精品解析：广东广州市南海中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

广州市南海中学2026－2027学年高二10月月考数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某县采用分层抽样的方法，对下辖甲、乙、丙三个乡镇的乡村电商直播商户进行营收调研．已知三个乡镇的直播商户数量之比为(4：5：6)，若从乙乡镇抽取了 15 户商户，则本次调研抽取的样本总容量为（ ） A. 35 B. 40 C. 45 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】在分层抽样中，各层抽取的样本数之比等于各层个体数之比，按比例计算即可. 【详解】三个乡镇商户数量比为，乙乡镇占比为. 设样本总量为，则乙乡镇抽取商户数为. 已知乙乡镇抽取了15户，即，解得. 2. 如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，利用基底表示即可. 【详解】由题意，得. 3. 已知空间向量，，则A点到直线的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用点到直线距离的向量求法计算可得结果. 【详解】由向量，可得， 则方向上的单位向量为， 因此A点到直线的距离为. 故选：B 4. 已知两条异面直线的方向向量分别是,，则这两条异面直线所成的角θ满足（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知两条异面直线的方向向量的坐标，利用数量积求夹角公式，即可求得答案. 【详解】因为两条异面直线的方向向量分别是,， 所以, ，, 因为两条异面直线所成的角为， 所以，. 故选：. 5. 无论取何值，直线总经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将直线化为即可求解． 【详解】由， 当，即时，，解得， 所以无论取何值，直线总经过点． 故选：C． 6. 已知函数（，）的部分图象如图所示，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由相邻最值点求周期与 ，再由最大值点及 求 ，代入求值． 【详解】由图可知， 与 分别为相邻的最小值点、最大值点，所以 ，故 ， 所以． 又由图知 ，于是 ，其中 为整数． 结合 ，得 ，故 ． 因此 ． 7. 直线倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由的斜率为，其范围是， 设倾斜角为，则，解得， 因为倾斜角的范围是，所以. 8. 若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】的几何意义是点与点之间的斜率，在平面直角坐标系中画出草图，观察可知，点与点重合时，斜率，点与点重合时，斜率，所以的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数z满足，则（ ）． A. B. 是纯虚数 C. 复数z的虚部为 D. 复数z在复平面内对应的点在第三象限 【答案】AB 【解析】 【详解】由，得. 选项A：，正确. 选项B：，是纯虚数，正确. 选项C：的虚部是，不是，错误. 选项D：对应点在第一象限，错误. 10. 下面四个结论中正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若，则向量的夹角是钝角 C. 若对空间中任一点O，有则四点共面 D. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】AC 【解析】 【分析】易求得对称点可判断A；当反向时可判断B；由，可得四点共面判断C；设，可得，进而可得共面，判断D. 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A正确； 对于B，当反向时，，此时向量的夹角为，不是钝角，B错误； 对于C，由于对空间中任一点，有，而，故四点共面，C正确； D选项，设，即，故， 解得，故共面，不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：AC. 11. 2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ） A. 将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B. 将军在河边饮马的地点的坐标为 C. 将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D. “将军饮马”走过的总路程为 【答案】BD 【解析】 【分析】求出点关于直线的对称点为，直线的方程为即为从出发点到河边的路线，可得A错误；联立直线方程可解得交点坐标即为饮马地点的坐标为，可得B正确；直线的方程为即为从河边回军营的路线，可得C错误；由各路段长度总和即可求出“将军饮马”走过的总路程为，可知D正确. 【详解】由题可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为，如下图所示： 则，解得；即. 将军从出发点到河边的路线所在直线即为， 又，所以直线的方程为，故错误； 设将军在河边饮马的地点为，则即为与的交点， 联立两直线方程解得，故B正确； 将军从河边回军营的路线所在直线为，又， 所以直线的方程为，故C错误； 总路程， 所以“将军饮马”的总路程为，故D正确. 故选：BD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 定义：设是空间向量的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标．已知是空间向量的单位正交基底，是空间向量的另一个基底．若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据基底的定义结合题意直接求解即可 【详解】因为向量在基底下的坐标为， 所以， 所以向量在基底下的坐标为， 故答案为： 13. 经过点且在轴、轴上的截距相等的直线方程是______． 【答案】，或 【解析】 【分析】当直线过原点时，利用点斜式求直线的方程，并化为一般式．当直线不过原点时，设直线方程为，把点代入，求出，即得直线方程． 【详解】当直线过原点时，斜率为，直线方程为，即． 当直线不过原点时，设直线方程为，把点代入可得， ，∴所求直线的方程为， 综上，所求直线的方程为，或. 14. 在三棱锥中，为的重心，设，，，则___________(用，，表示). 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形重心的性质定理､三角形法则､向量的线性运算即可得出. 【详解】 如图，取的中点， 为的重心， 则在中，. . 故答案为：. 【点睛】本题的关键点是熟练掌握三角形重心的性质定理､三角形法则､向量的线性运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知两点，过点的直线l与线段AB有公共点．求直线l的斜率k的取值范围． （2）已知直线的方向向量为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用斜率的坐标公式，结合几何图形求出k的范围. （2）利用直线方向向量的意义求出的斜率，再利用二倍角的正切公式求解. 【详解】（1）两点，点，则直线的斜率分别为： ，，且的斜率存在，如图， 观察图形知，当且仅当或时，直线l与线段AB有公共点， 所以直线l的斜率k的取值范围是. （2）设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为， 由直线的方向向量为，得直线的斜率， 所以直线的斜率. 16. 已知在中，，，． （1）求； （2）设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知两边及夹角，先用余弦定理求第三边，再用余弦定理求； （2）建立坐标系，设出点坐标，由平行关系得点的坐标，利用垂直条件求参数，由长度解出，再计算. 【小问1详解】 在中，，，. 由余弦定理可知， 故. 再由余弦定理得. 【小问2详解】 以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系如图： 则，，由，得. 在延长线上，设，则，，， 设，则. 由，得，故. 于是. 已知，则，则. 代入得，而， 故. 17. 如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的菱形，， （1）求线段的长； （2）求证：． 【答案】（1） （2）∵，∴. 故. 【解析】 【分析】（1），结合向量数量积运算，求模即可. （2），由向量数量积关于垂直的表示即可判断. 【小问1详解】 设，则， ∵，则. ∵，∴. 故线段的长为. 【小问2详解】 略 18. 如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，. （1）若点为线段的中点， （i）证明：面； （ii）求点与平面间的距离； （2）若点为线段上的动点，当直线与底面所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥的体积. 【答案】（1） （i）如图，取的中点，连接， 因为为的中点，所以，且， 因为，所以， 所以四边形是平行四边形，所以，且平面，平面， 所以平面； （ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）取的中点，通过证明四边形是平行四边形可得，由此证明线面平行；（ii）建立合适空间直角坐标系，利用向量法求解出点与平面间的距离； （2）设，利用向量法求解出的最大值即可求解出的值，从而可求得三棱锥的高和底面积，则三棱锥的体积可求. 【小问1详解】 （i）略 （ii）取中点，连接， 因为，所以， 因为， 所以四边形是正方形，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 在平面内作直线的垂线， 则平面，有，， 以为坐标原点，分别以，，所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以平面，因为平面，所以， 由，，知， 由，可得， 从而，所以， 设平面的一个法向量为， 由，取，则，，所以， 因为面，所以到平面的距离即为直线与平面间的距离， 又，所以到平面的距离， 所以直线与平面间的距离为. 【小问2详解】 由条件知，设， 所以， 取平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为， 所以， 当时，； 当时，， 当时，有最大值，此时， 所以到平面的距离为，且， 所以三棱锥的体积为. 19. 已知函数，（其中是自然对数的底数） （1）判断函数在上的单调性（不必证明）； （2）求证：函数在内存在零点，且； （3）在（2）的条件下，求使不等式成立的整数的最大值. （参考数据：） 【答案】（1）单调递增 （2）因为， . 所以，由函数零点存在定理可知，函数在内存在零点， 即， 因为 . （3）3 【解析】 【分析】（1）取对数，利用复合函数单调性判断即可； （2）利用零点存在性定理和对数的运算性质证明即可； （3）根据单调性可知，即，代入化简不等式，再利用对勾函数单调性求的取值范围即可. 【小问1详解】 因为，令，则在上单调递增， 又是增函数， 所以在上单调递增. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，，所以，， 又因为，且在上单调递增， 所以，即，， 所以， 令，由对勾函数的性质可知，在上单调递减， 所以，即， 所以要使，则整数的最大值为3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市南海中学2026－2027学年高二10月月考数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某县采用分层抽样的方法，对下辖甲、乙、丙三个乡镇的乡村电商直播商户进行营收调研．已知三个乡镇的直播商户数量之比为(4：5：6)，若从乙乡镇抽取了 15 户商户，则本次调研抽取的样本总容量为（ ） A. 35 B. 40 C. 45 D. 50 2. 如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间向量，，则A点到直线的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 4. 已知两条异面直线的方向向量分别是,，则这两条异面直线所成的角θ满足（ ） A. B. C. D. 5. 无论取何值，直线总经过点（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数（，）的部分图象如图所示，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 直线倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数z满足，则（ ）． A. B. 是纯虚数 C. 复数z的虚部为 D. 复数z在复平面内对应的点在第三象限 10. 下面四个结论中正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若，则向量的夹角是钝角 C. 若对空间中任一点O，有则四点共面 D. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 11. 2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ） A. 将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B. 将军在河边饮马的地点的坐标为 C. 将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D. “将军饮马”走过的总路程为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 定义：设是空间向量的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标．已知是空间向量的单位正交基底，是空间向量的另一个基底．若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为___________． 13. 经过点且在轴、轴上的截距相等的直线方程是______． 14. 在三棱锥中，为的重心，设，，，则___________(用，，表示). 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知两点，过点的直线l与线段AB有公共点．求直线l的斜率k的取值范围． （2）已知直线的方向向量为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率． 16. 已知在中，，，． （1）求； （2）设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 17. 如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的菱形，， （1）求线段的长； （2）求证：． 18. 如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，. （1）若点为线段的中点， （i）证明：面； （ii）求点与平面间的距离； （2）若点为线段上的动点，当直线与底面所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥的体积. 19. 已知函数，（其中是自然对数的底数） （1）判断函数在上的单调性（不必证明）； （2）求证：函数在内存在零点，且； （3）在（2）的条件下，求使不等式成立的整数的最大值. （参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $