第三章位置与坐标专题训练·坐标系中的规律探究2026-2027学年北师大版八年级数学上册

北师大版八年级数学上册第三章位置与坐标专题训练 坐标系中的规律探究 本专题规律探究： 一是周期循环：点的运动方式或变换方式按固定长度循环，坐标序列呈现周期性，求第 2026 项时只需用周期除余定位； 二是递推衰减：点每次跳向中点或按固定比例靠近，坐标按等比规律递减，用乘方表示即可； 三是整数点排列：正整数或整点按方阵、蛇形、回字形或斜列排列，关键在于按“层”或“列”计数，用求和公式定位目标点所在的位置； 四是图形变换：正方形沿坐标轴连续翻转、三角形按规律平移放缩、等腰直角三角形绕顶点旋转，此时需抓住“哪些点不动、哪些量不变”，把整段变换拆成若干次基本旋转或平移，并观察点坐标符号的周期性变化； 五是新定义变换：给出“伴随点”“旋转点”“关联点”等新定义，先用定义算出前四个点，一旦出现 即说明周期为 ，余数定位即得答案； 六是坐标与面积、整点计数综合，需把坐标规律与三角形面积公式、边界整点判断结合． 专题一：点的运动与坐标周期循环规律 1．【教材改编·北师大八上第三章】在平面直角坐标系中，动点 从原点 出发，第 次按“先向上 个单位长度，再向右 个单位长度”的方式运动到点 ；第 次按“先向下 个单位长度，再向左 个单位长度”的方式运动到点 ；第 次再按第 次的方式运动到点 ；……依此规律不断运动． （1）写出点 的坐标； （2）求点 的坐标； （3）求经过 次运动后，动点 所经过的总路程． 第 1 题图 2．【期末真题·平面直角坐标系中动点路线】如图，在平面直角坐标系中，动点 从点 出发，按“向上、向右、向下、向右”的方向依次不断移动，每次移动 个单位长度．将出发时的位置记为 ，第 次移动后到达 ，第 次移动后到达 ，…… （1）直接写出 的坐标； （2）求点 的坐标（ 为正整数）； （3）求点 的坐标，并写出从 出发的下一步移动方向． 第 2 题图 3．【教材改编·北师大八上第三章】如图，在平面直角坐标系中，动点 从原点 出发，沿直角折线依次运动：第 次运动到 ，第 次运动到 ，第 次运动到 ，第 次运动到 ，第 次运动到 ，……每次运动都使横、纵坐标中恰有一个增加 ． （1）写出第 次、第 次运动后点 的坐标； （2）求第 次运动后点 的坐标； （3）点 能否到达点 ？若能，指出是第几次运动；若不能，说明理由． 第 3 题图 4．【期末真题·正方形边上的动点】如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点分别为 、、、．动点 从点 出发，沿 的路线以每秒 个单位长度的速度匀速运动． （1）求第 秒时点 的坐标； （2）求第 秒时点 的坐标； （3）判断第 秒时点 是否落在坐标轴上，并说明理由． 第 4 题图 专题二：数轴与坐标轴上的递推规律 5．【教材改编·数轴上的中点递推】如图，一质点从距原点 个单位的点 处向原点方向跳动，第 次跳动到 的中点 处，第 次从 跳到 的中点 处，第 次从 跳到 的中点 处，如此不断跳动下去． （1）写出 所表示的数； （2）求第 次跳动后该质点到原点的距离（用含 的式子表示）； （3）求第 次跳动后该质点到原点的距离． 第 5 题图 6．【数轴上交替往返的动点】在数轴上，点 表示的数是 ．动点 从点 出发，第 次向右移动 个单位长度到达 ，第 次向左移动 个单位长度到达 ，第 次向右移动 个单位长度到达 ，第 次向左移动 个单位长度到达 ，……第 次移动 个单位长度，方向依次交替． （1）写出 所表示的数； （2）求第 次移动后点 所表示的数； （3）点 在移动过程中能否到达表示数 的位置？若能，指出是第几次移动；若不能，说明理由． 第 6 题图 7．【坐标轴上的折返点列】如图，在平面直角坐标系中，点 ，，，，，，……按图中所示规律依次排列． （1）写出 的坐标； （2）说明点 的横坐标与序号 的关系，并写出 的纵坐标随 变化的规律； （3）求 的坐标． 第 7 题图 8．【课本改编·坐标轴上的分层点列】如图，在平面直角坐标系中，点 ，，，，，，，，……按图中所示规律依次排列． （1）写出 的坐标； （2）求 的坐标（ 为正整数）； （3）求 的坐标． 第 8 题图 专题三：整数点排列与坐标定位规律 9．【教材改编·正整数按方阵排列】将正整数按如图所示的规律在平面直角坐标系中排列，每个正整数对应一个整点坐标 ，且 均为整数．例如数 对应的坐标为 ，数 对应的坐标为 ． （1）写出数 、数 对应的坐标； （2）求数 对应的坐标； （3）求数 对应的坐标． 第 9 题图 10．【期末真题·整点按列往返排列】如图，在平面直角坐标系中，若干个整数点按下列顺序排列：第 列只有点 ；第 列自下而上依次为 、；第 列自上而下依次为 、、；第 列自下而上依次为 、、、；……每一列比前一列多一个点，且相邻两列的排列方向相反． （1）写出第 列各点的坐标； （2）求第 个点的坐标； （3）求前 列共有多少个点． 第 10 题图 11．【正整数按行排列】将正整数按如图所示的规律排列在平面直角坐标系中：第 行只有 ，对应点 ；第 行有 ，依次对应点 、；第 行有 ，依次对应点 、、；第 行有 ，依次对应点 、、、；…… （1）写出数 对应的坐标； （2）求数 对应的坐标； （3）求第 行的最后一个数所对应的坐标（用含 的式子表示）． 第 11 题图 12．【中考真题·整点按斜列排列】如图，在平面直角坐标系中，整点按斜列依次排列：第 列只有 ；第 列依次为 、；第 列依次为 、、；第 列依次为 、、、；…… （1）写出第 列各点的坐标； （2）求第 列所有点的横坐标之和； （3）第 个点落在第几列？ 第 12 题图 专题四：图形平移、旋转与翻转中的坐标规律 13．【期末真题·三角形的规律平移】如图，在平面直角坐标系中， 的顶点为 、、．将 沿 轴正方向平移 个单位长度、沿 轴正方向平移 个单位长度，得到 ；再将 按同样方式平移得到 ；……依次平移下去． （1）写出 的坐标； （2）用含正整数 的式子表示 的坐标； （3）求 的坐标． 第 13 题图 14．【点关于坐标轴的对称循环】在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ．作 关于 轴的对称点 ，作 关于 轴的对称点 ，作 关于原点的对称点 ，再作 关于 轴的对称点 ，……按“关于 轴、关于 轴、关于原点”的顺序依次循环作对称点． （1）写出 的坐标； （2）说明点 与点 的位置关系； （3）求 的坐标． 15．【教材改编·正方形沿 轴连续翻转】如图，将边长为 的正方形 放在平面直角坐标系中，其中 、、、．将正方形沿 轴正方向无滑动地连续翻转（每次绕右下角的顶点顺时针旋转 ），点 依次落在点 的位置． （1）写出 的坐标； （2）求 的坐标； （3）求 的坐标． 第 15 题图 16．【中考真题·等腰直角三角形绕原点旋转】如图，在平面直角坐标系中， 是等腰直角三角形，，，且 落在 轴的正半轴上．把 绕点 顺时针旋转 得到 ，把 绕点 顺时针旋转 得到 ，……依此类推． （1）写出 的坐标； （2）求 的坐标； （3）求 的坐标． 第 16 题图 专题五：新定义变换与周期规律 17．【教材改编·“旋转点”新定义】在平面直角坐标系中，对于点 ，我们把点 叫做点 的“旋转点”．已知点 的旋转点为 ，点 的旋转点为 ，点 的旋转点为 ，……这样依次得到点 ． （1）若点 的坐标为 ，求 的坐标； （2）若点 的坐标为 ，用含 的式子表示 的坐标； （3）若点 的坐标为 ，求 的坐标． 第 17 题图 18．【期末真题·交替作对称点】在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ．作 关于 轴的对称点 ，再作 关于 轴的对称点 ，再作 关于 轴的对称点 ，再作 关于 轴的对称点 ，……按“关于 轴、关于 轴”交替的顺序依次作对称点． （1）写出 的坐标； （2）求 的坐标； （3）说明 与 的位置关系． 第 18 题图 19．【“跳点”新定义】在平面直角坐标系中，对于点 ，规定如下的“跳点”变换：若 ，则跳到 ；若 ，则跳到 ． （1）求点 经过 次跳点变换后得到的点的坐标； （2）求点 经过 次跳点变换后得到的点的坐标； （3）求原点 经过 次跳点变换后得到的点的坐标（用含 的式子表示，分 为奇数、偶数两种情况）． 20．【中考真题·“关联点”新定义】在平面直角坐标系中，对于点 ，定义它的“关联点”为 ． （1）求点 的关联点的坐标； （2）求点 经过 次关联变换后得到的点的坐标； （3）若点 的关联点是 ，求 的值． 专题六：坐标规律与整点计数、面积综合 21．【中考真题·粒子沿方形螺旋运动】如图，一个粒子在第一象限内及 轴、 轴上运动，第 分钟从原点运动到 ，而后按图中所示方式在与 轴、 轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动 个单位长度． （1）求第 分钟、第 分钟时粒子所在位置的坐标； （2）求第 分钟时粒子所在位置的坐标； （3）求第 分钟时粒子所在位置的坐标． 第 21 题图 22．【教材改编·三角形内部的整点计数】我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 是 轴正半轴上的整点，连接 ． （1）若点 的坐标为 ，求 内部（不包括边界）的整点个数； （2）若点 的坐标为 （ 为正整数），用含 的式子表示 内部（不包括边界）的整点个数； （3）若点 的坐标为 ，求 内部（不包括边界）的整点个数． 第 22 题图 23．【坐标轴上的三角形面积规律】如图，在平面直角坐标系中，点 ，，，，，，……按图中所示规律依次排列：奇数下标的点落在 轴正半轴上，横坐标依次为 ；偶数下标的点落在 轴正半轴上，纵坐标依次为 ． （1）写出 的坐标； （2）用含正整数 的式子表示 与 的坐标； （3）求 的面积（用含 的式子表示），并求当 时该三角形的面积． 第 23 题图 24．【类比探究·三步递进开放压轴题】 （1）【初步感知】在平面直角坐标系中，点 ，，，，……按“横坐标依次为序号、纵坐标按 与 交替”的规律排列，求 的坐标； （2）【类比应用】在平面直角坐标系中，点 ，，，，，，，，……按“每四个点一组、每组绕原点向外扩展一层”的规律排列，求 的坐标； （3）【拓展深化】如图，动点 从点 出发，第 次向上移动 个单位长度，第 次向左移动 个单位长度，第 次向下移动 个单位长度，第 次向右移动 个单位长度，第 次向上移动 个单位长度，……方向按“上、左、下、右”依次循环，移动的距离依次递增 个单位长度．求第 次移动后点 的坐标，并求第 次移动后点 的坐标． 第 24 题图 参考答案与解析 1．解：（1）动点 从原点 出发． 第 次：先向上 个单位到 ，再向右 个单位到 ，故 ． 第 次：先向下 个单位到 ，再向左 个单位到 ，故 ． 同理 ，． （2）由（1）知 ，，，， ∴ 动点 的位置每 次运动为一个循环，即 ，（ 为正整数）． ∵ 为偶数，∴ ． （3）每一次运动中，动点 竖直方向移动 个单位、水平方向移动 个单位， ∴ 每一次运动所经过的路程为 （个单位长度）． ∴ 经过 次运动后，总路程为 （个单位长度）． 2．解：动点 从 出发，每次移动 个单位长度，方向依次为向上、向右、向下、向右． （1）（向上）；（向右）；（向下）；（向右）． ∴ ，，． （2）由（1）继续计算可得 ，，，． 观察 ，，，…… ∴ 每移动 次，横坐标增加 ，纵坐标回到 ． ∴ （ 为正整数）． （3）∵ ，∴ 与 处于一个循环中的同一位置． 由 与 可推得 ． 当 时，，∴ ，即 ． 由于一个循环中第 次移动的方向为向右，下一步（即循环中的第 次）移动方向为向下， ∴ 从 出发的下一步移动方向为向下． 3．解：（1）按题中规律继续计算：第 次到达 ，第 次到达 ，第 次到达 ，第 次到达 ． ∴ 第 次运动后点 的坐标为 ，第 次运动后点 的坐标为 ． （2）观察规律： 当 为奇数时，； 当 为偶数时，． ∵ 为偶数，∴ ，即 ． （3）能．点 的横坐标比纵坐标大 ，与 为奇数时的情形相符． 令 且 ，两式均解得 ． ∴ 点 能到达点 ，是第 次运动． 4．解：正方形 的边长为 ，周长为 ． （1）动点 从 出发沿正方形的边匀速运动，每秒 个单位长度． 第 秒到达 的中点 ；第 秒到达 ； 第 秒在 上，从 向下运动 个单位，到达 ． ∴ 第 秒时点 的坐标为 ． （2）∵ ， ∴ 第 秒时点 的位置与从 出发后运动 秒的位置相同． 从 沿 运动 个单位长度恰好到达 ， ∴ ． （3）不在坐标轴上． 理由：点 的坐标为 ，其横坐标 ，纵坐标 ， ∴ 点 既不在 轴上，也不在 轴上，即不在坐标轴上． 5．解：（1）点 到原点的距离为 ． 第 次跳动到 的中点 ，则 ，故 表示数 ． 第 次跳动到 的中点 ，则 ，故 表示数 ． 第 次跳动到 的中点 ，则 ，故 表示数 ． （2）由（1）知每跳动一次，质点到原点的距离就变为原来的一半， ∴ 第 次跳动后，该质点到原点的距离为 ． （3）当 时，距离为 ． 6．解：点 表示的数是 ，记出发位置为 ． （1）；；． （2）继续计算：，，，…… 观察规律： 当 为奇数时，； 当 为偶数时，． ∵ 为偶数，∴ ． （3）能．令 ，解得 ， 此时 为奇数，符合 的情形． ∴ 点 能到达表示数 的位置，是第 次移动． 7．解：（1）按题图中的规律继续排列，得 ，． （2）观察各点的坐标： ，，，，，，，． ∴ 点 的横坐标恰好等于序号 ． 纵坐标按 的顺序每四个一循环，即： 当 时，纵坐标为 ；当 时，纵坐标为 ； 当 时，纵坐标为 ；当 时，纵坐标为 （ 为非负整数）． （3）∵ ， ∴ 与 的纵坐标相同，均为 ，且横坐标为 ， ∴ ． 8．解：（1）由规律知，点 按四个一组、每组沿坐标轴向外扩展一层的方式排列． 第一组：，对应“半径”为 ； 第二组：，对应“半径”为 ； 第三组的第一个点为 ，第二个点为 ． ∴ ，． （2）由（1）知，第 组的第一个点为 ． （3）∵ ， ∴ 是第 组的第 个点． 第 组对应的“半径”为 ，该组第 个点落在 轴正半轴上， ∴ ． 9．解：（1）按题图中的排列规律依次写出各数对应的坐标： ，，，，，，，，． ∴ 数 对应 ，数 对应 ． （2）观察奇数平方数对应的坐标： ；；． ∴ 一般地， 对应的坐标为 ． ，此时 ，解得 ， ∴ 数 对应的坐标为 ． （3），此时 ，解得 ， ∴ 数 对应的坐标为 ，即 ． 10．解：（1）第 列有 个点，且第 列与第 列同为奇数编号列，排列方向自上而下， ∴ 第 列各点的坐标为 ． （2）第 列共有 个点， ∴ 前 列共有 个点． 当 时，； 当 时，． ∴ 第 个点落在第 列，且是该列的第 个点． 第 列为偶数编号列，排列方向自下而上，该列第 个点为 ， ∴ 该列第 个点的坐标为 ，即 ． （3）前 列共有 （个）点． 11．解：（1）第 行有 个数， ∴ 前 行共有 个数． 前 行共有 个数， ∴ 第 行依次为 ，对应点的横坐标依次为 ，纵坐标均为 ． ∴ 数 对应的坐标为 ． （2）前 行共有 个数，前 行共有 个数， ∵ ，∴ 数 落在第 行． 数 是该行的第 个数，其横坐标为 ，纵坐标为 ， ∴ 数 对应的坐标为 ． （3）第 行共有 个数，其最后一个数是 ， 该数位于第 行的最后一个位置，横坐标为 ，纵坐标为 ， ∴ 第 行的最后一个数对应的坐标为 ． 12．解：（1）由规律知，第 列的各点横坐标从 递减到 、纵坐标从 递增到 ， ∴ 第 列各点的坐标为 ． （2）第 列各点的坐标为 ， 横坐标之和为 ． （3）第 列共有 个点， ∴ 前 列共有 个点． 当 时，； 当 时，． ∴ 第 个点落在第 列． 13．解：（1）将 的三个顶点分别沿 轴正方向平移 个单位、沿 轴正方向平移 个单位： ； ； ． （2）每平移一次，各顶点的横坐标增加 、纵坐标增加 ， ∴ ，，． （3）当 时，，即 ． 14．解：（1）点 的坐标为 ． 关于 轴的对称点 ：横坐标不变、纵坐标互为相反数，∴ ． 关于 轴的对称点 ：纵坐标不变、横坐标互为相反数，∴ ． 关于原点的对称点 ：横、纵坐标均互为相反数，∴ ． （2）∵ 与 的坐标完全相同，∴ 点 与点 重合． （3）由（1）（2）知点 的坐标序列以 为周期循环： ，，（ 为非负整数）． ∵ ，∴ 与 的坐标相同， ∴ ． 15．解：（1）第 次翻转绕点 顺时针旋转 ， 此时点 落到正方形的左上角，坐标为 ，∴ ． 第 次翻转绕点 顺时针旋转 ， 此时点 落到正方形的右上角，坐标为 ，∴ ． （2）继续翻转：第 次翻转后 （右下角）； 第 次翻转绕点 旋转，而点 恰好位于旋转中心，位置不变， ∴ ． （3）观察点 的位置规律： ，，，…… 即每翻转 次，点 的横坐标增加 、纵坐标为 ，且点 位于正方形的左下角； 在此后的翻转中，点 依次位于正方形的左上角、右上角、右下角、左下角，每 次一循环． ∵ ， ∴ 的位置与 在一个循环中相同，位于正方形的右上角． 此时正方形所在的位置对应的横坐标比 多 ， ∴ ，即 ． 16．解： 是等腰直角三角形，，，且 在 轴正半轴上， ∴ ，． （1）将 绕点 顺时针旋转 ，则点 旋转到 ，点 旋转到 ， ∴ ，． （2）继续绕点 顺时针旋转 ： ，． ∴ ． （3）继续旋转：，与 重合， ∴ 点 的坐标序列以 为周期循环． ∵ ，∴ 与 的坐标相同， ∴ ． 17．解：（1）点 的旋转点为 ； 点 的旋转点为 ； 点 的旋转点为 ． （2）若 ，则 ，，． ∴ ． （3）由（2）知 ，而 ， ∴ 点 的坐标序列以 为周期循环． 当 时，． ∵ ，∴ 与 的坐标相同， ∴ ． 18．解：（1）点 ． 关于 轴的对称点 ：横坐标不变、纵坐标互为相反数，∴ ． 关于 轴的对称点 ：纵坐标不变、横坐标互为相反数，∴ ． 关于 轴的对称点 ：横坐标不变、纵坐标互为相反数，∴ ． （2）继续作对称点： 为 关于 轴的对称点，即 ，与 重合． ∴ 点 的坐标序列以 为周期循环． ∵ ，∴ 与 的坐标相同， ∴ ． （3）∵ ，，两点的横坐标相同、纵坐标互为相反数， ∴ 与 关于 轴对称． 19．解：（1）点 中 ，故跳到 ，即 ． （2）点 中 ，故跳到 ； 点 中 ，故跳到 ； 点 中 ，故跳到 ． ∴ 经过 次跳点变换后得到的点为 ． （3）从原点 出发依次变换： 观察可知： 当 为奇数时，点的坐标为 ； 当 为偶数时，点的坐标为 ． 20．解：（1）点 的关联点为 ，即 ． （2）点 的关联点为 ； 点 的关联点为 ． ∴ 点 经过 次关联变换后得到的点为 ． （3）由题意得 ，． 两式相加得 ，∴ ； 将 代入 ，得 ． ∴ ，． 21．解：按题图中粒子的运动方式，依次写出每分钟末粒子所在位置的坐标： 第 分钟 ，第 分钟 ，第 分钟 ，第 分钟 ， 第 分钟 ，第 分钟 ，第 分钟 ，第 分钟 ， 第 分钟 ，第 分钟 ，第 分钟 ，第 分钟 ， 第 分钟 ，第 分钟 ，第 分钟 ，第 分钟 ． （1）∴ 第 分钟时粒子的位置为 ，第 分钟时粒子的位置为 ． （2）∴ 第 分钟时粒子的位置为 ． （3）观察点 出现的时间： 在第 分钟， 在第 分钟， 在第 分钟， ∴ 一般地，点 在第 分钟出现． ∵ ，， ∴ 第 分钟时粒子位于点 之后． 由于 为偶数，点 之后粒子沿 轴负方向（向下）运动， 从 向下运动 分钟到达 ，此时为第 分钟； 第 分钟到达 ，第 分钟到达 ． ∴ 第 分钟时粒子的位置坐标为 ． 22．解：点 ，点 ， 为直角三角形，其中 ． （1）当 时，． 把 这三列上的整点逐一考察： 在 这一列上， 的点位于 内部； 在 这一列上， 的点恰好落在线段 上，不在内部； 在 这一列上， 的点位于线段 的上方，不在内部． ∴ 内部（不包括边界）的整点只有 ，共 个． （2）在 中，点 与点 的连线的中点坐标为 ． 由于 内部的整点纵坐标只能取 （因为 ）， ∴ 只需考察各列上的点 是否位于线段 的下方． 由图形的对称性可知：当 时，点 位于线段 的下方（即在内部）； 当 时，点 不在内部． ∴ 内部整点为 ，共 个． （3）当 时，，解得 ， ∴ 内部整点的个数为 个． 23．解：（1）由规律知，奇数下标的点落在 轴正半轴上，横坐标依次为 ， ∴ ． 偶数下标的点落在 轴正半轴上，纵坐标依次为 ， ∴ ． （2）第 个奇数下标为 ，其对应的横坐标为 ， ∴ ． 第 个偶数下标为 ，其对应的纵坐标为 ， ∴ ． （3） 的三个顶点为 、、． ∵ 落在 轴上、 落在 轴上，∴ 该三角形为直角三角形， 两直角边的长分别为 与 ， ∴ ． 当 时，面积为 ． 24．解：（1）点 的横坐标等于序号，纵坐标按 与 交替出现， ∴ 当 为奇数时 ；当 为偶数时 ． ∵ 为偶数，∴ ． （2）观察点 的排列规律：每四个点一组，每组绕原点向外扩展一层． 第 组：，，，； 第 组：，，，． ∴ 第 组的四个点依次为 、、、． ∵ ，∴ 是第 组的第 个点， ∴ ． （3）动点 从 出发，各次移动如下： 第 次向上 个单位：；第 次向左 个单位：； 第 次向下 个单位：；第 次向右 个单位：． ∴ 第 次移动后点 的坐标为 ． 每完成 次移动为一个循环，一个循环内的净位移为： 横坐标变化 ，纵坐标变化 ， ∴ 每个循环的净位移为 ． ∵ ， ∴ 前 个循环的净位移为 ， 此时点 的坐标为 ，即 ． 余下的第 次移动为向上 个单位，到达 ； 余下的第 次移动为向左 个单位，到达 ． ∴ 第 次移动后点 的坐标为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $