2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 讲义 -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“直线与圆、圆与圆的位置关系”核心知识点，系统梳理切线方程（过圆上/外点）、弦长计算（切线段、被截弦）、位置关系判断（几何法、代数法）、最值问题（距离、弦长）及综合应用，构建从基础到综合的学习支架。 该资料题型分类细致，融合几何直观与代数运算，如通过圆心距与半径关系判断位置（数学眼光），联立方程用判别式推理（数学思维），典例与变式结合。课中助教师分层教学，课后学生可针对性练习，提升解决问题能力与数学表达（数学语言）。

2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 内 容 导 航 题型1 过圆上一点的圆的切线方程 题型2 过圆外一点的圆的切线方程 题型3 切线段及切点弦的长度 题型4 切点弦及所在直线的方程 题型5 直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长 题型6 过圆内一点的弦及弦长的最值 题型7 直线与圆的位置关系 题型8 根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系 题型9 根据联立直线和圆的方程解的情况求解直线与圆的位置关系 题型10 由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数 题型11 圆上的点到定点的距离及其最值 题型12 圆上的点到直线的距离及其最值 题型13 根据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系 题型14 根据联立两圆方程解的情况求解圆与圆的位置关系 题型15 由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数 题型16 两圆的公切线条数及方程的确定 题型17 圆系方程 题型18 相交弦所在直线的方程 题型19 直线和圆的方程的应用 题型20 圆方程的综合应用 考 点 演 练 题型1 过圆上一点的圆的切线方程 解｜题｜知｜识 ﹣切线方程：给定圆的方程（x﹣h）2+（y﹣k）2＝r2和圆上的点（x1，y1），切线的方程为： 【解题方法点拨】 ﹣求切线方程： 1．代入点坐标：将圆上的点（x1，y1）代入切线方程公式． 2．简化方程：得到切线的方程形式． 【命题方向】 ﹣切线计算：考查如何通过圆上的点计算切线方程，涉及几何和代数运算． 【典例1】已知点M（1，2）在圆C：x2+y2＝r2上，则过点M的圆C的切线方程为 x+2y﹣5＝0　 ． 【答案】x+2y﹣5＝0． 【解答】解：若点M（1，2）在圆C：x2+y2＝r2上，则12+22＝r2，解得r2＝5， 所以圆C的方程为x2+y2＝5，圆心为O（0，0），半径r， 若直线经过点M（1，2）与圆C相切，则该直线与OM垂直，斜率k， 所以过点M的圆C的切线方程为y﹣2（x﹣1），即x+2y﹣5＝0． 故答案为：x+2y﹣5＝0． 题型2 过圆外一点的圆的切线方程 解｜题｜知｜识 ﹣外切线方程：给定圆的方程（x﹣h）2+（y﹣k）2＝r2和外点（x0，y0），可以使用切线公式： 其中R是与圆外切的圆的半径． 【解题方法点拨】 ﹣求切线方程： 1．计算切点：找到外点到圆的距离，即切线半径． 2．应用公式：使用切线方程公式计算得到切线方程． 【命题方向】 ﹣外切线问题：考查如何找到通过圆外一点的切线方程，涉及到切线长度和几何计算． 【典例1】过圆O：x2+y2＝1外的点P（3，2）作O的一条切线，切点为M，则|MP|＝（　　） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【解答】解：圆O：x2+y2＝1， 则圆心为O（0，0），半径r＝1， ． 故选：B． 【变式1】已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2＝4，点P为直线l：x+y＝0上一动点，过点P向圆C引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则下列说法正确的是（　　） A．若Q为圆C上任意一点，则|PQ|的最小值为 B．四边形PACB的面积的最小值为4 C．当点P在原点处时，直线AB的方程为x+3y﹣4＝0 D．直线AB过定点（0，2） 【答案】ABD 【解答】解：已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2＝4的圆心为（1，3），半径r＝2， 圆心C到直线l的距离为． 又点P为直线l：x+y＝0上一动点，过点P向圆C引两条切线PA，PB，切点分别为A，B， 对于，故A正确； 对于B，四边形PACB的面积 ，要求四边形PACB的面积的最小值，只需|PC|最小， 又，所以，故B正确； 对于C，当点P在原点时，，PC的中点坐标为 所以以PC为直径的圆的方程为，即x2﹣x+y2﹣3y＝0， 把x2﹣x+y2﹣3y＝0，与（x﹣1）2+（y﹣3）2＝4相减，可得直线AB的方程为x+3y﹣6＝0，故C错误； 对于D，因为点P为直线l：x+y＝0上一动点，所以可设P（t，﹣t）， ，PC的中点坐标为 所以以PC为直径的圆的方程为， 即x2﹣（t+1）x+y2+（t﹣3）y﹣2t＝0，与（x﹣1）2+（y﹣3）2＝4相减， 可得直线AB的方程为（t﹣1）x﹣（t+3）y+6+2t＝0，即t（x﹣y+2）﹣（x+3y﹣6）＝0， 由解得，所以直线AB过定点（0，2），故D正确． 故选：ABD． 【变式2】已知圆C过A（2，0）和B（1，1）两点，且圆心在直线x+y+1＝0上． （1）求圆C的方程； （2）求过点P（1，2）且与圆相切的直线l的方程． 【答案】（1）x2+（y+1）2＝5； （2）x﹣2y+3＝0或2x+y﹣4＝0． 【解答】解：（1）A（2，0）和B（1，1）两点的中点坐标是，斜率是， 则线段AB的中垂线方程为y＝x﹣1， 则圆心在直线y＝x﹣1上，又因为圆心在直线x+y+1＝0上， 所以联立方程组， 即圆心坐标C（0，﹣1）， 再由，即得圆的半径为， 所以圆C的方程为：x2+（y+1）2＝5； （2）当过点P（1，2）且斜率不存在时，此时直线x＝1不与圆C相切， 所以可以设过点P（1，2）且与圆相切的直线l的方程为y﹣2＝k（x﹣1）， 整理得：kx﹣y+2﹣k＝0， 再由直线与圆相切可得：， 即2k2+3k﹣2＝0， 解得或k＝﹣2， 所以直线l的方程为x﹣2y+3＝0或2x+y﹣4＝0． 题型3 切线段及切点弦的长度 解｜题｜知｜识 ﹣切线段长度：从圆外一点到切点的切线长度相等，可以使用切线定理： 【解题方法点拨】 ﹣计算切线段长度： 1．计算外点到圆心的距离：用距离公式计算． 2．应用切线公式：计算切线段长度． 【命题方向】 ﹣切线长度计算：考查如何利用切线长度公式求解切线段及切点弦的长度，涉及几何性质和计算． 【典例1】已知圆C：x2+y2＝1，过圆C外一点P作C的两条切线，切点分别为A，B，若∠APB＝120°，则|AB|＝　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：由圆C：x2+y2＝1，可得圆心坐标为O（0，0），半径r＝1， 由PA、PB为圆C切线，故∠OAP＝∠OBP＝90°， 又因为∠APB＝120°， 所以∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°， 又因为AO＝BO＝r＝1， 所以△ABO为等边三角形， 所以|AB|＝1． 故答案为：1． 【变式1】如图，圆M：（x﹣2）2+y2＝1，点P（﹣1，t）为直线l：x＝﹣1上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A、B． （1）若t＝1，求切线所在直线方程； （2）求|AB|的最小值； （3）若两条切线PA，PB与y轴分别交于S、T两点，求|ST|的最小值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意，切线斜率存在， 可设切线方程为y﹣1＝k（x+1）， 即kx﹣y+k+1＝0， 则圆心M到切线的距离d1， 解得k＝0或， 故所求切线方程为y＝1，3x+4y﹣1＝0； （2） 连接PM，AB交于点N， 设∠MPA＝∠MAN＝θ， 则|AB|＝2|AM|cosθ＝2cosθ， 在Rt△MAP中，sinθ， ∵|PM|≥3， ∴（sinθ）max， ∴（cosθ）min， ∴|AB|min； （3）设切线方程为y﹣t＝k（x+1），即kx﹣y+k+t＝0， PA，PB的斜率为k1，k2， 故圆心M到切线的距离d1， 得8k2+6kt+t2﹣1＝0， ∴k1+k2，k1k2， 在切线方程中令x＝0可得y＝k+t， 故|ST|＝|（k1+t）﹣（k2+t）|＝|k1﹣k2| ， ∴|ST|min，此时t＝0． 故|ST|的最小值为． 题型4 切点弦及所在直线的方程 解｜题｜知｜识 ﹣切点弦的方程：给定圆和切线的方程，可以找到切点弦的方程． 【解题方法点拨】 ﹣求弦方程： 1．计算切点：通过切线方程和圆的交点得到切点坐标． 2．求弦方程：根据切点和圆的几何性质计算弦的方程． 【命题方向】 ﹣弦方程问题：考查如何从切点和圆的方程求解弦的方程，涉及几何和代数运算． 【典例1】已知圆C的方程为x2+y2＝9，直线l：x+2y﹣10＝0，点P是直线l上的一动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PACB的面积最小时，直线AB的方程为（　　） A．2x+4y+9＝0 B．4x+2y+9＝0 C．4x+2y﹣9＝0 D．2x+4y﹣9＝0 【答案】D 【解答】解：∵圆x2+y2＝9的圆心为C（0，0），半径r＝3， 当点P与圆心的距离最小时，切线长PA、PB最小，此时四边形PACB的面积最小， ∴直线PC与直线l：x+2y﹣10＝0垂直， ∴PC的方程为2x﹣y＝0， 两方程联立可得x＝2，y＝4，∴P（2，4）， ∴以CP为直径的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5． 两圆方程相减可得2x+4y﹣9＝0． 故选：D． 【变式1】已知点P为直线l：x+y﹣2＝0上的动点，过点P作圆C：x2+2x+y2＝0的切线PA，PB，切点为A，B，当|PC|•|AB|最小时，直线AB的方程为 　3x+3y+1＝0　 ． 【答案】3x+3y+1＝0 【解答】解：已知圆C：x2+2x+y2＝0的圆心C（﹣1，0），半径r＝1， 易知点A，P，B，C四点共圆，且AB⊥CP， 所以|PC|•|AB|＝4S△PAC＝4|PA|×|AC|＝2|PA|， 又|PA|， 所以当直线CP⊥l时，|PC|和|PA|取得最小值， 易得|PC|的最小值为，|PA|的最小值为， 此时|PC|•|AB|取得最小值， 所以直线PC的方程为y＝x+1， 联立，解得，即P（，）， 则以PC为直径的圆的方程为（x）（x+1）+y（y）＝0， 联立， 两式相减得3x+3y+1＝0， 即直线AB的方程为3x+3y+1＝0． 故答案为：3x+3y+1＝0． 题型5 直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长 解｜题｜知｜识 ﹣弦长公式：给定直线方程和圆的方程，可以计算直线截得圆的弦长． 【解题方法点拨】 ﹣计算弦长： 1．求交点：计算直线和圆的交点． 2．弦长公式：用交点坐标计算弦的长度． 【命题方向】 ﹣弦长计算：考查如何利用直线和圆的交点计算弦的长度，涉及几何和代数计算． 【典例1】已知直线ax+y+2﹣a＝0与圆C：x2+y2+4y﹣1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【解答】解：如图： 由直线ax+y+2﹣a＝0，得a（x﹣1）+y+2＝0， 令，解得， 所以直线过定点P（1，﹣2）， 将圆C：x2+y2+4y﹣1＝0化为标准式为x2+（y+2）2＝5， 得圆心C（0，﹣2），半径，|PC|＝1， 当PC⊥AB时，|AB|的最小， 此时． 故选：C． 【变式1】若直线x+y﹣m＝0被圆C：（x﹣1）2+（y+1）2＝4截得的弦长为，则m＝（　　） A．±2 B． C．2 D．2 【答案】A 【解答】解：由题意可得圆C：（x﹣1）2+（y+1）2＝4的圆心为C（1，﹣1），半径R＝2， 则圆心到直线x+y﹣m＝0的距离， 又因为截得的弦长为， 所以， 化简得，解得m＝±2． 故选：A． 【变式2】直线x+y﹣1＝0被圆（x+1）2+y2＝3截得的弦长等于　2　 ． 【答案】2 【解答】解：如图，圆（x+1）2+y2＝3的圆心为M（﹣1，0）， 圆半径|AM|， 圆心O（﹣1，0）到直线x+y﹣1＝0的距离： |MC|， ∴直线x+y﹣1＝0被圆（x+1）2+y2＝3截得的弦长： |AB|＝22． 故答案为：2． 题型6 过圆内一点的弦及弦长的最值 解｜题｜知｜识 ﹣弦长的最值：给定圆和圆内点，可以通过优化方法求弦长的最大值和最小值． 【解题方法点拨】 ﹣最值计算： 1．利用几何性质：圆内点到圆的弦长最大为直径． 2．应用最值理论：通过几何分析或导数法计算弦长的最值． 【命题方向】 ﹣弦长最值：考查如何从圆内点求弦长的最大值或最小值，涉及几何性质和优化方法． 【典例1】已知圆M的方程是x2+y2﹣8x﹣2y+10＝0，则圆M中过点（6，2）的最短弦所在的直线方程是（　　） A．x﹣2y﹣2＝0 B．2x+y﹣14＝0 C．x+y﹣8＝0 D．2x﹣y﹣10＝0 【答案】B 【解答】解：圆M化简为标准方程，可得（x﹣4）2+（y﹣1）2＝7，圆心为M（4，1），半径r， 设经过点N（6，2）的直线与圆M相交，点M到直线的距离为d， 则该直线被圆M截得的弦长为， 当该直线与MN所在直线垂直时，d＝|MN|达最大值，此时弦长最小， 由kMN，可得此时该直线的斜率k2， 直线的方程为y﹣2＝﹣2（x﹣6），即2x+y﹣14＝0． 故选：B． 【变式1】已知圆C：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1＝0，AB是圆C上的一条动弦，且，O为坐标原点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：圆C：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1＝0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2＝9， 可得圆心C（2，2），半径r＝3， 设弦AB的中点为H，则CH⊥AB， 可得，且， 所以， 所以点H在以C为圆心，1为半径的圆上， 所以， 所以的最小值为． 故选：A． 【变式2】已知在圆M：x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0内，过点O（0，0）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【解答】解：化圆x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0为（x﹣2）2+（y+1）2＝9， 可得圆心坐标为M（2，﹣1），半径为3． 由圆的弦的性质可得，最长的弦即圆的直径，AC的长为6． ∵点O（0，0），∴MO． 弦BD最短时，弦BD和MO垂直，且经过点O， 此时BD＝2． 故四边形ABCD的面积为AC×BD． 故选：D． 题型7 直线与圆的位置关系 解｜题｜知｜识 直线与圆的位置关系 【解题方法点拨】 判断直线与圆的位置关系的方法 直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法： （1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断． 圆心到直线的距离d ①相交：d＜r ②相切：d＝r ③相离：d＞r （2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断． 由消元，得到一元二次方程的判别式△ ①相交：△＞0 ②相切：△＝0 ③相离：△＜0． 【典例1】若点M是圆C：x2+y2﹣4x＝0上的任一点，直线l：x+y+2＝0与x轴、y轴分别相交于A、B两点，则∠MAB的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意可知∠CAB， 若∠MAB最小，则AM应为圆C的切线， ∵|AC|＝4，|MC|＝2，如图所示，可得∠CAM， ∴∠MAB的最小值为． 故选：A． 【变式1】已知实数x，y满足方程，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．[2，4] 【答案】A 【解答】解：实数x，y满足方程，可得x≥1， 两边平方整理可得，（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1（x≥1）， 该方程表示的是圆的圆心为（1，1），圆的半径为1的圆的右半部分曲线，如图： 设，可得y＝kx﹣2，方程是通过定点（0，﹣2）的直线， 显然该直线通过A（1，2）时，斜率k最大，最大斜率， 当直线和圆相切于B时，斜率k最小． 由圆心（1，1）到直线y＝kx﹣2的距离是，k＞0，解得，即， 于是，即． 故选：A． 【变式2】已知点P为直线l：2x+y+2＝0上的一个动点，A，B为圆M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0上任意两个不重合的点，记cos∠APB的最小值为m，sin∠APB的最大值为n，则m+n＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：圆M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0化为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，∴圆的圆心M（1，1），圆的半径为2， 如图： ∴圆心M到直线l的距离为，∴直线l与⊙M相离， ∴当PA，PB分别为圆的切线，且|MP|最小时， 最大，又，则∠APM最大， ∴∠APB＝2∠APM最大，此时cos∠APB最小， 此时． 显然sin∠APB的最大值为1，故． 故选：A． 题型8 根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系 解｜题｜知｜识 ﹣位置关系：直线与圆的位置关系取决于直线到圆心的距离与圆半径的比较： ﹣相交：距离小于半径 ﹣切线：距离等于半径 ﹣外离：距离大于半径 【解题方法点拨】 ﹣确定位置关系： 1．计算圆心到直线的距离． 2．比较距离与半径，确定直线与圆的位置关系． 【命题方向】 ﹣位置关系判断：考查如何根据直线到圆心的距离与圆半径的关系确定直线与圆的位置关系，涉及距离计算和几何解释． 【典例1】若直线l：kx﹣y﹣2＝0与曲线至少有一个公共点，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：直线l：kx﹣y﹣2＝0恒过定点（0，﹣2）， 由，得到（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1（x≥1）， 所以曲线C表示以点（1，1）为圆心，半径为1，且位于直线x＝1右侧的半圆（包括点（1，2），（1，0））， 画出图形，如下图所示： 当直线l经过点（1，2）时，l与曲线C有一个不同的交点，此时k＝4， 当l与半圆相切时，由，解得， 由图可知，当k≤4时，l与曲线C至少有一个公共点． 故选：B． 【变式1】已知b是a，c的等差中项，直线ax+by+c＝0与圆x2+y2+4y﹣1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【解答】解：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a+c，c＝2b﹣a， 代入直线方程ax+by+c＝0得ax+by+2b﹣a＝0， 即a（x﹣1）+b（y+2）＝0， 令得， 故直线恒过（1，﹣2），设P（1，﹣2）， 圆化为标准方程得：C：x2+（y+2）2＝5， 设圆心为C，画出直线与圆的图形，由图可知， 当PC⊥AB时，|AB|最小， ， 此时． 故选：C． 【变式2】直线l：x+y+4＝0与圆M：（x﹣1）2+（y+1）2＝7的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定的 【答案】C 【解答】解：圆M：（x﹣1）2+（y+1）2＝7的圆心为M（1，﹣1），半径为， 所以圆心M到直线l：x+y+4＝0的距离为， 所以直线与圆相离． 故选：C． 题型9 根据联立直线和圆的方程解的情况求解直线与圆的位置关系 解｜题｜知｜识 ﹣解的情况：联立直线和圆的方程，解的个数和性质决定了直线与圆的位置关系： ﹣两个交点：相交 ﹣一个交点：切线 ﹣无交点：外离 【解题方法点拨】 ﹣解方程： 1．联立方程：解直线和圆的方程组． 2．分析解的个数：通过解的个数确定直线与圆的位置关系． 【命题方向】 ﹣位置关系通过方程求解：考查如何通过解联立方程确定直线与圆的位置关系，涉及代数方程组的解法． 【典例1】M（x0，y0）为圆x2+y2＝a2（a＞0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y＝a2与该圆的位置关系为（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 【答案】C 【解答】解：由圆的方程得到圆心坐标为（0，0），半径r＝a， 由M为圆内一点得到：a， 则圆心到已知直线的距离da＝r， 所以直线与圆的位置关系为：相离． 故选：C． 【变式1】直线（k+1）x﹣ky+1＝0（k∈R）与圆（x+2）2+（y﹣1）2＝3的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．与k的值有关 【答案】D 【解答】解：∵直线l：（k+1）x﹣ky+1＝0可化为：x+1+k（x﹣y）＝0， ∴对于任意实数k，直线l过定点（﹣1，﹣1）． ∵12+（﹣1﹣1）2＝5＞3， ∴点（-1，-1）在圆C外， ∴位置关系与k的值有关 故选：D． 题型10 由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数 解｜题｜知｜识 ﹣求方程或参数：根据直线与圆的位置关系，可以推导直线的方程或圆的方程的参数． 【解题方法点拨】 ﹣确定方程： 1．根据位置关系：从直线与圆的位置关系出发确定方程的形式． 2．代入条件：确定方程的参数和具体形式． 【命题方向】 ﹣方程参数求解：考查如何根据位置关系确定方程或参数，涉及几何解释和代数计算． 【典例1】若直线l：ax﹣by﹣4＝0与圆O：x2+y2＝4相离，则点P（a，b）（　　） A．在圆O外 B．在圆O内 C．在圆O上 D．位置不确定 【答案】B 【解答】解：直线l：ax﹣by﹣4＝0与圆O：x2+y2＝4相离， 则O到l：ax﹣by﹣4＝0的距离，即a2+b2＜4， 圆O：x2+y2＝4， 圆心O（0，0），半径r＝2， 故|PO|， 所以P（a，b）在圆O内． 故选：B． 【变式1】过点（﹣1，0）作直线l与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1相切，斜率的最大值为M，若a+b＝M，a＞0，b＞0，则的最小值是（　　） A．12 B．9 C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意可设直线l的方程为y＝k（x+1）， 由点到直线的距离公式可得：， 解得k＝0或， 即a+b，a＞0，b＞0， 则（a+b）（）12，当且仅当时取等号， 即的最小值是12． 故选：A． 【变式2】已知直线ax+y﹣1＝0与圆相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：圆， 则圆心C（1，﹣2），半径， 由题设，如下图示， 要使△ABC为等边三角形， 则圆心C到直线ax+y﹣1＝0的距离为， 所以，可得． 故选：A． 题型11 圆上的点到定点的距离及其最值 解｜题｜知｜识 ﹣最值问题：圆上的点到定点的距离范围是最小和最大值，分别是圆心到定点距离减去半径和加上半径． 【解题方法点拨】 ﹣最值计算： 1．计算距离：使用点到圆心的距离和半径计算最小值和最大值． 2．应用几何性质：利用圆的几何性质计算距离的范围． 【命题方向】 ﹣距离最值：考查如何计算圆上的点到定点的距离的最值，涉及几何和代数方法． 【典例1】已知点P是直线l1：mx﹣y﹣5m+1＝0和l2：x+my﹣5m﹣1＝0的交点，点Q是圆C：（x+1）2+（y+1）2＝1上的动点，则|PQ|的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：直线l1：mx﹣y﹣5m+1＝0过定点A（5，1）， 直线l2：x+my﹣5m﹣1＝0过定点B（1，5）， 当m≠0时，l1与l2的斜率之积为，所以l1⊥l2， 当m＝0时，l1：﹣y+1＝0，l2：x﹣1＝0，也满足l1⊥l2， 所以交点P的轨迹是以AB为直径的圆，其中圆心为O（3，3），半径为， 而圆C：（x+1）2+（y+1）2＝1的圆心为C（﹣1，﹣1），半径为r2＝1， 所以圆心距， 所以两圆外离， 所以，， 即|PQ|的取值范围是． 故选：A． 【变式1】已知b是a，c的等差中项，直线l：ax+by+c＝0，点P为圆x2+（y+2）2＝9上任意一点，则点P到直线l距离的最大值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解答】解：b是a，c的等差中项， 则c＝2b﹣a， 直线l：ax+by+c＝0，即a（x﹣1）+b（y+2）＝0， 则直线l恒过点（1，﹣2）， 圆x2+（y+2）2＝9， 则圆心为（0，﹣2），半径为3， 故点P到直线l距离的最大值为． 故选：C． 【变式2】已知，且x1x2+y1y2＝0，则的最大值为（　　） A．9 B．12 C．36 D．48 【答案】C 【解答】解：设A（x1，y1）与B（x2，y2）为圆O：x2+y2＝8上一点， 则，得，， 即△ABO为等腰直角三角形，设M为AB的中点， 则，得， 即点M在以O为圆心，2为半径的圆上， 故， 因为点M到定点D（1，0）的距离的最大值为d＝3， 因此的最大值为36． 故选：C． 【变式3】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤4，若将军从点A（3，1）处出发，河岸线所在直线方程为x+y＝5，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：设点A（3，1）关于直线x+y＝5的对称点A′的坐标为A′（a，b）， 则，解得a＝4，b＝2，即A′（4，2）， 所以A′到原点O的距离， 而军营区域是以原点（0，0）为圆心，半径r＝2的圆及其内部， 所以A′到军营区域的最短距离为， 即“将军饮马”的最短总路程为． 故答案为：． 题型12 圆上的点到直线的距离及其最值 解｜题｜知｜识 ﹣最值问题：圆上的点到直线的距离的最小值是圆心到直线的距离减去半径，最大值是圆心到直线的距离加上半径． 【解题方法点拨】 ﹣最值计算： 1．计算距离：利用圆心到直线的距离和半径计算最小值和最大值． 2．应用几何方法：通过几何方法确定最值范围． 【命题方向】 ﹣距离最值：考查如何计算圆上的点到直线的距离的最值，涉及几何和代数方法． 【典例1】已知圆C：（x+2）2+y2＝4，直线l：（m+1）x+4y﹣1+m＝0（m∈R），则（　　） A．直线l恒过定点（﹣1，1） B．坐标原点到直线l的最大距离为 C．当m＝1时，圆C上恰有四个点到直线l的距离等于1 D．若直线3x+4y﹣7m＝0与直线平行，过该直线上一动点P作圆C的一条切线，切点为A，则|PA|min＝4 【答案】C 【解答】解：对于A，直线l的方程可化为m（x+1）+x+4y﹣1＝0， 由可得， ∴直线l恒过定点，故A错误； 对于B，直线l过定点，设为点P， ∴坐标原点到直线l的最大距离为，故B错误； 对于C，当m＝1时，直线l的方程为x+2y＝0， 设与直线l平行且与直线l的距离为1的直线的方程为x+2y+c＝0， ∴，解得， 圆心为C（﹣2，0），圆C的半径为r＝2， 圆心C到直线的距离为， 圆心C到直线的距离为， ∴直线、都与圆C相交， ∴当m＝1时，圆C上恰有四个点到直线l的距离等于1，故C正确； 对于D，∵直线l与直线3x+4y﹣7m＝0平行， 则，解得m＝2， 即点P在直线3x+4y﹣14＝0上，连接AC，∴AC⊥PA， 由勾股定理可得， 当直线PC与直线3x+4y﹣14＝0垂直时，|PC|取最小值， 且， 则，故D错误． 故选：C． 【变式1】已知直线l：x﹣y+4＝0，圆C：x2+y2＝r2（r＞0），若圆C上有且仅有三个点到直线l的距离为，则r＝（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【解答】解：由已知，圆x2+y2＝r2的圆心（0，0）到直线l：x﹣y+4＝0距离， 若圆C上有且仅有三个点到直线l的距离为，则，即． 故选：D． 【变式2】已知圆C：（x+2）2+（y+1）2＝4和直线l：（1+3λ）x+（1+λ）y﹣2﹣4λ＝0（λ∈R），若点P在圆C上，则点P到直线l的距离的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：已知圆C：（x+2）2+（y+1）2＝4， 则圆心C（﹣2，﹣1），半径为2， 直线l方程可化为x+y﹣2+λ（3x+y﹣4）＝0， 联立， 解得， 所以直线l经过定点Q（1，1），且， 所以Q（1，1）在圆C的外部， 当QC⊥l时，圆心C到直线l的最大距离为， 因为点P在圆C上， 则点P到直线l的距离的最大值为． 故选：C． 【变式3】已知直线l：kx﹣y+k＝0，圆C：x2+y2﹣6x+5＝0，P（x0，y0）为圆C上任意一点，则下列说法正确的是（　　） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．直线l与圆C相切时， D．圆心C到直线l的距离最大为4 【答案】BC 【解答】解：直线l：kx﹣y+k＝0恒过（﹣1，0），圆C：x2+y2﹣6x+5＝0的圆心（3，0），半径为2； 所以P（x0，y0）为圆C上任意一点，的最大值为25；所以A不正确． 的最大值为，所以B正确； 直线l与圆相切时，直线的斜率为：k＝±±，所以C正确． 圆心C到直线l的距离最大小于3+1＝4，所以D不正确． 故选：BC． 题型13 根据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系 解｜题｜知｜识 ﹣位置关系：两圆的位置关系可以通过圆心距和半径之和与半径之差确定： ﹣相交：圆心距小于两半径之和且大于半径之差 ﹣外离：圆心距大于两半径之和 ﹣内切：圆心距等于半径之差 ﹣外切：圆心距等于两半径之和 【解题方法点拨】 ﹣确定位置关系： 1．计算圆心距． 2．比较半径和圆心距，确定圆与圆的位置关系． 【命题方向】 ﹣圆与圆的位置关系：考查如何通过圆心距和半径的比较确定圆与圆的位置关系，涉及几何计算和代数比较． 【典例1】圆与圆的位置关系是（　　） A．外离 B．相交 C．外切 D．内切 【答案】C 【解答】解：两圆化为标准形式，可得y2＝9与圆， 可知半径r1＝1，r2＝3，圆心C1（0，），圆心C2（3，0）， 于是|C1C2|r1+r2， 故两圆的位置关系是外切． 故选：C． 【变式1】已知O（0，0），A（﹣3，0），圆C：（x﹣2）2+y2＝r2（r＞0）上有且仅有一个点P满足|PA|＝2|PO|，则r的取值可以为（　　） A．1或3 B．2 C．3 D．1或5 【答案】A 【解答】解：已知O（0，0），A（﹣3，0），圆C：（x﹣2）2+y2＝r2（r＞0）上有且仅有一个点P满足|PA|＝2|PO|， 设P（x，y），由|PA|＝2|PO|，两边平方得（x+3）2+y2＝4x2+4y2， 整理得（x﹣1）2+y2＝4，圆心为（1，0），半径为2， 圆C：（x﹣2）2+y2＝r2（r＞0）的圆心为（2，0），半径为r， 由题意知，两圆相切，圆心距为1，当两圆外切时r+2＝1无解， 所以只能是两圆内切，即|r﹣2|＝1， 解得r＝3或1， r＝1时圆C在内，r＝3时圆C在外． 故选：A． 【变式2】已知圆C1：x2+y2＝4和圆C2：（x﹣3）2+（y﹣5）2＝16相交于A，B两点，则（　　） A．直线AB的方程为3x+5y﹣11＝0 B． C．四边形AC1BC2的面积为 D．圆C3：（x﹣3）2+y2＝1与圆C1和圆C2都相切 【答案】ABD 【解答】解：已知圆C1：x2+y2＝4和圆C2：（x﹣3）2+（y﹣5）2＝16相交于A，B两点， 对于A，由x2+y2＝4和（x﹣3）2+（y﹣5）2＝16两式相减得：3x+5y﹣11＝0，故A正确； 对于B，圆心（0，0）到直线3x+5y﹣11＝0的距离为， 则，故B正确； 对于C，， 则，故C错误； 对于D，， 而r1+r3＝3，r2+r3＝5，故圆C3与圆C1和圆C2都相外切，故D正确． 故选：ABD． 题型14 根据联立两圆方程解的情况求解圆与圆的位置关系 解｜题｜知｜识 ﹣解的情况：联立两圆方程可以得到解的个数和性质，进而确定圆与圆的位置关系： ﹣两个交点：相交 ﹣一个交点：外切或内切 ﹣无交点：外离或内离 【解题方法点拨】 ﹣解方程： 1．联立方程：解两圆的方程组． 2．分析解的个数：通过解的个数和性质确定圆与圆的位置关系． 【命题方向】 ﹣圆与圆的位置关系：考查如何通过解联立方程确定圆与圆的位置关系，涉及代数方程组的解法． 【典例1】圆x2+y2﹣4＝0与圆x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0的公共弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：联立方程：， 两式相减可得公共弦方程x﹣y+2＝0， 方法一：联立方程：， 得x2+2x＝0， 解得 x1＝0，x2＝﹣2，即公共弦的端点坐标为（0，2），（﹣2，0）， 根据两点间的距离公式可得公共弦长为； 方法二：圆x2+y2﹣4＝0的圆心坐标为（0，0），半径为r＝2， 圆心到公共弦的距离为， 公共弦长为． 故选：B． 【变式1】已知圆与圆相交，则两个圆的公共弦方程为x+y﹣2＝0　 ，则两圆的公共弦长为　4　 ． 【答案】x+y﹣2＝0；4． 【解答】解：因为圆与圆相交， 所以两圆方程相减得，2x+2y﹣14＝﹣10，即x+y﹣2＝0， 所以两个圆的公共弦方程为x+y﹣2＝0， 因为圆，所以圆心C1（0，0），半径r， 所以圆心C1到直线x+y﹣2＝0的距离d， 所以两圆的公共弦长为224． 故答案为：x+y﹣2＝0；4． 题型15 由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数 解｜题｜知｜识 ﹣方程或参数：根据圆与圆的位置关系，可以确定圆的方程或参数，如圆心位置和半径． 【解题方法点拨】 ﹣确定方程： 1．分析位置关系：根据圆与圆的位置关系确定方程形式． 2．代入条件：根据位置关系求解方程的参数和具体形式． 【命题方向】 ﹣方程参数求解：考查如何根据圆与圆的位置关系确定圆的方程或参数，涉及几何解释和代数计算． 【典例1】圆和圆的交点为A，B，则有（　　） A．公共弦AB所在直线方程为x+y＝0 B．线段AB中垂线方程为x+y﹣1＝0 C．公共弦AB的长为 D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为 【答案】BD 【解答】解：由题意圆和圆， 可将两圆化为标准方程，圆的圆心O1（1，0），半径r1＝1， 的圆心O2（﹣1，2），半径， 则有，即圆O1与圆O2相交， 对于A，将方程x2+y2﹣2x＝0与x2+y2+2x﹣4y＝0相减， 得公共弦AB所在直线的方程为4x﹣4y＝0，即x﹣y＝0，A错误； 对于B，由选项A知，直线AB的斜率kAB＝1，则线段AB中垂线的斜率为﹣1， 而线段AB中垂线过点O1（1，0），于是线段AB中垂线方程为y﹣0＝﹣1×（x﹣1），即x+y﹣1＝0，B正确； 对于C，点O1（1，0）到直线x﹣y＝0的距离为， 因此，C错误； 对于D，P为圆O1上一动点，圆心O1（1，0）到直线x﹣y＝0的距离为， 因此点P到直线AB距离的最大值为，D正确． 故选：BD． 【变式1】圆D经过点A（16，0），且与圆C：x2+y2+8x﹣6y＝0相切于坐标原点O，则圆D的标准方程为 　（x﹣8）2+（y+6）2＝100　 ． 【答案】（x﹣8）2+（y+6）2＝100 【解答】解：如图， 由已知，圆C的圆心C（﹣4，3），半径r＝5，且圆C过原点， 因为圆D与圆C相切于坐标原点O，且过点A， 所以圆D与圆C相外切，圆心D是线段OA的垂直平分线与直线CO的交点， 线段OA的垂直平分线的方程为x＝8，直线OC的方程为3x+4y＝0，所以D（8，﹣6）， 所以圆D的半径R＝|OD|＝10，所以圆D的标准方程为（x﹣8）2+（y+6）2＝100． 故答案为：（x﹣8）2+（y+6）2＝100． 题型16 两圆的公切线条数及方程的确定 解｜题｜知｜识 之前谈到过圆外一点可以做两条圆的相切，那么当有两个圆的时候，他们的公切线有几条呢？这里面不得不考虑两个圆的位置关系．①当两圆相离时，公切线有四条；②当两圆外切时，公切线有三条；③当两圆内切时，公切线仅有一条；④当两圆的关系为内含时，没有公切线． 【解题方法点拨】 初中知识，在高考中较少涉及，求切线的方法无外乎先设出切线方程，然后根据切线的性质求出切线的参数即可． 【典例1】圆C1：（x+2）2+（y﹣1）2＝4与圆C2：（x﹣3）2+y2＝9的公切线的条数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解答】解：根据题意，圆，圆心C1（﹣2，1），半径为2， 圆，圆心C2（3，0），半径为3， 两圆圆心距d2+3，故两圆相离， 则两圆的公切线有4条． 故选：A． 【变式1】已知圆M：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2与圆N：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0恰有三条公切线，则m＝（　　） A．15 B．17 C．21 D．23 【答案】D 【解答】解：圆M：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2， 则圆心M（1，2），半径， 圆N：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0，即（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25﹣m， 则圆心N（3，4），半径r2， 圆M：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2与圆N：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0恰有三条公切线， 则圆M和圆N外切， 故|MN|＝r1+r2，即，解得m＝23． 故选：D． 【变式2】已知圆与圆，则（　　） A．C1与C2相交，相交弦所在直线的方程为x+2y﹣2＝0 B．C1与C2相交，相交弦所在直线的方程为x+2y＝0 C．C1与C2外切，内公切线所在直线的方程为x+2y﹣2＝0 D．C1与C2外切，内公切线所在直线的方程为x+2y＝0 【答案】B 【解答】解：圆的圆心C2（0，2），半径为r2＝2， 圆的圆心C1（﹣1，0），半径为r1＝1， ， 因为r2﹣r1＜|C1C2|＜r2+r1，所以C1与C2相交， 将两个圆的方程作差得x2+（y﹣2）2﹣（x+1）2﹣y2＝4﹣1，整理得x+2y＝0， 即相交弦所在直线的方程为x+2y＝0． 故选：B． 题型17 圆系方程 解｜题｜知｜识 所谓圆系方程指的是所有的圆都有相同的圆心，但圆的半径不同的圆的总和，还可以是圆的半径相同，但圆心不同，我们把满足这两种情况的圆的总和就叫做圆系方程；除了圆系，还有直线系（过某一定点）等等． 【典例1】已知圆与圆． （1）求证：圆C1与圆C2相交； （2）求两圆公共弦所在直线的方程； （3）求经过两圆交点，且圆心在直线x+y﹣6＝0上的圆的方程． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：圆化为标准方程为（x+1）2+（y+1）2＝16 ∴C2（﹣1，﹣1），r＝4 ∵圆的圆心坐标为（0，0），半径为R ∴|C1C2| ∵44 ∴两圆相交； （2）解：将两圆方程相减，可得2x+2y﹣4＝0，即两圆公共弦所在直线的方程为x+y﹣2＝0； （3）解：设所求圆的方程为x2+y2+2x+2y﹣14+λ（x2+y2﹣10）＝0（λ≠﹣1） 即（1+λ）x2+（1+λ）y2+2x+2y﹣14﹣10λ＝0 ∴圆心坐标为（，） 代入直线x+y﹣6＝0可得：6＝0，∴ ∴所求圆的方程为x2+y2﹣6x﹣6y+2＝0． 题型18 相交弦所在直线的方程 解｜题｜知｜识 求解相交弦所在直线方程的方法：将两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程． 【典例1】圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣8＝0与圆x2+y2+2y＝0的公共弦所在直线的方程为（　　） A．2x+3y﹣4＝0 B．2x﹣y+4＝0 C．2x﹣y﹣4＝0 D．2x+3y+4＝0 【答案】D 【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣8＝0化为标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝16， 则圆心O1（2，2），半径为r1＝4， 圆x2+y2+2y＝0化为标准方程为：x2+（y+1）2＝1， 则圆心O2（0，﹣1），半径为r2＝1， 因为，此时两圆相交， 将两圆方程相减得4x+6y+8＝0，即2x+3y+4＝0， 故两圆公共弦所在直线的方程为2x+3y+4＝0． 故选：D． 【变式1】下列结论错误的是（　　） A．若圆C1：x2+y2+2x+3y+1＝0，圆C2：x2+y2+4x+3y+2＝0，则圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程是 B．若圆x2+y2＝r2上有且仅有2个点到直线l：的距离等于1，则0＜r＜2 C．曲线C1：x2+y2+2x＝0与曲线C2：x2+y2﹣4x﹣8y+m＝0恰有三条公切线，则m＝4 D．已知圆C：x2+y2＝2，P为直线上一动点，过点P向圆C引一条切线PA，其中A为切点，则PA的最小值为4 【答案】D 【解答】解：由圆C1：x2+y2+2x+3y+1＝0，圆C2：x2+y2+4x+3y+2＝0，联立可得﹣2x﹣1＝0， 即圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为，故A正确； 依题意，圆心（0，0）到直线的距离， 则r﹣1＜1＜r+1，解得0＜r＜2，故B正确； 若圆C1与圆C2有三条公切线，则两圆外切， 由x2+y2+2x＝0，得，圆心为C1（﹣1，0），半径为1， 由x2+y2﹣4x﹣8y+m＝0，得，圆心为C2（2，4），半径为， 由|C1C2|＝5，得，解得m＝4，故C正确； 如图， 由切线长定理，可得，要使|PA|最小，需使|OP|最小， 因为P为直线上一动点，所以当OP与直线垂直时，|OP|取得最小值， 此时|OP|即圆心（0，0）到直线的距离，等于， 故，故D错误． 故选：D． 【变式2】已知圆和圆，则下列结论中正确的是（　　） A．圆O2与x轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为2x﹣y﹣3＝0 C．有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 【答案】C 【解答】解：由圆，得圆， 圆心坐标O1（1，0），半径r1＝1， 由圆，得圆， 圆心坐标O2（3，1），半径r2＝2． 因为O2（3，1）与x轴的距离为1，小于该圆的半径2，所以圆O2与x轴不相切，故A错误； 因为，所以两圆相交， 两圆的方程相减，得到两圆公共弦所在直线方程为2x+y﹣3＝0，故B错误； 因为两圆的位置关系是相交，所以有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线，故C正确； 根据勾股定理可得，公切线段长为，D错误． 故选：C． 题型19 直线和圆的方程的应用 解｜题｜知｜识 1、直线方程的形式： 2、圆的方程： （1）圆的标准方程： （x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），其中圆心C（a，b），半径为r． 特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：x2+y2＝r2． 其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件． （2）圆的一般方程： x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0） 其中圆心（，），半径r． 【典例1】已知点A，B是圆C：（x﹣2）2+y2＝1上的两个动点，圆，点P是直线l：x+y＝0上的动点，且，下列说法正确的是（　　） A．直线x＝1是圆C与圆C1的公切线 B．|PA|的最小值为 C．四边形ACBP面积的最小值为2 D．直线AB恒过定点 【答案】AD 【解答】解：对于选项A，连接C1C，由于|C1C|＝2，圆C1，圆C的半径均为1， 因此圆C1，圆C外切，结合草图可知，G（0，﹣1），D（1，0），H（0，1）， 那么圆C1，圆C的公切线方程为y＝1，y＝﹣1，x＝1，因此选项A正确． 对于选项B，如图，由于，， 因此PA⊥CA，PB⊥CB，连接CP，那么|PA|， 因此当|CP|最小时，|PA|最小．当CP⊥l，即|CP|为圆心C（2，0）到直线l的距离时，|CP|最小，， 因此|PA|min，因此选项B错误． 对于选项C，根据题意得，|PA|＝|PB|，因此四边形ACBP的面积S， 根据选项B可知Smin＝1，因此选项C错误． 对于选项D，设P（t，﹣t），由于PA，PB是圆C的切线，因此点A，B在以PC为直径的圆上． 由于C（2，0），因此以PC为直径的圆的方程为（x﹣t）（x﹣2）+（y+t）（y﹣0）＝0， 整理得x2+y2﹣（t+2）x+ty+2t＝0，与圆C（x﹣2）2+y2＝1相减得直线AB的方程为（x﹣2）（t﹣2）+y（﹣t）＝1， 化简得2x﹣3﹣t（x﹣y﹣2）＝0，由得即直线AB恒过定点，因此选项D正确． 故选：AD． 【变式1】在一个平面上，机器人从点C（5，﹣3）的距离为9的地方绕点C顺时针而行，在行进中保持与C的距离不变，它在进行过程中到过点A（﹣10，0）与B（0，12）的直线的距离取值范围为 　[9，9]　 ． 【答案】[9，9]． 【解答】解：设机器人所处的位置为P点，可得点P的轨迹是以C（5，﹣3）为圆心，半径r＝9的圆， 直线AB的截距式方程为1，化简得6x﹣5y+60＝0， 点C（5，﹣3）到直线AB的距离dr＝9， 可知直线AB与圆C相离， 所以点P到直线AB距离的最大值为d+r9，最小值为d﹣r9， 可知点P到直线AB的距离的取值范围是[9，9]． 故答案为：[9，9]． 题型20 圆方程的综合应用 解｜题｜知｜识 圆的方程： （1）圆的标准方程： （x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），其中圆心C（a，b），半径为r． 特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：x2+y2＝r2． 其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件． （2）圆的一般方程： x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0） 其中圆心（，），半径r． 【典例1】设集合，集合F＝{（x，y）|（x+3）2+（y﹣3）2≤r2}（r＞0），当E∪F＝F时，则r的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：根据题意，集合， 整理得x2+y2＝4（x≤0），该集合E是以（0，0）为圆心，2为半径的左半圆， 设该半圆为圆O， 与y轴的交点为A（0，﹣2）和B（0，2）； 集合F＝{（x，y）|（x+3）2+（y﹣3）2≤r2}（r＞0），表示以点（﹣3，3）为圆心以r为半径的圆以及圆的内部，设该圆为圆M， 若E∪F＝F，即E⊆F，即半圆O在圆M的内部， 当圆M经过点A时，r最小，其最小值为|MA|， 必有r，即r的取值范围为[，+∞）． 故选：B． 【变式1】已知实数x，y满足方程x2+y2﹣4x+1＝0，则下列说法正确的是（　　） A．点（x，y）到点（2，0）的距离为定值 B．y的最大值为 C．的最大值为 D．x+y的最大值为 【答案】ABD 【解答】解：选项A，由x2+y2﹣4x+1＝0，得（x﹣2）2+y2＝3， 所以点（x，y）的轨迹是以（2，0）为圆心，r为半径的圆， 所以点（x，y）到点（2，0）的距离为该圆的半径，即定值，故选项A正确； 选项B，由（x﹣2）2+y2＝3，知y2＝3﹣（x﹣2）2≤3， 所以， 即y的最大值为，故选项B正确； 选项C，的几何意义为点（x，y）到点（0，1）的距离， 因为圆心（2，0）到点（0，1）的距离， 所以的最大值为，故选项C错误； 选项D，设，，θ∈[0，2π）， 则， 因为θ∈[0，2π）， 所以， 所以当，即时，x+y取得最大值，故选项D正确． 故选：ABD． 【变式2】已知实数x，y满足方程x2+y2﹣4x+1＝0，则下列说法中正确的有（　　） A．y﹣x的最大值为2 B．x2+y2的最大值为7+4 C．的最大值为 D．x+y的最大值为2 【答案】AB 【解答】解：根据题意，方程x2+y2﹣4x+1＝0，即（x﹣2）2+y2＝3，表示圆心为（2，0），半径为的圆， 由此分析选项： 对于A，设y﹣x＝z，则x﹣y+z＝0，直线x﹣y+z＝0与圆（x﹣2）2+y2＝3有公共点，则，解可得2≤z2， 则z＝y﹣x的最大值为2，A正确； 对于B，设t，其几何意义为圆（x﹣2）2+y2＝3上的点到原点的距离，则t的最大值为2， 故x2+y2的最大值为t2＝（2）2＝7+4，B正确； 对于C，设k，则kx﹣y＝0，直线kx﹣y＝0与圆（x﹣2）2+y2＝3有公共点，则，则k， 即的最大值为，C错误； 对于D，设m＝x+y，则x+y﹣m＝0，直线x+y﹣m＝0与圆（x﹣2）2+y2＝3有公共点，则有，解可得：2≤m2， 即x+y的最大值为2，D错误； 故选：AB． 过 关 验 收 1．已知直线l：x﹣y﹣4＝0，圆C：（x﹣1）2+y2＝1，P是l上一动点． （1）若点P在y轴上，求过点P且与圆C相切的直线方程； （2）过点P作圆C的切线，切点分别为M，N，求证：直线MN恒过定点． 【答案】（1）为x＝0或15x﹣8y﹣32＝0； （2）证明：因为点P在直线x﹣y﹣4＝0，设M（x0，x0﹣4）， 由“留一带一”法可得直线MN的方程为（x0﹣1）（x﹣1）+（x0﹣4）y＝1， 整理可得x0（x﹣1+y）﹣x﹣4y＝0， 联立，解得， 即直线MN恒过定点（，）． 【解答】解：（1）因为点P在y轴上，且在直线l：x﹣y﹣4＝0上，令x＝0，可得y＝﹣4， 即点P（0，﹣4），圆C：（x﹣1）2+y2＝1，可得圆心C（1，0），半径r＝1， 当过点P的切线的斜率不存在时，则切线的方程为x＝0，可得圆心（1，0）到直线的距离d＝1＝r，符合条件； 当过点P的切线的斜率存在时，设切线的方程为y＝kx﹣4，即kx﹣y﹣4＝0， 可得圆心C（1，0）到直线的距离dr＝1，解得k， 此时切线的方程为yx﹣4，即15x﹣8y﹣32＝0． 综上所述：切线方程为x＝0或15x﹣8y﹣32＝0； （2）证明：因为点P在直线x﹣y﹣4＝0，设M（x0，x0﹣4）， 由“留一带一”法可得直线MN的方程为（x0﹣1）（x﹣1）+（x0﹣4）y＝1， 整理可得x0（x﹣1+y）﹣x﹣4y＝0， 联立，解得， 即直线MN恒过定点（，）． 2．过P（﹣3，2）作与圆C：x2+y2+4y+m＝0相切的两条直线PA，PB，切点分别为A，B，且，则m＝（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【解答】解：圆C：x2+y2+4y+m＝0化为标准方程C：x2+（y+2）2＝4﹣m， 则圆心C（0，﹣2），半径， 由题意知， 解得，负值舍去， 在Rt△APC中，|PC|＝5，且， 所以， 解得m＝3． 故选：A． 3．已知圆C：（x﹣2）2+（y+2）2＝1，直线l：x+y+m＝0．若直线l上存在点P，使得过点P的直线与圆C交于A、B两点，且满足，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：已知圆C：（x﹣2）2+（y+2）2＝1，直线l：x+y+m＝0， 若直线l上存在点P，使得过点P的直线与圆C交于A、B两点， 取A，B的中点Q， 因为， 所以， 所以， 又， 所以点P在圆（x﹣2）2+（y+2）2＝25上， 又P在直线l上，所以直线l与圆（x﹣2）2+（y+2）2＝25相交或相切， 所以直线l：x+y+m＝0到圆C圆心距离小于等于5， 又圆心坐标为（2，﹣2）， 则，所以m的取值范围为． 故选：A． 4．已知实数x，y满足y＝x2﹣2x+2（﹣1≤x≤1），则的最大值为　8　 ． 【答案】8． 【解答】解：设点M（x，y）是y＝x2﹣2x+2（﹣1≤x≤1）图象上的一点，点P的坐标为（﹣2，﹣3）， 则直线PM的斜率kPM， 因为直线PM的倾斜角α为锐角，kPM＝tanα， 所以根据正切函数在上单调递增，可知直线PM过点B时斜率最大， 将B（﹣1，5）代入，可得（kPM）max8，即则的最大值为8． 故答案为：8． 5．若曲线与直线kx﹣y+3＝0有两个不同的交点，则实数k的取值范围是　　 ． 【答案】． 【解答】解：两边平方得x2+y2＝1（y≥0）， 表示位于x轴上方的单位圆，包含（±1，0），直线kx﹣y+3＝0过定点（0，3），同一坐标系内画出图形如下： 当kx﹣y+3＝0过点（1，0）时，k﹣0+3＝0，解得k＝﹣3， 当kx﹣y+3＝0与x2+y2＝1（y≥0）相切时， 圆心（0，0）到kx﹣y+3＝0的距离为，解得， 由对称性可知，当曲线与直线kx﹣y+3＝0有两个不同的交点时，实数k的取值范围是． 故答案为：． 6．已知直线l：x﹣ay+3＝0过定点A，圆M：（x﹣2）2+y2＝1． （1）求|AM|； （2）若l与M相切，求a； （3）若点P在圆M上，求|AP|的最大值． 【答案】（1）|AM|＝5； （2）或； （3）6． 【解答】解：（1）因为直线l：x﹣ay+3＝0过定点A， 所以，解得， 即A（﹣3，0），又M（2，0）， 所以； （2）由题可得，圆M的半径r＝1，又l与M相切， 所以点M（2，0）到l：x﹣ay+3＝0的距离， 解得：或； （3）由题，因为A（﹣3，0），M（2，0），由（1）知A在圆外， 所以|AP|≤|AM|+|MP|＝5+1＝6， 当且仅当A，M，P按序共线时，等号成立， 故|AP|的最大值为6． 7．已知圆C的方程x2+y2﹣2x+4y﹣m＝0． （1）若点A（m，﹣2）在圆C的内部，求m的取值范围； （2）m＝4时，设P（x，y）为圆C上的一个动点，求（x﹣4）2+（y﹣2）2的最小值． 【答案】（1）﹣1＜m＜4． （2）4． 【解答】（1）解：圆C的方程即（x﹣1）2+（y+2）2＝5+m， 所以﹣5＜m， 再根据点A（m，﹣2）在圆C的内部，可得（m﹣1）2+（﹣2+2）2＜5+m， 求得﹣1＜m＜4． （2）当m＝4时，圆C的方程即（x﹣1）2+（y+2）2＝5+4＝9， 而（x﹣4）2+（y﹣2）2表示圆C上的点P（x，y）到点H（4，2）的距离的平方， 由于， 故（x﹣4）2+（y﹣2）2的最小值为（5﹣3）2＝4． 8．已知m，n∈R，若两圆x2+y2﹣4mx+4m2﹣1＝0和x2+y2﹣2ny﹣4+n2＝0恰有一条公切线，则2m+n的最大值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解答】解：圆x2+y2﹣2ny﹣4+n2＝0，即x2+（y﹣n）2＝4，圆心C2（0，n），半径r1＝2； 圆x2+y2﹣4mx+4m2﹣1＝0，即（x﹣2m）2+y2＝1，圆心C1（2m，0），半径r2＝1； 两圆恰有一条公切线，说明两圆内切，圆心距等于半径之差： ， 令2m＝cosθ，n＝sinθ，则最大值为． 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 内 容 导 航 题型1 过圆上一点的圆的切线方程 题型2 过圆外一点的圆的切线方程 题型3 切线段及切点弦的长度 题型4 切点弦及所在直线的方程 题型5 直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长 题型6 过圆内一点的弦及弦长的最值 题型7 直线与圆的位置关系 题型8 根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系 题型9 根据联立直线和圆的方程解的情况求解直线与圆的位置关系 题型10 由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数 题型11 圆上的点到定点的距离及其最值 题型12 圆上的点到直线的距离及其最值 题型13 根据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系 题型14 根据联立两圆方程解的情况求解圆与圆的位置关系 题型15 由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数 题型16 两圆的公切线条数及方程的确定 题型17 圆系方程 题型18 相交弦所在直线的方程 题型19 直线和圆的方程的应用 题型20 圆方程的综合应用 考 点 演 练 题型1 过圆上一点的圆的切线方程 解｜题｜知｜识 ﹣切线方程：给定圆的方程（x﹣h）2+（y﹣k）2＝r2和圆上的点（x1，y1），切线的方程为： 【解题方法点拨】 ﹣求切线方程： 1．代入点坐标：将圆上的点（x1，y1）代入切线方程公式． 2．简化方程：得到切线的方程形式． 【命题方向】 ﹣切线计算：考查如何通过圆上的点计算切线方程，涉及几何和代数运算． 【典例1】已知点M（1，2）在圆C：x2+y2＝r2上，则过点M的圆C的切线方程为 　 ． 题型2 过圆外一点的圆的切线方程 解｜题｜知｜识 ﹣外切线方程：给定圆的方程（x﹣h）2+（y﹣k）2＝r2和外点（x0，y0），可以使用切线公式： 其中R是与圆外切的圆的半径． 【解题方法点拨】 ﹣求切线方程： 1．计算切点：找到外点到圆的距离，即切线半径． 2．应用公式：使用切线方程公式计算得到切线方程． 【命题方向】 ﹣外切线问题：考查如何找到通过圆外一点的切线方程，涉及到切线长度和几何计算． 【典例1】过圆O：x2+y2＝1外的点P（3，2）作O的一条切线，切点为M，则|MP|＝（　　） A．2 B． C． D．4 【变式1】已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2＝4，点P为直线l：x+y＝0上一动点，过点P向圆C引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则下列说法正确的是（　　） A．若Q为圆C上任意一点，则|PQ|的最小值为 B．四边形PACB的面积的最小值为4 C．当点P在原点处时，直线AB的方程为x+3y﹣4＝0 D．直线AB过定点（0，2） 【变式2】已知圆C过A（2，0）和B（1，1）两点，且圆心在直线x+y+1＝0上． （1）求圆C的方程； （2）求过点P（1，2）且与圆相切的直线l的方程． 题型3 切线段及切点弦的长度 解｜题｜知｜识 ﹣切线段长度：从圆外一点到切点的切线长度相等，可以使用切线定理： 【解题方法点拨】 ﹣计算切线段长度： 1．计算外点到圆心的距离：用距离公式计算． 2．应用切线公式：计算切线段长度． 【命题方向】 ﹣切线长度计算：考查如何利用切线长度公式求解切线段及切点弦的长度，涉及几何性质和计算． 【典例1】已知圆C：x2+y2＝1，过圆C外一点P作C的两条切线，切点分别为A，B，若∠APB＝120°，则|AB|＝　 　 ． 【变式1】如图，圆M：（x﹣2）2+y2＝1，点P（﹣1，t）为直线l：x＝﹣1上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A、B． （1）若t＝1，求切线所在直线方程； （2）求|AB|的最小值； （3）若两条切线PA，PB与y轴分别交于S、T两点，求|ST|的最小值． 题型4 切点弦及所在直线的方程 解｜题｜知｜识 ﹣切点弦的方程：给定圆和切线的方程，可以找到切点弦的方程． 【解题方法点拨】 ﹣求弦方程： 1．计算切点：通过切线方程和圆的交点得到切点坐标． 2．求弦方程：根据切点和圆的几何性质计算弦的方程． 【命题方向】 ﹣弦方程问题：考查如何从切点和圆的方程求解弦的方程，涉及几何和代数运算． 【典例1】已知圆C的方程为x2+y2＝9，直线l：x+2y﹣10＝0，点P是直线l上的一动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PACB的面积最小时，直线AB的方程为（　　） A．2x+4y+9＝0 B．4x+2y+9＝0 C．4x+2y﹣9＝0 D．2x+4y﹣9＝0 【变式1】已知点P为直线l：x+y﹣2＝0上的动点，过点P作圆C：x2+2x+y2＝0的切线PA，PB，切点为A，B，当|PC|•|AB|最小时，直线AB的方程为 　 　 ． 题型5 直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长 解｜题｜知｜识 ﹣弦长公式：给定直线方程和圆的方程，可以计算直线截得圆的弦长． 【解题方法点拨】 ﹣计算弦长： 1．求交点：计算直线和圆的交点． 2．弦长公式：用交点坐标计算弦的长度． 【命题方向】 ﹣弦长计算：考查如何利用直线和圆的交点计算弦的长度，涉及几何和代数计算． 【典例1】已知直线ax+y+2﹣a＝0与圆C：x2+y2+4y﹣1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式1】若直线x+y﹣m＝0被圆C：（x﹣1）2+（y+1）2＝4截得的弦长为，则m＝（　　） A．±2 B． C．2 D．2 【变式2】直线x+y﹣1＝0被圆（x+1）2+y2＝3截得的弦长等于　 　 ． 题型6 过圆内一点的弦及弦长的最值 解｜题｜知｜识 ﹣弦长的最值：给定圆和圆内点，可以通过优化方法求弦长的最大值和最小值． 【解题方法点拨】 ﹣最值计算： 1．利用几何性质：圆内点到圆的弦长最大为直径． 2．应用最值理论：通过几何分析或导数法计算弦长的最值． 【命题方向】 ﹣弦长最值：考查如何从圆内点求弦长的最大值或最小值，涉及几何性质和优化方法． 【典例1】已知圆M的方程是x2+y2﹣8x﹣2y+10＝0，则圆M中过点（6，2）的最短弦所在的直线方程是（　　） A．x﹣2y﹣2＝0 B．2x+y﹣14＝0 C．x+y﹣8＝0 D．2x﹣y﹣10＝0 【变式1】已知圆C：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1＝0，AB是圆C上的一条动弦，且，O为坐标原点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知在圆M：x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0内，过点O（0，0）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 题型7 直线与圆的位置关系 解｜题｜知｜识 直线与圆的位置关系 【解题方法点拨】 判断直线与圆的位置关系的方法 直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法： （1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断． 圆心到直线的距离d ①相交：d＜r ②相切：d＝r ③相离：d＞r （2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断． 由消元，得到一元二次方程的判别式△ ①相交：△＞0 ②相切：△＝0 ③相离：△＜0． 【典例1】若点M是圆C：x2+y2﹣4x＝0上的任一点，直线l：x+y+2＝0与x轴、y轴分别相交于A、B两点，则∠MAB的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知实数x，y满足方程，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．[2，4] 【变式2】已知点P为直线l：2x+y+2＝0上的一个动点，A，B为圆M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0上任意两个不重合的点，记cos∠APB的最小值为m，sin∠APB的最大值为n，则m+n＝（　　） A． B． C． D． 题型8 根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系 解｜题｜知｜识 ﹣位置关系：直线与圆的位置关系取决于直线到圆心的距离与圆半径的比较： ﹣相交：距离小于半径 ﹣切线：距离等于半径 ﹣外离：距离大于半径 【解题方法点拨】 ﹣确定位置关系： 1．计算圆心到直线的距离． 2．比较距离与半径，确定直线与圆的位置关系． 【命题方向】 ﹣位置关系判断：考查如何根据直线到圆心的距离与圆半径的关系确定直线与圆的位置关系，涉及距离计算和几何解释． 【典例1】若直线l：kx﹣y﹣2＝0与曲线至少有一个公共点，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知b是a，c的等差中项，直线ax+by+c＝0与圆x2+y2+4y﹣1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D． 【变式2】直线l：x+y+4＝0与圆M：（x﹣1）2+（y+1）2＝7的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定的 题型9 根据联立直线和圆的方程解的情况求解直线与圆的位置关系 解｜题｜知｜识 ﹣解的情况：联立直线和圆的方程，解的个数和性质决定了直线与圆的位置关系： ﹣两个交点：相交 ﹣一个交点：切线 ﹣无交点：外离 【解题方法点拨】 ﹣解方程： 1．联立方程：解直线和圆的方程组． 2．分析解的个数：通过解的个数确定直线与圆的位置关系． 【命题方向】 ﹣位置关系通过方程求解：考查如何通过解联立方程确定直线与圆的位置关系，涉及代数方程组的解法． 【典例1】M（x0，y0）为圆x2+y2＝a2（a＞0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y＝a2与该圆的位置关系为（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 【变式1】直线（k+1）x﹣ky+1＝0（k∈R）与圆（x+2）2+（y﹣1）2＝3的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．与k的值有关 题型10 由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数 解｜题｜知｜识 ﹣求方程或参数：根据直线与圆的位置关系，可以推导直线的方程或圆的方程的参数． 【解题方法点拨】 ﹣确定方程： 1．根据位置关系：从直线与圆的位置关系出发确定方程的形式． 2．代入条件：确定方程的参数和具体形式． 【命题方向】 ﹣方程参数求解：考查如何根据位置关系确定方程或参数，涉及几何解释和代数计算． 【典例1】若直线l：ax﹣by﹣4＝0与圆O：x2+y2＝4相离，则点P（a，b）（　　） A．在圆O外 B．在圆O内 C．在圆O上 D．位置不确定 【变式1】过点（﹣1，0）作直线l与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1相切，斜率的最大值为M，若a+b＝M，a＞0，b＞0，则的最小值是（　　） A．12 B．9 C． D． 【变式2】已知直线ax+y﹣1＝0与圆相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a的值为（　　） A． B． C． D． 题型11 圆上的点到定点的距离及其最值 解｜题｜知｜识 ﹣最值问题：圆上的点到定点的距离范围是最小和最大值，分别是圆心到定点距离减去半径和加上半径． 【解题方法点拨】 ﹣最值计算： 1．计算距离：使用点到圆心的距离和半径计算最小值和最大值． 2．应用几何性质：利用圆的几何性质计算距离的范围． 【命题方向】 ﹣距离最值：考查如何计算圆上的点到定点的距离的最值，涉及几何和代数方法． 【典例1】已知点P是直线l1：mx﹣y﹣5m+1＝0和l2：x+my﹣5m﹣1＝0的交点，点Q是圆C：（x+1）2+（y+1）2＝1上的动点，则|PQ|的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知b是a，c的等差中项，直线l：ax+by+c＝0，点P为圆x2+（y+2）2＝9上任意一点，则点P到直线l距离的最大值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】已知，且x1x2+y1y2＝0，则的最大值为（　　） A．9 B．12 C．36 D．48 【变式3】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤4，若将军从点A（3，1）处出发，河岸线所在直线方程为x+y＝5，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 　 ． 题型12 圆上的点到直线的距离及其最值 解｜题｜知｜识 ﹣最值问题：圆上的点到直线的距离的最小值是圆心到直线的距离减去半径，最大值是圆心到直线的距离加上半径． 【解题方法点拨】 ﹣最值计算： 1．计算距离：利用圆心到直线的距离和半径计算最小值和最大值． 2．应用几何方法：通过几何方法确定最值范围． 【命题方向】 ﹣距离最值：考查如何计算圆上的点到直线的距离的最值，涉及几何和代数方法． 【典例1】已知圆C：（x+2）2+y2＝4，直线l：（m+1）x+4y﹣1+m＝0（m∈R），则（　　） A．直线l恒过定点（﹣1，1） B．坐标原点到直线l的最大距离为 C．当m＝1时，圆C上恰有四个点到直线l的距离等于1 D．若直线3x+4y﹣7m＝0与直线平行，过该直线上一动点P作圆C的一条切线，切点为A，则|PA|min＝4 【变式1】已知直线l：x﹣y+4＝0，圆C：x2+y2＝r2（r＞0），若圆C上有且仅有三个点到直线l的距离为，则r＝（　　） A．2 B．4 C． D． 【变式2】已知圆C：（x+2）2+（y+1）2＝4和直线l：（1+3λ）x+（1+λ）y﹣2﹣4λ＝0（λ∈R），若点P在圆C上，则点P到直线l的距离的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式3】已知直线l：kx﹣y+k＝0，圆C：x2+y2﹣6x+5＝0，P（x0，y0）为圆C上任意一点，则下列说法正确的是（　　） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．直线l与圆C相切时， D．圆心C到直线l的距离最大为4 题型13 根据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系 解｜题｜知｜识 ﹣位置关系：两圆的位置关系可以通过圆心距和半径之和与半径之差确定： ﹣相交：圆心距小于两半径之和且大于半径之差 ﹣外离：圆心距大于两半径之和 ﹣内切：圆心距等于半径之差 ﹣外切：圆心距等于两半径之和 【解题方法点拨】 ﹣确定位置关系： 1．计算圆心距． 2．比较半径和圆心距，确定圆与圆的位置关系． 【命题方向】 ﹣圆与圆的位置关系：考查如何通过圆心距和半径的比较确定圆与圆的位置关系，涉及几何计算和代数比较． 【典例1】圆与圆的位置关系是（　　） A．外离 B．相交 C．外切 D．内切 【变式1】已知O（0，0），A（﹣3，0），圆C：（x﹣2）2+y2＝r2（r＞0）上有且仅有一个点P满足|PA|＝2|PO|，则r的取值可以为（　　） A．1或3 B．2 C．3 D．1或5 【变式2】已知圆C1：x2+y2＝4和圆C2：（x﹣3）2+（y﹣5）2＝16相交于A，B两点，则（　　） A．直线AB的方程为3x+5y﹣11＝0 B． C．四边形AC1BC2的面积为 D．圆C3：（x﹣3）2+y2＝1与圆C1和圆C2都相切 题型14 根据联立两圆方程解的情况求解圆与圆的位置关系 解｜题｜知｜识 ﹣解的情况：联立两圆方程可以得到解的个数和性质，进而确定圆与圆的位置关系： ﹣两个交点：相交 ﹣一个交点：外切或内切 ﹣无交点：外离或内离 【解题方法点拨】 ﹣解方程： 1．联立方程：解两圆的方程组． 2．分析解的个数：通过解的个数和性质确定圆与圆的位置关系． 【命题方向】 ﹣圆与圆的位置关系：考查如何通过解联立方程确定圆与圆的位置关系，涉及代数方程组的解法． 【典例1】圆x2+y2﹣4＝0与圆x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0的公共弦长为（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知圆与圆相交，则两个圆的公共弦方程为 　 ，则两圆的公共弦长为　 ． 题型15 由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数 解｜题｜知｜识 ﹣方程或参数：根据圆与圆的位置关系，可以确定圆的方程或参数，如圆心位置和半径． 【解题方法点拨】 ﹣确定方程： 1．分析位置关系：根据圆与圆的位置关系确定方程形式． 2．代入条件：根据位置关系求解方程的参数和具体形式． 【命题方向】 ﹣方程参数求解：考查如何根据圆与圆的位置关系确定圆的方程或参数，涉及几何解释和代数计算． 【典例1】圆和圆的交点为A，B，则有（　　） A．公共弦AB所在直线方程为x+y＝0 B．线段AB中垂线方程为x+y﹣1＝0 C．公共弦AB的长为 D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为 【变式1】圆D经过点A（16，0），且与圆C：x2+y2+8x﹣6y＝0相切于坐标原点O，则圆D的标准方程为 　 　 ． 题型16 两圆的公切线条数及方程的确定 解｜题｜知｜识 之前谈到过圆外一点可以做两条圆的相切，那么当有两个圆的时候，他们的公切线有几条呢？这里面不得不考虑两个圆的位置关系．①当两圆相离时，公切线有四条；②当两圆外切时，公切线有三条；③当两圆内切时，公切线仅有一条；④当两圆的关系为内含时，没有公切线． 【解题方法点拨】 初中知识，在高考中较少涉及，求切线的方法无外乎先设出切线方程，然后根据切线的性质求出切线的参数即可． 【典例1】圆C1：（x+2）2+（y﹣1）2＝4与圆C2：（x﹣3）2+y2＝9的公切线的条数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1】已知圆M：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2与圆N：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0恰有三条公切线，则m＝（　　） A．15 B．17 C．21 D．23 【变式2】已知圆与圆，则（　　） A．C1与C2相交，相交弦所在直线的方程为x+2y﹣2＝0 B．C1与C2相交，相交弦所在直线的方程为x+2y＝0 C．C1与C2外切，内公切线所在直线的方程为x+2y﹣2＝0 D．C1与C2外切，内公切线所在直线的方程为x+2y＝0 题型17 圆系方程 解｜题｜知｜识 所谓圆系方程指的是所有的圆都有相同的圆心，但圆的半径不同的圆的总和，还可以是圆的半径相同，但圆心不同，我们把满足这两种情况的圆的总和就叫做圆系方程；除了圆系，还有直线系（过某一定点）等等． 【典例1】已知圆与圆． （1）求证：圆C1与圆C2相交； （2）求两圆公共弦所在直线的方程； （3）求经过两圆交点，且圆心在直线x+y﹣6＝0上的圆的方程． 题型18 相交弦所在直线的方程 解｜题｜知｜识 求解相交弦所在直线方程的方法：将两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程． 【典例1】圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣8＝0与圆x2+y2+2y＝0的公共弦所在直线的方程为（　　） A．2x+3y﹣4＝0 B．2x﹣y+4＝0 C．2x﹣y﹣4＝0 D．2x+3y+4＝0 【变式1】下列结论错误的是（　　） A．若圆C1：x2+y2+2x+3y+1＝0，圆C2：x2+y2+4x+3y+2＝0，则圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程是 B．若圆x2+y2＝r2上有且仅有2个点到直线l：的距离等于1，则0＜r＜2 C．曲线C1：x2+y2+2x＝0与曲线C2：x2+y2﹣4x﹣8y+m＝0恰有三条公切线，则m＝4 D．已知圆C：x2+y2＝2，P为直线上一动点，过点P向圆C引一条切线PA，其中A为切点，则PA的最小值为4 【变式2】已知圆和圆，则下列结论中正确的是（　　） A．圆O2与x轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为2x﹣y﹣3＝0 C．有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 题型19 直线和圆的方程的应用 解｜题｜知｜识 1、直线方程的形式： 2、圆的方程： （1）圆的标准方程： （x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），其中圆心C（a，b），半径为r． 特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：x2+y2＝r2． 其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件． （2）圆的一般方程： x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0） 其中圆心（，），半径r． 【典例1】已知点A，B是圆C：（x﹣2）2+y2＝1上的两个动点，圆，点P是直线l：x+y＝0上的动点，且，下列说法正确的是（　　） A．直线x＝1是圆C与圆C1的公切线 B．|PA|的最小值为 C．四边形ACBP面积的最小值为2 D．直线AB恒过定点 【变式1】在一个平面上，机器人从点C（5，﹣3）的距离为9的地方绕点C顺时针而行，在行进中保持与C的距离不变，它在进行过程中到过点A（﹣10，0）与B（0，12）的直线的距离取值范围为 ． 题型20 圆方程的综合应用 解｜题｜知｜识 圆的方程： （1）圆的标准方程： （x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），其中圆心C（a，b），半径为r． 特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：x2+y2＝r2． 其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件． （2）圆的一般方程： x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0） 其中圆心（，），半径r． 【典例1】设集合，集合F＝{（x，y）|（x+3）2+（y﹣3）2≤r2}（r＞0），当E∪F＝F时，则r的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知实数x，y满足方程x2+y2﹣4x+1＝0，则下列说法正确的是（　　） A．点（x，y）到点（2，0）的距离为定值 B．y的最大值为 C．的最大值为 D．x+y的最大值为 【变式2】已知实数x，y满足方程x2+y2﹣4x+1＝0，则下列说法中正确的有（　　） A．y﹣x的最大值为2 B．x2+y2的最大值为7+4 C．的最大值为 D．x+y的最大值为2 过 关 验 收 1．已知直线l：x﹣y﹣4＝0，圆C：（x﹣1）2+y2＝1，P是l上一动点． （1）若点P在y轴上，求过点P且与圆C相切的直线方程； （2）过点P作圆C的切线，切点分别为M，N，求证：直线MN恒过定点． 2．过P（﹣3，2）作与圆C：x2+y2+4y+m＝0相切的两条直线PA，PB，切点分别为A，B，且，则m＝（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 3．已知圆C：（x﹣2）2+（y+2）2＝1，直线l：x+y+m＝0．若直线l上存在点P，使得过点P的直线与圆C交于A、B两点，且满足，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．已知实数x，y满足y＝x2﹣2x+2（﹣1≤x≤1），则的最大值为　 　 ． 5．若曲线与直线kx﹣y+3＝0有两个不同的交点，则实数k的取值范围是　 ． 6．已知直线l：x﹣ay+3＝0过定点A，圆M：（x﹣2）2+y2＝1． （1）求|AM|； （2）若l与M相切，求a； （3）若点P在圆M上，求|AP|的最大值． 7．已知圆C的方程x2+y2﹣2x+4y﹣m＝0． （1）若点A（m，﹣2）在圆C的内部，求m的取值范围； （2）m＝4时，设P（x，y）为圆C上的一个动点，求（x﹣4）2+（y﹣2）2的最小值． 8．已知m，n∈R，若两圆x2+y2﹣4mx+4m2﹣1＝0和x2+y2﹣2ny﹣4+n2＝0恰有一条公切线，则2m+n的最大值为（　　） A． B． C．2 D． 学科网（北京）股份有限公司 $