18.3 分式的加法与减法 知识清单2026-2027 学年人教版八年级数学上册

18.3 分式的加法与减法 知识清单 人教版（2024）八年级数学上册　第十八章　分式　18.3 分式的加法与减法 知识地图 ① 同分母加减　分母不变，把分子相加减（分数线下的分母保持不变）。 ② 异分母加减　先通分，化为同分母的分式，再加减。 ③ 最简公分母　系数取最小公倍数，字母（因式）取最高次幂。 ④ 通分要点　分母是多项式先分解因式；分子是多项式要加括号。 ⑤ 整式参与　把整式看作分母是 1 的分式，再通分。 ⑥ 混合运算　先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内的。 一、学习目标与重难点 1. 学习目标 层次 具体要求 理解 类比分数的加减法，理解分式的加减法法则 掌握 会进行同分母、异分母分式的加减运算，结果化为最简分式或整式 掌握 会确定最简公分母，正确地进行通分 掌握 会进行分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，掌握运算顺序 应用 能用分式的加减解决简单的实际问题 2. 本节重难点 重点：同分母、异分母分式的加减法法则与运算；分式的混合运算。 难点：确定最简公分母（分母是多项式时先分解因式）；分子是多项式时的符号处理；混合运算的顺序。 二、分式加减法法则的引入 1. 类比分数的加减法 分数的加减法法则：同分母分数相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分数相加减，先通分，化为同分母的分数，再加减。 例如 + = = ；　　 + = + = 。 2. 由分数到分式（教材 P152 探究） 把上面式子中的「数」换成「整式」，规律应当仍然成立——这就是分式的加减法。分数与分式的加减法法则一一对应，如图 1。 图 1　分数与分式的加减法法则对照（先同分母，再异分母） 3. 分式的加减法法则（教材 P152） 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。 ± = 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 ± = ± = ★ 分式加减法的实质：同分母——直接「分子相加减」；异分母——先「通分」转化为同分母。其中通分是异分母加减的关键，结果都要化为最简分式或整式。 三、同分母分式的加减法（第 1 课时） 1. 法则 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。 ± = 　（c ≠ 0） 2. 三点注意 ① 分子是多项式时，必须把分子用括号括起来再相加减（分数线本身就有括号作用）。 ② 分母互为相反数时，先把其中一个分式的分子、分母同时变号，化为同分母，如 n − m = −(m − n)。 ③ 结果要化为最简分式或整式。 3. 例 1（教材 P152 例 1） 例 1　计算：(1) − ；　　(2) + − 。 解：(1) 原式 = = = = 。 　　(2) 因为 = −，所以原式 = − − = = = 1。 4. 即时巩固 计算：(1) − ；　　(2) − 。 解：(1) 原式 = = = ；　　(2) 原式 = = = a + b。 ★ 分子是多项式时，「分子相加减」必须把每一个分子整体加括号（分数线本身起括号作用）——当分式前是减号时，要把减去的那个分子整体变号，如把 (a − 4b) 写成 −(a − 4b) 后去括号得 −a + 4b。这是本节最典型的失分点，参见例 5(2)。 四、异分母分式的加减法（第 1 课时） 1. 通分与最简公分母 把几个异分母的分式化成与原来分式相等、且分母相同的分式，叫做通分；通分后相同的分母叫做公分母，其中最简单的叫做最简公分母。 2. 确定最简公分母（以例 2(1) 的三个分母为例） 图 2　由三个分母 6ab、3ac、4abc 确定最简公分母 12abc 确定最简公分母：① 系数取各分母系数的最小公倍数；② 字母（因式）取最高次幂；③ 分母是多项式时，先分解因式，再确定。 3. 异分母分式加减法则 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 ± = ± = ★ 异分母分式加减的一般步骤：① 通分（确定最简公分母，分子、分母同乘）；② 加减（分母不变，分子相加减）；③ 合并（分子去括号、合并同类项）；④ 约分（结果化成最简分式或整式）。 4. 例 2（教材 P153 例 2） 例 2　计算：(1) − + ；　　(2) + 。 解：(1) 最简公分母是 12abc。原式 = − + = 。 　　(2) 因为 − 9 = (m + 3)(m − 3)，3 − m = −(m − 3)，最简公分母是 (m + 3)(m − 3)。 　　原式 = − = 　　　　 = = −。 ★ 第 (2) 题的关键：先把分母按字母降幂排列并分解因式，再处理「3 − m = −(m − 3)」这一步符号变化，最后一定要约分。 五、分式与整式的加减法（第 1 课时） 1. 方法：把整式看作分母是 1 的分式 整式与分式相加减时，把整式看作分母是 1 的分式，再按异分母分式的加减法法则计算。 如 a + = + = 。 ★ 通分时，若整式（或分母是 1 的分子）是多项式，要把它整体看成一项并加括号，避免符号出错；结果同样要化为最简分式或整式。 2. 示范 计算：a + 1 + 。 解：原式 = + = + = = 。 六、分式的混合运算（第 2 课时） 1. 运算顺序 分式与分数有相同的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减。 有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序进行。 ★ 参与混合运算的每一步都要注意：能分解因式的先分解因式；分式前是减号时，要把后面分式的整个分子变号；运算结果要化为最简分式或整式。 2. 例 3（教材 P153 例 3） 例 3　计算：(1) · − ÷ ； 　　　　　　(2) ( − ) ÷ 。 解：(1) 原式 = · − · = − = − = = 。 　　(2) 原式 = [ − ] · = · = · = 。 ★ 第 (1) 题按「先乘方 → 再乘除 → 最后加减」的顺序算；第 (2) 题先算括号内的减法，括号内是异分母分式相减，要先通分、再把分子整体合并。 七、分式加减法的实际应用（第 2 课时） 1. 情境与思路 教材 P154 例 4 是一道「谁先到达」的实际问题：需要分别用「路程 ÷ 速度」算出两人所用的时间（这两个式子都是分式），再用「作差法」比较大小。两人的行走路线如图 3。 图 3　张华与李明的步行路线（教材 P154 例 4） 2. 例 4（教材 P154 例 4） 例 4　张华和李明同时从甲地沿同一路线步行去乙地。张华在前半段路程的平均行走速度是 a km/h，在后半段路程的平均行走速度是 b km/h；李明全程的平均行走速度是 km/h。如果 a ≠ b，两人谁先到达乙地？ 解：设从甲地到乙地的路程为 s km，则张华走的前一半路程是 km，后一半路程也是 km。 张华所用时间（单位：h）为 ÷ a + ÷ b = + = ； 李明所用时间（单位：h）为 s ÷ = 。 两人的时间差为 − = = 。 因为 s，a，b 均大于 0，且 a ≠ b，所以 > 0，即 > 。因此，李明先到达乙地。 方法（作差法）：比较两个分式的大小，常先求它们的差——通分相减后判断差的符号：差大于 0 则前者大，差小于 0 则前者小。 八、典型例题（基础题） 例 5　同分母分式的加减（含相反数分母） 计算：(1) + ；　　(2) − 。 解：(1) 原式 = − = = 1； 　　(2) 原式 = = = 。 例 6　异分母分式的加减（分母是单项式） 计算：(1) + ；　　(2) + 。 解：(1) 最简公分母是 ，原式 = + = ； 　　(2) 最简公分母是 ，原式 = + = 。 例 7　异分母分式的加减（分母是多项式，先分解因式） 计算：(1) − ；　　(2) − 。 解：(1) − 4 = (x + 2)(x − 2)， − 2x = x(x − 2)，最简公分母是 x(x + 2)(x − 2)。原式 = − = = = ； 　　(2) − = (a + b)(a − b)，最简公分母是 (a + b)(a − b)。原式 = − = = 。 例 8　整式与分式的加减 计算：(1) a + 2 + ；　　(2) − x − 1。 解：(1) 原式 = + = = ； 　　(2) 原式 = − = = 。 例 9　分式的加减乘除混合运算 计算：(1) 1 − ÷ ；　　(2) ( − ) · ( + x)。 解：(1) 原式 = 1 − · = 1 − = = −； 　　(2) 原式 = · ( + x) = · x(x + 1) = 1。 ★ 第 (2) 题先算括号内的异分母减法（最简公分母是 x(x + 1)），再与后面的式子相乘；注意把 + x 分解为 x(x + 1) 后约分。 例 10　化简求值（基础） 先化简，再求值： + ，其中 a = −2，b = 1。 解：原式 = + = + = = 。 当 a = −2，b = 1 时，原式 = = 2。 九、典型例题（提升题） 例 11　含相反数分母与整式的加减（三项） 计算： − + 2。 解：因为 = −，所以 　　原式 = + + 2 = + = = 。 ★ 三项以上相加减时，一般是「先把分母化成相同的，再把分子整体相加」。不要逐项去通分，否则容易漏项。 例 12　先化简，再求值（异分母加减 + 除法） 先化简，再求值：(1 + ) ÷ ，其中 x = 3。 解：原式 = ÷ = · = x + 1。 当 x = 3 时，原式 = 3 + 1 = 4。 例 13　整体代入求值（分式加减的逆用） 已知 a + b = 3，ab = 2，求 + 与 + 的值。 解：(1) + = + = = ； 　　(2) + = = = = 。 ★ 第 (2) 题先通分，再把 + 用 − 2ab 表示（完全平方公式），分母写成 ，最后把已知值整体代入。 例 14　分式加减在实际问题中的应用（提速后少用的时间） 甲、乙两地相距 120 km。汽车原来的平均速度为 v km/h，提速后平均速度每小时增加 10 km。提速后，汽车从甲地到乙地比原来少用多少小时？ 解：原来所用的时间为 h，提速后所用的时间为 h。 　　少用的时间 = − = = （h）。 ★ 方法同教材 P154 例 4：先用「路程 ÷ 速度」把两个时间表示成分式，再用分式的减法求差。 例 15　分式的加减与乘方、除法综合 计算：( − ) ÷ 。 解：原式 = [ − ] · 　　　　 = · = · = 1。 ★ 括号内是异分母相减，最简公分母为 (a − b)(a + b)；分子相减后恰好是 4ab（用完全平方公式），与后面的除式约分后得 1。 例 16　条件求值（逆用分式的加减） 已知 − = 3，求 的值。 解：由 − = 3 得 = 3，所以 y − x = 3xy，即 x − y = −3xy。 　　原式 = = = = 。 ★ 这类题的关键：先把已知条件整理成「字母之差」与「字母之积」的关系，再把要求的式子中分子、分母都写成含「x − y」与「xy」的式子（整体思想），最后约分。 例 17　用作差法比较两个分式的大小 已知 x > 1，比较 与 的大小。 解： − = = = 。 因为 x > 1，所以 x > 0，x − 1 > 0，从而 > 0，即 > 。 ★ 与教材 P154 例 4 的思路一致：比较两个分式的大小，常先求差、判断差的符号（作差法）。 十、易错清单与错解辨析 1. 高频失分点 易错点 典型错解 正确做法 分子是多项式时漏加括号 把减号后的 (a − 4b) 直接与前项合并 把分子整体加括号，用 −(a − 4b) = −a + 4b 去括号 通分时只乘分母、漏乘分子 给 的分母乘 2c 时，忘了给分子 5 也乘 2c 分子、分母同乘同一个因式，分式的值才不变 分母互为相反数时未先化同分母 把 n − m 与 m − n 当作同一个分母 利用 n − m = −(m − n) 先化为同分母，再加减 分式与整式相加减时未看成「分母是 1」 a + 直接写成 把 a 写成 后再通分 结果没有化为最简 算出 就收笔 继续约分，得 − 混合运算顺序错乱 先算加减、后算乘除 先乘方 → 再乘除 → 最后加减，有括号先算括号内 2. 错解辨析 【题 1】计算 + 。 错解：原式 = = 。（错因：把 1 − x 与 x − 1 当作了同一个分母。） 正解：因为 = −，所以原式 = − = 0。 【题 2】计算 + 。 错解：原式 = + = 。（错因：通分时只乘了分母，漏乘了分子。） 正解：原式 = + = 。 十一、方法总结与知识结构 1. 知识结构 分式的 加法与减法 类型 法则 关键要点 同分母分式相加减 分母不变，把分子相加减： ± = 分子是多项式要整体加括号；结果化为最简分式或整式 异分母分式相加减 先通分（化为同分母），再加减： ± = 最简公分母＝系数取最小公倍数 × 各字母(因式)取最高次幂；分母是多项式先分解因式 分式与整式相加减 把整式看作分母是 1 的分式，再通分 整式作为一项要整体加括号；结果化为最简分式或整式 分式的混合运算 先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内的 同级运算按从左到右的顺序；每一步都要注意符号 2. 解题方法与步骤 ① 看分母：同分母直接「分子相加减」；异分母先通分，化为同分母再加减。 ② 定公分母：系数取各分母系数的最小公倍数，字母（因式）取最高次幂；分母是多项式时先分解因式。 ③ 算分子：分子是多项式时整体加括号；分式前是减号时，减去的分子整体变号。 ④ 化结果：合并同类项、分解因式后约分，结果化为最简分式或整式。 ⑤ 混合运算：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内的，同级运算从左到右。 ⑥ 实际应用：先列分式表示各个量（如时间、工作效率），再用分式的加减求差；比较两个分式的大小可用作差法。 十二、学以致用（即时自测） 1. 计算： − 。　　2. 计算： + 。 3. 计算： − 。　　4. 计算： − m − n。 5. 先化简，再求值：( − 1) ÷ ，其中 x = 5。 参考答案与提示 1. 原式 = = = 1。 2. 最简公分母 6a，原式 = + = 。 3. 最简公分母 (x − 2)(x + 2)，原式 = = 。 4. 原式 = − = 。 5. 原式 = · = ；当 x = 5 时，原式 = 3。 十三、课后巩固（对接教材 P155 习题 18.3） 教材 P155 的习题 18.3 是本节的全部配套练习，请先独立完成，再对照本节例题自查：同分母加减看例 1、例 5，异分母加减看例 2、例 6、例 7，整式参与看例 8，混合运算看例 3、例 9、例 15，实际应用看例 4、例 14。 1. 计算： − 。　　2. 计算： − 。 3. 计算： − 。　　4. 计算： − x + 1。 5. 先化简，再求值： − ，其中 a = 2。 6. 一项工程，甲队单独做需 m 天完成，乙队单独做需 n 天完成。两队合作，每天完成全部工程的几分之几？ 参考答案与提示 1. 因为 = −，所以原式 = = 。 2. 最简公分母是 12x，原式 = − = 。 3. 原式 = + = 。 4. 原式 = = 。 5. 原式 = − = = −；当 a = 2 时，原式 = −。 6. 甲队每天完成 ，乙队每天完成 ，两队合作每天完成 + = 。 十四、本课技能自查 技能点 自我评价 对应例题 确定最简公分母、正确通分 □ 熟练　□ 基本会　□ 需巩固 例 2、例 6、例 7 同分母分式的加减 □ 熟练　□ 基本会　□ 需巩固 例 1、例 5 异分母分式的加减（多项式分母） □ 熟练　□ 基本会　□ 需巩固 例 2、例 7、例 11 分式与整式的加减 □ 熟练　□ 基本会　□ 需巩固 例 8、例 11 确定运算顺序、进行混合运算 □ 熟练　□ 基本会　□ 需巩固 例 3、例 9、例 15 化简求值与实际应用 □ 熟练　□ 基本会　□ 需巩固 例 10、例 12、例 14、例 16 学科网（北京）股份有限公司 $