15.1.2 线段的垂直平分线 知识清单 2026-2027学年人教版八年级数学上册

15.1.2 线段的垂直平分线 知识清单 人教版（2024）八年级数学上册 第十五章 轴对称 知识地图 ① 定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫这条线段的垂直平分线 ② 性质定理 线段垂直平分线上的点，与这条线段两个端点的距离相等 ③ 判定定理 与线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 ④ 互逆关系 性质与判定的题设、结论正好相反，二者互为逆定理 ⑤ 集合观点 垂直平分线是「到线段两端点距离相等的所有点」的集合 ⑥ 尺规作图1 作已知线段的垂直平分线（两弧交点连线） ⑦ 尺规作图2 过直线外（上）一点作这条直线的垂线 ⑧ 应用 作轴对称图形的对称轴；找到与三点等距的点 ⑨ 重要提醒 「同一点到两端距离相等」是判定该点在垂直平分线上的依据 一、学习目标与重难点 1. 学习目标 层次 具体要求 了解 理解线段垂直平分线的概念，知道它是到线段两端点距离相等的点的集合 掌握 掌握线段垂直平分线的性质定理与判定定理，能用它们进行推理和计算 理解 理解原命题与逆命题、互逆命题与互逆定理；会写出一个命题的逆命题 应用 会用尺规作线段的垂直平分线、过一点作已知直线的垂线，会作对称轴 2. 本节重难点 重点：线段垂直平分线的性质定理与判定定理；用尺规作线段的垂直平分线。 难点：性质与判定的区分与互逆关系；尺规作图的原理（为什么两弧交点连线就是垂直平分线）。 二、线段的垂直平分线（定义） 经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。 图 1 直线 l 经过线段 AB 的中点 O，且 l ⊥ AB，所以 l 是线段 AB 的垂直平分线（AO = BO） 要点1：定义包含两个条件，缺一不可：① 过中点（平分）；② 与线段垂直。 要点2：垂直平分线是一条直线，不是线段，也不是射线。 要点3：线段的垂直平分线是线段的一条对称轴——线段本身是轴对称图形。 三、线段垂直平分线的性质定理 性质定理：线段垂直平分线上的点，与这条线段两个端点的距离相等。 符号语言：因为直线 l 垂直平分 AB，点 P 在 l 上，所以 PA = PB。 图 2 直线 l 垂直平分 AB，P1、P2、P3 都在 l 上，各自到 A、B 的距离分别相等 1. 性质定理的证明 如图 3，设直线 l ⊥ AB，垂足为 O，且 OA = OB，点 P 在 l 上，要证 PA = PB。分两种情况： 图 3 证明分两种情况：(1) 点 P 与垂足 O 重合；(2) 点 P 与垂足 O 不重合 情况 (1)：当点 P 与 O 重合时，因为 OA = OB，所以 PA = PB 显然成立。 情况 (2)：当点 P 与 O 不重合时，因为 l ⊥ AB，所以 ∠POA = ∠POB = 90°。在 △POA 和 △POB 中： OA = OB（已知），∠POA = ∠POB（已证），PO = PO（公共边），所以 △POA ≌ △POB（SAS），从而 PA = PB。 说明：性质定理把「垂直平分」这一位置关系，转化成了「PA = PB」这一数量关系；证明的关键是构造两个全等三角形（△POA ≌ △POB）。 四、线段垂直平分线的判定定理 判定定理：与线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 符号语言：因为 PA = PB，所以点 P 在线段 AB 的垂直平分线上。 图 4 PA = PB，过 P 作 PC ⊥ AB 于 C，可证 AC = BC，即点 P 在 AB 的垂直平分线上 1. 判定定理的证明 如图 4，已知 PA = PB，要证点 P 在线段 AB 的垂直平分线上。过点 P 作 PC ⊥ AB，垂足为 C。 在 Rt△PAC 和 Rt△PBC 中：PA = PB（已知），PC = PC（公共边），所以 Rt△PAC ≌ Rt△PBC（HL），从而 AC = BC。 又因为 PC ⊥ AB，所以直线 PC 既是 AB 的垂线，又过 AB 的中点 C，即直线 PC 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 在它上面。 注意：判定定理是用「距离相等」这个数量关系，去判断「点在垂直平分线上」这个位置关系；与性质定理的方向恰好相反。 五、性质定理与判定定理的互逆关系 比较项 性质定理 判定定理 题设 点在垂直平分线上 点到线段两端距离相等 结论 点到线段两端距离相等 点在垂直平分线上 作用 由「位置」得「数量」（求长度、找相等线段） 由「数量」得「位置」（判断、画图） 符号 点在线上 则 PA = PB PA = PB 则 点在线上 1. 互逆命题与互逆定理 （1）互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。 （2）互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理。 提醒1：任意一个命题都有逆命题，但逆命题不一定成立（不一定都是真命题）。 提醒2：线段的垂直平分线的性质与判定互为逆定理——因为性质定理的逆命题经证明是成立的。 提醒3：「对顶角相等」的逆命题「相等的角是对顶角」不成立，可见原命题真、逆命题未必真。 六、用集合的观点看线段垂直平分线 由性质定理和判定定理可知： （1）线段垂直平分线上的每一个点，到线段两端的距离都相等（性质）； （2）所有到线段两端距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上（判定）。 结论：线段的垂直平分线，可以看作「到线段两个端点距离相等的所有点」组成的图形（集合）。 用集合语言说：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 ⇔ PA = PB。 七、尺规作线段的垂直平分线 1. 作已知线段 AB 的垂直平分线 作法（如图 5）： （1）分别以点 A、B 为圆心，以大于 AB 一半的长为半径作弧，两弧相交于两点 E、F； （2）作直线 EF。直线 EF 就是线段 AB 的垂直平分线。 图 5 以 A、B 为圆心、大于 AB 一半的长为半径作弧，两弧交于 E、F，直线 EF 即为所求 原理：因为 AE = AF = BE = BF（都是相同的半径），所以点 E、F 到 A、B 的距离都相等。由判定定理，E、F 都在 AB 的垂直平分线上，两点确定一条直线，故直线 EF 就是垂直平分线。 为什么要「大于 AB 一半」：半径太短时两弧不相交，就找不到交点 E、F，作图无法进行。 2. 过一点作已知直线的垂线（点在直线外） 作法（如图 6 左）： （1）任意取一点 K，使点 K 和点 C 在直线 AB 的两旁； （2）以点 C 为圆心、CK 的长为半径作弧，交直线 AB 于点 D 和点 E； （3）分别以点 D、E 为圆心，以大于 DE 一半的长为半径作弧，两弧相交于点 F； （4）作直线 CF。直线 CF 就是所求作的直线 AB 的垂线。 3. 过一点作已知直线的垂线（点在直线上） 作法（如图 6 右）： （1）以点 C 为圆心、适当长为半径作弧，交直线 AB 于点 D 和点 E； （2）分别以点 D、E 为圆心，以大于 DE 一半的长为半径作弧，两弧相交于点 F； （3）作直线 CF。直线 CF 就是所求作的直线 AB 的垂线。 图 6 过直线 AB 上（外）一点 C 作 AB 的垂线：先作出到 C 等距的 D、E，再作 DE 的垂直平分线 CF 原理：由作图知 CD = CE，所以点 C 在线段 DE 的垂直平分线上；又点 F 到 D、E 距离相等，也在 DE 的垂直平分线上。故直线 CF 是 DE 的垂直平分线，即 CF ⊥ AB。 八、典型例题 【基础题】 例 1 如图，直线 l 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 在 l 上。若 PA = 5 cm，则 PB = ______ cm。 解：PB = 5 cm。 理由：因为 l 是 AB 的垂直平分线，P 在 l 上，由性质定理得 PA = PB，所以 PB = PA = 5 cm。 例 2 在 △ABC 中，边 AB 的垂直平分线交 AB 于 M、交 BC 于 N。若 AC = 4，BC = 7，则 △ACN 的周长是（　　）。 A. 9　　B. 11　　C. 15　　D. 无法确定 解：选 B。 因为 MN 是 AB 的垂直平分线，N 在 MN 上，所以 NA = NB。于是 △ACN 的周长 = AC + CN + NA = AC + CN + NB = AC + BC = 4 + 7 = 11。 例 3 下列说法正确的是（　　）。 A. 经过线段中点的直线是这条线段的垂直平分线 B. 到线段两端距离相等的点，一定在这条线段上 C. 线段垂直平分线上的点，到这条线段两个端点的距离相等 D. 一条线段的垂直平分线一定与线段相交 解：选 C。 A 错：只「过中点」不「垂直」，条件不足；B 错：点应在垂直平分线上（不一定在线段上）；C 对：这是性质定理；D 错：线段只有一条垂直平分线，但说法需与图形结合，此处 A、B 明显错误，C 最准确。 【提升题】 例 4 如图，在 △ABC 中，AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于 E、交 AC 于 D。若 ∠A = 40°，AB = AC，求 ∠DBC 的度数。 解：因为 DE 垂直平分 AB，D 在 DE 上，所以 DA = DB，故 ∠A = ∠ABD = 40°。 又 AB = AC，所以 ∠ABC = ∠C = (180° − 40°) ÷ 2 = 70°，所以 ∠DBC = ∠ABC − ∠ABD = 70° − 40° = 30°。 答：∠DBC = 30°。 例 5 如图，CD 是线段 AB 的垂直平分线，垂足为 O。若 AB = 8 cm，点 P 在 CD 上且 OP = 3 cm，求 P 到点 A 的距离。 解：因为 CD 垂直平分 AB，O 是 AB 的中点，所以 AO = AB 的一半 = 4 cm，且 CD ⊥ AB。 在 Rt△AOP 中（CD ⊥ AB 得 ∠AOP = 90°），AO = 4，OP = 3，所以 AP2 = AO2 + OP2 = 42 + 32 = 25，所以 AP = 5（cm）。 答：P 到点 A 的距离为 5 cm。 例 6 写出下列命题的逆命题，并判断逆命题是否成立。 （1）两直线平行，内错角相等； （2）对顶角相等。 解：（1）逆命题：内错角相等，两直线平行。成立（是真命题）。 （2）逆命题：相等的角是对顶角。不成立（两个角相等，不一定是对顶角）。 【拓展题】 例 7 如图，在 △ABC 中，AB = AC，∠BAC = 120°，AB 的垂直平分线交 BC 于 M、交 AB 于 N。若 BM = 2，求 CM 的长。 解：因为 MN 垂直平分 AB，M 在 MN 上，所以 MA = MB = 2，∠MAB = ∠B。 因为 AB = AC，∠BAC = 120°，所以 ∠B = ∠C = (180° − 120°) ÷ 2 = 30°，故 ∠MAB = 30°，∠MAC = 120° − 30° = 90°。 在 Rt△MAC 中，∠C = 30°，∠MAC = 90°，所以 CM = 2 × AM = 2 × 2 = 4。 答：CM = 4。 例 8 在 △ABC 中，∠C = 90°，AB 的垂直平分线交 BC 于 D、交 AB 于 E，连接 AD。若 ∠CAD = 20°，求 ∠B 的度数。 解：因为 DE 垂直平分 AB，D 在 DE 上，所以 DA = DB，故 ∠B = ∠DAB。 在 Rt△ABC 中，∠CAB + ∠B = 90°，即 (∠CAD + ∠DAB) + ∠B = 90°。 设 ∠B = ∠DAB = x，则 20° + x + x = 90°，解得 x = 35°。 答：∠B = 35°。 例 9 用尺规作线段 AB 的垂直平分线，并说明作法理由。 解：作法：① 分别以 A、B 为圆心，大于 AB 一半的长为半径作弧，两弧交于 E、F 两点；② 作直线 EF，则直线 EF 就是线段 AB 的垂直平分线。 理由：因为 AE = AF = BE = BF（同半径），所以点 E、F 到 A、B 的距离都相等。由判定定理，E、F 都在 AB 的垂直平分线上，两点确定一条直线，故 EF 是 AB 的垂直平分线。 例 10 如图，直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线，点 C 在 MN 外，CA、CB 分别与 MN 交于 P、Q。比较 CA 与 CB 的大小。 解：CA > CB。 理由：连接 PA、QB。因为 P、Q 在 MN 上，所以 PA = PB，QA = QB。CA = CP + PA = CP + PB，又 PB < PQ + QB，所以 CA > CB。 例 11 如图，A、B、C 是三个村庄，现要建一所学校 P，使它到三个村庄的距离都相等。请说明学校 P 的位置怎样确定。 图 7 △ABC 三边的垂直平分线交于一点 O，O 到 A、B、C 的距离相等 解：学校 P 应建在 △ABC 三边垂直平分线的交点处。 理由：因为 P 到 A、B 距离相等，由判定定理，P 在线段 AB 的垂直平分线上；同理 P 到 B、C 距离相等，P 在 BC 的垂直平分线上。两条垂直平分线的交点同时满足到 A、B、C 距离相等，故学校 P 就在这个交点上。 例 12 在 △ABC 中，AB 的垂直平分线与 AC 的垂直平分线相交于点 O。求证：OB = OC。 证明：因为 O 在 AB 的垂直平分线上，所以 OA = OB（性质定理）。 因为 O 在 AC 的垂直平分线上，所以 OA = OC（性质定理）。 所以 OB = OC。 例 13 如图，在 △ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°。分别以 A、B 为圆心，大于 AB 一半的长为半径作弧，两弧交于 M、N，作直线 MN 交 AC 于 D、交 AB 于 E，连接 BD。若 CD = 3，求 BD 的长。 解：由作图知，直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线，D 在 MN 上，所以 DA = DB。 因为 ∠A = 30°，DA = DB，所以 ∠DBA = ∠A = 30°。又 ∠C = 90°，∠CBA = 60°，所以 ∠DBC = 60° − 30° = 30°。 在 Rt△BCD 中，∠C = 90°，∠DBC = 30°，所以 BD = 2 × CD = 2 × 3 = 6。 答：BD = 6。 九、易错清单 序号 常见错误 正确理解 1 以为「经过线段中点的直线」就是垂直平分线 必须同时满足「过中点」和「垂直于线段」两个条件 2 把「垂直平分线上的点」与「线段上的点」搞混 垂直平分线上的点一般不在线段上（除中点外），它到两端等距 3 由 PA = PB 直接说「P 是 AB 的中点」 只能得 P 在 AB 的垂直平分线上，不能得 P 是中点 4 尺规作垂直平分线时半径取「小于一半」 半径必须大于 AB 一半，否则两弧不相交，无法确定交点 5 把性质定理当判定用（方向弄反） 性质：点在线上 则 等距；判定：等距 则 点在线上 6 认为逆命题一定成立 原命题真，逆命题未必真（如「对顶角相等」的逆命题不成立） 7 过直线上一点作垂线时，误取直线外的 K 点 点在直线上时直接以它画弧交直线于 D、E，无需另取点 K 8 求长度时忘记垂直关系，不会用勾股定理 垂直平分线 ⊥ 线段，常与勾股定理、直角三角形结合求距离 十、方法总结与知识结构 1. 常用结论与思维方法 项目 内容 性质定理 点在线段垂直平分线上 则 到两端等距（PA = PB） 判定定理 到两端等距 则 点在垂直平分线上（反过来用） 常见辅助线 连接垂直平分线上的点与线段两端，得到两段相等线段 尺规作图核心 找两个到线段两端等距的点（两弧交点），连线即垂直平分线 与其他知识联系 常与等腰三角形、「30°角所对直角边等于斜边一半」结合 2. 知识结构 线段垂直平分线　定义：过中点且垂直 　性质：点在线上 则 到两端等距 　判定：到两端等距 则 点在线上 互逆关系　性质与判定互为逆定理 集合观点　到两端等距的所有点的集合 尺规作图　作垂直平分线 / 过一点作垂线 一句话总结：线段的垂直平分线，就是「到线段两个端点距离相等的所有点」组成的一条直线；点在线上与到两端等距，这两句话可以互相推导。 学科网（北京）股份有限公司 $