3.4圆周角（分层作业，10大题型）数学新教材浙教版九年级上册

分层作业 3.4 圆周角 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 圆周角的概念辨析 题型02 圆周角定理的应用 题型03 同弧或等弧所对的圆周角 题型04 半圆（直径）所对的圆周角是直角的应用 题型05 圆周角定理及推理在作图中的应用 题型06 90度的圆周角所对的弦是直径的应用 题型07 巧构圆形图解决问题 题型08 与圆周角有关的综合证明 B组 能力进阶 题型 圆周角·综合应用 C组 思维拔高 题型 圆周角·创新性问题 圆周角的概念辨析题型01 1．下列说法正确的是（   ） A．顶点在圆周上的角叫做圆周角 B．两边都和圆相交的角叫做圆周角 C．等于圆心角一半的角叫做圆周角 D．顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角 2．下列各图中的角，其中为圆周角的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，A、B、C是上的三个点，，，则的度数是（    ） A．25° B．30° C．40° D．55° 4．如图，弦所对的圆周角有_______________________，劣弧所对的圆周角有_________________． 5．（1）如图1，在中，，，，若的半径为2，点在上，是线段上一动点，连接，求线段的最小值，并说明理由．    新定义：在平面直角坐标系中，已知点为定点，对点给出如下定义，在射线上，若（，且为整数），则称是点的“倍点”． （2）如图2，点是半径为1的上一点，且，是点的“二倍点”，点为直线上一点，是否存在点，使得线段最小；若存在，请求出的最小值，并直接写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．    圆周角定理的应用题型02 1．（24-25九年级上·浙江余姚·期末）如图，内接于，连结，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD=24°，则∠ABD=（       ） A．54° B．56° C．64° D．66° 3．如图，是半圆的直径，，点，在半圆上，，，点是上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．一块直角三角板的30°角的顶点落在⊙O上，两边分别交⊙O于、两点，若弦，则⊙O的半径为______． 5．在中，弦所对的圆心角是上异于，的点，求的度数． 情况一：圆周角顶点在弦所对的优弧上 情况二：圆周角顶点在弦所对的劣弧上 解答过程： 解答过程： 综上所述，的度数为____________． 同弧或等弧所对的圆周角题型03 1．（25-26上·期末）如图，内接于圆，是上一点，连接．下列角中，与相等的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO并延长交⊙O于点D，若∠B=55°，则∠CAD的度数为（    ） A．25° B．30° C．35° D．45° 3．如图，⊙O的直径CD垂直于AB，∠AOC=48°，则∠BDC=　　度． 4．（2025·江苏南京·二模）如图，是的直径，弦，点在上．若，则的度数为___________． 5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝96°，∠CAB＝60°，点D是的中点．求∠ABD的度数． 半圆（直径）所对的圆周角是直角的应用题型04 1．如图，是的直径，是圆上一点，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南安阳·模拟）如图，已知是的直径，C是上一点，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，是的直径，点C在上．若，，则的长是________． 4．（2025·江苏南京·模拟）如图，是半圆的直径，是一条弦，是的中点，于点且交于点，交于点，若，则______． 5．（24-25九年级上·山东济宁·月考）如图，是的直径，、两点在上，若． (1)求的度数； (2)若，，求的半径． 圆周角定理及推理在作图中的应用题型05 1．如图，观察图中的尺规作图痕迹，若，，则______． 2．如图，在由边长都为1的小正方形组成的网格中，点A，B均为格点，C为网格线的三等分点，过点B，C的圆O与线段AB交于点D． （Ⅰ）线段AC的长等于___； （Ⅱ）请借助无刻度直尺在给定的网格中画出圆心O，并简要说明你是怎么画出点O．______ 3．如图1、图2是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作弦AB的圆心角． (2)在图2中作弦AB的圆周角，使圆周角的顶点在格点上． 4．（2025·江苏泰州·二模）如图，是由边长为1的小正方形组成的的网格，点A，B均在格点上，以为直径画半圆O，格点C在半圆O上．请仅用无刻度的直尺画图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)在图1中作的平分线，交于点D； (2)在图2中的半圆弧上确定点E，使得平分． 5．如图，点E是正方形的边上一个动点，连接．    (1)请用无刻度的直尺和圆规在线段上作一点G、使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)延长交于点，求证：； (3)随着点E在边上运动，当时，直接写出线段长的最小值． 90度的圆周角所对的弦是直径的应用题型06 1．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好是半圆形，下列几个图形是半圆形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，点A，B，C是上的三点，且，，，则⊙O的直径为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 3．如图，正方形中，点M，N分别为，上的动点，且，，交于点 E，点 F 为 的中点，点P为上一个动点，连接，．若，则 的最小值为（    ） A． B． C．5 D． 4．如图所示，为了验证某个机械零件的截面是个半圆，某同学用三角板放在了如下位置，通过实际操作可以得出结论，该机械零件的截面是半圆，其中蕴含的数学道理是_______． 5．如图，你能用三角尺确定一张圆形纸片的圆心吗？有几种方法？与同学交流一下． 巧构圆形图解决问题题型07 1．（24-25九年级上·广西防城港·质检）船在航行过程中，通常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图，点A，B表示两个灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”已知，要保证船D安全航行，则的度数可能是（   ） A． B． C． D． 2．如图，A，B为球门边框的两端点，直线，点E在线段的垂直平分线上．当运动员带球沿着运动时，射门角的变化情况是（    ） A．越来越大 B．越来越小 C．先越来越小再越来越大 D．先越来越大再越来越小 3．【问题提出】 （1）如图①，在中，为边的中点，画出关于点中心对称的图形（点的对应点记为）．若，求四边形周长的最大值． 【问题解决】 （2）如图②，某景区有一段笔直的湖域，有一处喷泉（点）在这个湖域中，景区在现有资金条件下，准备修建一条长150米的直通道，在通道的尽头处安装一个张角为的高清摄像头以观察游客的活动，要求喷泉恰好在摄像头观察到湖域的边界点，的正中间，求摄像头能观察区域的最大面积． 与圆周角有关的综合证明题型08 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，为的直径，是的弦，的平分线交于点D，连接，； (1)求证：； (2)若，求的长． 2．如图，已知⊙O中，弦AB与CD相交于点P． 求证：PA•PB=PC•PD．    3．如图，是的直径，弦于点E，点P在上，． (1)求证：； (2)若，求的半径． 4．已知，在中，设所对的圆周角为．求证： 证明；圆心O可能在的一边上，内部和外部（如图①、②和③）． 如图①，当圆心O在的一边上时． ∵， ∴， ∵， ∴，即 请你完成图②、图③的证明． 5．（24-25九年级上·重庆·月考）如图中，，，以为一边向上作，且． (1)如图1，若，，求的长． (2)如图2，点与的中点重合，点是上方一点且，连接．过点作于点，交于点，在上取点使得，连接、，延长交于点．写出、、的数量关系并证明． (3)如图3，是等边三角形，，点、分别是线段、上动点（不含端点）且，连接、交于点，将线段沿着某条直线折叠后得到线段，点恰好落在射线上，连接、．在、运动过程中，当为等腰三角形时，请直接写出的面积． 圆周角·综合应用题型 1．如图，试列举出中的一条直径、两条半径、三条弦、三段弧、三个圆周角和三个圆心角． 2．（2025·广东云浮·一模）如图，是的直径，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山西晋中·二模）如图，内接于，连接，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，是的外接圆，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·甘肃武威·模拟）如图，是的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．在中，，则外接圆的半径是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．（2025·江苏盐城·一模）如图，是正方形的外接圆，若，则的半径是（   ） A． B．2 C． D． 8．如图，中，弦，，，则直径的长是（    ）． A． B． C． D． 圆周角·创新性问题题型 1．如图，已知点，点B、C分别是直线，上的动点，以为直径作，则周长的最小值为__________． 2．（25-26九年级上·学情自测）如图，在平面直角坐标系中，点，则∠ABC的大小为____；若坐标轴上存在点FF与C不重合），使得，则点F的坐标为_____． 3．如图，在边长为的等边三角形中，点是三角形内的一点，连接、、，且满足，点为内部的一个动点，连接、、，则的最小值是______． 4．【问题初探】 （1）如图1，动点A在半径为2的上，若，求的最小值． 由于和都是定长，当点A、B，O形成三角形时，霖霖想到了“三角形两边之差小于第三边”，由此可知当点A在上时对应的就是B最小的情形请按照霖霖的思路完成求最小值的解题过程． 【类比分析】 （2）如图2，点E和F分别是边长为4的正方形边和上的两个动点，且，连接和交于点G，连接，求的最小值． 霖霖尝试着绘制了点E在不同位置的几张图，目测始终都是直角，于是联想到了“圆周角所对的弦是直径”，也就是说“点G是正方形内以为直径的圆弧上的点”，进而本题可以类比图1获解，清按照霖霖的思路完成求最小值的解题过程． 【学以致用】 （3）如图3，是两块等腰直角三角板，．当点D和E同时在边和上滑动时，点F也随之移动，若连接，则的最大值是____________． 5．【问题背景】已知是半圆O的直径，且，C是上的一动点． 【构建联系】（1）如图1，连接，求图中阴影部分面积之和的最小值S． 【深入探究】（2）如图2，将沿折叠，折叠后的弧与直径交于点D（点D不与点A，B重合），连接． ①若，求的度数； ②设，请求出y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围． 6．（2025·江苏宿迁·模拟）如图，G是正方形边上一动点，于点F，于点E， ，． (1)若，则 ； (2)当时，求的度数； (3)已知： ①若，求的长度； ②当点G从点B运动到点C，请直接写出线段扫过的面积． 7．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）已知是的外接圆，点是的中点． (1)如图1，连接交于点，过点作的垂线交延长线于点．设，，请用含的代数式表示； (2)如图2，过点作，交弦的延长线于点． ①求证：； ②若的半径为4，，求的值； (3)如图3，若是半圆，点是上的动点，且点，分别位于的两侧，作关于的轴对称图形，连接，试探究，，三者之间满足的数量关系，并证明所得到的结论． 8．如图1， 是等边三角形，点 D，点 E分别是，上的动点，且满足 ，连接，交于点H，以为直径作交于点F． (1)求证：． (2)如图 2，连接， ①若 求直径的长． ②若，当 时，用含λ的代数式表示a． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.4 圆周角 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 圆周角的概念辨析 题型02 圆周角定理的应用 题型03 同弧或等弧所对的圆周角 题型04 半圆（直径）所对的圆周角是直角的应用 题型05 圆周角定理及推理在作图中的应用 题型06 90度的圆周角所对的弦是直径的应用 题型07 巧构圆形图解决问题 题型08 与圆周角有关的综合证明 B组 能力进阶 题型 圆周角·综合应用 C组 思维拔高 题型 圆周角·创新性问题 圆周角的概念辨析题型01 1．下列说法正确的是（   ） A．顶点在圆周上的角叫做圆周角 B．两边都和圆相交的角叫做圆周角 C．等于圆心角一半的角叫做圆周角 D．顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定义，熟记圆周角定义是解决问题的关键． 根据圆周角定义：顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，选项原说法错误，不符合题意； B、顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，选项原说法错误，不符合题意； C、顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，选项原说法错误，不符合题意； D、顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，选项原说法正确，符合题意； 故选：D． 2．下列各图中的角，其中为圆周角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角的定义，可以判断哪个选项是正确的． 【详解】解：∵顶点在圆上，角的两条边都与圆相交的角叫做圆周角， ∴选项A、C、D中的角不是圆周角，选项B中的角是圆周角． 3．如图，A、B、C是上的三个点，，，则的度数是（    ） A．25° B．30° C．40° D．55° 【答案】B 【分析】首先根据∠B的度数求得∠BOC的度数，然后求得∠AOC的度数，从而求得等腰三角形的底角即可． 【详解】∵OB=OC，∠B=55°， ∴∠B=∠OCB， ∴∠BOC=180°-2∠B=70°， ∵∠AOB=50°， ∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=70°+50°=120°， ∵OA=OC， ∴∠A=∠OCA==30°， 故选：B． 【点睛】考查了圆周角定理及等腰三角形的性质，解题的关键是求得∠AOC的度数，难度不大． 4．如图，弦所对的圆周角有_______________________，劣弧所对的圆周角有_________________． 【答案】 ，， ， 【分析】本题考查了圆周角的概念，掌握圆周角的概念是解题的关键． 根据圆周角的概念直接得到答案． 【详解】解：弦所对的上的圆周角为，所对的上的圆周角为，，则弦所对的圆周角有，，； 劣弧所对的圆周角有，； 故答案为：，，；，． 5．（1）如图1，在中，，，，若的半径为2，点在上，是线段上一动点，连接，求线段的最小值，并说明理由．    新定义：在平面直角坐标系中，已知点为定点，对点给出如下定义，在射线上，若（，且为整数），则称是点的“倍点”． （2）如图2，点是半径为1的上一点，且，是点的“二倍点”，点为直线上一点，是否存在点，使得线段最小；若存在，请求出的最小值，并直接写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．    【答案】（1）线段的最小值为；（2）存在，的最小值为，此时点坐标为 【分析】（1）过点作交于点，此时的长有最小值，求出的长即可； （2）延长至使，连接，点在以为圆心，2为半径的圆上，可求，过作垂直直线交于点，交圆于点，当、、三点共线时，的值最小，延长交轴于点，交轴于点，求出，即为的最小值；求出，，即可求． 【详解】解：（1）过点作交于点，此时的长有最小值，   ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 线段的最小值为； （2）存在，理由如下： 是点的“二倍点”， ， 延长至使，连接，   ， ， ， 点在以原点为圆心，1为半径的圆上， 点在以为圆心，2为半径的圆上， ， ， 直线与轴的夹角为， ， 过作垂直直线交于点，交圆于点， ， 当、、三点共线时，的值最小， 延长交轴于点，交轴于点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的最小值为， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 的最小值为，此时点坐标为． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，圆的相关性质，勾股定理，熟练掌握一次函数的图象及性质，根据题意能够确定点的轨迹是解题的关键． 圆周角定理的应用题型02 1．（24-25九年级上·浙江余姚·期末）如图，内接于，连结，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题主要考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：由圆周角定理得：， ∵， ∴， 故选：D． 2．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD=24°，则∠ABD=（       ） A．54° B．56° C．64° D．66° 【答案】D 【分析】根据圆周角定理得到∠ADB=90°，∠A=∠BCD=24°，然后利用互余计算∠ABD的度数． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∵∠A=∠BCD=24°， ∴∠ABD=90°-∠A=90°-24°=66°． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 3．如图，是半圆的直径，，点，在半圆上，，，点是上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接AD与OC相交于点P，连接BD，OD，则由垂直平分线的性质，得到AP=BP，则的最小值为AD的长度，由圆周角定理得到∠BOD=60°，即可求出的长度． 【详解】解：连接AD与OC相交于点P，连接BD，OD，如图： ∵，点O是AB的中点， ∴OC垂直平分AB， ∴AP=BP， ∴的最小值为AD的长度； ∵AB为直径，则∠ADB=90°， ∵∠BOC=90°，， ∴∠BOD=60°， ∴△OBD是等边三角形， ∴BD=OB=， ∴； ∴的最小值为； 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂直平分线的性质定理，等边三角形的判定和性质，以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确求出BD的长度． 4．一块直角三角板的30°角的顶点落在⊙O上，两边分别交⊙O于、两点，若弦，则⊙O的半径为______． 【答案】2 【分析】连接、，由题意易得，则有是等边三角形，然后问题可求解． 【详解】解：连接OB、OC，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴，即的半径为1； 故答案为1． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 5．在中，弦所对的圆心角是上异于，的点，求的度数． 情况一：圆周角顶点在弦所对的优弧上 情况二：圆周角顶点在弦所对的劣弧上 解答过程： 解答过程： 综上所述，的度数为____________． 【答案】 解：情况一解答过程： 情况二解答过程：如图，在弦所对的优弧上取一点，连接， 则， ， 综上所述：或． 【分析】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形对角互补，解题关键是利用圆的知识分类讨论． 情况一直接运用圆周角定理即可得到答案，情况二需要用圆的内接四边形对角互补来求解． 【详解】略 同弧或等弧所对的圆周角题型03 1．（25-26上·期末）如图，内接于圆，是上一点，连接．下列角中，与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了圆周角定理．根据同弧所对的圆周角相等即可得到答案． 【详解】解：∵与都是所对的圆周角， ∴， 故选：A 2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO并延长交⊙O于点D，若∠B=55°，则∠CAD的度数为（    ） A．25° B．30° C．35° D．45° 【答案】C 【分析】连接CD，根据圆周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B=55°，再利用互余得出∠CAD的度数． 【详解】如图所示：连接CD， ∵AD为直径， ∴∠ACD=90°， ∵∠D=∠B=55°， ∴∠CAD=90°-∠D=90°-55°=35°． 故选：C． 【点睛】考查了圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等．掌握这些性质是及作出合适的辅助线是解题的关键． 3．如图，⊙O的直径CD垂直于AB，∠AOC=48°，则∠BDC=　　度． 【答案】24 【详解】解：连接OB， ∵⊙O的直径CD垂直于AB， ∴ ∴∠BOC=∠AOC=48°， ∴∠BDC=∠AOC=×48°=24° 4．（2025·江苏南京·二模）如图，是的直径，弦，点在上．若，则的度数为___________． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解题的关键是掌握相关知识．连接，，，根据圆周角定理可得：，，推出，结合，可求出，进而得到，最后根据垂径定理即可求解． 【详解】解：连接，，， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， 是的直径，弦， ， ， ， 即的度数为， 故答案为：． 5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝96°，∠CAB＝60°，点D是的中点．求∠ABD的度数． 【答案】∠ABD=102°． 【分析】根据∠CAB＝60°，可得，再由点D是的中点可得，由圆周角定理可知∠CBD＝30°，由此即可求出∠ABD的度数． 【详解】解：∠AOB＝96°， ∴∠ACB＝48°， ∵∠CAB＝60°， ∴∠ABC＝180°-∠ACB-∠CAB=72°，， 又∵点D是的中点， ∴， ∴∠CBD＝30°， ∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝102°． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，找准同弧所对圆周角和圆心角是解题关键． 半圆（直径）所对的圆周角是直角的应用题型04 1．如图，是的直径，是圆上一点，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角，根据直径所对的圆周角为即可作答． 【详解】是的直径 故选：D． 2．（2025·河南安阳·模拟）如图，已知是的直径，C是上一点，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．根据圆周角定理可得出，再根据等腰三角形性质和直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：是的直径， ， ， ，， ∴ ， 故选：A． 3．如图，是的直径，点C在上．若，，则的长是________． 【答案】5 【分析】本题考查圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握直径所对的圆周角是直角和含30度的直角三角形的性质是解题的关键． 先根据是的直径，得到．再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半，求解即可． 【详解】解：因为是的直径， 所以． 因为，， 所以． 故答案为：5． 4．（2025·江苏南京·模拟）如图，是半圆的直径，是一条弦，是的中点，于点且交于点，交于点，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查的是圆的有关性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．由是直径，推出，设，，则，，，再求出、即可解决问题． 【详解】解：连接，． 是半圆的直径， ，又， ， 是的中点， ， ， ； ，，， ， 又， ， ， ， ，设，，则，，， 在中，， 是直径， ， ， ， ， 在中，， ， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·山东济宁·月考）如图，是的直径，、两点在上，若． (1)求的度数； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质、等边三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由是的直径，得到，由，再利用直角三角形的性质即可求出的度数； （2）连接，根据圆周角定理得到，结合，推出是等边三角形，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的半径为5． 圆周角定理及推理在作图中的应用题型05 1．如图，观察图中的尺规作图痕迹，若，，则______． 【答案】3 【分析】由作图知，BF是线段DE的垂直平分线，再证明CB=BD，即可求解． 【详解】解：由作图知，BF是线段DE的垂直平分线，BF交DE于G， ∴EG=GD， ∵∠CED=90°， ∴BG∥CE， ∴CB=BD， ∴BE=CD=3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了作图-基本作图，直角三角形斜边上中线的性质，正确的识别图形是解题的关键． 2．如图，在由边长都为1的小正方形组成的网格中，点A，B均为格点，C为网格线的三等分点，过点B，C的圆O与线段AB交于点D． （Ⅰ）线段AC的长等于___； （Ⅱ）请借助无刻度直尺在给定的网格中画出圆心O，并简要说明你是怎么画出点O．______ 【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）如图所示，过点C作CE⊥GC，交AB延长线于E，交圆O于F，连接GF ∵GC⊥CF ∴∠FCG=90° ∴FG即为圆的一条直径（直径所对的圆周角为90°） 同理连接TP交FG于O即为所求． 【分析】（Ⅰ）过点C作CE⊥AB，交AB延长线于E，然后根据题意分别求出CE、AE的长度，再根据勾股定理计算AC的长度即可； （Ⅱ）根据直径所对的圆周角为90°，在圆上画出两个直角三角形，两个直角三角形斜边的交点即为所求． 【详解】解：（Ⅰ）如图所示，过点C作CE⊥AB，交AB延长线于E ∵图中方格都是由边长为1的小正方形组成的 ∴四边形BECR为矩形 ∴EC=BR=3，BE=CR ∵C为网格线的三等分点 ∴ ∴ 在中： （Ⅱ）略 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角为90°和勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点进行求解． 3．如图1、图2是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作弦AB的圆心角． (2)在图2中作弦AB的圆周角，使圆周角的顶点在格点上． 【答案】(1) 如图，即为所求， (2) 如图，即为所求， 【分析】此题考查了圆心角和圆周角，熟练掌握圆心角和圆周角的定义并准确作图是关键． （1）连接即可； （2）根据圆周角的定义和圆周角的顶点在格点上进行作图即可． 【详解】（1）略 （2）略 4．（2025·江苏泰州·二模）如图，是由边长为1的小正方形组成的的网格，点A，B均在格点上，以为直径画半圆O，格点C在半圆O上．请仅用无刻度的直尺画图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)在图1中作的平分线，交于点D； (2)在图2中的半圆弧上确定点E，使得平分． 【答案】(1) 点D即为所求； (2) 点E即为所求； 【分析】本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，平行线的性质与判定，等边对等角，熟知相关知识是解题的关键． （1）取格点G，连接并延长交于F，连接交于D，点D即为所求； （2）取格点H，连接并延长交于E，则点E即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，取格点G，连接并延长交于F，连接交于D， 由网格的特点可证明，则， 由等边对等角可得 ，则； （2）解：如图所示，取格点H，连接并延长交于E， 可证明，则， 再由可得． 5．如图，点E是正方形的边上一个动点，连接．    (1)请用无刻度的直尺和圆规在线段上作一点G、使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)延长交于点，求证：； (3)随着点E在边上运动，当时，直接写出线段长的最小值． 【答案】(1) 作图如图1所示．    (2) 证明：延长交于点，如图2，   四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． (3) 【分析】（1）以点为圆心，作弧交于两点，再分别以这两交点为圆心，大于两交点一半为半径画弧，取两弧的交点，与点连接，所得线段与的交点即为所求的点； （2）根据正方形的性质，得，，由（1）得，再根据同角的余角相等，得，然后根据全等三角形判定（角边角），得，即可证得结论； （3）以中点为圆心，为直径画圆，根据“的圆周角所对的弦是直径”，可得点始终在上，即可得点到圆的最短距离为长的最小值，即当点与点和点在同一直线上，并在之间时，的值最小，利用勾股定理求出的值，再根据，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图3，以中点为圆心，为直径画圆，   ， 点始终在上， 如图，当点与点和点在同一直线上，并在之间时，的值最小， 四边形是正方形，， ， ， ， ， 长的最小值为． 【点睛】本题考查了尺规作垂线，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理推论，点和圆的位置关系，解题关键是掌握尺规作图的方法，利用全等三角形找到对应边的关系，找到动点的运行轨迹是在同一个圆上． 90度的圆周角所对的弦是直径的应用题型06 1．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好是半圆形，下列几个图形是半圆形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据90°的圆周角所对的弦是直径逐一进行判断即可. 【详解】A、不是圆周角，故本选项不能判断； B、根据90°的圆周角所对的弦是直径，本选项符合； C、不是圆周角，故本选项不能判断； D、不是圆周角，故本选项不能判断， 故选B． 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论， 90°的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆，也是检验半圆的方法，熟练掌握是解题的关键. 2．如图，点A，B，C是上的三点，且，，，则⊙O的直径为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据的圆周角对的弦是直径，可得是直径，然后由勾股定理求得答案． 【详解】解：∵， ∴是直径， ∵，， ∴， 即的直径为5． 故选：A． 【点睛】此题考查了圆周角定理的推论以及勾股定理．判断出是直径是解此题的关键． 3．如图，正方形中，点M，N分别为，上的动点，且，，交于点 E，点 F 为 的中点，点P为上一个动点，连接，．若，则 的最小值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】先根据得，进而可得，由此可得E点的运动轨迹在是以为直径的圆上．延长至使，得与F关于直线对称．连接交于P点，交圆O于E点，则，此时的值最小，根据勾股定理求出的长，即可得的最小值． 【详解】 ∵是正方形， ，， 又， ， ， 又， ， ， ∴E点在以为直径的圆上运动． 设的中点为O，则 ， 延长至使， 则与F关于直线对称， 连接交于P点，交圆O于E点， 则，， 此时P、E、F三点共线，因此的值最小． 在中，，， ， ， ∴的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题是一道动点问题和最值问题的综合性题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直径所对圆周角等于90度、轴对称的性质．找出E点的运动轨迹是解题的关键． 4．如图所示，为了验证某个机械零件的截面是个半圆，某同学用三角板放在了如下位置，通过实际操作可以得出结论，该机械零件的截面是半圆，其中蕴含的数学道理是_______． 【答案】的圆周角所对的弦是直径 【分析】本题考查圆周角定理，掌握“的圆周角所对的弦是直径”是正确解答的关键． 根据圆周角定理进行判断即可． 【详解】解：根据“的圆周角所对的弦是直径”即可得出答案， 故答案为：的圆周角所对的弦是直径． 5．如图，你能用三角尺确定一张圆形纸片的圆心吗？有几种方法？与同学交流一下． 【答案】 解：能 方法一：∵90度的圆周角所对的弦是直径， ∴把三角尺的直角顶点放在圆上，斜边就是直径所在的直线， ∴分别画两次直径，由此即可确定圆心； 如图所示，点O即为所求： 方法二：作圆的两条不平行的弦，然后作两条弦的垂直平分线，其交点即为圆心． 如图所示，点O即为所求： 【分析】根据90度的圆周角所对的弦是直径和垂径定理进行解答即可． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了垂径定理和90度的圆周角所对的弦是直径，解题的关键在于能够熟练掌握圆的相关知识进行求解． 巧构圆形图解决问题题型07 1．（24-25九年级上·广西防城港·质检）船在航行过程中，通常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图，点A，B表示两个灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”已知，要保证船D安全航行，则的度数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理先求出的度数，假设D点在优弧上时，，点需要在优弧外才能保证安全，因此需要满足小于时，船D才能安全通行即可得出结果． 【详解】解：为圆心，， ， 假设D点在优弧上时，， 点为触礁临界点，为危险角， 点需要在优弧外才能保证安全， 因此需要满足小于时，船D才能安全通行，选项D，满足题意， 故选：D． 2．如图，A，B为球门边框的两端点，直线，点E在线段的垂直平分线上．当运动员带球沿着运动时，射门角的变化情况是（    ） A．越来越大 B．越来越小 C．先越来越小再越来越大 D．先越来越大再越来越小 【答案】D 【分析】通过分析点在直线上运动时，射门角（圆周角）的变化情况，结合过、两点的圆与直线的位置关系来判断． 【详解】解：要判断射门角的变化情况，需利用圆周角与圆的位置关系分析： 作过、两点且与直线相切的圆，切点附近的点形成的圆周角最大． 当运动员从向运动时，逐渐靠近该切点，此时射门角越来越大； 当从向运动时，逐渐远离该切点，此时射门角越来越小． A、未考虑后半段的变化，不符合题意； B、与前半段变化不符，不符合题意； C、与实际变化趋势相反，不符合题意； D、符合上述分析，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的圆周角性质，解题关键是利用过定点的圆与直线的相切关系，分析圆周角（射门角）的变化趋势． 3．【问题提出】 （1）如图①，在中，为边的中点，画出关于点中心对称的图形（点的对应点记为）．若，求四边形周长的最大值． 【问题解决】 （2）如图②，某景区有一段笔直的湖域，有一处喷泉（点）在这个湖域中，景区在现有资金条件下，准备修建一条长150米的直通道，在通道的尽头处安装一个张角为的高清摄像头以观察游客的活动，要求喷泉恰好在摄像头观察到湖域的边界点，的正中间，求摄像头能观察区域的最大面积． 【答案】（1）；（2）平方米 【分析】（1）延长到点，使，连接，如图所示，由等边三角形的判定与性质得到，由圆周角定理及其推论，在中，结合含直角三角形性质及勾股定理得到，最后由中心对称性质得到答案； （2）延长到点，使米，连接，如图所示，得到四边形是平行四边形，进而得到，分析当点A与点重合时，的面积最大，得到，再由三角形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：（1）延长到点，使，连接，如图所示： ， ， 为等边三角形， ． 设三点共，连接并延长，交于点，连接，， ． 是的直径， ． 在中，，，则，由勾股定理可得， ． 由中心对称的性质得， ∴四边形ABCD周长的最大值为； （2）延长到点，使米，连接，如图所示： 则四边形是平行四边形， ． ， ， 设三点共连接． 米，， 米． 连接，则，延长交于点，连接，当点A与点重合时，的面积最大，此时米， 的最大面积为平方米， 摄像头能观察区域的最大面积为平方米． 【点睛】本题考查四边形综合，涉及等边三角形的判定与性质、圆周角定理及其推论、含的直角三角形性质、勾股定理、中心对称性质、平行四边形判定与性质、三角形的面积公式、动点最值问题等知识，熟练掌握相关几何性质及动点最值问题的解法是解决问题的关键． 与圆周角有关的综合证明题型08 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，为的直径，是的弦，的平分线交于点D，连接，； (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：在中， ∵是的平分线， ∴， ∴； (2)的长分别为8， 【分析】本题考查角平分线的定义，圆周角定理的推论，勾股定理等，综合应用这些知识点是解题关键． （1）根据角平分线的定义确定，根据圆周角定理及与弦之间的关系即可证明； （2）根据题意得出，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵是的直径， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，， 答：的长分别为8，． 2．如图，已知⊙O中，弦AB与CD相交于点P． 求证：PA•PB=PC•PD．    【答案】 解：连接AC、BD． ∵∠A＝∠D，∠C＝∠B， ∴△ACP∽△DBP， ∴， ∴PA•PB＝PC•PD．    【分析】连接AC、DB，根据同弧所对的圆周角相等，证出△ACP∽△DBP，然后根据相似三角形的性质得出结论． 【详解】略 【点睛】本题是通过相似三角形的性质来证明相交弦定理，关键是根据圆周角定理求出相等的角． 3．如图，是的直径，弦于点E，点P在上，． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴； (2)9 【分析】本题主要考查了勾股定理，同弧所对的圆周角相等，平行线的判定： （1）根据同圆中，同弧所对的圆周角相等可得，再由条件可得，然后可得； （2）设，则，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，连接， 设，则， 在中：由勾股定理得， 在中：由勾股定理得， ∴， 解得 ∴的半径为9． 4．已知，在中，设所对的圆周角为．求证： 证明；圆心O可能在的一边上，内部和外部（如图①、②和③）． 如图①，当圆心O在的一边上时． ∵， ∴， ∵， ∴，即 请你完成图②、图③的证明． 【答案】 图②证明：如图②所示，连接并延长交圆O于D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； 图③证明：如图③所示，延长交圆O于E， ∴， 由图①的证明可知， ∴． 【分析】图②证明：如图②所示，连接并延长交圆O于D，根据，得到，利用三角形外角的性质得到，由此证明即可； 图③证明：如图③所示，延长交圆O于E，由同弧所对的圆周角相等得到，再由图①的证明等量代换即可证明图③． 【详解】解：略． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等等等，熟知相关知识是解题的关键． 5．（24-25九年级上·重庆·月考）如图中，，，以为一边向上作，且． (1)如图1，若，，求的长． (2)如图2，点与的中点重合，点是上方一点且，连接．过点作于点，交于点，在上取点使得，连接、，延长交于点．写出、、的数量关系并证明． (3)如图3，是等边三角形，，点、分别是线段、上动点（不含端点）且，连接、交于点，将线段沿着某条直线折叠后得到线段，点恰好落在射线上，连接、．在、运动过程中，当为等腰三角形时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，证明见解 (3)的面积为或 【分析】（1）作，由题意可推出；设，则，；根据即可求解； （2）延长交于点，依题意得出四点共圆，得出是等边三角形，证明，得出，进而根据即，得出，即，即可得出结论； （3）依题意点在以为直径的圆上运动，半径为，根据是等边三角形，画出图形，得出在以为直径的圆上，证明，即可求解． 【详解】（1）解：作，如图所示： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得：， ∴ （2），证明如下， 如图所示，延长交于点， ∵，， ， ∵，， ∴四点共圆， ∴， 设， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴，则 ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， 又∵ ∴ 又∵ ∴是等边三角形， ∴， 在中， ∴ ∴， 在中，， ， 又∵ ∴ 在中， ∴ ∴， 又∵ ∴ 在中， ∴，即， ∵是等边三角形， ∴，即， ∴，即 ∴， （3）解：∵中，，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动，半径为， ∵是等边三角形， ∴，，则， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， 当时， ∵将线段沿着某条直线折叠后得到线段， ∴，则， ∴点为的中点， ∴， ∴ ∵ ∴是等边三角形， 则在以为直径的圆上 同理可得是等边三角形，则 ∴， ∴ ∴， 又∵是直径， ∴ ∴ ∴ 当时，如图所示，此时在的垂直平分线上，连接并延长交的垂直平分线于点，连接交于点，则即为的中点， 同上可得，则是等边三角形， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，同弧所对的圆周角相等，直角所对的弦是直径，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 圆周角·综合应用题型 1．如图，试列举出中的一条直径、两条半径、三条弦、三段弧、三个圆周角和三个圆心角． 【答案】直径：；半径：，；弦：，，；弧：，，；圆周角：，，；圆心角：，，（答案不唯一） 【详解】解：直径：； 半径：，，，，； 弦：，，，，； 弧：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，； 圆周角：，，，，； 圆心角：，，，，，，，，，． 2．（2025·广东云浮·一模）如图，是的直径，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据圆周角定理计算即可．掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：， ， ． 故选：A． 3．（2026·山西晋中·二模）如图，内接于，连接，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理可以求出，根据圆周角定理可以求出. 【详解】解：在中，， ，， ， ， ， ． 4．如图，是的外接圆，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同弧所对的圆心角与圆周角的关系结合等腰三角形求内角即可． 【详解】如图所示，连接， 易知， 又是等腰三角形，所以． 5．（2026·甘肃武威·模拟）如图，是的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，首先由直径求出，然后求出，最后利用同弧所对的圆周角相等求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．在中，，则外接圆的半径是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】直径所对的圆周角为，又知，所以所对的边为圆的直径．再用勾股定理求出所需的边长即可． 【详解】解：，，， ， ， 是外接圆的直径， 外接圆半径． 7．（2025·江苏盐城·一模）如图，是正方形的外接圆，若，则的半径是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，90度的圆周角所对的弦是直径，先根据正方形的性质和勾股定理求出的长，再由90度的圆周角所对的弦是直径得到是的直径，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴是的直径， ∴的半径为， 故选：A． 8．如图，中，弦，，，则直径的长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，由可知为直径，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，如图： ∵， ∴， ∴为直径， 由勾股定理可得：， 故选：A 【点睛】此题考查了圆的有关性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆的相关知识． 圆周角·创新性问题题型 1．如图，已知点，点B、C分别是直线，上的动点，以为直径作，则周长的最小值为__________． 【答案】## 【分析】由题意得点的运动轨迹是直线，作点关于这条直线的对称点，连接与直线的交点即是的周长最小值时的点，求出，再根据两点之间的距离公式即可求出此时，进而求解即可． 【详解】解：， ， 的周长为， 当取得最小值时，的周长最小． 为的直径， ， 点是直线上的动点，点是上的动点， 点的运动轨迹为． 过点作直线的对称点，可知点在直线上， 连接，交直线于点，连接，如图． 此时的最小值即为． 直线与直线相互平行，且， ， 点的坐标为 ∴ ∴周长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质、圆的性质、对称性，能够找到使最小时点的位置是解答本题的关键． 2．（25-26九年级上·学情自测）如图，在平面直角坐标系中，点，则∠ABC的大小为____；若坐标轴上存在点FF与C不重合），使得，则点F的坐标为_____． 【答案】 90 或或 【分析】由勾股定理及其逆定理可得；先说明点A、B、C、F四点共圆，然后分三种情况求解即可． 【详解】解：由题可得，，， ∴，， ∴， ∴为直角三角形，； ∵， ∴点A、B、C、F四点共圆， 如图：作的外接圆， ， 为直径，此时， 设的中点为K，则， ∵ ∴，即， 当点F在x轴上时，设， 则，解得或（与点B重合，舍去）， ； 当点F在y轴上时，设， 则， 解得或（与点C重合，舍去）， ； 当F不在圆上时，在点B右侧也有一点F满足题意，即，此时为等腰三角形， ． 综上，点F坐标为或或． 【点睛】正确画出图形并运用分类讨论思想是解题的关键． 3．如图，在边长为的等边三角形中，点是三角形内的一点，连接、、，且满足，点为内部的一个动点，连接、、，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查三角形，圆的知识，解题的关键是旋转， 将绕点C逆时针旋转得到，连接，为等边三角形， 有，从而，当点D、E、共线时取得最小值；由易得，则点D在以线段为弦，圆心为点O的圆弧上运动，则，当且仅当三点共线时取等号；连接，过O作于点M，在中，由勾股定理得求得，即可求得结果． 【详解】解：将绕点C逆时针旋转得到，连接， ∴， ∴； ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴, 当且仅当点D、E、共线时取等号， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴点D在以线段为弦，圆心为点O的圆弧上运动， ∴，当且仅当三点共线时取等号， ∵， ∴； 如图，连接，过O作于点M， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得：， 此时， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，一点到圆上点距离的最值等知识，利用旋转变换、构造辅助圆是解题的关键． 4．【问题初探】 （1）如图1，动点A在半径为2的上，若，求的最小值． 由于和都是定长，当点A、B，O形成三角形时，霖霖想到了“三角形两边之差小于第三边”，由此可知当点A在上时对应的就是B最小的情形请按照霖霖的思路完成求最小值的解题过程． 【类比分析】 （2）如图2，点E和F分别是边长为4的正方形边和上的两个动点，且，连接和交于点G，连接，求的最小值． 霖霖尝试着绘制了点E在不同位置的几张图，目测始终都是直角，于是联想到了“圆周角所对的弦是直径”，也就是说“点G是正方形内以为直径的圆弧上的点”，进而本题可以类比图1获解，清按照霖霖的思路完成求最小值的解题过程． 【学以致用】 （3）如图3，是两块等腰直角三角板，．当点D和E同时在边和上滑动时，点F也随之移动，若连接，则的最大值是____________． 【答案】（1）1；（2）；（3） 【分析】（1）连接和，，则当O、A、B三点共线时，则； （2）先证明，推导出，取中点O，连接和，根据勾股定理求得，由，得到当三点共线时，取得最小值，因此； （3）作的外接圆，连接，由圆周角定理得，可得，解直角三角形得到，，中，由勾股定理得：， 由，得，当点三点共线时，取得最大值， 故． 【详解】解：（1）如图，连接和， 则， ∴当O、A、B三点共线时，取得最小值， ∴； （2）∵四边形是正方形， ∴. ∵， ， 即， ∴， ， ， ， 如图，取中点O，连接和， 则， ， ∵， 即， 当三点共线时，取得最小值， ； （3）解：作的外接圆，连接， ∵， ∴，同理， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 同理可求在中，， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， 即， 当点三点共线时，取得最大值， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用三角形三角形三边关系求最值，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 5．【问题背景】已知是半圆O的直径，且，C是上的一动点． 【构建联系】（1）如图1，连接，求图中阴影部分面积之和的最小值S． 【深入探究】（2）如图2，将沿折叠，折叠后的弧与直径交于点D（点D不与点A，B重合），连接． ①若，求的度数； ②设，请求出y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围． 【答案】（1）（2）①② 【分析】本题考查圆的综合，解直角三角形，折叠的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）设，，根据可求出，利用求出，然后利用不等式的性质求解即可； （2）①设点D在上的对应点为，连接，利用三角形内角和定理求出，利用圆内接四边形的性质求出，利用折叠的性质求出，然后利用三角形内角和定理求解即可； ②记的中点为E，连接，求出，由题意得当点C在上时，折叠后的弧和直径有交点，可得，再分当点D在点O左侧和点D在点O右侧两种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）设，， ∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴，即， ∴， ∴ 即， ∴阴影部分面积和的最小值为； （2）①如图，设点D在弧上的对应点为，连接， ∵， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴； ②如图1，记的中点为E，连接， ∵点E是的中点，为半圆O的直径， ∴ 又， ∴ ∴ 由题意得当点C在上时，折叠后的弧和直径有交点， ∴， 又， 如图2，当点D与点O重合时，设D在上的对应点为，连接与交于点M， 由折叠的性质，得 在中，， ∴， ∵ ∴ ∴是等边三角形． ∴ 如图，当点D在点O左侧时，，过点C作于点F， ∴， 在中， 在中， ∴， ∴， ∴； 如图，当点D在点O右侧时，，过点C作于点G， 同理易证， ∴； 综上所述， 6．（2025·江苏宿迁·模拟）如图，G是正方形边上一动点，于点F，于点E， ，． (1)若，则 ； (2)当时，求的度数； (3)已知： ①若，求的长度； ②当点G从点B运动到点C，请直接写出线段扫过的面积． 【答案】(1)4 (2) (3)①2位9 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）证即可得解； （2）证得到，再由三线合一可得，所以，进而得解； （3）①设，，则 ， ，所以根据可得，在中利用勾股定理求出a和b值，进而再利用求解即可； ②由圆周角定理可知，点E的运动路径为，点F的运动路径为，进而可知扫过的区域为、、边围成的区域，由割补法可知． 【详解】（1）解：在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4； （2）解：在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）①设，，则，， ∴ ， ， 若，则， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 解得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得； ②∵， ∴点E在以为直径的圆上运动，点F在以为直径的圆上运动， 设两圆交于点O， ∵点G在上， ∴点E的运动路径为，点F的运动路径为， ∴扫过的区域为、、边围成的区域， 如图所示，连接， 则， 即线段扫过的面积为9． 7．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）已知是的外接圆，点是的中点． (1)如图1，连接交于点，过点作的垂线交延长线于点．设，，请用含的代数式表示； (2)如图2，过点作，交弦的延长线于点． ①求证：； ②若的半径为4，，求的值； (3)如图3，若是半圆，点是上的动点，且点，分别位于的两侧，作关于的轴对称图形，连接，试探究，，三者之间满足的数量关系，并证明所得到的结论． 【答案】(1) (2) ①证明：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； ② (3) ，证明如下； 如图3，作，使，连接， ∴是等腰直角三角形，， 由勾股定理得，， ∵是半圆， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 由轴对称的性质可知，， ∴， 由勾股定理得，，即． 【分析】（1）由点是的中点，可得，，则，，由，可得，则，根据，求解作答即可； （2）①由（1）可知，，则，由，，则，，进而可证； ②如图1，连接交于，连接，则，设，则，，由勾股定理得，，即；，即；可得，计算求解，进而可求的值； （3）如图2，作，使，连接，则是等腰直角三角形，，由勾股定理得，，由是半圆，可得，由（1）可知，，则，由，可得，证明，则，由轴对称的性质可知，，则，由勾股定理得，，即． 【详解】（1）解：∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴； （2）①略 ②解：如图2，连接交于，连接， 由（1）可知，，为的中点， ∵， ∴为的中点， ∴， 设，则，， 由勾股定理得，，即； ，即； ∴， 解得，， ∴的值为； （3）略 【点睛】本题考查了垂径定理，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，中位线，勾股定理，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，同弧所对的圆周角相等．熟练掌握这些知识是解题的关键． 8．如图1， 是等边三角形，点 D，点 E分别是，上的动点，且满足 ，连接，交于点H，以为直径作交于点F． (1)求证：． (2)如图 2，连接， ①若 求直径的长． ②若，当 时，用含λ的代数式表示a． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴，， 在中， ， ∴； (2)①；② 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到边长及角度，即可证明出两个三角形全等； （2）①根据三角形全等的性质得到对应角相等，再根据等边三角形的性质及三角形内角和定理得到各个角度，根据角度得到边长，最后根据勾股定理可求得结果；②先作辅助线，由①得到，根据边长之间的关系得到，结合直径所对的角为直角可得到边长之间的关系，即，最后根据三角形的面积相等求得结果． 【详解】（1）略 （2）解：①由（1）可得， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵是直径， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理可得：； ②作于点N， ， 由①得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、直径所对的圆周角为直角、三角形内角和、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质，利用数形结合，找到角度之间的关系以及边长之间的关系是解题的关键． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $