精品解析：云南保山市天立学校2026-2027学年上学期数学学科九年级第一学月限时训练试卷

2026年秋季学期数学学科九年级第一学月限时训练试卷 一、选择题（每题2分，共30分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数形式为， 逐一判断即可解答． 【详解】解：A．是一次函数，不符合题意； B．是二次函数，符合题意； C．，此函数的次数是，不是二次函数，不符合题意． D．，最高次为4，不是二次函数，不符合题意． 故选B． 2. 二次函数的图象与x轴的交点坐标为（　　） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像和坐标轴交点． 将代入解析式解方程即可． 【详解】解：令，得， 解得或， 所以交点坐标为和． 故选：A． 3. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项． 【详解】解：∵ 一元二次方程是只含一个未知数且最高次数为2的整式方程， 选项A: 中含有分式，不是整式方程，∴ 不符合； 选项B: 中，a可能为0，当时不是二次方程，∴ 不一定是一元二次方程； 选项C: 可化为，是整式方程，只含x且最高次数为2，∴ 符合； 选项D: 中含有两个未知数x和y，∴ 不是一元二次方程． 故选：C． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根． 【详解】解：， ∴方程有两个相等的实数根， 故选A． 5. 将一元二次方程化成的形式，则a，b的值分别为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 将常数项移到等号右侧后配方即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：A． 6. 抛物线的顶点坐标是( ) A. （3，1） B. （3，﹣1） C. （﹣3，1） D. （﹣3，﹣1） 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可． 【详解】解：抛物线的解析式为：， 其顶点坐标为：． 故选：A． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，二次函数的顶点式为，此时顶点坐标是，对称轴是直线，此题考查了学生的应用能力． 7. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查二次函数图象与系数的关系．关键是掌握二次函数，①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即)，对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即)，对称轴在y轴右侧（左同右异）；当时，对称轴为y轴；③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于，据此即可求解． 【详解】解：因为抛物线开口向上， 所以； 因为对称轴在y轴右侧， 所以，即； 因为抛物线与y轴交于负半轴， 所以． 故选：D． 8. 某商品原价200元，连续两次降价后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率，由连续两次降价，得每次降价后价格变为原价的倍，因此两次降价后价格为原价乘以，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵某商品原价200元，连续两次降价后售价为148元， ∴， 故选：B． 9. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长米、宽米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，解题关键是找准等量关系列出方程． 将阴影部分移到一起，拼成一个新矩形，用表示出新矩形的长与宽，再根据“种植面积为平方米”列出方程即可． 【详解】解：设小道的宽为米， 则将阴影部分移到一起，拼成一个新矩形的长为米，宽为米， 可列方程为， 故选：C． 10. 巴黎奥运会网球女子单打冠军中国选手郑钦文顺利入围2024年WTA年终总决赛女子单打项目，该项目第一阶段采用组内循环赛制，即每两名选手之间比赛一场．如果计划安排36场组内循环赛，共有几名选手参加组内循环赛？设一共有名选手参加组内循环赛，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了有实际问题抽象出一元二次方程，设一共有x名选手参加组内循环赛，则每个队参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一个一元二次方程． 【详解】解：由题意可列方程为：． 故选：D． 11. 某湖面上有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意可得：把代入，进行计算，即可求解． 【详解】解：∵水面宽为， ∴的横坐标为 把代入 得： ∴ ∴此时拱顶到水面的距离为 故选：A． 12. 若，两点在二次函数的图象上，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．根据二次函数解析式可知，函数图象的对称轴为直线，且在对称轴左侧，随的增大而增大，再根据与与对称轴的位置关系，即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数的值随的增大而增大， ∵点，都在二次函数的图象上， ∴， 故选：A． 13. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴． 14. 已知二次函数的y与x的部分对应值如表： 下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线；③当时，；④方程有两个相等的实数根．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质． 根据图表在平面直角坐标系中画出二次函数的图象，根据图象进行判断即可． 【详解】解：由图表可知，该二次函数的图象如图， ∴抛物线的开口向下，故①正确； ∵与关于抛物线的对称轴对称 ∴对称轴为直线，故②错误； 由函数图像可知，当时，，故③正确； 二次函数与有两个交点， ∴方程有两个不相等的根，故④错误； 综上所述：①③正确，共2个． 故选B． 15. 如图是二次函数（a，b，c是常数，）的图象的一部分，对称轴是直线．下列说法：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ②③⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，二次函数图象的性质．根据开口向下可得，可判断①；根据对称轴为直线，可得，据此可判断②；由函数图象可知二次函数与轴两个不同的交点，可判断③；根据当时，，可判断④；根据二次函数与轴交于正半轴，可判断⑤． 【详解】解：二次函数开口向下， ，故①错误； 对称轴为直线， ， ∴，故②正确； 二次函数与轴交于正半轴， ，故⑤正确； 由函数图象可知二次函数与轴两个不同的交点， ，故③正确； 当时，， ，故④错误； 正确的有②③⑤， 故选：D． 二、填空题（每题2分，共8分） 16. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程两边相等的未知数的值，属于基础题型，关键在于理解方程的根的概念．直接把代入方程，即可求出的值． 【详解】解：把代入方程得， ， 解得，． 故答案为：． 17. 抛物线的对称轴是________． 【答案】直线 【解析】 【分析】此题考查抛物线对称轴的计算公式，掌握公式是解题的关键. 利用对称轴的计算公式解答. 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故答案为：直线. 18. 方程x2=4x的解 __． 【答案】x=0或x=4 【解析】 【分析】先移项，使方程右边为0，再提公因式x，然后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”进行求解． 【详解】解：原方程变为 x2﹣4x=0 x（x﹣4）=0 解得x1=0，x2=4， 故答案为：x=0或x=4． 【点睛】本题考查用因式分解法解一元一次方程.提公因式是解题的关键. 19. 将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移规律，熟练掌握图象平移的规律是解决本题的关键． 二次函数图象平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，根据此规则解题即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位， 根据“左加右减”原则，自变量需要减去平移的单位， ∴得到， 再向下平移3个单位， 根据“上加下减”原则，在函数表达式整体上减去平移的单位， 所以得到． 故答案为：． 三、解答题（共62分） 20. 解下列方程： （1） （2）（因式分解法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ，即， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：， ，即， ， 解得． 21. 已知二次函数． （1）把二次函数化成的形式； （2）在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象； （3）当0≤x≤3时，y的取值范围是______． 【答案】（1）y＝（x﹣2）2﹣1 （2） 如图： （3）﹣1≤y≤3 【解析】 【分析】（1）用配方法即可求解； （2）先求出该函数图像上点的坐标，再用描点法画出图象即可； （3）根据函数图象，找出函数图象在x轴下方的时候x是取值范围即可． 【小问1详解】 解：， 【小问2详解】 由（1）可知：， ∴函数的顶点坐标为（2，-1）， 当x=1时，y=0， 当x=0时，y=3， 当x=3时，y=0， 当x=4时，y=3， ∴该函数经过（1，0），（0，3），（2，-1），（3，0），（4，3）； 【小问3详解】 由（2）中函数图象可知，当0≤x≤3时，﹣1≤y≤3， ∴当﹣1≤y≤3时，x的取值范围是0≤x≤3． 故答案为：0≤x≤3． 【点睛】本题主要考查了画二次函数的图象，把二次函数的一般式化为顶点式，熟练掌握利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式，二次函数图象的画法是解题的关键． 22. 自年月以来，甲流便肆虐横行，成为当前主流流行疾病．某一小区有位住户不小心感染了甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传染后共有人患了甲流． （1）每轮感染中平均一个人传染几人？ （2）如果按照这样的传播速度，经过三轮传染后累计是否超过人患了甲流？ 【答案】（1）人 （2）不超过 【解析】 【分析】（1）设每轮感染中平均一个人传染人，根据题意列方程解方程即可； （2）根据（1）可知每轮感染中平均一个人传染人，进而得到三轮后患病总人数为即可解答． 【小问1详解】 解：设每轮感染中平均一个人传染人． 根据题意得， 解得，或， ∵， ∴， 答：每轮感染中平均一个人传染人； 【小问2详解】 解：根据题意可得： 第三轮的患病人数为， ∵， ∴经过三轮传染后累计患甲流的人数不会超过人， 答：经过三轮传染后累计患甲流的人数不超过人； 【点睛】本题考查了一元二次方程与实际问题，读懂题意明确数量关系是解题的关键． 23. 一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，铅球运行路线如图. （1）求铅球推出的水平距离； （2）通过计算说明铅球行进高度能否达到. 【答案】（1）铅球推出的水平距离为；（2）铅球行进高度不能达到 【解析】 【分析】（1）利用y=0解方程得出答案； （2）令y=4，代入解析式验证即可； 【详解】解:令，则 ，（舍去） ∴铅球推出的水平距离为. （2）当时， ∴铅球行进高度不能达到 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的解法，正确得出函数顶点式是解题关键． 24. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. （1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【答案】（1）26；（2）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元. 【解析】 【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件； （2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可． 【详解】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件． （2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元． 根据题意，得（40-x）（20+2x）=1200， 整理，得x2-30x+200=0， 解得：x1=10，x2=20． ∵要求每件盈利不少于25元， ∴x2=20应舍去， ∴x=10． 答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键． 25. 已知关于x的一元二次方程 （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）若是方程的一个根，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：∵是方程的一个根， ∴，则，， ∴ ， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系． （1）根据题意得到，进而解不等式即可求解； （2）将代入方程中，得到，，进而求得，，即可求解． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得， 故k的取值范围为； 【小问2详解】 略 26. 如图，利用一面墙（墙的长度不限），另三面用篱笆围成一个矩形场地，篱笆总长． （1）围成一个面积为的矩形场地，求矩形场地的长和宽； （2）可以围成一个面积为的矩形场地吗？如果能，求出矩形场地的长和宽；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）矩形场地的长为，宽为； （2）不能围成一个面积为的矩形场地，理由如下： 设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， 依题意，得：， 整理，得：， ∵， ∴不能围成一个面积为的矩形场地． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出一元二次方程，求解即可； （2）根据题意列出以面积作等量的一元二次方程，计算△的值，通过△的值判定有无解，来确定结果即可． 【详解】解：（1）设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的边长为， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：， ∴． 答：矩形场地的长为，宽为． （2） 略 【点睛】本题考查一元二次方程的应用及根的判别式，这类问题要注意不要设长宽，要设垂直于墙面的边或者平行于墙面的边． 27. 如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点； （1）用配方法将二次函数化为的形式； （2）观察图象，当时，直接写出的取值范围； （3）设二次函数的图象的顶点为，求的面积． 【答案】（1） （2） （3）的面积为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）将抛物线利用配方法转化为顶点式，即可求解． （2）由（1）知，顶点坐标为，计算出和时对应的值，即可求解； （3）设交轴于点，先根据二次函数的解析式求出点、的坐标，由（1）知，设直线的解析式为，利用待定系数法求的解析式，进而求出点的坐标，根据，即可求解． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 由（1）知，二次函数的顶点坐标为， 将代入， 得， 将代入， 得， 当时，的取值范围为； 【小问3详解】 如图，设交轴于点， 由（1）知，二次函数的顶点坐标为， 二次函数的图象与轴交于、两点， 令，则， 解得：，， ，， 二次函数的图象与轴交于点， 令，得， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季学期数学学科九年级第一学月限时训练试卷 一、选择题（每题2分，共30分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（　　） A. B. C. D. 2. 二次函数的图象与x轴的交点坐标为（　　） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 3. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 5. 将一元二次方程化成的形式，则a，b的值分别为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 抛物线的顶点坐标是( ) A. （3，1） B. （3，﹣1） C. （﹣3，1） D. （﹣3，﹣1） 7. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 8. 某商品原价200元，连续两次降价后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长米、宽米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 巴黎奥运会网球女子单打冠军中国选手郑钦文顺利入围2024年WTA年终总决赛女子单打项目，该项目第一阶段采用组内循环赛制，即每两名选手之间比赛一场．如果计划安排36场组内循环赛，共有几名选手参加组内循环赛？设一共有名选手参加组内循环赛，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 某湖面上有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（　　） A. B. C. D. 12. 若，两点在二次函数的图象上，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 13. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 14. 已知二次函数的y与x的部分对应值如表： 下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线；③当时，；④方程有两个相等的实数根．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 15. 如图是二次函数（a，b，c是常数，）的图象的一部分，对称轴是直线．下列说法：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ②③⑤ 二、填空题（每题2分，共8分） 16. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则___________． 17. 抛物线的对称轴是________． 18. 方程x2=4x的解 __． 19. 将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为___________． 三、解答题（共62分） 20. 解下列方程： （1） （2）（因式分解法） 21. 已知二次函数． （1）把二次函数化成的形式； （2）在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象； （3）当0≤x≤3时，y的取值范围是______． 22. 自年月以来，甲流便肆虐横行，成为当前主流流行疾病．某一小区有位住户不小心感染了甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传染后共有人患了甲流． （1）每轮感染中平均一个人传染几人？ （2）如果按照这样的传播速度，经过三轮传染后累计是否超过人患了甲流？ 23. 一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，铅球运行路线如图. （1）求铅球推出的水平距离； （2）通过计算说明铅球行进高度能否达到. 24. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. （1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 25. 已知关于x的一元二次方程 （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）若是方程的一个根，求证：． 26. 如图，利用一面墙（墙的长度不限），另三面用篱笆围成一个矩形场地，篱笆总长． （1）围成一个面积为的矩形场地，求矩形场地的长和宽； （2）可以围成一个面积为的矩形场地吗？如果能，求出矩形场地的长和宽；如果不能，请说明理由． 27. 如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点； （1）用配方法将二次函数化为的形式； （2）观察图象，当时，直接写出的取值范围； （3）设二次函数的图象的顶点为，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $