第十四章 全等三角形 知识清单 2026-2027学年人教版数学八年级上册

第十四章　全等三角形　知识清单 依据人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册（2024年版新教材）编写，供复习备考使用。 一、章知识概览 【学习内容】本章共三节：14.1全等三角形及其性质；14.2三角形全等的判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）；14.3角的平分线。本章研究两个三角形之间的全等关系，学习判定三角形全等的方法，并利用全等证明线段相等、角相等及角的平分线的性质。 【考点地位】全等三角形的性质与判定、角平分线的性质是中考几何证明的核心工具，是后续学习四边形、圆及相似三角形的基础，属必考内容。 【学习目标】①理解全等形、全等三角形的概念，能准确识别对应边、对应角；②掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的性质；③掌握SSS、SAS、ASA、AAS及HL五种判定方法，能选择适当方法证明两个三角形全等；④理解并掌握角的平分线的性质与判定；⑤掌握证明几何命题的一般步骤。 【知识结构图】一图速查本章全貌，下表按“章→节→核心知识点”三层呈现。 第十四章　全等三角形 14.1　全等三角形及其性质 全等形/全等三角形：能够完全重合；记作≌；对应顶点、对应边、对应角 性质：对应边相等，对应角相等；平移、翻折、旋转前后图形全等 14.2　三角形全等的判定 SSS边边边：三边分别相等；SAS边角边：两边及其夹角分别相等 ASA角边角：两角及其夹边分别相等；AAS角角边：两角及一组等角的对边相等 HL斜边直角边：斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等 14.3　角的平分线 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等 判定：角内部到角两边距离相等的点在角平分线上；三条角平分线交于一点 二、核心公式定理 【速查表】本章核心判定方法与性质集中列表如下，逐条对照教材。 名称 定理·判定内容 说明与易错提示 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等 记两个三角形全等时，通常把对应顶点字母写在对应位置上 边边边（SSS） 三边分别相等的两个三角形全等 是三角形稳定性的依据；可用于作一个三角形等于已知三角形 边角边（SAS） 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 必须是“夹角”；两边及其中一边的对角（SSA）不能判定全等 角边角（ASA） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 夹边是两角的公共边 角角边（AAS） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 由内角和可转化为ASA 斜边、直角边（HL） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 只适用于直角三角形；三角分别相等（AAA）不能判定全等 角平分线的性质 角的平分线上的点到角两边的距离相等 “距离”指垂线段的长，需有垂直条件 角平分线的判定 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 三角形三条角平分线交于一点，该点到三边距离相等 三、考点知识梳理 （一）14.1　全等三角形及其性质 【全等形与全等三角形】形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。能够完全重合的两个图形叫作全等形；能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形，用符号“≌”表示，读作“全等于”。一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即变换前后的图形全等。 【对应元素】把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 【全等三角形的性质】全等三角形有这样的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。证明线段相等或角相等时，可通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决。 （二）14.2　三角形全等的判定 【边边边（SSS）】三边分别相等的两个三角形全等（简写为“边边边”或“SSS”）。 【边角边（SAS）】两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简写为“边角边”或“SAS”）。注意：两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等。 【角边角（ASA）】两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（简写为“角边角”或“ASA”）。 【角角边（AAS）】由内角和定理可推出：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写为“角角边”或“AAS”）。 【斜边、直角边（HL）】对于直角三角形，还有专门的判定方法：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写为“斜边、直角边”或“HL”）。注意：三角分别相等（AAA）的两个三角形不一定全等。 （三）14.3　角的平分线 【角平分线的性质】OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，则可由△OPD≌△OPE（AAS）证明PD＝PE。即角的平分线上的点到角两边的距离相等。 【角平分线的判定】交换性质的题设与结论：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。由此可知，三角形的三条角平分线交于一点，这个点到三边的距离相等。 三角形三条角平分线交于一点 【证明几何命题的步骤】①明确命题中的已知和求证；②根据题意画出图形，并用数学符号表示已知和求证；③经过分析，找出由已知推出结论的途径，写出证明过程。 四、重点知识记忆方法 【记忆口诀】判定方法：三边SSS，两边夹角SAS，两角夹边ASA，两角对边AAS，直角专用HL。易错提醒：两边对角不能判，三角相等也白搭。角平分线：线上点，到两边，垂线段长都相等；反过来，距离等，必在平分线上行。 【对比记忆】五种判定方法对比如下表。 判定方法 条件 适用范围 SSS 三边对应相等 任意三角形 SAS 两边及其夹角对应相等 任意三角形 ASA 两角及其夹边对应相等 任意三角形 AAS 两角及一组等角的对边对应相等 任意三角形 HL 斜边和一直角边对应相等 仅限直角三角形 【易混对比】“两边及夹角（SAS）”能判定全等，而“两边及其中一边的对角（SSA）”不能；这是因为“角”必须是两边的夹角，位置不能错放。 五、解题方法总结 题型1　找全等三角形的对应边与对应角 【解题方法】①按记法顺序找对应顶点：全等式中字母位置一一对应；②最长边对最长边、最大角对最大角；③公共边、公共角、对顶角通常是对应元素。 【数学思想】数形结合思想：结合图形，把符号记法与顶点位置对应起来。 题型2　选择适当方法证明两个三角形全等 【解题方法】①先在图中标出已知相等的边、角；②有两边找夹角（SAS）或第三边（SSS）；有两角找夹边（ASA）或对边（AAS）；③直角三角形优先考虑HL；④注意从已知中推出隐含条件，如公共边、公共角、平行线得等角、等角的补（余）角相等。 【数学思想】转化思想：把“证线段相等/角相等”转化为“证三角形全等”。 题型3　利用全等证明线段或角相等 【解题方法】①把要证的线段（角）放进两个三角形中；②证明这两个三角形全等；③由全等性质得对应边（角）相等。书写时按“在△和△中—列三条件—（判定）—∴全等—∴对应相等”的格式。 【典型例题指引】例：遇“一线三等角”“公共边”时，先补齐第三个条件再用SAS/ASA。 题型4　利用角平分线的性质证线段相等 【解题方法】①见角平分线，向两边作垂线；②直接用“角平分线上的点到两边距离相等”得两条垂线段相等，无需再证三角形全等；③反之，由点到两边距离相等，判定该点在角平分线上。 【数学思想】转化思想、模型思想：把角平分线与“距离相等”这一基本模型直接套用。 六、易错点清单 【清单】逐条对照教材与常见易错情形，复习时先自查再对照下表。 常见易错点 正确做法 误认为形状相同或面积相等的两个三角形全等 全等三角形必须能够完全重合，即形状和大小都相同 用SSA（两边及其中一边的对角）判定全等 “边边角”不能判定全等，角必须是两边的夹角（SAS） 用AAA（三角分别相等）判定全等 三角分别相等只能保证形状相同，大小不一定相同，不能判定全等 对应顶点、对应边写错 记全等时把对应顶点字母写在对应位置，按位置找对应边、对应角 漏写证明中的公共边、公共角等隐含条件 公共边、公共角、对顶角本身相等，要在三个条件中列出 用角平分线性质时忘记“垂直” 性质中的“距离”是垂线段的长，必须先有PD⊥OA、PE⊥OB HL判定时弄错斜边和直角边 HL必须是“斜边＋一条直角边”，且两三角形为直角三角形 七、高频考点速记 ①能够完全重合的两个三角形叫全等三角形，记作△ABC≌△A′B′C′。 ②全等三角形的对应边相等，对应角相等。 ③判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS适用于任意三角形。 ④直角三角形专用判定：HL（斜边和一直角边对应相等）。 ⑤两边及其中一边的对角（SSA）、三角分别相等（AAA）不能判定两个三角形全等。 ⑥角的平分线上的点到角两边的距离相等。 ⑦角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 ⑧三角形三条角平分线交于一点，该点到三边距离相等。 八、学情自测 （一）选择题（每题2分，共5题） 1．如图，在中，，以点为圆心，小于长为半径画弧分别交、于点、，又分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于点D．已知，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 2．如图，直线，直线分别交，于点，．以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；作射线交于点．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．如图，为了作出的角平分线，小明利用尺规进行了如下操作：以点为圆心，任意长度为半径画弧分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧在内部交于点，连接并延长，射线则为的角平分线．小明说，可以通过判定得到对应角相等来证明射线是的角平分线，他使用的全等判定方法是（     ） A．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．两条边及其夹角相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 D．三条边分别相等的两个三角形全等 4．如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 5．下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（　　）。 A．三边分别相等　　B．两边和它们的夹角分别相等 C．两边和其中一边的对角分别相等　　D．两角和它们的夹边分别相等 （二）填空题（每空2分，共5题） 1．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，，则的面积为___________． 2．如图，点，在上，，，要使，需添加的一个条件是__________．（只写一个） 3．如图，、．请你添加一个条件________，使得． 4．全等三角形的对应边________，对应角________。 5．角的平分线上的点到角两边的________相等。 （三）解答题（每题8分，共2题） 1．如图，，，点是线段的中点．求证：． 2．已知：如图，在和中，点D在上，，，．求证：． 九、参考答案 【选择题】 1．【答案】B 解题步骤： ①由作图痕迹可知，AD平分∠BAC； ②过点D作DE⊥AB于点E； ③∵∠ACB=90°，即DC⊥AC，又DE⊥AB，由角平分线的性质得DE=DC=1.5， ④∴S△ABD=½×AB×DE=½×5×1.5=3.75，选B． 【知识点睛】角平分线性质求面积：由尺规作图确定射线为角平分线，利用角平分线上的点到角两边距离相等，把所求三角形的高转化为已知垂线段，再用三角形面积公式计算。 2．【答案】C 解题步骤： ①由作图可知，AD平分∠MAB； ②∵a∥b，∴∠MAB=180°−∠ABD=180°−54°=126°（两直线平行，同旁内角互补）； ③∴∠DAB=½∠MAB=63°，在△ABD中，∠ADB=180°−54°−63°=63°，选C． 【知识点睛】尺规作角平分线结合平行线求角：由作图确定射线为角平分线，先用平行线的同旁内角互补求被平分角，再求半角，最后用三角形内角和求第三个角。 3．【答案】D 解题步骤： ①由作图步骤可知，OC=OD（同半径画弧），CE=DE（同半径画弧）， ②在△OCE和△ODE中，OC=OD，CE=DE，OE=OE（公共边）， ③∴△OCE≌△ODE（SSS），即作图依据是三边分别相等的两个三角形全等，选D． 【知识点睛】尺规作角平分线的依据是SSS全等：两次画弧分别保证两组边相等，加上公共边即三边对应相等，由全等得对应角相等，从而射线为角平分线。 4．【答案】B 解题步骤： ①∵O是AC、BD的中点，∴AO=CO，BO=DO； ②又∠AOB=∠COD（对顶角相等）； ③∴△AOB≌△COD（SAS），选B． 【知识点睛】SAS在实际测量中的应用：利用中点得两组对应边相等、对顶角相等，由SAS证明三角形全等，从而把不可直接测量的距离转化为可测距离。 5．【答案】C 解题步骤： ①全等三角形的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS； ②两边及其中一边的对角（即SSA）不能保证两个三角形唯一确定，故不能作为判定全等的依据； ③故选C． 【知识点睛】全等三角形判定：SSA不能判定全等；用SAS时角必须是两边的夹角，避免出现“边边角”。 【填空题】 1．【答案】7 解题步骤： ①由作图痕迹可知，BD是∠ABC的角平分线．过点D作DE⊥AB于点E， ②∵∠ACB=90°即DC⊥BC，又DE⊥AB，由角平分线性质得DE=DC=2，∴S△ABD=AB×DE÷2=7×2÷2=7． 【知识点睛】角平分线性质求面积：由尺规作图确定射线为角平分线，再利用角平分线上的点到角两边距离相等，将所求三角形的高转化为已知线段。 2．【答案】∠B=∠E（答案不唯一，如∠ACB=∠DFE等） 解题步骤： ①由BF=EC，得BF+FC=EC+FC，即BC=EF； ②又∠A=∠D，而BC、EF分别是∠A、∠D的对边； ③再添加∠B=∠E（答案不唯一），由AAS即可得△ABC≌△DEF． 【知识点睛】添加条件判定全等：由BF=EC推出BC=EF，又∠A=∠D，再补一组对应角相等（如∠B=∠E），即可由AAS判定两个三角形全等。 3．【答案】如AB=DE（答案不唯一） 解题步骤： ①∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF；由BE=FC得BE+EC=FC+EC，即BC=EF； ②若添加AB=DE，则在△ABC和△DEF中， ③AB=DE，∠B=∠DEF，BC=EF，由SAS可得△ABC≌△DEF． 【知识点睛】添加条件判定全等：观察已具备的相等条件，按SSS、SAS、ASA等判定方法补上缺少的一组相等元素。 4．【答案】相等；相等。 解题步骤： ①由全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等。 【知识点睛】全等三角形性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。 5．【答案】距离。 解题步骤： ①角的平分线上的点到角两边的距离相等。 【知识点睛】角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。 【解答题】 1．【答案】证明：△ABE≌△DCE（SSS） 解题步骤： ①∵点E是线段BC的中点，∴BE=CE； ②在△ABE和△DCE中，AB=DC，AE=DE，BE=CE，∴△ABE≌△DCE（SSS）． 【知识点睛】用SSS证明三角形全等：由中点得到第三组对应边相等，加上已知两组对应边相等，即三边对应相等，由SSS判定全等。 2．【答案】△ABC≌△ADE（AAS） 解题步骤： ①∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE； ②在△ABC和△ADE中，∠B=∠ADE，∠BAC=∠DAE，AC=AE，∴△ABC≌△ADE（AAS）． 【知识点睛】用AAS证明全等：先由角的和差推出一组对应角相等，再结合已知的一组角与一条对应边，按角角边判定全等，注意对应顶点书写顺序。 学科网（北京）股份有限公司 $