第十八章 分式 知识清单 2026-2027学年人教版数学八年级上册

第十八章　分式　知识清单 依据人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册（2024年版新教材）编写，供复习备考使用。 一、章知识概览 【学习内容】本章共五节：18.1分式及其基本性质；18.2分式的乘法与除法；18.3分式的加法与减法；18.4整数指数幂；18.5分式方程。本章类比分数研究分式，学习分式的运算与分式方程的解法。 【考点地位】分式有意义的条件、分式运算、分式方程及其应用是中考数与式与方程的必考内容，与后续二次根式、函数、反比例函数密切相关。 【学习目标】①理解分式的概念，掌握分式有意义、值为0的条件；②掌握分式的基本性质，能进行约分与通分；③掌握分式的乘除、加减运算法则；④理解负整数指数幂，会用科学记数法表示绝对值较小的数；⑤会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验增根，能列分式方程解应用题。 【知识结构图】一图速查本章全貌，下表按“章→节→核心知识点”三层呈现。 第十八章　分式 18.1　分式及其基本性质 分式：，B含字母；有意义B≠0；值为0：分子=0且分母≠0 基本性质；约分、最简分式；通分、最简公分母 18.2　分式的乘法与除法 乘法：分子乘分子、分母乘分母；除法：颠倒除式再相乘 分式乘方：分子分母分别乘方 18.3　分式的加法与减法 同分母：分母不变分子相加减；异分母：先通分再加减 混合运算：先乘方，再乘除，然后加减 18.4　整数指数幂 负整数指数幂：a⁻ⁿ=；科学记数法a×10⁻ⁿ 18.5　分式方程 去分母化为整式方程；必须检验，使最简公分母为0的是增根 二、核心公式定理 【速查表】本章核心法则、公式集中列表如下，分数专业化显示，逐条对照教材。 名称 公式·定理·性质内容 说明与易错提示 分式的概念 A、B为整式且B中含字母；分母B≠0分式才有意义 分式值为0 分子等于0且分母不等于0 只看分子为0会出错，必须同时保证分母≠0 基本性质 分子分母同乘（除以）同一个不等于0的整式，值不变 约分、通分的依据 乘法法则 分子的积作分子，分母的积作分母 除法法则 除式分子分母颠倒后再相乘 乘方法则 把分子、分母分别乘方 同分母加减 分母不变，分子相加减 异分母加减 先通分化为同分母，再加减 负整数指数幂 a⁻ⁿ是aⁿ的倒数 三、考点知识梳理 （一）18.1　分式及其基本性质 【分式的概念】如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫作分式。A叫作分子，B叫作分母。分母等于0时，分式没有意义；分母不等于0时，分式才有意义。当分子等于0而分母不等于0时，分式的值为0。 【基本性质】分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。运用它可以约分（把分子分母的公因式约去，得到最简分式）和通分（把异分母分式化成同分母分式）；通分时一般取各分母所有因式的最高次幂的积作最简公分母。 （二）18.2　分式的乘法与除法 【乘法法则】分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母：。 【除法法则】分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘：。分式乘方要把分子、分母分别乘方：。 （三）18.3　分式的加法与减法 【加减法则】同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减：；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减：。分式混合运算时，先乘方，再乘除，然后加减。 （四）18.4　整数指数幂 【负整数指数幂】当n是正整数且a≠0时，，即a⁻ⁿ是aⁿ的倒数。正整数指数幂的运算性质对整数指数幂仍然适用。绝对值小于1的正数可用科学记数法表示为a×10⁻ⁿ（1≤a＜10，n为正整数），如0.0000257＝2.57×10⁻⁵。 （五）18.5　分式方程 【分式方程及其解法】分母中含未知数的方程叫作分式方程。解分式方程的一般步骤：①方程两边乘最简公分母，去分母化为整式方程；②解这个整式方程；③检验——把整式方程的解代入最简公分母，若它不等于0，则是原分式方程的解，否则不是（这个使最简公分母为0的根叫增根，必须舍去）。 四、重点知识记忆方法 【记忆口诀】分式有意义：分母不为零，分子零可值为零。乘除：乘法分子分母分别乘，除法颠倒再相乘。加减：同分母，分子加减分母留；异分母，先通分来后相加减。分式方程：去分母，化整式，解完必检防增根。 【对比记忆】分式与分数对比如下表。 项目 分数 分式 有意义条件 分母不为0 分母不为0 值为0条件 分子为0且分母不为0 分子为0且分母不为0 基本性质 同乘同除非零数，值不变 同乘同除非零整式，值不变 运算思路 通分、约分 通分、约分 【易混对比】分式值为0必须同时满足“分子为0且分母不为0”，只令分子为0是常见错误；解分式方程必须检验，这是与解整式方程的最大区别。 五、解题方法总结 题型1　分式有意义、值为0的条件 【解题方法】①有意义：令分母≠0，解出x；②值为0：先令分子＝0求x，再代入检验分母≠0，把使分母为0的值舍去。 【数学思想】方程思想、分类讨论思想：分别讨论分子为0、分母不为0两种情形。 题型2　分式的乘除运算 【解题方法】①分子、分母能分解因式的先分解；②除法统一化为乘法（颠倒除式）；③约去公因式再相乘，结果化为最简分式。 【数学思想】转化思想、程序化思想：把除法转化为乘法，把多项式因式分解后约分。 题型3　分式的加减运算 【解题方法】①同分母直接分子加减；②异分母先找最简公分母通分；③分子相加减时注意添括号，结果要约成最简分式。 【典型例题指引】例：－＝＝。 题型4　整数指数幂与科学记数法 【解题方法】①负指数化正指数：a⁻ⁿ＝；②小于1的数写成a×10⁻ⁿ，n等于第一个非零数字前所有0的个数。 【数学思想】转化思想：把负整数指数幂转化为正整数指数幂的倒数。 题型5　解分式方程及应用 【解题方法】①两边乘最简公分母去分母；②解整式方程；③代入最简公分母检验，为0的是增根舍去；④列方程解应用题时，既要检验是否为根，又要检验是否符合实际意义。 【数学思想】转化思想、方程思想：把分式方程转化为整式方程求解。 六、易错点清单 【清单】逐条对照教材与常见易错情形，复习时先自查再对照下表。 常见易错点 正确做法 求分式值为0时只令分子为0，忽略分母 值为0必须分子＝0且分母≠0，要把使分母为0的值舍去 去分母时漏乘不含分母的项 方程两边每一项都要乘最简公分母，常数项也要乘 解分式方程后不检验 必须把解代入最简公分母检验，为0的是增根，舍去 异分母相加减时分子直接相加减而不通分 异分母先通分成同分母，再按同分母法则加减 分式通分后忘记变号或漏添括号 分子是多项式相加减时要添括号 负指数幂写成负数，如a⁻²＝-a² a⁻²＝，是正指数幂的倒数，不是相反数 科学记数法指数n数错 n等于第一个非零数字前所有0的个数（含小数点前的0） 七、高频考点速记 ①分母中含有字母的式子叫分式；分母≠0分式才有意义。 ②分式值为0：分子为0且分母不为0。 ③分式基本性质：分子分母同乘（除以）同一个不等于0的整式，值不变。 ④分式乘法：分子乘分子、分母乘分母；除法：颠倒除式再相乘。 ⑤同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母先通分。 ⑥负整数指数幂：a⁻ⁿ＝（a≠0）。 ⑦绝对值小于1的数用科学记数法：a×10⁻ⁿ（1≤a＜10）。 ⑧解分式方程必须检验，使最简公分母为0的根是增根，舍去。 八、学情自测 （一）选择题（每题2分，共5题） 1．使分式有意义的的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．若、均不为，将下列分式中的和都变为原来的倍，分式值保持不变的是（     ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 4．方程的解是（   ） A． B． C． D． 5．津潍高铁2027年通车后，东营正式融入首都“2小时经济圈”．由东营南站到北京南站，高铁线路总长约，自驾线路总长约，预计乘坐高铁比自驾少用．已知高铁列车的平均速度约是自驾平均速度的3倍．设自驾的平均速度为，依题意所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． （二）填空题（每空2分，共5题） 1．按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是_____． 2．化简：____________． 3．分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 4．计算：______． 5．我国智能制造蓬勃发展，某工厂引进A，B两种型号智能机器来加工某种零件．已知A每小时比B多加工50个零件，A加工1640个零件所用时间与B加工1230个零件所用时间相等，求A，B每小时各加工多少个零件．设B每小时加工个零件，可列分式方程为__________________． （三）解答题（每题8分，共2题） 1．先化简，再求值：，其中． 2．先化简，再求值：，其中． 九、参考答案 【选择题】 1．【答案】C 解题步骤： ①分式有意义需分母不为0，即x−1≠0； ②∴x≠1，选C． 【知识点睛】分式有意义的条件是分母不为0；求取值范围时令分母不等于0解不等式。 2．【答案】A 解题步骤： ①把a、b都换成2a、2b逐项检验； ②A．=，分式值不变，选A． 【知识点睛】分式基本性质：分子分母同乘同一个非零整式，分式值不变；分子分母各项次数一致时整体倍乘才不变。 3．【答案】D 解题步骤： ①同分母分式相减，分母不变分子相减：； ②===x−2，选D． 【知识点睛】同分母分式加减：分母不变分子相加减；分子是多项式要添括号，最后约分。 4．【答案】D 解题步骤： ①方程两边同乘x：x+1=2x； ②解得x=1，检验x=1时分母x≠0，是原方程的解，选D． 【知识点睛】解分式方程去分母化为整式方程后必须检验，使最简公分母为0的是增根要舍去。 5．【答案】A 解题步骤： ①自驾时间，高铁时间； ②高铁比自驾少用2.8h，即自驾时间−高铁时间=2.8，得−=2.8，选A． 【知识点睛】分式方程应用题：时间=路程÷速度，按时间差列等量关系；高铁速度是自驾的3倍。 【填空题】 1．【答案】1 解题步骤： ①若输入x＞0，程序走“是”分支计算：2＝＋1，解得x＝1，且1＞0符合判断条件； ②若输入x≤0，程序走“否”分支：2＝2x－1，解得x＝1.5，但1.5＞0与x≤0矛盾，舍去；故输入x的值是1． 【知识点睛】程序框图题：按“是/否”分支分别列方程求解，解必须回代检验是否满足该分支对应的判断条件；解分式方程注意验根。 2．【答案】1 解题步骤： ①同分母分式相减：=； ②=1． 【知识点睛】同分母分式相减，分子相减时注意给多项式添括号，结果约分成最简分式。 3．【答案】不等于0 解题步骤： ①分式基本性质：分子分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变； ②故填“不等于0”． 【知识点睛】分式基本性质是约分、通分的依据；同乘同除的整式必须不为0。 4．【答案】1 解题步骤： ①同分母分式相加：； ②=1． 【知识点睛】同分母分式相加，分母不变分子相加；分子与分母相等时结果为1。 5．【答案】= 解题步骤： ①设B每小时加工x个，则A每小时加工(x+50)个； ②A加工1640个用时，B加工1230个用时，二者时间相等； ③列方程=． 【知识点睛】分式方程应用题：工作时间=工作量÷工作效率，按“时间相等”列等量关系，解后必须检验。 【解答题】 1．【答案】化简得，当x=2时值为− 解题步骤： ①原式= ÷ · ； ②=··=； ③当x=2时，原式==−． 【知识点睛】分式混合运算先分解因式、约分，除法变乘法，化到最简再代入；注意1−x与x−1互为相反数。 2．【答案】化简得，当x=30时值为 解题步骤： ①原式=[+1]÷=·； ②约分=； ③当x=30时，原式==． 【知识点睛】先把括号内通分、把4x²−4x+1因式分解为(2x−1)²，再约分，化到最简分式后再代入求值。 学科网（北京）股份有限公司 $