第十三章 三角形 知识清单 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第十三章　三角形　知识清单 依据人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册（2024年版新教材）编写，供复习备考使用。 一、章知识概览 【学习内容】本章共三节：13.1三角形的概念；13.2与三角形有关的线段（三角形的边、中线、角平分线、高）；13.3三角形的内角与外角。本章在小学认识三角形的基础上，系统研究三角形的边、角关系，并学习几何推理证明的基本方法。 【考点地位】三角形的三边关系、内角和定理、外角性质、三种重要线段是中考必考的基础内容，是全等三角形、轴对称及后续四边形学习的工具，属于“图形与几何”领域的核心基础。 【学习目标】①理解三角形的有关概念，能按边、按角对三角形进行分类；②掌握三角形三边之间的关系，会判断三条线段能否组成三角形；③理解三角形的中线、角平分线、高的概念，会画这三种线段；④掌握三角形内角和定理及其推论，理解直角三角形两锐角互余；⑤理解三角形外角的概念，掌握外角的性质。 【知识结构图】一图速查本章全貌，下表按“章→节→核心知识点”三层呈现。 第十三章　三角形 13.1　三角形的概念 三角形的定义：不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成；边、顶点、内角 三角形的分类：按角分（锐角、直角、钝角）；按边分（不等边、等腰[含等边]） 13.2　与三角形有关的线段 三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三角形的稳定性 中线：顶点与对边中点的连线；三条中线交于重心 角平分线：内角平分线与对边的交点线段；三条角平分线交于一点 高：从顶点向对边所在直线作的垂线段；锐角/直角/钝角三角形高的位置不同 13.3　三角形的内角与外角 内角和定理：三角形三个内角的和等于180° 直角三角形两锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形 外角：一边与另一边延长线组成的角；外角等于与它不相邻的两个内角的和 二、核心公式定理 【速查表】本章核心定理、性质集中列表如下，逐条对照教材，复习时以表代翻书。 名称 公式·定理·性质内容 说明与易错提示 三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形 记作△ABC；顶点A所对的边BC用a表示，边与顶点对应 三边关系 三角形两边的和大于第三边，即AB＋AC＞BC；两边的差小于第三边 判断能否组成三角形：较短两边之和＞最长边即可 三角形的稳定性 三角形木架的形状不会改变，三角形是具有稳定性的图形 四边形具有不稳定性；应用于钢架、屋顶等结构 中线与重心 连接顶点和对边中点的线段叫中线；三条中线相交于一点 这个交点叫作三角形的重心；中线把三角形分成面积相等的两部分 角平分线 三角形一个内角的平分线与对边相交，这个角的顶点与交点间的线段 三条角平分线相交于一点，且这点到三边距离相等 高 从三角形的顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点与垂足间的线段 钝角三角形有两条高在三角形外部，垂足在边的延长线上 内角和定理 三角形三个内角的和等于180°，即∠A＋∠B＋∠C＝180° 证明思路：过顶点作平行线，把三个内角拼成一个平角 直角三角形的角 直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形 直角三角形记作Rt△ABC；∠C＝90°时∠A＋∠B＝90° 外角的性质 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 外角大于任何一个与它不相邻的内角；三个外角和为360° 三、考点知识梳理 （一）13.1　三角形的概念 【知识定位】三角形的概念、符号表示与分类是本节核心考点，是研究三角形边、角关系的基础。 【三角形的定义】由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形。组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角。顶点是A，B，C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。△ABC的三边有时用a，b，c表示：顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示。 【三角形的分类】按三个内角的大小，三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。按边的相等关系：三边都不相等的三角形和等腰三角形；有两边相等的三角形叫作等腰三角形，其中相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角；三边都相等的三角形叫作等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 （二）13.2　与三角形有关的线段 【三角形的三边关系】由“两点之间，线段最短”可证明：三角形两边的和大于第三边，如AB＋AC＞BC；进一步移项可得三角形两边的差小于第三边。反过来，一般地，如果三条线段中任意两条线段的和大于第三条线段，那么这三条线段能组成三角形；若有两条线段的和小于或等于第三条，则不能组成三角形。 【三角形的稳定性】将三根木条钉成一个三角形木架，扭动它形状不会改变，即三角形是具有稳定性的图形，广泛应用于工程建筑、机械制造。 【三角形的中线】连接△ABC的顶点A和它所对边BC的中点D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的中线。一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点，这个交点叫作三角形的重心。 【三角形的角平分线】画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线。三角形的三条角平分线相交于一点。 【三角形的高】从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线，简称三角形的高。锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边；钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上。 锐角、直角、钝角三角形的高 （三）13.3　三角形的内角与外角 【三角形内角和定理】过△ABC的顶点A作直线l平行于边BC，由平行线性质与平角定义可证明：三角形的内角和等于180°，即∠A＋∠B＋∠C＝180°。 【直角三角形的角】在直角三角形ABC中，∠C＝90°，由内角和定理得∠A＋∠B＝90°，即直角三角形的两个锐角互余。直角三角形用符号“Rt△”表示。反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形。 【三角形的外角】把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD。像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角。由内角和定理可推出：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。由此还可知，三角形的三个外角的和等于360°。 三角形的外角 四、重点知识记忆方法 【记忆口诀】三边关系：两边之和大三边，两边之差小三边；判断能否组三角，短边之和最长边。内角和：三角内角度量难，平行移角拼平角，一百八十是定论。外角：外角不邻两内角，加在一起刚刚好。高的位置：锐角三高全在内，直角两高直角边，钝角两高在外边。 【对比记忆】三角形三种重要线段对比如下表。 线段 定义要点 交点 中线 顶点与对边中点的连线 三条中线交于重心 角平分线 内角平分线与对边交点间的线段 三条角平分线交于一点 高 顶点到对边所在直线的垂线段 三条高（或延长线）交于一点 【易混对比】三角形的角平分线是线段（顶点到对边交点），而一般角的平分线是射线；三角形的高也是线段，钝角三角形作高时要画出边的延长线。 五、解题方法总结 题型1　判断三条线段能否组成三角形 【解题方法】①先把三条线段按长度排序，找出最短两边和最长边；②只需验证最短两边之和＞最长边，即可判断能组成三角形；③若涉及等腰三角形或含未知数，列出不等式后结合取值范围作答。 【数学思想】分类讨论思想：已知等腰三角形两边时，要分“已知边是腰”“已知边是底”两种情况讨论，并逐一检验三边关系。 题型2　利用三边关系求第三边范围 【解题方法】①设三角形两边为a、b（a≥b），第三边为x；②由三边关系得a－b＜x＜a＋b；③在范围内取整数解或结合题意确定x。 【数学思想】转化思想：把“两边之和大于第三边”与“两边之差小于第三边”互相转化，得到第三边的不等式组。 题型3　利用内角和与外角求角的度数 【解题方法】①在一个三角形中，已知两角用内角和180°求第三角；②出现外角时，用外角等于与它不相邻的两内角的和直接列式；③遇直角三角形，直接用两锐角互余；④多个角关系时，设未知角为x，列方程求解。 【数学思想】方程思想：遇到角的倍分关系（如∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3）时，设一份为x，用内角和列方程。 题型4　画三角形的高、中线、角平分线 【解题方法】①作中线：找对边中点，连接顶点；②作角平分线：量出内角平分后交对边；③作高：钝角三角形要先延长较短的边，再从对角顶点向延长线作垂线，垂足落在延长线上。 【典型例题指引】例：钝角三角形中作钝角所对边上的高在内部，作锐角所对边上的高需延长相应边。 题型5　与面积相关的高的计算 【解题方法】①同一三角形面积不变：S＝×底×高；②用两组不同的底和高列出等式，可求未知高或底。 【数学思想】数形结合思想：结合图形，用面积这一等量关系把不同的高联系起来。 六、易错点清单 【清单】逐条对照教材与常见易错情形，复习时先自查再对照下表。 常见易错点 正确做法 判断三边关系时只验算一组，如误认为2，3，6能组成三角形 只需验较短两边之和＞最长边：2＋3＝5＜6，不能组成三角形 等腰三角形已知两边时不分类，或分类后不检验 分“已知边为腰”“已知边为底”两种情况，每种都要检验三边关系 混淆“两边之差”的方向 第三边满足|a－b|＜x＜a＋b，差应取绝对值方向 把三角形的角平分线画成射线或与角平分线混淆 三角形的角平分线是线段（顶点到对边交点），不是射线 作钝角三角形的高时漏掉边的延长线 钝角三角形有两条高在外部，垂足在边的延长线上，需先画延长线 计算外角时把“相邻内角”也算进去 外角只等于与它不相邻的两个内角的和，不等于三个内角的和 认为三角形的高都在三角形内部 只有锐角三角形三条高都在内部；直角、钝角三角形的高位置不同 七、高频考点速记 ①由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成三角形，记作△ABC。 ②三角形按角分为锐角、直角、钝角三角形；按边分为不等边三角形和等腰三角形（含等边三角形）。 ③三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边。 ④三角形具有稳定性。 ⑤三条中线交于一点，叫重心；三条角平分线也交于一点。 ⑥三角形三个内角的和等于180°。 ⑦直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形。 ⑧三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；三个外角和为360°。 八、学情自测 （一）选择题（每题2分，共5题） 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，是的外角，过点作射线，若，，则（     ） A． B． C． D． 4．如图，若，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图，已知直线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． （二）填空题（每空2分，共5题） 1．已知三角形的两边长分别为2和3，第三边长为整数，则这个三角形周长的最大值为_____． 2．在等腰三角形（）中，，则的度数为________． 3．等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为___________． 4．等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长为________． 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠A＋∠B＝______°。 （三）解答题（每题8分，共2题） 1. 在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，AD是△ABC的角平分线。求∠ADB的度数。 2. 一个等腰三角形的周长为21 cm，其中一边长为5 cm，求其他两边的长。 九、参考答案 【选择题】 1．【答案】D 解题步骤： ①A选项：3+5=8<9，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； ②B选项：6+7=13，不满足两边之和大于第三边；C选项：9+9=18<19，也不能组成三角形； ③D选项：11+18=29>22，满足条件，能组成三角形，选D． 【知识点睛】三角形三边关系：任意两边之和大于第三边（简便判断：较短两边之和大于最长边）。逐项检验各选项即可。 2．【答案】A 解题步骤： ①∵在中，，， ②∴． 【知识点睛】三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，故∠ACD＝∠A＋∠B，可直接由两已知内角求外角。 3．【答案】A 解题步骤： ①∵， ②∴， ③∴∠B＝∠2＝40°，选A． 【知识点睛】平行线判定与性质求角：由内错角相等判定两直线平行，再由平行线的性质把所求角转化为已知角。 4．【答案】B 解题步骤： ①过点E作平行线平行于AB（即平行于CD），由平行线性质得内错角相等； ②由“折线平行线”模型，∠A=∠C+∠E，∴∠C=80°−36°=44°，选B． 【知识点睛】平行线间折线求角（M形模型）：过折点E作AB的平行线，利用内错角相等把∠A拆成∠C与∠E，即∠A＝∠C＋∠E。 5．【答案】C 解题步骤： ①过∠3的顶点作辅助线平行于直线m（即平行于n）， ②由平行线内错角相等，∠3被分为两个角，分别等于∠1和∠2； ③∴∠3=∠1+∠2=45°+25°=70°，选C． 【知识点睛】平行线间折线求角：过折点作平行线，利用内错角相等将所求角拆分为两个已知角的和（或差）。 【填空题】 1．【答案】9 解题步骤： ①根据三角形三边关系，第三边x满足3−2<x<3+2，即1<x<5； ②∵第三边长为整数，∴x可取2，3，4； ③当x=4时周长最大，最大值为2+3+4=9． 【知识点睛】已知两边求第三边范围：第三边大于两边之差、小于两边之和；再在范围内取整数，求周长最大值时取最大整数边。 2．【答案】20°或50° 解题步骤： ①若∠A为顶角，则∠B=∠C=(180°−80°)÷2=50°； ②若∠B为顶角，则∠A=∠C=80°，∠B=180°−80°×2=20°； ③若∠C为顶角，则∠A=∠B=80°，与∠A≠∠B矛盾，舍去．∴∠B为20°或50°． 【知识点睛】等腰三角形内角：等腰三角形两底角相等。先确定顶角与底角的关系，再由内角和180°列方程求角。 3．【答案】10 解题步骤： ①若腰长为2cm，则2+2=4不满足三边关系，不能构成三角形； ②若腰长为4cm，则三边长为4cm，4cm，2cm， ③满足三边关系，周长为4+4+2=10cm． 【知识点睛】等腰三角形周长：分别讨论两条已知边长哪条作腰，先检验能否构成三角形（两边之和大于第三边），再求周长。 4．【答案】7 解题步骤： ①若腰长为3，则3+3=6<7，不满足三边关系，不能构成三角形； ②若腰长为7，则三边长为7，7，3，满足三边关系， ③∴第三边长为7． 【知识点睛】等腰三角形已知两边求第三边：分类讨论哪边作腰，必须用三角形三边关系检验能否构成三角形，舍去不成立的情况。 5．【答案】90 解题步骤： ①在Rt△ABC中，∠C＝90°； ②由直角三角形的两个锐角互余，得∠A＋∠B＝90°． 【知识点睛】直角三角形两锐角互余：直角三角形的两个锐角之和等于90°，是三角形内角和180°减去直角90°的直接推论。 【解答题】 1. 解：在△ABC中，∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－40°－60°＝80°。 ∵AD是角平分线，∴∠BAD＝∠BAC＝40°。 在△ABD中，∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－40°－40°＝100°。 2. 解：分两种情况讨论。 ①若长为5 cm的边为底边，设腰长为x cm，则2x＋5＝21，解得x＝8。此时三边为5 cm，8 cm，8 cm，满足5＋8＞8，能组成三角形。 ②若长为5 cm的边为腰，设底边长为y cm，则5＋5＋y＝21，解得y＝11。但5＋5＝10＜11，不符合三边关系，舍去。 综上，这个等腰三角形其他两边的长均为8 cm。 学科网（北京）股份有限公司 $