第十六章 整式的乘法 知识清单 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第十六章　整式的乘法　知识清单 依据人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册（2024年版新教材）编写，供复习备考使用。 一、章知识概览 【学习内容】本章共三节：16.1幂的运算（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）；16.2整式的乘法（单项式乘除、多项式乘除）；16.3乘法公式（平方差公式、完全平方公式）。本章类比数的运算学习整式的乘除，从“数”走向“式”。 【考点地位】幂的运算性质、整式乘法、平方差与完全平方公式是中考数与式的必考运算内容，是因式分解、分式、二次根式等后续学习的直接基础。 【学习目标】①掌握同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方及零指数幂的运算性质；②掌握单项式、多项式的乘除运算法则；③理解并能运用平方差公式、完全平方公式进行运算；④掌握添括号法则，能进行整式的混合运算。 【知识结构图】一图速查本章全貌，下表按“章→节→核心知识点”三层呈现。 第十六章　整式的乘法 16.1　幂的运算 同底数幂乘法：底数不变，指数相加 aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ 幂的乘方：底数不变，指数相乘 (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ 积的乘方：各因式分别乘方 (ab)ⁿ=aⁿbⁿ 16.2　整式的乘法 单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式 同底数幂相除 aᵐ÷aⁿ=aᵐ⁻ⁿ；零指数幂 a⁰=1(a≠0)；多项式除以单项式 16.3　乘法公式 平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b² 完全平方公式：(a±b)²=a²±2ab+b²；添括号法则 二、核心公式定理 【速查表】本章核心公式、法则集中列表如下，公式专业化显示，逐条对照教材。 名称 公式·定理·性质内容 说明与易错提示 同底数幂的乘法 底数不变，指数相加；不是指数相乘 幂的乘方 底数不变，指数相乘；勿与同底数幂乘法混淆 积的乘方 把积的每个因式分别乘方，再相乘 同底数幂的除法 底数不变，指数相减 零指数幂 任何不等于0的数的0次幂都等于1 单项式×多项式 用单项式乘多项式的每一项，再把积相加 不要漏乘常数项；注意符号 多项式×多项式 用一个多项式每一项乘另一多项式每一项，再相加 做到不重不漏，最后合并同类项 平方差公式 两数和与两数差的积，等于两数平方差 完全平方公式 中间项是“积的2倍”，符号同和（差） 三、考点知识梳理 （一）16.1　幂的运算 【同底数幂的乘法】同底数幂相乘，底数不变，指数相加：（m，n都是正整数）。三个或三个以上同底数幂相乘仍适用。 【幂的乘方】幂的乘方，底数不变，指数相乘：。 【积的乘方】积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘：。 （二）16.2　整式的乘法 【单项式与单项式相乘】把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 【单项式与多项式相乘】用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，如p(a＋b＋c)＝pa＋pb＋pc。 【多项式与多项式相乘】先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，如(a＋b)(p＋q)＝ap＋aq＋bp＋bq。 【同底数幂相除与零指数幂】同底数幂相除，底数不变，指数相减：（a≠0）。当被除式指数等于除式指数时，规定，即任何不等于0的数的0次幂都等于1。多项式除以单项式，先把多项式每一项除以这个单项式，再把商相加。 （三）16.3　乘法公式 【平方差公式】两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差：。 【完全平方公式】两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍：，。 【添括号法则】添括号时，括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。 四、重点知识记忆方法 【记忆口诀】幂的运算：同底相乘指数加，幂的乘方指数乘，积的乘方各乘方。多项式乘法：多乘多，逐项乘，不重不漏再合并。乘法公式：平方差，和乘差，等于平方两相减；完全平方首平方，尾平方，二倍乘积在中央。 【对比记忆】三条幂的运算性质对比如下表。 运算 公式 指数怎样变 同底数幂相乘 aᵐ·aⁿ＝aᵐ⁺ⁿ 指数相加 幂的乘方 (aᵐ)ⁿ＝aᵐⁿ 指数相乘 积的乘方 (ab)ⁿ＝aⁿbⁿ 各因式分别乘方 同底数幂相除 aᵐ÷aⁿ＝aᵐ⁻ⁿ 指数相减 【易混对比】“aᵐ·aⁿ＝aᵐ⁺ⁿ”是指数相加，“(aᵐ)ⁿ＝aᵐⁿ”是指数相乘，二者最易混淆；完全平方公式中中间项2ab不能漏、符号不能错。 五、解题方法总结 题型1　幂的混合运算 【解题方法】①先看清是哪种运算（乘、乘方、除），对号用性质；②混合运算注意顺序：先乘方，再乘除；③系数单独算，字母幂按性质算；④结果要合并化简。 【数学思想】转化思想：把不同形式的幂运算统一转化为指数的加、减、乘。 题型2　单项式、多项式的乘除 【解题方法】①单乘单：系数相乘、同底数幂相乘；②单乘多、多乘多：逐项相乘不重不漏；③多项式除以单项式：逐项相除再相加；④注意每一项的符号。 【数学思想】转化思想：把多项式乘法转化为单项式乘法，把除法转化为乘法。 题型3　运用平方差公式计算 【解题方法】①认准“（同号项＋异号项）（同号项－异号项）”的结构；②同号项平方减去异号项平方；③如102×98＝(100＋2)(100－2)＝10000－4。 【数学思想】数形结合思想、整体思想：把某一部分看作一个整体套用公式。 题型4　运用完全平方公式计算 【解题方法】①按“首平方、尾平方、二倍乘积在中央”展开；②中间项2ab的符号与和（差）一致；③如102²＝(100＋2)²＝10000＋400＋4。 【典型例题指引】例：(a＋b＋c)²先把(a＋b)看作整体，再用完全平方公式展开。 题型5　先化简再求值 【解题方法】①先用乘法公式化简原式；②化为最简后再代入数值；③避免直接代入大数字运算。 【数学思想】整体思想、转化思想：先化简后代入，使计算简便。 六、易错点清单 【清单】逐条对照教材与常见易错情形，复习时先自查再对照下表。 常见易错点 正确做法 混淆“同底数幂相乘”与“幂的乘方”，如a³·a²误算成a⁶ 相乘指数相加：a³·a²＝a⁵；乘方指数相乘：(a³)²＝a⁶ 积的乘方漏乘系数，如(2a)³误算成2a³ (2a)³＝2³·a³＝8a³，每个因式都要乘方 完全平方公式漏掉中间项，如(a＋b)²误算成a²＋b² (a＋b)²＝a²＋2ab＋b²，中间项2ab不能漏 完全平方公式中间项符号错，如(a－b)²误算成a²－2ab－b² (a－b)²＝a²－2ab＋b²，末项为正 多项式相乘漏项或重复乘 逐项相乘做到不重不漏，最后合并同类项 认为a⁰＝0 a⁰＝1（a≠0），任何非零数的0次幂都是1 添括号时括号前是负号却只改第一项符号 括号前是负号，括进括号的各项都要变号 七、高频考点速记 ①同底数幂相乘：aᵐ·aⁿ＝aᵐ⁺ⁿ（底数不变，指数相加）。 ②幂的乘方：(aᵐ)ⁿ＝aᵐⁿ（底数不变，指数相乘）。 ③积的乘方：(ab)ⁿ＝aⁿbⁿ（各因式分别乘方）。 ④同底数幂相除：aᵐ÷aⁿ＝aᵐ⁻ⁿ；零指数幂a⁰＝1（a≠0）。 ⑤平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a²－b²。 ⑥完全平方公式：(a±b)²＝a²±2ab＋b²。 ⑦多项式乘多项式要逐项相乘、不重不漏，最后合并同类项。 ⑧整式混合运算顺序：先乘方，再乘除，后加减。 八、学情自测 （一）选择题（每题2分，共5题） 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 4．计算：（　　） A． B． C． D． 5．在两个特殊整数的乘法运算中，存在一种简便方法（如图），可以用图1到图2的转化过程加以说明（图中，均为整数）．下列算式中，能用这种方法进行计算的是（     ） A． B． C． D． （二）填空题（每空2分，共5题） 1．（a＋b）（a－b）＝________。 2．计算的结果为________． 3．计算的结果为________． 4．计算：＝________。 5．已知，，则的值为_____． （三）解答题（每题8分，共2题） 1．计算：． 2．先化简，再求值：，其中． 九、参考答案 【选择题】 1．【答案】A 解题步骤： ①A．x⁴·x³=x⁷，同底数幂相乘指数相加4+3=7，正确； ②B．xy²与x²y不能合并；C．x⁸÷x²=x⁶而非x⁴；D．3x+3y≠6xy，均错． 【知识点睛】幂的运算法则：同底数幂相乘指数相加、相除指数相减；不是同类项的项不能合并。 2．【答案】C 解题步骤： ①A．a²与a⁴不是同类项不能合并；B．(a²)³=a⁶而非a⁵，幂的乘方指数相乘； ②C．a⁵÷a²=a³，同底数幂相除指数相减5−2=3，正确，选C． 【知识点睛】幂的乘方指数相乘、同底数幂除法指数相减；只有同底数同指数的项才能合并。 3．【答案】D 解题步骤： ①3a²·5a=(3×5)·(a²·a)=15a³； ②系数相乘、同底数幂相乘，对照选项选D． 【知识点睛】单项式乘单项式：系数相乘作积的系数，同底数幂相乘指数相加，只在一个单项式中含有的字母连同指数作为积的因式。 4．【答案】D 解题步骤： ①（同底数幂相乘，底数不变、指数相加）； ②故选D． 【知识点睛】同底数幂相乘：底数不变，指数相加。注意幂运算与乘方运算的区别，系数部分单独相乘。 5．【答案】B 解题步骤： ①图1到图2的转化对应平方差公式的几何模型，须把两数写成(和)×(差)的形式； ②33×27=(30+3)(30−3)=30²−3²，可用平方差简算，选B． 【知识点睛】平方差公式的几何意义：两数和乘两数差等于两数平方差；识别形如(30+3)(30−3)的结构即可简算。 【填空题】 1．【答案】a²−b² 解题步骤： ①两数和与这两数差相乘，等于这两数的平方差； ②∴(a+b)(a−b)=a²−b²． 【知识点睛】平方差公式：(a+b)(a−b)=a²−b²，是乘法公式的基础，也是因式分解逆运算的依据。 2．【答案】m⁸ 解题步骤： ①(m²)⁴是幂的乘方，底数不变、指数相乘； ②=m²ˣ⁴=m⁸． 【知识点睛】幂的乘方：(aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ，指数相乘；勿与同底数幂乘法（指数相加）混淆。 3．【答案】3x⁴y 解题步骤： ①x²y·3x²=(1×3)·(x²·x²)·y=3x⁴y； ②系数相乘作系数，同底数幂相乘指数相加，单独出现的y照抄． 【知识点睛】单项式乘单项式：系数相乘，同底数幂相乘指数相加，只在一个单项式中含有的字母连同指数照抄。 4．【答案】64x⁶ 解题步骤： ①(4x²)³=4³·(x²)³（积的乘方，各因式分别乘方）； ②=64x⁶（幂的乘方，指数相乘）． 【知识点睛】积的乘方：(ab)ⁿ=aⁿbⁿ；幂的乘方：(aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ。计算时系数与字母分别乘方，勿漏系数4³=64。 5．【答案】2 解题步骤： ①由完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²，得3²=5+2ab； ②∴2ab=4，ab=2． 【知识点睛】完全平方公式变形：(a+b)²=a²+b²+2ab，已知两数之和与两数平方和，即可求两数之积。 【解答题】 1．【答案】9 解题步骤： ①（零指数幂），，； ②原式=1+3+5=9． 【知识点睛】实数混合运算：非零数的0次幂等于1；先分别化简零指数幂、算术平方根、绝对值，再依次相加。 2．【答案】化简得3m−4，当m=时值为−3 解题步骤： ①原式=(m+2)(m−2)−m(m−3)=(m²−4)−(m²−3m)； ②=m²−4−m²+3m=3m−4； ③当m=时，原式=3×−4=−3． 【知识点睛】先化简再求值：先用平方差公式与单项式乘多项式展开、合并同类项，化为最简后再代入数值，避免直接代入大数字运算。 学科网（北京）股份有限公司 $