第7讲 直线与圆、圆与圆的位置关系讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第7讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 第一部分 复习 知识点1. 直线与圆的位置关系 (1) 直线截圆的弦长公式： (2) 切线长公式 过圆外一点P引切线,切线长. 过圆外一点P引切线,切线长. (3) 圆幂定理 过一定点作两条直线与圆相交于、，则定点到每条直线与圆的交点、 的两条线段的积相等，即它们的积为定值. (4) 米勒定理：已知点是角MON的边上的两个定点，点是上的动点，则当且 仅当三角形的外圆与边相切于点时，角最大，此时. 例题 1． 若截所得弦长为，则的最小值为______． 2． 已知圆O：，过点的直线l交圆O于A，B两点，且，则满足上述条件的一条直线l的方程为____________. 3． 已知动点与定点和定点的距离之比为2，动点的轨迹方程为.若点在直线上，则的最小值为______. 4． 直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是_______． 5． 已知不同的两点在曲线上，且满足，则直线斜率的取值范围是_______． 6． 经过圆与直线的交点，且在轴上的弦长为的圆的方程是______． 7． 已知圆． (1)若直线与圆交于两点， (i)求的取值范围； (ii)证明：直线与直线(为坐标原点)的斜率之和为定值． (2)若直线和直线将圆的周长四等分，求的值． 知识点2. 圆与圆的位置关系 技巧方法 (1) 圆与圆的位置关系的判断 关系 外离 外切 相交 内切 内含 图形 判断 公切线 4 3 2 1 0 (2) 两圆相交弦的直线方程 设，，两圆相交，则公共弦为 (3) 经过直线和圆交点的圆系方程 过直线和圆的交点的圆可设为 (不表示) (4) 经过两圆交点的圆系方程 设，，则过两圆交点的圆的方程可设为 (不包括) (5) 切线与切点弦问题 设圆C的方程为(x－a)2+(y－b)2＝r2,点P(x0,y0)，直线l：(x0－a)(x－a)+(y0－b)(y－b)＝r2. 则有：1. 在圆上，则直线是以点为切点的切线方程. 2. 在圆外，则直线是切点弦所在直线的方程.(其中、是圆的两条切线) 注：若圆C方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0则对应的直线x0x＋y0y＋D＋E＋F＝0 例题 8． 已知点到同一直线的距离分别为2，3，若这样的直线恰有2条，则的取值范围为_______． 9． 直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，过l上一点P作圆的两条切线，切点分别为M、N，设线段的中点为Q，则的最大值为_______． 10． 若圆：与圆：有且仅有2条公切线，则的取值范围为_______． 11． (多选)已知圆，圆，则( ) A．两圆的圆心距的最小值为1 B．若圆与圆相切，则 C．若圆与圆恰有两条公切线，则 D．若圆与圆相交，则公共弦长的最大值为2 12． 若为曲线上任意两点，则两点间距离的最大值为______． 13． 写出与和都相切的一条直线的方程________________. 14． “晚旁”徽标是借两个圆设计而成，其状如月(如图阴影部分)．已知圆，，其中．为圆与圆的交点，若弦将圆分为长度之比为1：2的两段弧，则组成“晚旁”的两段弧长之比为______ ．(请写出长度较小的弧与长度较长的弧的长度之比，即该比值小于1．) 15． 已知P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点分别为A，B，则当四边形面积最小时，直线的方程为__________． 16． 已知圆 (1)若直线过定点，且与圆C相切，求直线的方程； (2)若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D的方程． 17． 已知圆和点. (1)过点作一条直线与圆交于两点，且，求直线的方程； (2)过点作圆的两条切线，切点分别为，求所在的直线方程. 第二部分 作业 1． (多选)已知：与圆：，点，则说法正确的是( ) A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 2． 若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是_______． 3． 直线与圆交于，两点，则的最小值为_______． 4． 若圆上总存在两个点到点的距离为3，则实数a的取值范围是_______． 5． 已知过原点的直线与圆交于两点，弦的中点为，则点的轨迹长度为___________． 6． 已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 7． 已知圆：与：相交于A、B两点． (1)求公共弦AB所在的直线方程； (2)求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程； (3)求经过A、B两点且面积最小的圆的方程． 8． 在平面直角坐标系中，，过点作直线l与圆交于不同的两点． (1)若直线l的斜率为1，求； (2)设直线，的斜率分别是，，探索是不是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由． 2 / 2 自由-探索-独立-思考 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 第一部分 复习 知识点1. 直线与圆的位置关系 1. 直线截圆的弦长公式： 2. 切线长公式 过圆外一点P引切线,切线长. 过圆外一点P引切线,切线长. 3. 圆幂定理 过一定点作两条直线与圆相交于、，则定点到每条直线与圆的交点、的两条线段的积相等，即它们的积为定值. 4. 米勒定理：已知点是角MON的边上的两个定点，点是上的动点，则当且 仅当三角形的外圆与边相切于点时，角最大，此时. 例题 1． 若截所得弦长为，则的最小值为______． 答：难：0.65源：江苏省盐城市2023－2024学年高二上学期第一次学情调研数学试题 解：由，则圆心为，半径为2， 由直线被圆所截得的弦长为，故直线过圆心， 所以且， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 2． 已知圆O：，过点的直线l交圆O于A，B两点，且，则满足上述条件的一条直线l的方程为____________. 答：(或，答案不唯一)难：0.65 源：锡常镇四市2024届高三教学情况调研(二)数学试题 解：由题意得圆心，半径，， 故M点在圆O外，设点O到直线l的距离为d， 由得，即， 即，即，解得， 设直线l的方程为， 则或， 所以直线l的方程为或. 故答案为：(或，答案不唯一). 3． 已知动点与定点和定点的距离之比为2，动点的轨迹方程为.若点在直线上，则的最小值为______. 答：难：0.4源：成都市玉林中学2025－2026学年高二上学期12月期中数学试题 解：设，依题意，，即， 整理得，则，解得，即， 点到直线的距离为， 由得， 当且仅当三点共线时取等号， 此时直线的斜率为，直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，故存在点使得三点共线， 所以的最小值为. 故答案为： 4． 直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是_______． 答：D难：0.4源：辽宁省实验中学2025－2026学年高二上学期期中阶段测试数学试卷 解：由可得， 即直线过定点， 由可得， 即或， 作直线与曲线的图像， 由圆心到直线的距离可得或(舍去)， 即切线的斜率，同理可得， 又，所以，, 由图象可知，当或时，直线与曲线有2个交点， 5． 已知不同的两点在曲线上，且满足，则直线斜率的取值范围是_______． 答：B难：0.4源：南京师范大学附属中学2025－2026学年高二上学期10月阶段测试 解：由得， 所以曲线为以为圆心，1为半径的上半圆弧. 不同的两点满足， 则过点的直线与半圆弧有两个不同的交点. 如图，当直线位于直线的位置时，，直线的斜率是， 当过点的直线与圆相切于点时，设直线与曲线相切时，，解得，如图可知，则直线斜率的取值范围是， 6． 经过圆与直线的交点，且在轴上的弦长为的圆的方程是______． 答：或难：0.65 析：方法一，所求圆过已知圆与直线的交点，且直线和圆方程已知，可以设过直线与圆交点的 圆系方程来求解；方法二，设圆方程为，由弦长为 求得k值. 解：方法一： 设所求圆的方程为，该圆与轴的交点坐 标分别为，． 在圆方程中，令得，则，，则． 联立，解得或则点，在所求圆上， 所以解得或 故所求圆的方程为或． 方法二： 设所求圆的方程为， 且与轴交点的纵坐标为， 令得，化简得， 所以，， 由两边平方得，所以， 化简得，解得或． 检验知两个值都符合题意， 所以所求圆的方程为， 或， 即或． 故答案为：或． 7． 已知圆． (1)若直线与圆交于两点， (i)求的取值范围； (ii)证明：直线与直线(为坐标原点)的斜率之和为定值． (2)若直线和直线将圆的周长四等分，求的值． 难：0.65源：赣榆高级中学2025－2026学年高二上学期9月质量检测数学试题 析：(1)将直线代入圆方程消去，由得的取值范围；由韦达定理得；(2)设 直线和圆交于点，直线与圆交于点，则和为等腰直角三角形，利用两平行线距离公式可求. 解：(1)将直线的方程代入圆的方程，可得． (ⅰ)因为直线与圆有两个交点，所以，解得，即的取值范围是． (ⅱ)设，，由根与系数的关系得 所以． 即直线的斜率之和为定值． (2)设直线和圆交于点，直线与圆交于点． 因为直线和直线将圆的周长四等分，所以圆心位于两直线之间， 连接，则， 所以为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离为， 同理可得圆心到直线的距离为，故直线和直线间的距离为，所以，即． 知识点2. 圆与圆的位置关系 技巧方法 1. 圆与圆的位置关系的判断 关系 外离 外切 相交 内切 内含 图形 判断 公切线 4 3 2 1 0 2. 两圆相交弦的直线方程 设，，两圆相交，则公共弦为 3. 经过直线和圆交点的圆系方程 过直线和圆的交点的圆可设为 (不表示) 4. 经过两圆交点的圆系方程 设，，则过两圆交点的圆的方程可设为 (不包括) 5. 切线与切点弦问题 设圆C的方程为(x－a)2+(y－b)2＝r2,点P(x0,y0)，直线l：(x0－a)(x－a)+(y0－b)(y－b)＝r2. 则有：1. 在圆上，则直线是以点为切点的切线方程. 2. 在圆外，则直线是切点弦所在直线的方程.(其中、是圆的两条切线) 注：若圆C方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0则对应的直线x0x＋y0y＋D＋E＋F＝0 例题 8． 已知点到同一直线的距离分别为2，3，若这样的直线恰有2条，则的取值范围为_______． 难：0.65源：广东省清远一中等部分学校2026届高三上学期8月摸底检测数学试题 析：问题化为与相交求参数范围. 解：以为圆心，2为半径的圆为， 以为圆心，3为半径的圆为． 若符合题设的直线恰有2条，则上述两圆相交． 又， 所以， 可得， 所以． 9． 直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，过l上一点P作圆的两条切线，切点分别为M、N，设线段的中点为Q，则的最大值为_______． 难：0.4源：云南师范大学附属中学2026届高三高考适应性月考卷(一)数学(B卷) 析：设点，，根据圆的切线的性质可得在以为直径的圆 上，求得其圆的方程，再由在圆上，可得直线的方程，求得直线恒过定点，从而得在以为直径的圆，得出圆的方程可求得的最大值． 解：设点，， 因为是圆的切线，所以， 所以在以为直径的圆上， 其圆的方程为， 又在圆上， 则将两个圆的方程作差得直线的方程：， 即，所以直线恒过定点， 又因为，四点共线，所以， 即在以为直径的圆上， 其圆心为，半径为， 所以， 所以的最大值为. 10． 若圆：与圆：有且仅有2条公切线，则的取值范围为_______． 难：0.65源：河北省2025－2026学年高三上学期开学学情检测数学试题 析：由题可知圆与圆相交，故，所以点在以原点为圆心， 半径分别为2和4的圆所夹的圆环内部(不含边界).分析可得代表点到直线的距离的5倍.根据圆内点到直线距离最值的求法即可求解. 解：由题可知圆，半径，圆，半径. ∵圆与圆有且仅有2条公切线，∴圆与圆相交，∴， ∴点在以原点为圆心，半径分别为2和4的圆所夹的圆环内部(不含边界). 又，∴代表点到直线的距离的5倍. ∵圆心到直线的距离为1， ∴圆环内的点到直线的距离， ∴的取值范围为. 11． (多选)已知圆，圆，则( ) A．两圆的圆心距的最小值为1 B．若圆与圆相切，则 C．若圆与圆恰有两条公切线，则 D．若圆与圆相交，则公共弦长的最大值为2 答：AD难：0.65源：安徽省合肥市2024届高三第二次教学质量检测数学试卷 解：根据题意，可得圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径． 对于A，因为两圆的圆心距，所以A项正确； 对于B，两圆内切时，圆心距，即，解得． 两圆外切时，圆心距，即，解得． 综上所述，若两圆相切，则或，故B项不正确； 对于C，若圆与圆恰有两条公切线，则两圆相交，， 即，可得，解得且，故C项不正确； 对于D，若圆与圆相交，则当圆的圆心在公共弦上时，公共弦长等于，达到最大值， 因此，两圆相交时，公共弦长的最大值为2，故D项正确． 故选：AD． 12． 若为曲线上任意两点，则两点间距离的最大值为______． 答：难：0.4源：湖北省部分市州2025届高三上学期元月期末联考数学试卷 析：作出曲线的图象，结合图象分析任意两点距离的最大值即可得出结果. 解：由题意可得曲线关于轴，轴，原点对称， 当时，曲线方程化为，圆心； 当时，曲线方程化为，圆心； 当时，曲线方程化为，圆心； 当时，曲线方程化为，圆心； 当时，；当时，. 作出曲线在平面直角坐标系下的图象如下图： 曲线上任意两点距离的最大值为， 故答案为：. 13． 写出与和都相切的一条直线的方程________________. 答：或(答案不唯一，两条直线任写一条即可) 难：0.4源：河北省石家庄精英中学2023届高三上学期第四次调研数学试题 解：因为圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 所以，则， 所以两圆相交，公切线有两条， 假设与圆相切的直线没有斜率，易得切线的方程为或， 当直线为时，圆心到直线的距离为，故不与圆相切； 当直线为时，圆心到直线的距离为，故不与圆相切； 综上所述，与圆和圆都相切的直线一定存在斜率，不妨设公切线为，即， 所以，则， 故，，则或，即或， 当时，代入，整理得， 因为，所以方程无解； 当时，代入，整理得，解得或， 当时，；当时，， 所以公切线为或. 故答案为：或(答案不唯一，两条直线任写一条即可) 14． “晚旁”徽标是借两个圆设计而成，其状如月(如图阴影部分)．已知圆，，其中．为圆与圆的交点，若弦将圆分为长度之比为1：2的两段弧，则组成“晚旁”的两段弧长之比为______ ．(请写出长度较小的弧与长度较长的弧的长度之比，即该比值小于1．) 答：难：0.4源：锡山高级中学2024－2025学年高二上学期11月期中考试数学试题 解：易知圆的圆心为，半径； 圆圆心为，半径； 两圆方程相减即可得公共弦所在直线方程为， 由弦将圆分为长度之比为1：2的两段弧可知， 因此圆心到直线的距离为， 即，又，解得或(舍)，即； 此时在弦方程上，所以为圆的直径； 易知，； 所以截得的圆的弧长为，截得的圆的弧长为； 此时组成“晚旁”的两段弧长之比为. 故答案为： 15． 已知P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点分别为A，B，则当四边形面积最小时，直线的方程为__________． 答：难：0.4源：马鞍山市红星中学等3校2022－2023学年高二上学期期中 析：求得四边形面积最小时点的坐标，再根据圆与圆的位置关系求得直线的方程. 解：圆，即， 所以圆心为，半径， ， 所以当最小，也即垂直时，四边形面积最小， 直线的斜率为，则此时直线的斜率为， 则直线的方程为，由，解得， 即，对应，， 以为圆心，半径为的圆的方程为：， 即， 由， 两式相减并化简得， 也即直线的方程为. 故答案为： 16． 已知圆 (1)若直线过定点，且与圆C相切，求直线的方程； (2)若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D的方程． 答：(1)或(2)或难：0.85 源：山东省临沂市2016－2017学年高一下学期期末考试数学试题 解：(1)圆 化为标准方程为， 所以圆C的圆心为，半径为 ①若直线的斜率不存在，即直线为，符合题意． ②若直线的斜率存在，设直线的方程为即 由题意知，圆心到已知直线的距离等于半径2， 所以，即， 解得，所以直线方程为 综上，所求直线的方程为或 (2)依题意，设 又已知圆C的圆心为，半径为2， 由两圆外切，可知， 所以， 解得或所以或， 所以所求圆D的方程为或 17． 已知圆和点. (1)过点作一条直线与圆交于两点，且，求直线的方程； (2)过点作圆的两条切线，切点分别为，求所在的直线方程. 答：(1)或；(2)难：0.65 源：山西省大同市2024－2025学年高二上学期11月期中质量检测数学试卷 解：(1)圆的标准方程为，圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时直线AB的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或； (2)因为，则， 所以以点为圆心，为半径为圆的方程为， 联立，两式相减整理可得：， 即EF所在的直线方程为. 第二部分 作业 1． (多选)已知：与圆：，点，则说法正确的是( ) A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 答：ABD难：0.7源：江苏省南通中学2026~2027学年上学期第一次阶段练习高二数学试题 解：由题可得圆的半径为，圆心坐标为， 对于A，若点在圆上，则， 根据点到直线距离公式可得，故直线与圆相切，故A正确； 对于B，若点在圆内，则， 根据点到直线距离公式可得，故直线与圆相离，故B正确； 对于C，若点在圆外，则， 根据点到直线距离公式可得，故直线与圆相交，故C错误； 对于D，若点在直线上，则，即， 根据点到直线距离公式可得，故直线与圆相切，故D正确； 2． 若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是_______． 答：D难：0.4源：广东省兴宁市第一中学2025－2026学年高二上学期11月期中数学试题 解：因为，可知直线过定点， 由曲线，两边平方得， 则曲线是以为圆心，1为半径的上半圆(包含轴上的两点)， 当直线过点时，直线与曲线有两个不同的交点， 此时，解得， 当直线与曲线相切时，直线和圆有一个交点， 圆心到直线的距离，解得， 要使直线与曲线恰有两个交点， 则直线夹在两条直线之间，因此， 即实数的取值范围为. 3． 直线与圆交于，两点，则的最小值为_______． 难：0.65解：直线，即，所以直线恒过点， 圆，即，圆心为，半径， 当最小时，点到直线的距离应最大， 即时，最小，此时，． 4． 若圆上总存在两个点到点的距离为3，则实数a的取值范围是_______． 难：0.65源：江苏省苏州市部分校2024－2025学年高二上学期期末迎考数学试题(B卷) 解：圆的圆心为，半径为. 设圆， 由题意，两圆有两个公共点，即两圆相交，所以， 解得，即或. 所以实数a的取值范围是. 5． 已知过原点的直线与圆交于两点，弦的中点为，则点的轨迹长度为___________． 答：难：0.4源：河北省盐山中学2026届高三一模数学试题 析：先求得圆的圆心和半径，然后求得弦中点的轨迹，进而求得轨迹的长度. 解：圆，即， 所以圆心，半径， 设，， 由，得， ， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，在圆内部的部分， ，所以圆与圆相交， 由两式相减并化简得， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的半圆(右半圆)， 所以轨迹长度为. 故答案为： 6． 已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 答：2难：0.65源：常州高级中学2025－2026学年高二上学期11月期中质量调研数学试题 解：圆的圆心为，半径， 则轴为的切线，切点为， 圆的圆心，半径， 则轴为的切线，切点为， 如图所示： 又， 则，故两圆相交，则轴为圆与的一条公切线， 公切线段的长度为. 故答案为：2. 7． 已知圆：与：相交于A、B两点． (1)求公共弦AB所在的直线方程； (2)求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程； (3)求经过A、B两点且面积最小的圆的方程． 答：(1)x－2y＋4＝0(2)(3)难：0.65 解：(1)将两圆方程相减得x－2y＋4＝0，此即为所求直线方程． (2)设经过A、B两点的圆的方程为(为常数)， 则圆心坐标为；又圆心在直线y＝－x上，故， 解得，故所求方程为． (3)由题意可知以线段AB为直径的圆面积最小．两圆心所在直线方程为2x＋y＋3＝0， 与直线AB方程联立得所求圆心坐标为，由弦长公式可知所求圆的半径为． 故面积最小的圆的方程为． 8． 在平面直角坐标系中，，过点作直线l与圆交于不同的两点． (1)若直线l的斜率为1，求； (2)设直线，的斜率分别是，，探索是不是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由． 答：(1)(2)是定值，且定值为难：0.65 源：2025届湖北省襄阳随州八校高三三模联考数学试题 析：(1)先计算圆心到直线l的距离，再利用垂径定理计算即可； (2)设，与圆方程联立，利用韦达定理化简即可. 解：(1)依题意，得直线，即， 则圆心到直线l的距离，所以． (2)依题意，直线l的斜率存在且不为零，设，， 联立，得， 则，， 所以 ， 所以是定值，且定值为． 2 / 2 自由-探索-独立-思考 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $