广东广州市南海中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

广州市南海中学2026-2027学年高二10月月考数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．某县采用分层抽样的方法，对下辖甲、乙、丙三个乡镇的乡村电商直播商户进行营收调研．已知三个乡镇的直播商户数量之比为，若从乙乡镇抽取了15户商户，则本次调研抽取的样本总容量为（　　） A．35 B．40 C．45 D．50 【答案】 【分析】在分层抽样中，各层抽取的样本数之比等于各层个体数之比，按比例计算即可． 【解答】解：乙乡镇占比为． 设样本总量为，则乙乡镇抽取商户数为． 乙乡镇抽取了15户，即，解得． 故选：． 2．如图：在平行六面体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出． 【解答】解： 故选：． 3．已知空间向量，，则点到直线的距离为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】 【分析】利用向量法求解点到直线的距离即可． 【解答】解：由向量，，得， 所以， 所以点到直线的距离为． 故选：． 4．已知两条异面直线的方向向量分别是，1，，，2，，则这两条异面直线所成的角满足（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】由已知两条异面直线的方向向量的坐标，然后利用数量积求夹角公式得答案． 【解答】解：两条异面直线的方向向量分别是，1，，，2，， ， ，， 又两条异面直线所成的角为，则． 故选：． 5．无论取何值，直线总经过点（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】将所给直线整理为，然后解方程组求出直线经过的定点坐标． 【解答】解：由题意，将所给直线化简为， 所以该直线经过直线与直线的交点， 由，解得， 即直线与直线交于点， 所以无论取何值，直线总经过定点． 故选：． 6．已知函数的部分图象如图所示，则的值是（　　） A． B． C．1 D． 【答案】 【分析】根据函数图象求出函数解析式，从而可得函数值． 【解答】解：由图象可得， 所以， 所以， 由五点作图法可得， 所以， 所以 所以． 故选：． 7．直线的倾斜角的取值范围是（　　） A．， B．， C．， D．，， 【答案】 【分析】先根据直线的方程求出斜率，再求出斜率的取值范围，再根据倾斜角的范围进一步确定倾斜角的范围． 【解答】解：直线的斜率为， ，又直线的倾斜角的范围是，， 故倾斜角满足或． 故倾斜角的范围是，，． 故选：． 8．若点在以，，为顶点的△的内部运动（包含边界），则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】由已知结合直线的斜率公式即可求解． 【解答】解：根据已知条件，可知点是以点，，为顶点的△ 内部一动点（包含边界）， 的几何意义是过动点与定点的直线的斜率， 由已知得，，， 可得的取值范围是． 故选：． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若复数满足，则（　　） A． B．是纯虚数 C．复数的虚部为 D．复数在复平面内对应的点在第三象限 【答案】 【分析】结合复数的四则运算，复数的概念，复数的几何意义，即可求解． 【解答】解：由，得． ，故正确． ，是纯虚数，故正确； 的虚部是4，故错误； 对应点在第一象限，故错误． 故选：． 10．下面四个结论中正确的是（　　） A．点，，关于平面对称的点的坐标是，， B．若，则向量的夹角是钝角 C．若对空间中任一点，有，则，，，四点共面 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】 【分析】易求得对称点可判断；当反向时可判断；由，可得四点共面判断；设，可得，进而可得共面，判断． 【解答】解：对于，点，，关于平面对称的点的坐标是，，，故正确； 对于，当反向时，，此时向量的夹角为，不是钝角，故错误； 对于，由于对空间中任一点，有， 而，故，，，四点共面， 若对空间中任一点，有， 则，，，四点共面，故正确； 对于，设， 即，故， 解得，故共面， 不能构成空间的一个基底，故错误． 故选：． 11．2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营 “将军饮马” 的总路程最短，则（　　） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为 【答案】 【分析】由点关于直线的对称点可得的坐标，从而求得直线的方程即可判断；由两直线的交点可判断；求直线的方程可判断；由直线的对称性可判断． 【解答】解：由题可知，在的同侧，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 将军从出发点到河边的路线所在直线即为，又因为，所以直线的方程为，故错误； 设将军在河边饮马的地点为，则即为与的交点，所以，故正确； 将军从河边回军营的路线所在直线为，又因为，所以直线的方程为，故错误； 总路程，所以“将军饮马”的总路程为，故正确． 故选：． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．定义：设是空间向量的一个基底，若向量，则称实数组，，为向量在基底下的坐标．已知是空间向量的单位正交基底，是空间向量的另一个基底．若向量在基底下的坐标为，1，，则向量在基底下的坐标为 　　　　． 【答案】，0，． 【分析】根据基底的定义结合题意直接求解即可． 【解答】解：是空间向量的单位正交基底，是空间向量的另一个基底， 向量在基底下的坐标为，1，， ， 向量在基底下的坐标为，0，． 故答案为：，0，． 13．经过点且在轴、轴上的截距相等的直线方程是　　　　　　　　 【分析】当直线过原点时，点斜式求直线的方程，并化为一般式．当直线不过原点时，设直线方程，把点代入，求出，即得直线方程． 【解答】解：当直线过原点时，斜率为，直线方程为 ，即． 当直线不过原点时，设直线方程，把点代入可得， ，所求直线的方程为， 综上，所求直线的方程为，或， 故答案为：，或． 14．在三棱锥中，为的重心，设，，，则　　　　　　（用，，表示） 【答案】 【分析】由空间向量基本定理，结合空间向量的线性运算求解即可． 【解答】解：在三棱锥中，为的重心，设，，， 则，， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）（1）已知两点，，过点的直线与线段有公共点．求直线的斜率的取值范围． （2）已知直线的方向向量为， 直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率． 【答案】（1），，； （2）． 【分析】（1）首先求出直线，的斜率，再结合图形求解即可； （2）受限利用直线的方向向量求出直线的斜率，再利用直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍求直线的斜率． 【解答】解：（1）两点，，点，如图所示： 则直线，的斜率分别为： ，， 由图可知，当且仅当或时，直线与线段有公共点， 所以直线的斜率的取值范围是，，； （2）直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则=。 因为直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍， 所以直线的斜率 直线的斜率为 16．（15分）已知在△中，，，． （1）求； （2）设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据余弦定理列式求出，进而可算出的值； （2）由与互余，算出，根据，算出与互补，从而可得，结合同角三角函数的平方关系算出，然后在△中运用正弦定理算出的长，进而在△中运用勾股定理求解，可得的长． 【解答】解：（1）在△中，，，， 由余弦定理得 ，解得， 所以； （2）由，可得，故， 根据，可得，故， 所以， 在△中，由正弦定理得，即，解得， △中，． 17．（15分）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的菱形，，． （1）求线段的长； （2）求证：． 【分析】（1），结合向量数量积运算，求模即可． （2），由向量数量积关于垂直的表示即可判断． 【解答】解：（1）设，则， ， ， ， ， 线段的长为； （2）证明：， ， ． 18．（17分）如图，四棱锥中，△是以为斜边的等腰直角三角形，，，． （1）若点为线段的中点， 证明：面； 求点与平面间的距离； （2）若点为线段上的动点，当直线与底面所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明：如图，取的中点，连接，， 因为，分别为，的中点，所以，且， 因为，， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以，且平面，平面， 所以平面； ； （2）． 【分析】（1）取的中点，通过证明四边形是平行四边形可得，由此证明线面平行； 建立合适空间直角坐标系，利用向量法求解出点与平面间的距离； （2）设，利用向量法求解出的最大值即可求解出的值，从而可求得三棱锥的高和底面积，则三棱锥的体积可求． 【解答】解：（1）证明：如图，取的中点，连接，， 因为，分别为，的中点，所以，且， 因为，， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以，且平面，平面， 所以平面； 取中点，连接，， 因为，，所以，， 因为，，， 因为四边形是正方形，所以，，又，，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面， 在平面内作直线的垂线，则平面， 故分别以，，所在直线为坐标轴，建系如图： 因为，所以平面，又平面， 所以，又，，所以， 所以，所以， 所以，，，，，0，，，1，，，1，， 所以， 设平面的一个法向量为，，， 则，取， 因为面，所以到平面的距离即为直线与平面间的距离， 又， 所以到平面的距离， 所以直线与平面间的距离为； （2）由条件知，， 设，，，，， 所以，，， 易知平面的一个法向量为，0，， 设直线与平面所成角为， 所以， 当时，； 当时，；，， 当时，有最大值，此时， 所以到平面的距离为，且， 所以三棱锥的体积为． 19．（17分）已知函数，，（其中是自然对数的底数）． （1）判断函数在上的单调性（不必证明）； （2）求证：函数在内存在零点，且； （3）在（2）的条件下，求使不等式成立的整数的最大值．（参考数据：， 【答案】（1）单调递增；（2）证明见解析；（3）3． 【分析】（1），根据复合函数单调性可判断；（2）根据零点存在定理判断即可；（3）利用（2）的有关结论，对不等式放缩即可得． 【解答】（1）证明：，令 ， 则 在上单调递增， 又是增函数，在0，上单调递增； （2）证明： ， （1），则． 由函数零点存在定理可知，函数在 内存在零点， ，， ，， 则 ； （3）解：由（2）知，，，． 又，且在上单调递增．， ，， ． 令，，由对勾函数的性质可知，在 上单调递减， ，即，， 要使，则整数的最大值为3． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市南海中学2026-2027学年高二10月月考数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．某县采用分层抽样的方法，对下辖甲、乙、丙三个乡镇的乡村电商直播商户进行营收调研．已知三个乡镇的直播商户数量之比为，若从乙乡镇抽取了15户商户，则本次调研抽取的样本总容量为（　　） A．35 B．40 C．45 D．50 2．如图：在平行六面体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 3．已知空间向量，，则点到直线的距离为（　　） A．1 B． C． D． 4．已知两条异面直线的方向向量分别是，1，，，2，，则这两条异面直线所成的角满足（　　） A． B． C． D． 5．无论取何值，直线总经过点（　　） A． B． C． D． 6．已知函数的部分图象如图所示，则的值是（　　） A． B． C．1 D． 7．直线的倾斜角的取值范围是（　　） A．， B．， C．， D．，， 8．若点在以，，为顶点的△的内部运动（包含边界），则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若复数满足，则（　　） A． B．是纯虚数 C．复数的虚部为 D．复数在复平面内对应的点在第三象限 10．下面四个结论中正确的是（　　） A．点，，关于平面对称的点的坐标是，， B．若，则向量的夹角是钝角 C．若对空间中任一点，有，则，，，四点共面 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 11．2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营 “将军饮马” 的总路程最短，则（　　） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．定义：设是空间向量的一个基底，若向量，则称实数组，，为向量在基底下的坐标．已知是空间向量的单位正交基底，是空间向量的另一个基底．若向量在基底下的坐标为，1，，则向量在基底下的坐标为 　　　　． 13．经过点且在轴、轴上的截距相等的直线方程是　　　　　　　　 14．在三棱锥中，为的重心，设，，，则　　　　　　（用，，表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）（1）已知两点，，过点的直线与线段有公共点．求直线的斜率的取值范围． （2）已知直线的方向向量为， 直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率． 16．（15分）已知在△中，，，． （1）求； （2）设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 17．（15分）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的菱形，，． （1）求线段的长； （2）求证：． 18．（17分）如图，四棱锥中，△是以为斜边的等腰直角三角形，，，． （1）若点为线段的中点， 证明：面； 求点与平面间的距离； （2）若点为线段上的动点，当直线与底面所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥的体积． 19．（17分）已知函数，，（其中是自然对数的底数）． （1）判断函数在上的单调性（不必证明）； （2）求证：函数在内存在零点，且； （3）在（2）的条件下，求使不等式成立的整数的最大值．（参考数据：， 1 / 2 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