴的距离， ∴ ，即 ． ∴ 或 ． 无解； 由 得 ，即 ，． ∴ ． 7．解：（1）直线 与直线 之间的距离为 ． （2）∵ 点 在直线 上，∴ 点 的纵坐标为 ， ∴ 点 到直线 的距离为 ． （3）∵ 点 到直线 的距离等于它到直线 的距离， ∴ ，即 ． ∴ 或 ． 无解； 由 得 ，即 ，． ∴ ． 8．解：（1）∵ 点 在直线 上， ∴ ，解得 ． 此时 ，∴ 点 的坐标为 ． （2）∵ 点 到直线 的距离为 ，∴ ，即 ， ∴ 或 ，即 或 ． 当 时，，，此时 ； 当 时，，，此时 ． （3）∵ 点 到直线 的距离为 ，∴ ，即 ， ∴ 或 ，即 或 ． 当 时，，，此时 ； 当 时，，，此时 ． 9．解：（1）∵ 点 与点 的纵坐标相同， ∴ 直线 平行于 轴， ∴ ． （2）∵ 点 与点 的横坐标相同， ∴ 直线 平行于 轴， ∴ ． （3）∵ 直线 平行于 轴，直线 平行于 轴， ∴ ，即 ． ∴ 是直角三角形， ∴ ． 10．解：（1）∵ 点 与点 的纵坐标相同， ∴ 直线 平行于 轴，． ∵ ，∴ ， ∴ 或 ，即 或 ． （2）∵ 点 与点 的横坐标相同， ∴ 直线 平行于 轴，． ∵ ，∴ ， ∴ 或 ，即 或 ． （3）当 、 时，，， ∵ 平行于 轴， 平行于 轴，∴ ， 且 ，， ∴ ． 11．解：（1）∵ 点 与点 的纵坐标相同， ∴ 线段 的中点的横坐标为 ，纵坐标为 ， ∴ 中点 的坐标为 ． （2）∵ 点 在直线 上，∴ 可设点 的坐标为 ． ∵ ，∴ ，即 ， ∴ 或 ，即 或 ． ∴ 点 的坐标为 或 ． （3）∵ 点 与点 的横坐标相同， ∴ 直线 平行于 轴，． ∵ ，∴ ， ∴ 或 ，即 或 ． 12．解：（1）∵ 点 与点 的纵坐标相同， ∴ 平行于 轴，． ∵ 点 与点 的横坐标相同，∴ 平行于 轴，， 且 ， ∴ ． （2）∵ 点 在直线 上，∴ 点 的纵坐标为 ． 设点 的坐标为 ，则 ． ∵ 与 同高（点 到直线 的距离均为 ）， ∴ ． ∵ ，∴ ，即 ， ∴ ，解得 或 ， ∴ 点 的坐标为 或 ． （3）∵ 点 在 轴上，∴ 可设点 的坐标为 ． ∵ 平行于 轴，，点 到直线 的距离为 ， ∴ ． ∵ ，∴ ，即 ， ∴ 或 ，即 或 ， ∴ 点 的坐标为 或 ． 13．解：（1）∵ 点 与点 都在 轴上， ∴ 平行于 轴，． 点 到 轴的距离为 ，即 的边 上的高为 ， ∴ ． （2）∵ 点 到 轴的距离为 ， ∴ ． ∵ ，∴ ，即 ， ∴ 或 ． （3）∵ 点 在 轴上，∴ 可设点 的坐标为 ． 点 到 轴的距离为 ， ∴ ． ∵ ，∴ ，即 ， ∴ 点 的坐标为 或 ． 14．解：（1）∵ 点 与点 都在 轴上， ∴ 平行于 轴，． 点 到 轴的距离为 ，即 的边 上的高为 ， ∴ ． （2）∵ 点 在 轴上，∴ 可设点 的坐标为 ， 则 ． ∵ 的边 上的高等于点 到 轴的距离，即 ， ∴ ． ∵ ，∴ ，即 ， ∴ 或 ，即 或 ， ∴ 点 的坐标为 或 ． （3）∵ 点 在 轴上，∴ 可设点 的坐标为 ． ∵ ，点 到直线 （即 轴）的距离为 ， ∴ ． ∵ ，∴ ，即 ， ∴ 点 的坐标为 或 ． 15．解：（1）∵ 点 与点 都在 轴上，∴ ． ∵ 点 在 轴上，∴ 可设点 的坐标为 ， 点 到 轴的距离为 ， ∴ ． ∵ ，∴ ，即 ， ∴ 点 的坐标为 或 ． （2）∵ 点 在第四象限，∴ ， 点 到 轴的距离为 ， ∴ ． ∵ ，∴ ，解得 ． （3）∵ 点 在第四象限，∴ ， 点 到 轴的距离为 ， ∴ ． ∵ ，∴ ，解得 ． 16．解：（1）∵ 点 与点 都在 轴上，∴ ． 点 到 轴的距离为 ，即边 上的高为 ， ∴ ． （2）将各顶点分别沿 轴正方向平移 个单位、沿 轴正方向平移 个单位， ，，． （3） 的面积与 的面积相等． 理由：由（2）知 ，，． ∵ 与 的纵坐标相同，∴ 平行于 轴，， 点 到直线 的距离为 ， ∴ ． ∴ ，即平移不改变图形的面积． 17．解：（1）∵ 与 都在 轴上， 与 的纵坐标相同， ∴ 与 都平行于 轴， 与 都平行于 轴， ∴ 四边形 是长方形，其中 ，， ∴ ． （2）∵ 的边 ，设点 到 轴的距离为 ， ∴ ． ∵ ，∴ ，即 ． ∵ 点 在长方形 的边上，且到 轴的距离为 ， ∴ 点 只能落在边 或边 上，其纵坐标为 ， ∴ 点 的坐标为 或 ． （3）∵ 点 与点 的纵坐标相同， ∴ 平行于 轴，． 设点 到直线 （即直线 ）的距离为 ， ∴ ． ∵ ，∴ ，即 ． ∵ 点 在长方形 的边上，且它到直线 的距离为 ， ∴ 点 只能在边 或边 上，其纵坐标为 ， ∴ 点 的坐标为 或 ． 18．解：（1）∵ 与 都在 轴上， 与 的纵坐标相同， ∴ 平行于 轴， 平行于 轴，且 与 都平行于 轴， ∴ 四边形 是长方形，，， ∴ ． （2）∵ 点 与点 的横坐标相同，∴ 平行于 轴，， ∵ 点 与点 的纵坐标相同，∴ 平行于 轴，， 且 ， ∴ ． （3） 的面积不发生变化． 理由：∵ 点 与点 的纵坐标相同， ∴ 直线 平行于 轴，． ∵ 点 在 轴上，∴ 点 到直线 的距离恒为 ， ∴ ， 即 的面积恒为 ，不随点 在 轴上的移动而变化． 19．解：（1）∵ 点 与点 都在 轴上，∴ ． 点 到 轴的距离为 ，即边 上的高为 ， ∴ ． （2）∵ 点 到 轴的距离为 ，即 的边 上的高为 ， ∴ ． （3）∵ 点 在 的内部， ∴ 与 恰好拼成 中除去 后的部分， ∴ ． 20．解：（1）∵ 点 与点 都在 轴上，∴ ． 点 到 轴的距离为 ，即边 上的高为 ， ∴ ． （2）∵ 点 在 轴上从点 向点 移动， ∴ 的边 逐渐变长，而点 到 轴的距离（即边 上的高）恒为 ， ∴ 的面积逐渐增大． （3）设点 的坐标为 ． ∵ 点 在线段 上（不与 重合），∴ 点 位于点 的右侧、点 的左侧， 此时 ． ∴ ． ∵ ，∴ ，解得 ， ∴ 点 的坐标为 ． 21．解：（1）∵ 点 与点 的纵坐标相同， ∴ 直线 平行于 轴， ∴ ． （2）点 到直线 （即直线 ）的距离为 ． （3）∵ 的边 ，且边 上的高等于点 到直线 的距离，即 ， ∴ ． 22．解：（1）∵ 点 与点 都在 轴上，∴ ． 点 到 轴的距离为 ，即边 上的高为 ， ∴ ． （2）∵ 点 在 轴上，∴ 可设点 的坐标为 ， 点 到 轴的距离为 ， ∴ ． ∵ ，∴ ，即 ， ∴ 点 的坐标为 或 ． （3）∵ 点 的横坐标为 ，∴ 可设点 的坐标为 ， 点 到 轴的距离为 ， ∴ ． ∵ ，∴ ，即 ， ∴ 点 的坐标为 或 ． 23．解：（1）连接 ，把四边形 分成 与 两部分． ∵ 点 与点 都在 轴上，∴ ， 点 到 轴的距离为 ， ∴ ． ∵ 点 与点 的纵坐标相同，∴ 平行于 轴，， 点 到直线 （即直线 ）的距离为 ， ∴ ． ∴ ． （2）∵ 点 与点 的横坐标相同，∴ 平行于 轴，， ∵ 点 与点 的纵坐标相同，∴ 平行于 轴，， 且 ， ∴ ． （3）由（1）知 ，， ∴ ， 即 与 的面积之和恰好等于四边形 的面积，验证成立． 24．解：（1）∵ 点 与点 的纵坐标相同， ∴ 直线 平行于 轴，． 点 到直线 （即直线 ）的距离为 ． （2）∵ 点 与点 都在 轴上，∴ ； ∵ 点 与点 都在 轴上，∴ ， 且 ， ∴ ． 点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 ， ∴ 点 到 轴与到 轴的距离之和为 ． （3） 是定值，且 ． 理由：设点 的坐标为 ． ∵ 点 在四边形 内部（含边界），∴ ，． 点 到边 （即 轴）的距离为 ，到边 （即直线 ）的距离为 ， 点 到边 （即直线 ）的距离为 ，到边 （即 轴）的距离为 ， ∴ ． 即无论点 在四边形 内部的哪个位置，它到四条边所在直线的距离之和恒为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $