第三章位置与坐标专题训练·用坐标表示对称 2026-2027学年北师大版八年级上册数学

北师大版八年级数学上册 第三章 位置与坐标专题训练 用坐标表示对称 “用坐标表示对称”，即可以用坐标的符号变化精确刻画：点 关于 轴的对称点是 ，关于 轴的对称点是 ，关于原点的对称点是 ．这三组结论把“轴对称”与“中心对称”这一几何概念翻译成了可以计算的代数规则，是数形结合思想最直接的体现． 理解符号变化背后的几何意义．关于 轴对称时，点在竖直方向上被“翻折”，因此横坐标不变、纵坐标变为相反数；关于 轴对称时，点在水平方向上被“翻折”，因此纵坐标不变、横坐标变为相反数；关于原点对称时，点被“旋转”到对角位置，横、纵坐标同时变为相反数． “由对称关系反求参数”．当题目给出两点关于某轴或某点对称时，实际上给出了横、纵坐标之间的等量关系：关于 轴对称则横坐标相等、纵坐标互为相反数；关于 轴对称则纵坐标相等、横坐标互为相反数；关于原点对称则横、纵坐标都互为相反数．把这些关系写成方程（组），即可求出所含参数的值，再代入求代数式的值． 点关于直线 的对称点是 ，关于直线 的对称点是 ；点关于平行于 轴的直线 的对称点是 ，关于平行于 轴的直线 的对称点是 ． 专题一　点关于坐标轴的对称 1．【教材改编·关于坐标轴对称】如图，在平面直角坐标系中，已知点 ． （1）求点 关于 轴的对称点 的坐标； （2）求点 关于 轴的对称点 的坐标； （3）判断点 与点 是否关于原点对称． 2．【由对称关系求参数】已知点 与点 关于 轴对称． （1）求 的值； （2）求 的值； （3）求点 与点 的坐标． 3．【对称点与位置】已知点 ． （1）若点 的横坐标为 ，求 的值及点 的坐标； （2）求点 关于 轴的对称点 的坐标（用含 的式子表示）； （3）若点 在第三象限，写出一个满足条件的 的值． 4．【连续对称】在平面直角坐标系中，点 关于 轴的对称点为 ，点 关于 轴的对称点为 ，点 关于原点的对称点为 ． （1）求点 、、 的坐标； （2）判断点 与点 的位置关系； （3）若点 经过同样的三次对称后得到点 ，直接写出点 的坐标． 专题二　点关于原点的对称 5．【教材改编·关于原点对称】已知点 ． （1）求点 关于原点的对称点 的坐标； （2）若点 关于原点的对称点为 ，求 的值； （3）若点 关于原点的对称点在 轴上，求 的值及对称点的坐标． 6．【由原点对称求参数】已知点 与点 关于原点对称． （1）求 的值； （2）求 的值； （3）求 的值． 7．【原点对称与象限】已知点 ，点 关于原点的对称点为 ． （1）当 时，求点 与点 的坐标； （2）若点 在第二象限，写出一个满足条件的整数 的值； （3）若点 在 轴上，求 的值及点 的坐标． 8．【原点对称的应用】在平面直角坐标系中，已知点 、． （1）求点 关于原点的对称点 的坐标； （2）求点 关于 轴的对称点 的坐标； （3）若点 与点 关于原点对称，判断点 所在的象限． 专题三　点关于特殊直线的对称 9．【教材改编·关于直线 对称】如图，在平面直角坐标系中，直线 是第一、三象限的角平分线（即直线 ）．点 关于直线 的对称点为 ． （1）求点 关于直线 的对称点 的坐标； （2）求点 关于直线 的对称点 的坐标； （3）若点 关于直线 的对称点为 ，求 、 的值． 10．【关于直线 对称】如图，直线 是第二、四象限的角平分线（即直线 ）．点 关于直线 的对称点为 ． （1）求点 关于直线 的对称点 的坐标； （2）求点 关于直线 的对称点 的坐标； （3）若点 关于直线 的对称点在 轴上，求 的值． 11．【关于平行于坐标轴的直线对称】如图，在平面直角坐标系中，直线 为 ，直线 为 ．点 关于直线 的对称点为 ，关于直线 的对称点为 ． （1）求点 关于直线 的对称点 的坐标； （2）求点 关于直线 的对称点 的坐标； （3）若点 关于直线 的对称点在 轴上，求 的值及对称点的坐标． 12．【特殊直线对称综合】在平面直角坐标系中，已知点 ． （1）求点 关于直线 的对称点 的坐标； （2）求点 关于直线 的对称点 的坐标； （3）判断点 与点 是否关于原点对称． 专题四　对称关系与参数求值 13．【由对称求代数式的值】已知点 与点 关于 轴对称． （1）求 的值； （2）求 的值； （3）求 的值． 14．【对称点的位置判断】已知点 ． （1）求点 关于 轴的对称点 的坐标（用含 的式子表示）； （2）若点 在第一象限，判断点 所在的象限； （3）若点 关于 轴的对称点 在第四象限，写出一个满足条件的 的值． 15．【对称与代数式求值】已知点 与点 关于原点对称． （1）求 、 的值； （2）求 的值； （3）求 的值． 16．【三种对称点与象限】点 关于 轴的对称点为 ，关于 轴的对称点为 ，关于原点的对称点为 ． （1）求点 的对称点 、、 的坐标； （2）判断点 、、 分别在第几象限； （3）若点 关于 轴的对称点 在第二象限，写出一个满足条件的 的值． 专题五　图形关于坐标轴的对称 17．【教材改编·三角形的对称】如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点为 、、． （1）求 关于 轴对称的 的顶点坐标； （2）求 关于 轴对称的 的顶点坐标； （3）判断 与 是否关于原点对称． 18．【对称图形的面积】如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点为 、、． （1）求 的面积； （2）求 关于 轴对称的 的顶点坐标； （3）求 的面积． 19．【对称与平移】在平面直角坐标系中，已知点 ． （1）求点 关于 轴的对称点 的坐标； （2）将点 先向右平移 个单位长度、再向上平移 个单位长度得到点 ，求点 的坐标； （3）求点 关于 轴的对称点 的坐标． 20．【网格中的对称作图】如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点为 、、． （1）求 关于 轴对称的 的顶点坐标； （2）求 的面积； （3）若点 关于 轴的对称点为 ，求四边形 的面积． 专题六　对称与规律综合探究 21．【对称与规律】在平面直角坐标系中，点 ，点 关于 轴的对称点为 ，点 关于 轴的对称点为 ，点 关于 轴的对称点为 ，点 关于 轴的对称点为 ，……，如此依次进行下去． （1）求点 、、 的坐标； （2）求点 的坐标； （3）判断点 与点 的位置关系． 22．【对称与最短路径】如图，在平面直角坐标系中，点 、，点 为 轴上的动点． （1）求点 关于 轴的对称点 的坐标； （2）说明：对 轴上任意一点 ，都有 ； （3）由（2）说明：当点 、、 在同一条直线上时， 的值最小． 23．【对称的开放探究】在平面直角坐标系中，已知点 、． （1）求点 关于 轴的对称点 的坐标； （2）若点 与点 关于 轴对称，求点 的坐标； （3）若点 与点 关于原点对称，求点 的坐标，并判断点 所在的象限． 24．【类比探究·镜面点】在平面直角坐标系中，规定：把点 关于 轴的对称点 叫做点 的“镜面点”． （1）求点 的“镜面点” 的坐标； （2）若点 的“镜面点”在 轴上，求 的值及该“镜面点”的坐标； （3）已知点 ，点 的“镜面点”为 ，点 的“镜面点”为 ，判断点 与点 的位置关系． 参考答案与解析 1．解：（1）∵ 点 ，且关于 轴对称时横坐标不变、纵坐标互为相反数， ∴ 点 关于 轴的对称点 的坐标为 ． （2）∵ 关于 轴对称时纵坐标不变、横坐标互为相反数， ∴ 点 关于 轴的对称点 的坐标为 ． （3）∵ 点 关于原点的对称点为 ， 而点 的坐标为 ， ∴ 点 与点 关于原点对称． 2．解：（1）∵ 点 与点 关于 轴对称， ∴ 两点的横坐标相同，即 ， ∴ ． （2）∵ 关于 轴对称的两点纵坐标互为相反数， ∴ ， ∴ ． （3）当 、 时，，， ∴ 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ． 3．解：（1）∵ 点 的横坐标为 ， ∴ ，∴ ， ∴ 点 的坐标为 ． （2）∵ 点 ，且关于 轴对称时横坐标不变、纵坐标互为相反数， ∴ 点 关于 轴的对称点 的坐标为 ． （3）∵ 点 在第三象限， ∴ 它的横坐标为负数、纵坐标为负数，即 ，， ∴ 小于 而大于 ． ∵ 为整数，∴ 可以取 或 ． 例如取 ，此时点 的坐标为 ，在第三象限，符合题意（答案不唯一）． 4．解：（1）∵ 点 ， ∴ 点 关于 轴的对称点 的坐标为 ； 点 关于 轴的对称点 的坐标为 ； 点 关于原点的对称点 的坐标为 ． （2）∵ 点 与点 的坐标完全相同， ∴ 点 与点 重合． （3）设点 ，则它关于 轴的对称点为 ，再关于 轴的对称点为 ，再关于原点的对称点为 ， ∴ 点 的坐标为 ． 5．解：（1）∵ 点 ，且关于原点对称时横、纵坐标都互为相反数， ∴ 点 关于原点的对称点 的坐标为 ． （2）∵ 点 关于原点的对称点为 ， 且该点为 ， ∴ ，， 解得 ． （3）∵ 点 关于原点的对称点为 ， ∵ 该对称点在 轴上，∴ 它的横坐标为 ，即 ， ∴ ，此时对称点的坐标为 ． 6．解：（1）∵ 点 与点 关于原点对称， ∴ 两点的纵坐标互为相反数，即 ， ∴ ． （2）∵ 关于原点对称的两点横坐标互为相反数，即 ， 把 代入，得 ，即 ， ∴ ． （3）． 7．解：（1）当 时，，， ∴ 点 的坐标为 ， ∴ 点 关于原点的对称点 的坐标为 ． （2）∵ 点 关于原点的对称点 的坐标为 ， ∵ 点 在第二象限，∴ 它的横坐标为负数、纵坐标为正数， 即 ，， ∴ 大于 而小于 ． ∵ 为整数，∴ 可以取 或 ． 例如取 ，此时点 的坐标为 ，在第二象限，符合题意（答案不唯一）． （3）∵ 点 在 轴上，∴ 它的纵坐标为 ，即 ， ∴ ，此时点 的坐标为 ． 8．解：（1）∵ 点 ， ∴ 点 关于原点的对称点 的坐标为 ． （2）∵ 点 ，且关于 轴对称时纵坐标不变、横坐标互为相反数， ∴ 点 关于 轴的对称点 的坐标为 ． （3）∵ 点 与点 关于原点对称， ∴ 点 的坐标为 ． ∵ ，， ∴ 点 在第二象限． 9．解：（1）∵ 点 ，且关于直线 的对称点为 ， ∴ 点 关于直线 的对称点 的坐标为 ． （2）∵ 点 ， ∴ 点 关于直线 的对称点 的坐标为 ． （3）∵ 点 关于直线 的对称点为 ， 且该点为 ， ∴ ，． 10．解：（1）∵ 点 ，且关于直线 的对称点为 ， ∴ 点 关于直线 的对称点 的坐标为 ． （2）∵ 点 ， ∴ 点 关于直线 的对称点 的坐标为 ． （3）∵ 点 关于直线 的对称点为 ， ∵ 该对称点在 轴上，∴ 它的纵坐标为 ，即 ， ∴ ，此时对称点的坐标为 ． 11．解：（1）∵ 点 ，且关于直线 的对称点为 ， ∴ 点 关于直线 的对称点 的坐标为 ． （2）∵ 点 ，且关于直线 的对称点为 ， ∴ 点 关于直线 的对称点 的坐标为 ． （3）∵ 点 关于直线 的对称点为 ， ∵ 该对称点在 轴上，∴ 它的横坐标为 ，即 ， ∴ ，此时对称点的坐标为 ． 12．解：（1）∵ 点 ，且关于直线 的对称点为 ， ∴ 点 的坐标为 ． （2）∵ 关于直线 的对称点为 ， ∴ 点 的坐标为 ． （3）∵ 点 关于原点的对称点为 ， 而点 的坐标为 ， ∴ 点 与点 关于原点对称． 13．解：（1）∵ 点 与点 关于 轴对称， ∴ 两点的横坐标相同，即 ， ∴ ． （2）∵ 关于 轴对称的两点纵坐标互为相反数，即 ， ∴ ，∴ ． （3）． 14．解：（1）∵ 点 ，且关于 轴对称时纵坐标不变、横坐标互为相反数， ∴ 点 关于 轴的对称点 的坐标为 ． （2）∵ 点 在第一象限，∴ ， ∴ ，又 ， ∴ 点 在第二象限． （3）∵ 点 关于 轴的对称点 的坐标为 ， ∵ 点 在第四象限，∴ 它的横坐标为正数，即 ． 例如取 ，此时点 的坐标为 ，在第四象限，符合题意（答案不唯一）． 15．解：（1）∵ 点 与点 关于原点对称， ∴ 两点的横坐标互为相反数，即 ， ∴ ； 两点的纵坐标互为相反数，即 ， ∴ ． （2）． （3）． 16．解：（1）∵ 点 ， ∴ 点 关于 轴的对称点 的坐标为 ； 关于 轴的对称点 的坐标为 ； 关于原点的对称点 的坐标为 ． （2）∵ 的横坐标为负、纵坐标为负，∴ 点 在第三象限； ∵ 的横坐标为正、纵坐标为正，∴ 点 在第一象限； ∵ 的横坐标为正、纵坐标为负，∴ 点 在第四象限． （3）∵ 点 关于 轴的对称点 的坐标为 ， ∵ 点 在第二象限，∴ 它的横坐标为负数，即 ， ∴ ． 例如取 ，此时点 的坐标为 ，在第二象限，符合题意（答案不唯一）． 17．解：（1）∵ 的三个顶点为 、、，且关于 轴对称时纵坐标不变、横坐标互为相反数， ∴ ，，． （2）∵ 关于 轴对称时横坐标不变、纵坐标互为相反数， ∴ ，，． （3）∵ 关于原点的对称点为 ，即 ； 关于原点的对称点为 ，即 ； 关于原点的对称点为 ，即 ， ∴ 与 关于原点对称． 18．解：（1）∵ 、、， ∴ ，且 在直线 上；，且 在直线 上， ∴ 与 互相垂直，即 ， ∴ ． （2）∵ 关于 轴对称时横坐标不变、纵坐标互为相反数， ∴ ，，． （3）∵ ，且 在直线 上； ，且 在直线 上， ∴ 与 互相垂直， ∴ ． 可见对称后的三角形与原三角形的面积相等． 19．解：（1）∵ 点 ，且关于 轴对称时横坐标不变、纵坐标互为相反数， ∴ 点 的坐标为 ． （2）∵ 点 向右平移 个单位长度、向上平移 个单位长度， ∴ 点 的坐标为 ． （3）∵ 点 ， ∴ 点 关于 轴的对称点 的坐标为 ． 20．解：（1）∵ 的三个顶点为 、、，且关于 轴对称时纵坐标不变、横坐标互为相反数， ∴ ，，． （2）∵ 、 都在 轴上，∴ ； 点 到 轴的距离为 ， ∴ ． （3）∵ 点 关于 轴的对称点 的坐标为 ， ∴ 四边形 被 轴分成 与 两部分． ∵ 与 的底都是 ， 点 到 轴的距离为 ，与点 到 轴的距离相等， ∴ ， ∴ ． 21．解：（1）∵ 点 ， ∴ 点 关于 轴的对称点 的坐标为 ； 点 关于 轴的对称点 的坐标为 ； 点 关于 轴的对称点 的坐标为 ． （2）由（1）知点 是点 关于 轴的对称点，其坐标为 ，与点 相同， ∴ 从 开始，点的坐标按 、、、 的顺序循环出现，循环周期为 ． ∵ ， ∴ 点 与点 的坐标相同，即 ． （3）∵ ，， ∴ 两点的纵坐标相同、横坐标互为相反数， ∴ 点 与点 关于 轴对称． 22．解：（1）∵ 点 ，且关于 轴对称时横坐标不变、纵坐标互为相反数， ∴ 点 关于 轴的对称点 的坐标为 ． （2）∵ 点 与点 关于 轴对称， ∴ 轴是线段 的垂直平分线． ∵ 点 在 轴上，即点 在线段 的垂直平分线上， ∴ ． （3）由（2）知 ， ∴ ． ∵ 点 、、 三点中，当点 不在线段 上时，；当点 、、 在同一条直线上（即点 在线段 上）时，， ∴ 当点 、、 在同一条直线上时， 的值最小． 23．解：（1）∵ 点 ，且关于 轴对称时纵坐标不变、横坐标互为相反数， ∴ 点 的坐标为 ． （2）∵ 点 ，且关于 轴对称时横坐标不变、纵坐标互为相反数， ∴ 点 的坐标为 ． （3）∵ 点 ，且关于原点对称时横、纵坐标都互为相反数， ∴ 点 的坐标为 ． ∵ ，， ∴ 点 在第三象限． 24．解：（1）∵ 点 ，且“镜面点”是点关于 轴的对称点， ∴ 点 的“镜面点” 的坐标为 ． （2）∵ 点 ， ∴ 点 的“镜面点”为 ． ∵ 该点在 轴上，∴ 它的横坐标为 ，即 ， ∴ ，此时该“镜面点”的坐标为 ． （3）∵ 点 ， ∴ 点 的“镜面点” 的坐标为 ； 点 的“镜面点” 的坐标为 ． ∵ 点 与点 的坐标完全相同， ∴ 点 与点 重合． 学科网（北京）股份有限公司 $