18.1 分式及其基本性质-导学案--2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“分式及其基本性质”，通过轮船航行、几何图形等实际问题情境导入，引导学生从分数过渡到分式，建立新旧知识联系，构建“概念理解—意义条件—性质应用”的学习支架。 以情境问题激发探究欲，类比分数学习分式基本性质及约分通分，培养抽象能力与推理意识，分层练习与检测设计助力学生掌握知识，提升用数学语言表达和解决问题的应用意识。

18.1 分式及其基本性质 一、从分数到分式 思考 1.一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大船速沿江顺流航行90km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用的时间相等，江水的流速是多少？ 如果设江水的流速为 v km/h，则轮船顺流航行90km所用时间为_________h，逆流航行60km所用时间为_________h，由方程_________________可以解出 v 的值. 2.填空： (1)长方形的面积为10cm2，长为7cm，则宽为____cm；长方形的面积为S，长为a，宽应为______. (2)把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱形容器中，则水面高度为______cm；把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，则水面高度为_____. 分式 式子，，，，，，，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？ 可以发现，这些式子与分数一样都是(即A÷B)的形式. 分数的分子 A 与分母 B 都是整数，而这些式子中的 A， B 都是整式，并且 B 中都含有字母. · 一般地，如果 A，B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子叫做分式. 分式中，A 叫做分子，B 叫做分母. (1)分式是不同于整式的另一类式子. (2)分母中含有字母是分式的一大特点. (3)分式比分数更具有一般性. 例如，分数仅表示2÷3的商，而分式既可以表示2÷3，又可以表示(-5)÷2，8÷(-9)等. 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ 5x-7，3x2-1，，，-5，，， 整式 整式 分式 整式 整式 分式 整式 分式 · 整式与分式的区别：整式的分母中不含字母，而分式的分母中含有字母. 有理式：整式和分式统称为有理式. 有理式 思考：要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？ · 分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当 B≠0时，分式才有意义. 例1 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？ (1) (2) (3) (4) 解：(1)要使分式有意义，则分母3x≠0，即x≠0； (2)要使分式有意义，则分母x-1≠0，即x≠1； (3)要使分式有意义，则分母5-3b≠0，即b≠； (4)要使分式有意义，则分母x-y≠0，即x≠y. 练习1 1.列式表示下列各量： (1)某村有 n 个人，耕地 40 hm2，人均耕地面积为___hm2. (2)△ABC的面积为 S ，BC边长为 a ，则高AD为____. (3)一辆汽车 b h行驶 a km，则它的平均车速为____km/h.一列火车行驶 a km比这辆汽车少用 1 h，则它的平均车速为______km/h. 2.下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？ (1) (2) (3) (4) (3) (4) 作业1 1．有理式①，②，③，④中，是分式的有（ ）． A．①② B．③④ C．①③ D．①②③④ 2．使分式无意义，x的取值是（ ）． A．0 B．1 C． D．±1 3．使分式有意义的a的取值应是（ ）． A．任意实数 B． C． D．或1 4．当x=2时，下列各式的值为0的是（ ）． A． B． C． D． 5．当x______时，分式无意义． 6．分式，当x_______时，分式有意义；当x_______时，分式的值为零． 7．甲种水果每千克价格a元，乙种水果每千克价格b元，取甲种水果m千克，乙种水果n千克，混合后，平均每千克价格是_________． 8．下列分式，当x取何值时有意义． （1）； （2）． 二、分式的基本性质 (1) 的依据是什么？ 分数的基本性质：一个分数的分子、分母乘(或除以)同一个不为0的数，分数的值不变. (2)由分数的基本性质可知，如果数c≠0，那么，. 一般地，对于任意一个分数，有，(c≠0)，其中a，b，c是数. 思考 类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？ 分式的基本性质： · 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变. · ，(C≠0)其中A，B，C是整式. 例2 填空： (1) ，； (2) ，(b≠0). 看分母如何变化，想分子如何变化. 看分子如何变化，想分母如何变化. 解：(1) ， (2) ， 练习2： 1．下列等式： ①；②；③；④中，成立的是（ ）．A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 2．把分式中的x，y同时扩大3倍，那么分式的值（ ）． A．扩大3倍 B．缩小 C．扩大9倍 D．不变 3．等式中的未知的分母是（ ） A．a2＋1 B．a2＋a＋1 C．a2＋2a＋1 D．a－1 与分数的约分类似，在例2(1)中，我们利用分式的基本性质，约去的分子和分母的公因式3x，不改变分式的值，把化为. 像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分. 经过约分后的分式，其分子与分母没有公因式. 像这样分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使得结果成为最简分式或者整式. 例3 约分： (1) (2) (3) 分析：为约分，要先找出分子和分母的公因式. 解：(1) (2) (如果分子或分母是多项式，先分解因式对约分有什么作用？) (3) 与分数的通分类似，在例2(2)中，我们利用分式的基本性质，将分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把和化成分母相同的分式. 像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分. 例4 通分： (1) 与 (2) 与 分析：为通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母. 解：(1) 最简公分母是_______. ， (2) 最简公分母是__________. ， 思考 分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是什么？ 它们的共同点： 1.分子和分母同乘(或除以)的都是同一个数或整式； 2.并且同乘(或除以)不能是0. 根据： 分数的通分和约分根据的是分数的基本性质； 分式的通分和约分根据的是分式的基本性质. 练习3 1.约分： (1) (2) (3) (4) 2.通分： (1) 与 (2) 与 (3) 与 (4) 与 作业2 1．分式化简后的结果是（ ）． A． B． C． D． 2．下列分式可以约分的是（ ）． A． B． C． D． 3．分式，，的最简公分母是（ ）． A． B． C． D． 4．若，则的值等于________． 5．已知－＝4，则的值等于________． 6．分式，，的最简公分母是________． 7．先约分，再求值：，其中a＝2016，b＝2015． 检测 1．分式中是最简分式的有（ ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列各题中，所求的最简公分母，错误的是（ ）． A．与的最简公分母是6x2 B．与的最简公分母是3a2b3c C．与的最简公分母是m2－n2 D．与的最简公分母是ab（x－y）（y－x） 3．如果x＜y＜0，那么化简的结果为（ ）． A．0 B．－2 C．2 D．3 4．将分式的分子与分母中各项系数化为整数，则＝__________． 5．约分：（1）； （2）． 6．已知，求的值． 答案： 练习1 2、解：(1)当分母a≠0时，分式有意义； (2)当分母x-1≠0，即x≠1时，分式有意义； (3)当分母3m+2≠0，即m≠- 时，分式有意义； (4)当分母x-y≠0，即x≠y时，分式有意义； (5)当分母3a-b≠0，即b≠3a时，分式有意义； (6)当分母x2-1≠0，即x≠±1时，分式有意义. 作业1 1．C．2．D．3．B．4．C．5．．6．，．7．． 8．（1）由，得．（2）由，得． 练习2 A D D 练习3 1、解：(1)原式= (2)原式= (3) 原式= (4) 原式= 2、解：(1)最简公分母是abc.，. (2)最简公分母是4b2d. ，. (3)最简公分母是ab(x+2). ，. (4)最简公分母是(x+y)2(x-y). ，. 作业2 1．C． 2．C． 3．B． 4．． 5．6． 6．． 7．对变形，得．约分，得． 将a＝2016，b＝2015代入，得． 检测 1．C．2．D．3．A．因为x＜y＜0，所以＝0，故选A． 4．．． 5．解：（1）． （2）＝x－2． 6．解法一：由，得x＝3y． ． 解法二：整体代入法． ． 学科网（北京）股份有限公司 $