18.2 分式的乘法与除法知识清单2026-2027 学年八年级数学上册人教版

18.2 分式的乘法与除法 知识清单 人教版（2024）八年级数学上册　第十八章　分式　18.2 分式的乘法与除法 知识地图 ① 乘法法则　分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。 ② 除法法则　分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 ③ 一变一倒　除法先化成乘法；除式是整式时，先把它看成分母是 1 的分式。 ④ 先分解再约分　分子、分母是多项式时，先分解因式，再约分。 ⑤ 分式的乘方　分子、分母分别乘方，系数、符号都要乘方。 ⑥ 混合运算顺序　先乘方，再乘除；乘除从左到右；有括号先算括号内的。 一、学习目标与重难点 1. 学习目标 层次 具体要求 理解 理解分式的乘法、除法法则，知道它们与分数的乘除法则的联系 掌握 会进行分式的乘除运算，结果化为最简分式或整式 掌握 理解分式的乘方法则，会进行分式的乘方运算 掌握 会进行分式的乘除、乘方混合运算，掌握运算顺序 应用 能用分式的乘除解决简单的实际问题 2. 本节重难点 重点：分式的乘法、除法法则与乘方法则，分式的乘除及乘除、乘方混合运算。 难点：分子、分母是多项式时先分解因式再约分；分式乘方时系数与符号的处理；混合运算的顺序。 二、分式的乘法（第 1 课时） 1. 类比分数的乘法 分数的乘法法则：分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。例如 × = = 。把这里的“数”换成“整式”，就得到分式的乘法法则。 2. 分式的乘法法则 分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。 · = ★ 分式乘法的实质就是约分；运算结果必须化为最简分式或整式。 3. 从实际问题到分式乘法（教材 P146 引入） 一个长方体容器的容积为 V，底面的长为 a、宽为 b，当容器内的水占容积的 时，水高为多少？ 底面积为 ab，所以水高 = · = （单位长度）。 4. 例 1（教材 P146 例 1 第 (1) 题） 例 1　计算： · 。 解：原式 = = = 。 5. 巩固练习（口算） 计算：(1) · ；　　(2) · 。 答：(1) 原式 = ；　(2) 原式 = 。 三、分式的除法（第 1 课时） 1. 类比分数的除法 分数的除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。例如 ÷ = × = 。 2. 分式的除法法则 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 ÷ = · = 3. 一变一倒 “一变一倒”：一变——把除法变成乘法；一倒——把除式的分子、分母颠倒位置。 ★ 除式是整式时，先把它看成分母是 1 的分式，再颠倒分子、分母。例如 a ÷ = a · = 。 4. 从实际问题到分式除法（教材 P146 引入） 大拖拉机 m 天耕地 a 公顷，小拖拉机 n 天耕地 b 公顷，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的多少倍？ 大拖拉机的效率是 公顷/天，小拖拉机的效率是 公顷/天，所以 ÷ = · = （倍）。 5. 例 2（教材 P146 例 1 第 (2) 题） 例 2　计算： ÷ 。 解：原式 = · = − = −。 ★ 先定符号，再把分子、分母分别相乘并约分：结果中字母取低次幂，系数取最大公约数。 分式与分数的乘除法则一一对应，如图 1。 图 1　分式的乘除法则：分数与分式的乘法、除法一一对应 ★ 乘法的实质是约分；除法的关键是“先化除为乘，再把除式颠倒”。 四、分子、分母是多项式的乘除（第 1 课时） 1. 方法 ① 先把分子、分母分别分解因式； ② 再按法则相乘除（除法先化乘、除式颠倒）； ③ 最后约去分子、分母的公因式，结果化成最简分式或整式。 2. 例 3（教材 P147 例 2） 例 3　计算：(1) · ；　　(2) ÷ 。 解：(1) 原式 = · = ； 　　(2) 原式 = · = · m(m − 7) = −。 ★ 提醒：(7 − m) 与 (m − 7) 互为相反数，约分前先把 (m − 7) 写成 −(7 − m)，注意符号。 五、分式乘除的实际应用（第 1 课时） 两块试验田的形状如图 2 所示。 图 2　两块小麦试验田：丰收1号的面积是 − 1，丰收2号的面积是 例 4（教材 P147 例 3） 例 4　“丰收1号”小麦的试验田是边长为 a m（a > 1）的正方形去掉一个边长为 1 m 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为 (a − 1) m 的正方形，两块试验田都收获了 500 kg 小麦。 (1) 哪种小麦的单位面积产量高？　(2) 高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 解：(1) 丰收1号的单位面积产量是 千克/平方米，丰收2号的单位面积产量是 千克/平方米。 　　因为 a > 1，所以 > 0、 − 1 > 0；又 − ( − 1) = − 2a + 1 − + 1 = −2(a − 1) < 0，即 < − 1。 　　分母越小，分数越大，所以“丰收2号”的单位面积产量高。 　　(2) ÷ = · = = 。 　　所以，“丰收2号”的单位面积产量是“丰收1号”的 倍。 六、分式的乘除混合运算（第 2 课时） 1. 运算顺序 乘法和除法是同级运算，要从左到右依次进行；有括号的先算括号内的。计算时可以把除法统一成乘法，再一起约分。 2. 例 5（教材 P149 例 4） 例 5　计算：(1) · ÷ ；　　(2) ÷ · 。 解：(1) 原式 = · · = = 。 　　(2) 原式 = · · 　　　　= · · = −。 ★ 化除为乘后，除式的多项式要先分解因式，再约分；负号要留在最前面。 七、分式的乘方（第 2 课时） 1. 探究（教材 P149 思考） 根据乘方的意义和分式的乘法法则： 　 = · = = ； 　 = ；　　 = 。 猜想： = 。 2. 分式的乘方法则 一般地，当 n 是正整数时， = 。 即分式乘方要把分子、分母分别乘方。 3. 三点注意 ① 分子、分母要“整体”乘方，系数也要乘方，如 = ； ② 分式本身的符号也要乘方：负数的偶次幂为正，奇次幂为负； ③ 分子、分母中的幂要按“幂的乘方”计算，指数相乘，如 = 。 4. 例 6（教材 P149 例 5 第 (1) 题） 例 6　计算：。 解：原式 = = 。 八、分式乘方与乘除的混合运算（第 2 课时） 1. 运算顺序 分式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除；乘除从左到右；有括号先算括号内的。如图 3。 图 3　分式乘方与乘除混合运算的顺序 2. 例 7（教材 P149 例 5 第 (2) 题） 例 7　计算： ÷ · 。 解：原式 = ÷ · 　　　 = · · = − = −。 九、典型例题（基础题） 例 8（教材 P150 习题 18.2 第 1 题） 例 8　计算：(1) · ；　　(2) · (−)； 　　(3) ÷ ；　　(4) ÷ (−)。 解：(1) 原式 = = = ； 　　(2) 原式 = · (−) = = ； 　　(3) 原式 = · = = ； 　　(4) 原式 = · (−) = − = −。 例 9（教材 P150 习题 18.2 第 2 题） 例 9　计算：(1) · ；　　(2) · 。 解：(1) 原式 = · = ； 　　(2) 原式 = · = 。 例 10（教材 P150 习题 18.2 第 2 题） 例 10　计算：(3) · ；　　(4) ÷ 。 解：(3) 原式 = · = ； 　　(4) 原式 = · = 。 例 11　计算（分式的乘方） 例 11　计算：(1) ；　　(2) ；　　(3) 。 解：(1) 原式 = = ； 　　(2) 原式 = = −； 　　(3) 原式 = = 。 例 12　计算（乘方与乘除混合） 例 12　计算：(1) · ÷ ；　　(2) ÷ · 。 解：(1) 原式 = · · = = ； 　　(2) 原式 = (−) · · = − = − = −a。 十、典型例题（提升题） 例 13　计算（分式乘方的整体处理） 例 13　计算： ÷ 。 解：原式 = · = 。 例 14　计算（含负号的多步混合运算） 例 14　计算： ÷ · 。 解：原式 = · · (−) = − = −。 例 15　计算（符号的判断） 例 15　计算： · ÷ 。 解：原式 = · (−) · = − = −。 例 16　判断并改正（乘方常见错误） 例 16　下面各式的计算是否正确？错误的请改正： (1) = ；　　(2) = −；　　(3) = 。 答：(1) 错，系数 2 也要乘方，应为 ； 　　(2) 错，负号的偶次幂为正，应为 ； 　　(3) 错，分子要整体平方，应为 = 。 例 17　先化简，再求值 例 17　先化简，再求值： · ，其中 x = 2，y = −3。 解：原式 = · = 。 　　当 x = 2，y = −3 时，原式 = = = −5。 例 18　应用（长方形试验田） 例 18　一块长方形试验田的面积为 ( − ) 平方米，长为 (a + b) m，宽为多少米？若 a = 5，b = 2，宽为多少米？ 解：宽 = ( − ) ÷ (a + b) = = (a − b) m。 　　当 a = 5，b = 2 时，宽 = 5 − 2 = 3（m）。 十一、易错清单 序号 易错点 正确做法 1 把除法直接按“分子乘分子、分母乘分母”计算 先“一变一倒”，化成乘法再算 2 除式颠倒时只颠倒分子或只颠倒分母 把除式的分子、分母整体颠倒位置 3 整式与分式相除时，忘记把整式看成分母是 1 的分式 a ÷ = a · = 4 分子、分母是多项式时不分解因式就约分 先分解因式，再找公因式约分 5 分式乘方时只把字母乘方，漏掉系数 = ，系数 2、3 也要平方 6 分式乘方时符号判断错误 负数的偶次幂为正、奇次幂为负 7 把 (a + b) 的平方错写成两个字母平方的和 = + 2ab + ，要整体乘方 8 混合运算顺序错乱（先乘除后乘方） 先乘方，再乘除；乘除从左到右 9 结果没有化成最简分式或整式 约去分子、分母所有的公因式 附：错解辨析 题目 错解 错因 正确解 计算 系数 2 没有乘方 计算 − 负号的偶次幂应为正 计算 ÷ 除法没有把除式颠倒 ★ 乘法看“约分”，除法看“颠倒”，乘方看“分别乘方”——三句话记牢本节运算。 十二、方法总结与知识结构 1. 解题的一般思路 要解决的问题 做法 分式乘分式 分子的积作分子，分母的积作分母，再约分 分式除以分式 把除式的分子、分母颠倒位置，化成乘法 分子或分母是多项式 先分解因式，再约分 整式与分式相乘除 把整式看成分母是 1 的分式 分式的乘方 分子、分母分别乘方（系数、符号都要乘方） 乘方与乘除混合 先乘方，再乘除；乘除从左到右；有括号先算括号内 2. 知识结构 乘法： · = 除法： ÷ = · = 乘方： = （n 为正整数） 共同点：三种运算的结果都要化成最简分式或整式。 十三、学以致用（即时自测） 1. 计算 · 的结果是（　　） 　A. 　　B. 　　C. 　　D. 2. 计算 ÷ 的结果是（　　） 　A. a − 1　　B. a + 1　　C. 1　　D. 3. 计算 的结果是（　　） 　A. 　　B. −　　C. −　　D. − 4. 计算 · 的结果是（　　） 　A. 　　B. x　　C. 　　D. 5. 计算 ÷ 的结果是（　　） 　A. b　　B. 　　C. 　　D. 参考答案 1. A　2. C　3. B　4. A　5. B 提示：第 1 题先约分，结果化为最简分式；第 2 题先把分子、分母分解因式再约分； 第 3、4、5 题分子、分母分别乘方，系数与符号都要乘方，除法先化为乘法。 十四、本课技能自查 我应掌握的技能 对应例题 用乘法法则计算分式的乘法 例 1、例 8、例 9 用“一变一倒”计算分式的除法 例 2、例 8、例 10 分子、分母是多项式时先分解因式再约分 例 3、例 9、例 10 用分式的乘除解决实际问题 例 4、例 18 进行分式的乘方运算 例 6、例 11 判断乘方与除法中的常见错误 例 16 进行分式的乘除混合运算 例 5 进行乘方与乘除的混合运算 例 7、例 12、例 14、例 15 化简求值（整体代入、约分） 例 13、例 17 确定混合运算的顺序 例 5、例 7 学科网（北京）股份有限公司 $