第十七章 因式分解 知识清单 2026-2027学年人教版数学八年级上册

第十七章　因式分解　知识清单 依据人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册（2024年版新教材）编写，供复习备考使用。 一、章知识概览 【学习内容】本章共两节：17.1用提公因式法分解因式；17.2用公式法分解因式。本章研究与整式乘法方向相反的变形——因式分解，学习提公因式法和公式法两种基本方法。 【考点地位】提公因式法、公式法（平方差、完全平方）因式分解是中考数与式的必考内容，是分式运算、解二次方程、二次函数等的重要工具。 【学习目标】①理解因式分解的意义，知道它与整式乘法是方向相反的变形；②理解公因式的概念，会用提公因式法分解因式；③会用平方差公式、完全平方公式进行因式分解；④能综合运用两种方法把多项式分解到不能再分解为止。 【知识结构图】一图速查本章全貌，下表按“章→节→核心知识点”三层呈现。 第十七章　因式分解 17.1　用提公因式法分解因式 因式分解：把多项式化成几个整式积的形式；与整式乘法互逆 公因式：各项的公共因式（系数最大公约、相同字母最低次幂） 提公因式法：提取公因式，写成公因式与另一因式的积 17.2　用公式法分解因式 平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b) 完全平方公式：a²±2ab+b²=(a±b)²；完全平方式 二、核心公式定理 【速查表】本章核心方法与公式集中列表如下，公式专业化显示，逐条对照教材。 名称 公式·定理·性质内容 说明与易错提示 因式分解的意义 把一个多项式化成几个整式的积的形式 与整式乘法方向相反；结果必须是“积” 公因式 各项系数的最大公约数，与各项都含有的相同字母的最低次幂的积 取系数最大公约数；相同字母取最低次幂 提公因式法 把公因式提取出来，写成公因式与另一因式的积 提出公因式后括号内项数与原多项式相同，勿漏项 平方差公式法 适用两数平方差的形式；先写成( )²-( )² 完全平方公式法 必须是完全平方式；中间项是积的2倍 三、考点知识梳理 （一）17.1　用提公因式法分解因式 【因式分解的意义】把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解。因式分解与整式乘法是方向相反的变形。如pa＋pb＋pc因式分解得p(a＋b＋c)，而p(a＋b＋c)整式乘法得pa＋pb＋pc。 【公因式与提公因式法】多项式各项都有的公共因式叫这个多项式各项的公因式。如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积，这种方法叫提公因式法。找公因式时，系数取各项系数的最大公约数，相同字母取它的最低次幂。 （二）17.2　用公式法分解因式 【平方差公式法】把乘法平方差公式等号两边互换：，即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。运用它可把形如平方差的多项式分解因式。 【完全平方公式法】a²±2ab＋b²这样的式子叫完全平方式。把乘法完全平方公式等号两边互换：，。运用公式把多项式分解因式的方法叫公式法。 四、重点知识记忆方法 【记忆口诀】因式分解：多项式变整式积，方向相反乘与分。提公因式：系数最大公约，字母最低次幂，提完括号不丢项。公式法：平方差，两数和乘两数差；完全平方首平方尾平方，二倍乘积在中央。 【对比记忆】两种因式分解方法对比如下表。 方法 适用多项式的特征 结果形式 提公因式法 各项有公共因式 公因式×另一多项式 平方差公式法 两项，符号相反，均为平方形式 (和)(差) 完全平方公式法 三项，两平方项同号＋两倍积 (和)²或(差)² 【易混对比】因式分解是“和→积”，整式乘法是“积→和”，二者互为逆变形，判断时看结果是不是几个整式的积。 五、解题方法总结 题型1　判断是否为因式分解 【解题方法】①看结果是不是几个整式的积；②左边是和（差）、右边是积才是因式分解；③右边仍是和（差）或含有加减项的不是。 【数学思想】转化思想：区分“积化和”与“和化积”两个相反方向。 题型2　用提公因式法分解因式 【解题方法】①找公因式：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂；②一次性提尽；③括号内项数与原多项式相同，注意单独成项时提出后剩下1，不能漏掉。 【数学思想】整体思想：把(x＋y)等整体看作公因式提出。 题型3　用公式法分解因式 【解题方法】①先观察多项式特征：两项异号平方用平方差；三项且符合完全平方用完全平方；②先写成( )²－( )²或a²±2ab＋b²的标准形式再套公式。 【典型例题指引】例：4x²－9＝(2x)²－3²＝(2x＋3)(2x－3)。 题型4　综合分解（先提公因式再用公式） 【解题方法】①有公因式先提公因式；②提完后看剩余部分能否再用公式；③一直分解到每个因式都不能再分解为止。 【数学思想】转化思想、程序化思想：按“先提公因式、再用公式、分解彻底”的顺序操作。 题型5　利用因式分解简化计算 【解题方法】①观察算式结构，逆用分配律或乘法公式；②如a²＋ab＝a(a＋b)，99²＋99＝99(99＋1)。 【数学思想】整体思想、转化思想：把数的运算转化为便于口算的形式。 六、易错点清单 【清单】逐条对照教材与常见易错情形，复习时先自查再对照下表。 常见易错点 正确做法 混淆因式分解与整式乘法 因式分解结果是“几个整式的积”；整式乘法结果是多项式的和（差） 提公因式后漏掉某一项，如3x²－6x写成3x(x－6) 提出公因式后括号内项数与原多项式相同：3x²－6x＝3x(x－2) 某项全部提出后，括号内该项忘了写1 如x²＋x＝x(x＋1)，最后括号内必须保留1 公因式找不全（字母指数取高次） 相同字母取最低次幂，系数取最大公约数 平方差公式写错符号或顺序 a²－b²＝(a＋b)(a－b)，两项必须符号相反 完全平方公式漏中间项或符号错 a²±2ab＋b²＝(a±b)²，中间项2ab及符号不能漏 分解不彻底，括号内还能继续分解 要分解到每个因式都不能再分解为止 七、高频考点速记 ①把多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，它与整式乘法方向相反。 ②公因式系数取各项系数的最大公约数，相同字母取最低次幂。 ③提公因式后，括号内项数与原多项式相同，不能漏项。 ④平方差公式：a²－b²＝(a＋b)(a－b)。 ⑤完全平方公式：a²±2ab＋b²＝(a±b)²。 ⑥分解顺序：先提公因式，再用公式。 ⑦一定要分解到每个因式都不能再分解为止。 ⑧x²＋mx＋9是完全平方式时，m＝±6。 八、学情自测 （一）选择题（每题2分，共5题） 1．因式分解：（     ） A． B． C． D． 2．分解因式：（     ） A． B． C． D． 3．若，其中，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知，，则的值为（     ） A．6 B．8 C．12 D．18 5．下列从左到右的变形，是因式分解的是（　　）。 A．（x＋2）（x－2）＝　　B． C．　　D． （二）填空题（每空2分，共5题） 1．如图，现有边长为a的正方形1个、边长为b的正方形3个、边长为（a，b）（a＞b）的长方形4个，把它们拼成一个大长方形，请利用拼图中图形的面积关系分解因式：a²+4ab+3b²=______________． 2．因式分解：________________． 3．因式分解：________ 4．若，则代数式的值为_________． 5．老师布置了一个任务：对于非零实数，，满足，探讨的值．小光解得，但同桌认为小光的推理有问题．请你写出一组非零实数，，使原等式成立，但．如：___________． （三）解答题（每题8分，共2题） 1．解答下列各题： (1)初步探究：能被67整除吗？请你说明理由． (2)迁移应用：当为大于1的整数时，请说明能否被三个连续的整数整除？ 2．分解因式：（1）；　（2）。 九、参考答案 【选择题】 1．【答案】A 解题步骤： ①2a²−3a，公因式为a，提取得a(2a−3)； ②对照选项选A． 【知识点睛】提公因式法：系数取最大公约数、相同字母取最低次幂作为公因式，提出后括号内项数不变。 2．【答案】B 解题步骤： ①x²−64=x²−8²，是两数平方差； ②用平方差公式得(x+8)(x−8)，选B． 【知识点睛】平方差公式法：a²−b²=(a+b)(a−b)，先写成( )²−( )²的形式再套公式。 3．【答案】B 解题步骤： ①(x+4)²−1=(x+4+1)(x+4−1)=(x+5)(x+3)=x²+8x+15； ②对比(x+m)(x+n)，因m>n，得m=5、n=3，m−n=2，选B． 【知识点睛】先用平方差公式分解成两因式之积，再对照系数；m>n条件用来确定两个常数的归属。 4．【答案】D 解题步骤： ①9a(a+b)−6c(a+b)=(a+b)(9a−6c)=3(a+b)(3a−2c)； ②代入a+b=3、3a−2c=2，原式=3×3×2=18，选D． 【知识点睛】提公因式后整体代入：把(a+b)、(3a−2c)分别看作整体，整体求值更简便。 5．【答案】B 解题步骤： ①因式分解的结果必须是几个整式的积； ②A、D右边是和的形式，C右边还含+3x不是纯积，只有B右边是积，选B． 【知识点睛】因式分解与整式乘法互逆，结果必须是“几个整式的积”，右边不能再有加减项。 【填空题】 1．【答案】(a+b)(a+3b) 解题步骤： ①拼成的大长方形长为a+3b、宽为a+b，其面积＝(a+3b)(a+b)； ②拼图总面积＝a²+4ab+3b²（1个a²正方形、3个b²正方形、4个a×b长方形），故a²+4ab+3b²＝(a+b)(a+3b)． 【知识点睛】拼图面积法分解因式：把图形按“边长a的正方形、边长b的正方形、a×b长方形”计数，总面积＝各部分面积之和＝拼成大长方形的长×宽，由此写出因式分解的结果。 2．【答案】5ab(a＋2b) 解题步骤： ①系数最大公约数为5，相同字母a、b取最低次幂，公因式为5ab； ②=5ab(a+2b)． 【知识点睛】公因式＝系数最大公约数×相同字母最低次幂；提出后括号内补出余下各项，勿漏项。 3．【答案】(t＋5)(t－5) 解题步骤： ①t²−25=t²−5²，是两数平方差； ②用平方差公式=(t+5)(t−5)． 【知识点睛】平方差公式法：a²−b²=(a+b)(a−b)，两平方项符号必须相反，分解到不能再分。 4．【答案】9 解题步骤： ①m²+2mn+n²=(m+n)²（完全平方公式逆用）； ②由m=3−n得m+n=3，原式=3²=9． 【知识点睛】完全平方公式逆用a²+2ab+b²=(a+b)²，再由已知条件整体求出a+b后代入。 5．【答案】如a＝1，b＝－1（答案不唯一） 解题步骤： ①由a²−a=b²+b移项得(a²−b²)−(a+b)=0，即(a+b)(a−b−1)=0； ②故a+b=0或a−b=1；要使a−b≠1，取a+b=0，如a=1、b=−1（均不为0）． 【知识点睛】移项后用平方差公式分组分解，再讨论各因式为0的两种情况；举反例时须回代验证原等式成立。 【解答题】 1．【答案】(1)能被67整除；(2)能被三个连续整数整除 解题步骤： ①(1)66³−66=66(66²−1)=66(66−1)(66+1)=66×65×67，积中含因数67，故能被67整除； ②(2)n³−n=n(n²−1)=n(n−1)(n+1)=(n−1)n(n+1)，是三个连续整数的积，故能被三个连续整数整除． 【知识点睛】把原式因式分解成几个因数（式）的积，积中含某数（式）的倍数即能被其整除；n³−n恒为三个连续整数之积。 2．【答案】(1)3ab(a−2b)；(2)(x+y)(x+y−4) 解题步骤： ①(1)3a²b−6ab²，公因式为3ab，提取得3ab(a−2b)； ②(2)(x+y)²−4(x+y)，把(x+y)看作整体提公因式=(x+y)[(x+y)−4]=(x+y)(x+y−4)． 【知识点睛】分解顺序：先提公因式再用公式；把(x+y)看作整体提公因式，分解到每个因式不能再分为止。 学科网（北京）股份有限公司 $