3.4 第1课时圆周角定理及其推论1-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(浙教版·新教材)

2十3.综上所述，线段FB的长为2-3或2或2+3. D B 0 F C A(F) (C)B ① ③ D B ③ (第2题) 3.4圆周角 第1课时圆周角定理及其推论1 1.B如图，连结OC.因为AC=BC,AB为⊙O的直径， 所以∠AOC=∠BOC= 是∠A0B=90.所以∠D 2∠A0C=459 (第1题) 2A因为∠A0D=50,所以∠ABD=号∠A0D=25 因为BA平分∠CBD,所以∠ABC=∠ABD=25°.因为 AB是⊙O的直径，所以∠C=90°.所以∠A=90° ∠ABC=90°-25°=65°. 3.10如图，连结FE.因为OE⊥OF,所以∠FOE=90° 所以FE为圆的直径.在Rt△FOE中，FE= √OF2+OE=√62+82=10. 0 E A (第3题) 4.(1)因为在⊙C中，OA是直径，所以∠ADO=90°，即 OD⊥AB.因为在⊙O中，OD⊥AB,所以AD=DB. (2)因为E0=AO=10,DE=4,所以OD=E0-DE= 10-4=6.在Rt△ADO中，由勾股定理，得AD= √AO-OD=√102-6=8.在Rt△ADE中，由勾股 定理，得AE=√AD+DE=√82+4F-4V5. 5.D如图，连结BC,OE.因为C是ACB的中点，所以 BC=AC.因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°.所以 ∠CBA=∠A=45°.因为AB=2DE,AB=2OE,所以 DE=OE.所以∠D=∠BOD.因为∠CB=∠BOD,所 以∠DCB=2∠D.因为∠CBA=∠D+∠DCB,所以 ∠D+2∠D=45°所以∠D=30 E B 0 (第5题) 6.√5如图，连结BC.因为ACLAB,所以∠CAB=90°. 所以BC是⊙O的直径.所以OA=OB=OC.在Rt△ABC 中，由勾股定理，得BC=√AC+AB2=√22+4=25， 所以OA=2BC=5. B (第6题) 7.8如图，连结AE.因为AD是⊙O的直径，所以 ∠AED=∠AEB=90°.所以点E在以AB为直径的⊙Q 上.连结QE,QC.因为AB=10,所以Q1-QB=AB= 5.又AC=12,所以在Rt△QAC中，QC=√QA+AC= √5+12z=13.因为QE+CE≥QC,即CE≥QC-QE 13-5=8,所以当点Q,E,C共线时，线段CE的长取得最 小值，为8. D (第7题) 8.(1)45.由题图可知，∠AOB=90°，则∠APB= ∠AOB=45 1 (2)如图，过点B作BC⊥PA于点C,则∠PCB=90°.因为 P是AMB的中点，所以PA=PB.所以PA=PB.由(1) 知，∠APB=45°，所以∠PBC=90°-45°=45°.所以 ∠APB=∠PBC.所以PC=BC.所以△PBC是等腰直角 31 三角形.设PC=BC=x,则易知PA=PB=√2x.所以 AC=PA-PC=(W2-1)x.因为AB2=AC+BC,AB= √JAO+B0=√？+1下=√2，所以2=[(W2-1)x]+ .所以2=22所以Sa=号PA·C=号。 2 x2=②+1 2 M (第8题) 9.(1)如图，连结BE.因为BC为半圆O的直径，所以 ∠BEC=90°.所以BE⊥AC.因为AB=BC,所以AE= CE.(2)如图，连结CD.因为BO=r,所以BC=2BO= 2r.所以AB=BC=2r.因为BC为半圆O的直径，所以 ∠BDC=90°.在Rt△BCD中，因为∠ABC=45°，所以 ∠BCD=45°.所以BD=CD.根据勾股定理，得BD2十 CD2=BC2,所以2BD=(2r)2.所以BD=√2.所以 AD=AB-BD=2r-√2r=(2-√2)r. 0 (第9题) 第2课时圆周角定理的推论2 1.B因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°.所以 ∠CAB+∠B=90°.因为∠CAB=40°，所以∠B=50°.所 以∠ADC=∠B=50°， 2.55°如图，连结BF,所以∠ABF=∠ADF=20°， ∠FBC=∠FEC=35°.所以∠ABC=∠ABF+∠FBC= 20°+35°=55°. D (第2题) 3.√2解法一：如图①，连结CD,则∠CDA=∠B=45, 因为AD是⊙O的直径，所以∠ACD=90°.所以∠CAD= ∠ADC=45°.所以AC=CD.在Rt△ACD中，由勾股定 理，得AC2+CD=AD,即2AC2=2,解得AC=√2（负 D 值舍去).解法二：如图②，连结O℃.因为∠B=45°，所以 ∠COA=2∠B=90°.因为直径AD=2,所以OA=OC= AD=1在R△A0C中，由勾殷定起，得AC √OA+OC=+1下=√2. C 0 D D ① ② (第3题) 4(1)因为AB=CD,所以AB=CD,即AC+BC-BC+ BD.所以BD=AC.所以∠A=∠D.所以AM=DM (2)∠E与∠DFE相等.理由：如图，连结AC.因为BE= BC,所以∠EAB=∠CAB.因为AB⊥CD,所以∠AMF= ∠AMC=90°.所以90°-∠EAB=90°-∠CAB,即 ∠AFC=∠ACF.因为∠ACF=∠E,∠AFC=∠DFE,所 以∠E=∠DFE. 0.F D (第4题) 5.C如图，连结OB,OC.因为BC∥AD,所以∠DBC= ∠ADB.所以CD=AB.所以∠COD=∠AOB,∠CAD= ∠BDA.因为DB⊥AC,所以∠AED=90°.所以∠CAD= ∠BDA=45.所以∠AOB=2∠ADB=90°，∠COD= 2∠CAD=90°.因为∠AOD=120°，所以∠BOC=360° ∠AOB-∠AOD-∠COD=360°-90°-120°-90°=60° 因为OB=OC,所以△OBC是等边三角形.所以BC=OB. 因为OA=OD,∠AOD=120°，所以∠OAD=∠ODA= 180-∠A0D)=专×(180-120)=30.所以 1 ∠CAO=∠CAD一∠OAD=45°一30°=15°.过点O作 OF LAD于点F,则AF=AD- 2.在Rt△OFA中， ∠OAF=30°，则OA=2OF.又由勾股定理，得OF2+ AP=0,所以0F+()=(20F,架得0e=月 27 (负值舍去).所以OA=1.所以BC=OB=OA=1.综上所 述，∠CAO=15°，BC=1. (第5题) 32第3章圆的基本性质 3.4圆周角 第1课时圆周角定理及其推论1 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.[2025山西中考]如图，AB为⊙O的直径，C,D是⊙O上位于AB异侧的两点，连结AD,CD.若 AC=BC,则∠D的度数为 () A.30° B.45° C.60° D.75 B 龙A (第1题) (第2题) (第3题) 2.[2024泰安中考]如图，AB是⊙O的直径，C,D是⊙O上的两点，BA平分∠CBD.若∠AOD= 50°，则∠A的度数为 () A.65 B.55 C.50° D.75 3.如图，小华同学设计了一个量直径的测量器，在点O处将标有刻度的尺子OA,OB钉在一起，并 使它们保持垂直.量直径时，把点O靠在圆周上，读得刻度OE为8个单位，OF为6个单位，则 圆的直径为 个单位 4.如图，OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D,连结OD并延长，交 ⊙O于点E,连结AE (1)求证：AD=DB, (2)若AO=10,DE=4,求AE的长 (第4题) 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.如图，AB是⊙O的直径，C是ACB的中点，点D在AB的延长线上，连结CD 交⊙O于点E.若AB=2DE,则∠D的度数为 D B A.20° B.22.5° C.25 D.30° (第5题) 47 拔尖特训·数学（浙教版）九年级全一册 6.如图，A,B,C是⊙O上的三个点，且CA⊥AB,连结OA.若CA=2,AB=4,则OA的长为 0 D ·0 E B (第6题) (第7题) 7.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=12,AB=10,D是线段AC上的一个动点，以AD为直径 的⊙O交BD于点E,连结CE,则线段CE长的最小值是 8.转化与化归思想如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中，A,B,O均是格，点（网格线 的交点)，OA为⊙O的半径，P是AMB的中点，连结AP,BP,AB. (1)∠APB=. (2)求△APB的面积. M (第8题) ]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维◆ 9.如图，在锐角三角形ABC中，AB=BC,以BC为直径作半圆O,分别交AB,AC于点D,E. (1)求证：AE=CE. (2)若∠ABC=45°，BO=r,求线段AD的长（用含r的式子表示）. 0 (第9题) 48 >“答案与解析”见D31