5.4.1二次函数与一元二次方程第1课时课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

北师大版【新教材】九年级数学上册 第五章 二次函数 授课教师： 5.4 二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程 1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会函数与方程之间的联系； 2.理解二次函数的图象与 x 轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。 3.能从“形”的角度理解一元二次方程，一元二次方程ax²+bx+c=m的根就是二次函数y=ax²+bx+c的图象与直线y=m的交点的横坐标，体会数形结合思想，发展几何直观。 【第一环节】创设情景，设疑激趣 温故知新 1. 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根的判别式 ∆ = ________。 b2－4ac 当 ∆ ＞ 0 时，方程根的情况是 _______________________。 有两个不相等的实数根 当 ∆ = 0 时，方程根的情况是 _______________________。 有两个相等的实数根 当 ∆ ＜ 0 时，方程根的情况是 _______________________。 没有实数根 2. 二次函数 y = ax2 + bx + c (a、b、c 是常数，且 a ≠ 0) 的图象是一条 ________ ，它与 x 轴的交点有几种可能的情况？ 抛物线 有两个交点 有一个交点 没有交点 【第一环节】创设情景，设疑激趣 问题导入 我们已经知道，竖直上抛物体的高度h（m）与运动时间t（s）的关系可以近似地用公式h=－5t2＋v0t＋h0表示,其中h0（m）是抛出时的高度，v0（m/s）是抛出时的速度。一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛出，小球离地面的高度h（m）与运动时间t（s）的关系如图所示。 （1）写出h与t之间的关系式。 （2）小球经过多少秒落地？ 你有几种求解方法？ 80 70 60 50 40 30 20 10 80 70 60 50 40 30 20 10 (1)写出h与t之间的关系式。 解：(1)根据题目给出的信息, 小球从地面被以40 m/s的速度竖直向上抛出, 这意味着抛出时的高度h0=0米,抛出时的速度v0=40 m/s. 根据公式h=-5t2+v0t+h0,我们可以将v0和h0 的值代入,得到:h=-5t2+40t; 【第一环节】创设情景，设疑激趣 80 70 60 50 40 30 20 10 (2)小球经过多少秒落地?你有几种求解方法? (2)方法一:观察图象,可直接得出小球与x轴的两交点为(0,0),(8,0),所以小球经过8秒落地. 方法二:小球落地时,高度h=0，即-5t2+40t=0, 解得t1=0,t2=8, 因此,小球落地的时间是8秒. 【第一环节】创设情景，设疑激趣 思 考 你能发现二次函数与一元二次方程之间的关系吗? 已知二次函数h＝－5t2＋40t 的值为0，求自变量 x 的值，可以看作解一元二次方程－5t2＋40t ＝0 . 反过来，解一元二次方程－5t2＋40t＝0又可以看作已知二次函数 y ＝ －5t2＋40t的值为0，求自变量x的值. 【第一环节】创设情景，设疑激趣 80 70 60 50 40 30 20 10 【第二环节】合作探究，获取新知 探究： 二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示. （1）每个图象与 x 轴有几个交点？ 抛物线y=x²+2x与x轴有两个交点 抛物线y=x²-2x+1与x轴有一个交点 抛物线y=x²-2x+2与x轴 没有交点 【第二环节】合作探究，获取新知 (2)一元二次方程x²+2x=0，x²-2x+1=0，x²-2x+2=0分别有几个实数根?用根的判别式验证一下。 y=x²+2x ①x²+2x=0，即x(x+2)=0， ∴x₁=0，x₂=-2， ∴方程有两个不相等的实数根。 用根的判别式验证：Δ=b²-4ac=2²-4×1×0=4>0， ∴方程有两个不相等的实数根。 抛物线与x轴有两个交点 (－2，0)，(0，0) 两个根 【第二环节】合作探究，获取新知 y=x²-2x+1 ②x²-2x+1=0，即(x-1)²=0， ∴x₁=x₂=1， ∴方程有两个相等的实数根。 用根的判别式验证：Δ=b²-4ac=(-2)²-4×1×1=0， ∴方程有两个相等的实数根。 抛物线与x轴有 一个公共点 (1，0) 有两个相同的根 【第二环节】合作探究，获取新知 y=x²-2x+2 ③x²-2x+2=0没有实数根。 用根的判别式验证：Δ=b²-4ac=(-2)²-4×1×2=-4<0， ∴方程没有实数根。 没有实根 抛物线与x轴没有公共点 (1，0) 【第二环节】合作探究，获取新知 (3)二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交点的坐标和一元二次方程ax²+bx+c=0 的根有什么关系? 若一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根， 则二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴有两个交点； 若一元二次方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根， 则二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴有一个交点； 若一元二次方程ax²+bx+c=0没有实数根， 则二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴没有交点。反之也成立。 【第二环节】合作探究，获取新知 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况: 有两个交点、有一个交点、没有交点. 与此相对应，一元二次方程ax2+bx+c=0的根也有三种情况： 有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，没有实数根. 当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根. 整理提炼 【第二环节】合作探究，获取新知 1.已知二次函数y=-x²+2x+m的部分图象如图所示， 则关于x的一元二次方程-x²+2x+m=0的解为 。 练一练： x₁=-1，x₂=3 y O x 1 3 2.一元二次方程 3 x2＋x－10=0的两个根是x1=－2 ， x2= ，那么二次函数 y= 3 x2＋x－10与x轴的交点 坐标是________ . (－2，0) ， ( ，0) 例：在本节一开始的上抛小球问题中，何时小球的高度是60m?你是如何知道的? 解:当h=60时,即-5t2+40t=60, 解得t1=2,t2=6, 所以当运动的时间为2 s或6 s时,小球运动的高度是60 m. h = －5t2 + 40t 【第三环节】运用新知，深化理解 分析： 可以利用图象， 也可以解方程-5t²+40t=60。 【第三环节】运用新知，深化理解 二次函数与一元二次方程的关系： 一般地，当二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的y取某一定值m时，求自变量x的值，可以解一元二次方程ax²+bx+c=m。 反过来，解方程ax²+bx+c=m又可以看作已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的值为m，求自变量x的值。 整理提炼 3 . 已知二次函数 y＝x2－6x＋10 的函数值为2，求自变量x的值，可以看作 解一元二次方程___________________. 反之，解一元二次方程 x2－6x＋8＝0， 又可以看作已知二次函数 ________________的函数值为0时自变量x的值. 解之，得________________. 练一练： x2－6x＋10＝2 y＝x2－6x+8 x1＝2，x2＝4 【第三环节】运用新知，深化理解 【第三环节】运用新知，深化理解 4.抛物线y＝－3x²－x＋4与坐标轴的交点个数是(　 　) A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 A 5.二次函数y=ax2-3x+2的图象与x轴有两个不同交点,则a可以是(　　) A.0　 　B.1　　 C.2　　 D.3 B 【第三环节】运用新知，深化理解 6.（教材练习）一个小球被从地面向上弹出，它的高度h(单位：m)可以用公式h=-4.9t²+19.6t来表示，其中t(单位：s)表示小球被弹出后经过的时间。 (1)画出函数h=-4.9t²+19.6t的图象。 (2)小球被弹出后1s时的高度是多少?2s时呢? 解：(1)图象如图所示。 (2)当t=1时， 当t=2时， 【第三环节】运用新知，深化理解 (3)方程-4.9t²+19.6t=0和方程-4.9t²+19.6t=14.7的根的实际意 义分别是什么?请结合图象说明。 解：(3)方程-4.9t²+19.6t=0的根表示小球离开 地面或落地的时间； 方程-4.9t²+19.6t=14.7的根表示小球被弹出后 距地面的高度是14.7m时所经过的时间。 【第四环节】师生互动，课堂小结 1.通过本节课的学习，你有哪些收获？ 2.你还有哪些困惑？ 【第四环节】师生互动，课堂小结 二次函数与一元二次方程 1.二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax²+bx+c=0的根 2.二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴的交点情况 有两个交点 ，有两个不相等的实数根 b²-4ac>0 b²-4ac=0 有一个交点，有两个相等的实数根 b²-4ac<0 没有交点，没有实数根 1.必做题：习题5.4第1，2，4，5题。 2.选作题： 习题5.4第6题。 3.同步练习题A组，B组 【第五环节】因材施教，分层作业 $