27.2 反比例函数的图象和性质 导学案2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版数学九年级上册 · 第二十七章 反比例函数 · 27.2 反比例函数的图象和性质（导学案） 第二十七章 反比例函数 27.2 反比例函数的图象和性质 · 导学案 2026—2027学年 人教版数学 九年级上册 姓名：____________ 班级：____________ 日期：____________ 第二十七章 反比例函数 · 第 2 节 · 2 课时 · 教材 P67—P72 上节课请出了一位新朋友——反比例函数 y = （k 为常数, k ≠ 0）。它只给了我们一个"代数模样"：常数除以自变量。可是函数图象能告诉我们更多：两支曲线往哪个方向走、落在哪几个象限、一个量变大时另一个量怎么变、两支之间又有什么关系。这一节就来做一件事：把反比例函数的图象画出来，再从图上看清它的性质。 课本把这一节分成 2 个课时（课本 P67 到 P72）。第 1 课时画出图象、归纳性质（课本 P67—P70），第 2 课时用性质解决问题（课本 P70—P71）。研究路径很固定：从实际问题或解析式出发，列表、描点、连线画出图象，再结合解析式得出性质，最后把性质用到例题和习题里。 本材料里的图 1 至图 8，画的都只是"图象本身"：画图的三个步骤、k>0 与 k<0 的两条双曲线、两支关于原点对称的两个点、同一支上 y 随 x 增大而减小的方向、待定系数法求 k 的四个步骤、判断点是否在图象上的方法。它们只负责把"长什么样"摆在眼前，结论请自己动笔写。 学习目标 1. 会按"列表、描点、连线"三步画出反比例函数的图象，知道它的图象是双曲线，由两支曲线组成，并且与坐标轴不相交。 2. 会说出 k>0 与 k<0 时图象所在象限，以及"在每一象限内" y 随 x 的变化规律。 3. 会说清两支曲线关于坐标原点中心对称，图象无限接近坐标轴但永远不与坐标轴相交（x ≠ 0 且 y ≠ 0）。 4. 会用待定系数法由图象上一个点求出 k，并会判断一个已知点是否在某个反比例函数的图象上。 5. 会由图象所在象限确定含字母系数中 k 的符号范围，并据此比较同一支上两点的函数值大小。 学习重点与难点 项目 内容 学习重点 反比例函数的图象形状（双曲线）与主要性质：k>0 时两支在第一、三象限，每一象限内 y 随 x 增大而减小；k<0 时两支在第二、四象限，每一象限内 y 随 x 增大而增大；两支关于原点对称；用待定系数法求 k 学习难点 第一，画图象时列表取了 x = 0 或不向两端延伸，画成折线或只画一支；第二，说增减性时漏掉"在每一象限内"这半句话；第三，把两支连成穿过原点的曲线；第四，含字母系数时把 k 与整个分子混为一谈（如 y = 中 k = m-5，不是 m）；第五，判断点是否在图象上只代横坐标，忘了检验横坐标与纵坐标的乘积 本节在课本第几页 本节是第二十七章的第 2 节，课本 P67 到 P72 一共 6 页，安排 2 课时。图象与性质的引入、例与练习在课本 P67—P71，配套的《习题27.2》在课本 P72。 课本 P68 的"思考"里画了 y = （或类似）的图象，书上有完整的列表、描点、连线过程，请同学自己翻课本对照，本材料不重画，也不改动课本的题面与数据。 本材料正文里的图 1 至图 8 是另画的一套示意图，与课本上的插图不是一套，不要混。看课本时请按课本上的图号找图，看本材料时按图 1 到图 8 找图。 热身三问 1. 上节课说反比例函数 y = （k ≠ 0）的自变量 x 能取哪些值？为什么 x 不能取 0？先把答案写出来。 2. 一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是一条抛物线。猜一猜：反比例函数的图象会是一条直线吗？先写下你的猜想，理由可以暂时空着。 3. 如果 k = 6，函数 y = 里当 x = 1 时 y 是多少？x = 2 时 y 又是多少？x 越大，y 越大还是越小？先算一算再填。 我写热身答案： 【预习提醒】第 1 问：自变量 x 取不等于 0 的一切实数，因为 x 在分母上，x = 0 时式子没有意义。第 2 问：反比例函数的图象不是直线，它是一条向两端弯曲、越来越贴近坐标轴的曲线（课本画出来之后就知道了）。第 3 问：x = 1 时 y = 6，x = 2 时 y = 3；x 变大，y 反而变小。 一、先想 · 图象长什么样 动手之前，先把"图象长什么样"在脑子里想一遍。拿 y = （k ≠ 0）来说，x 与 y 谁也不能为 0，而且 x 与 y 必须同号或异号，完全由 k 的符号决定。 ① 当 k > 0 时，x 与 y 同号：x 正、y 也正，这一支落在第一象限；x 负、y 也负，这一支落在第三象限。所以 k > 0 时图象的两支分别在第一、三象限。先猜一猜，理由可以暂时空着。 ② 当 k < 0 时，x 与 y 异号：x 正、y 为负，这一支落在第四象限；x 负、y 为正，这一支落在第二象限。所以 k < 0 时图象的两支分别在第二、四象限。先猜一猜。 ③ 因为 x ≠ 0、y ≠ 0，图象永远不会碰到 x 轴和 y 轴，只会无限靠近它们。先写下你的理解。 我写 x 与 y 同号或异号的理由： 我写我的猜想： 【取点先想定义域】列表取点时，x = 0 一定要跳过——x = 0 不在定义域里；在 0 的左右两侧各自取值，图象才会完整出现两支。先想清楚落在哪两个象限，再动手取点，画的时候方向就不容易错。 【先定方向】不必死记：只要看 k 的符号——k>0 同号→一三象限，k<0 异号→二四象限。这一条先记住，画图象时就有了方向。 【想清楚再画】两条判断依据：第一，k > 0 时 xy = k > 0，所以 x、y 同号，图象只能在第一、三象限；k < 0 时 xy = k < 0，x、y 异号，图象只能在第二、四象限。第二，x = 0 时式子无意义、y = 0 时也无解，所以图象与两条坐标轴都没有交点。带着这两条，往下把图象真正画出来检验。 二、动手 · 列表、描点、连线三步走 猜想要靠画图来验证。课本（课本 P68）以 y = 为例，把"画反比例函数图象"拆成三个动作：先列表取值，再把每一对值描成点，最后顺次连成光滑曲线。 第一步——列表：取一些互为倒数的 x 值，算出对应的 y。例如 x 取 -6、-3、-2、-1、1、2、3、6 时，y 分别是 -1、-2、-3、-6、6、3、2、1。 第二步——描点：把上面每一对 (x, y) 标在平面直角坐标系中。 第三步——连线：按 x 由小到大的顺序，把各点用光滑的曲线顺次连起来。注意每一支单独连，不要把两支连成一条穿过原点的线。 我写列表：x 取 -6、-3、-2、-1、1、2、3、6 时，y 分别等于多少： 如图 1，三个步骤摆在了眼前：先列一张表，再把点描到坐标系，最后顺次连成曲线。 图 1 画反比例函数的图象：三个步骤 现在请你照着这三步，自己把 y = 的图象画一遍。列表、描点、连线，画在草稿纸上。 我写 y = 的图象： 【做完了对一对】列表时正负 x 都要取，而且尽量取成对地靠近 0 和远离 0（如 1 与 6、2 与 3 及其相反数），这样靠近坐标轴的那一段才画得准。连线要用光滑曲线，不是折线；并且第一支（第一象限）和第三支（第三象限）各画各的，中间隔着坐标轴，千万不要用一条线把它们穿起来。 画完之后回头看：你画出的两支曲线，是不是分别落在一、三象限？是不是怎么延伸都碰不到 x 轴和 y 轴？把你的观察写下来。 我写观察到的形状： 我写画图象最容易错的两处： 【尺度要一致】画图象时横、纵坐标要用相同的单位长度（即一格代表的数一样大）。若两个方向单位不一致，双曲线会被压扁或拉斜，看起来就不像课本上的样子。另外，连线要"够长"——越往两端越贴近坐标轴，不留一段就显不出"无限接近"的味道。 三、看清 · k>0 与 k<0 两支各在哪 把图象画出来以后，再把两支曲线摆在一起看清它们的位置。一个反比例函数的两支落在哪两个象限，完全由 k 的符号说了算。 先看 k > 0 的情形。如图 2，两支分别落在第一、三象限，每一支都从"贴近 x 轴"弯向"贴近 y 轴"。在第一支（或第三支）上，从左往右走，x 越来越大，y 却越来越小——也就是在每一象限内，y 随 x 增大而减小。 图 2 k>0 时两支在第一、三象限 再看 k < 0 的情形。如图 3，两支分别落在第二、四象限。在每一支上，从左往右走，x 越来越大，y 也越来越大——也就是在每一象限内，y 随 x 增大而增大。 图 3 k<0 时两支在第二、四象限 把两条规律并排放进一张表里，一眼就能比清楚。 比什么 k > 0 k < 0 两支所在象限 第一、三象限 第二、四象限 在每一象限内，y 随 x 的变化 y 随 x 增大而减小 y 随 x 增大而增大 这里有一处最容易漏：增减性前面必须带上"在每一象限内"这半句话。整个图象横跨两个象限，不能跨象限说"y 随 x 增大而减小"——因为第一象限的 y 是正的、第三象限的 y 是负的，跨过去就反了。先把这句话补全。 我写"在每一象限内"为什么不能省： 【为什么要这句话】因为图象被坐标轴分成了两支，第一支全在第一象限、第二支全在第三象限。如果说"y 随 x 增大而减小"不加"在每一象限内"，就意味着从第三象限一直往右穿过原点到第一象限，y 一路减小——可实际上第三象限的 y 是负的、第一象限的 y 是正的，跨象限后 y 反而从负跳到正、变大了。所以只能"在每一支（每一象限）内部"谈增减。 把"增减性"单独画出来更直观：如图 4，在同一支上，沿着曲线从左往右走，位置越来越低，也就是 y 随 x 增大而减小（这里以 k > 0 为例）。 图 4 同一支上 y 随 x 增大而减小 我写 k>0 与 k<0 时，同一支上 y 随 x 怎样变化： 【一个反例】举个数字看清"在每一象限内"为什么不能省：取 k>0，第一象限一点 (1, 6)、第三象限一点 (-6, -1)。若跨象限比较，x 从 -6 增到 1，y 却从 -1 变到 6，看似 y 随 x 增大而增大——这是跨了象限的假象。只有在同一支内（都取正 x，或都取负 x）才递减。所以增减性必须说"在每一象限内"。 四、比对 · 两支关于什么对称 两支曲线之间还有一种关系：把第一支上的任意一点绕原点转半圈（旋转 180 度），它正好落在第二支上。这说明两支曲线关于坐标原点中心对称——也就是关于原点成中心对称。 我写关于原点对称的含义： 如图 5，第一支上取一点 A，把 A 绕原点旋转 180 度得到 A'，A' 一定落在另一支上。反过来也一样。所以只要知道了一支，另一支就是它关于原点的"镜像"。 图 5 两支上的两个点关于原点中心对称 课本（课本 P69）的练习里就有判断对称性的题。先把"两支关于什么对称"这个结论写下来，再想清楚：为什么是原点而不是 y 轴或 x 轴？ 我写对称中心和理由： 【做完了对一对】两支关于坐标原点成中心对称。理由：若 (x, y) 在 y = 上，则 xy = k；把 x、y 同时变号得 (-x)(-y) = xy = k，所以 (-x, -y) 也在图象上，这正是"关于原点对称"的代数含义。它不关于 y 轴对称（否则 (-x, y) 也要在图象上，即 -xy = k，一般不成立），也不关于 x 轴对称。 五、验证 · 图象与坐标轴到底交不交 画完图象、归纳完性质，最后回过头做一件重要的事：验证图象到底与坐标轴交不交。从解析式就能判断——y = 里 x 在分母上，x 永远不能为 0，所以图象上没有横坐标为 0 的点，也就不可能碰到 y 轴；同时 y = 也写不出 y = 0 的解（那样会推出 k = 0，与 k ≠ 0 矛盾），所以图象上也没有纵坐标为 0 的点，也就不可能碰到 x 轴。 如图 6，两支曲线一路向坐标轴弯过去，越靠越近，却始终不碰到 x 轴和 y 轴。这种"无限接近、永不相交"的样子，正是双曲线区别于直线、抛物线的重要特征。 图 6 两支曲线与两条坐标轴都不相交 把这件事与自变量的取值范围连起来：x ≠ 0 对应"不碰 y 轴"，y ≠ 0 对应"不碰 x 轴"。先在草稿纸上各写一句话。 我写"不相交"与取值范围的关系： 我写为什么 x ≠ 0 对应图象不碰 y 轴： 【做完了对一对】图象与 x 轴不相交，是因为 y 永远不为 0（若 y = 0 则 k = 0，矛盾）；与 y 轴不相交，是因为 x 永远不为 0。所以双曲线无限接近两条坐标轴，却永远都不与它们相交。 六、会用 · 例1 待定系数法求 k 并判断点 性质归性质，真要用起来还得靠"待定系数法"。看课本 P70 的例 1：已知反比例函数的图象经过点 A(-2, 4)。（1）求这个反比例函数的解析式；（2）判断点 B(1, -8)、C、D(2, 4) 是否在这个函数的图象上。 第（1）问：既然点在图象上，把它代进 y = 就能解出 k。先自己设、自己代、自己求。 我写第（1）问的解答： 【待定系数法】待定系数法的关键在于"图象上的点都满足解析式"：既然 A(-2, 4) 在图象上，把它代进 y = 一定成立，从而解出唯一未知量 k。这里只缺 k 一个字母，所以一个点就够用。代入时两个坐标都要写进去，别只写横坐标。 第（2）问：判断一个点是不是在图象上，只要算一算"横坐标乘纵坐标等不等于 k"——等于就在，不等于就不在。先自己逐个判断。 我写第（2）问的判断： 如图 7，待定系数法求 k 可以走四步：设出 y = 、代入一组对应值、求出 k、写出解析式。 图 7 待定系数法求 k 的四个步骤 如图 8，判断点是否在图象上，关键是先写出这个点的两个坐标，再算它们的乘积，最后和 k 比一比。 图 8 判断点是否在图象上：先算两个坐标的乘积 我写待定系数法的四个步骤： 我写判断点是否在图象上的方法： 【做完了对一对】（1）设 y = （k ≠ 0），把 x = -2、y = 4 代入得 4 = ，解得 k = -8，所以解析式是 y = -。（2）点在图象上，等价于：它的横坐标与纵坐标的乘积等于 k。B(1, -8) 的乘积是 1×(-8) = -8 = k，在；C 的乘积是 × = -8 = k，在；D(2, 4) 的乘积是 2×4 = 8 ≠ -8，不在。注意判断时两个坐标都要代，只看横坐标会出错。 七、再会 · 例2 由所在象限定字母范围 第二招：从图象"落在哪一象限"倒推 k 的符号，从而定出式子中字母的范围。看课本 P71 的例 2：已知反比例函数 y = （m 为常数）。（1）若函数图象的一支在第一象限，求 m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，若在图象的某一支上任取两点 (x1, y1)、(x2, y2)，当 x1 > x2 时，试比较 y1 与 y2 的大小。 第（1）问：先把式子认成 y = 的样子，这里的 k 是 m-5（不是 m）。一支在第一象限意味着 k > 0，也就是 m-5 > 0。先自己解。 我写第（1）问： 第（2）问：k > 0 时图象在第一、三象限，在每一支上 y 随 x 增大而减小。既然 x1 > x2 且两点在同一支上，y1 与 y2 谁大？先自己比。 我写第（2）问： 我写这里的比例系数 k 为什么是 m-5 而不是 m： 【同一支上】例2 第（2）问的"同一支上"不能省。k>0 时两支都递减，但第一支的 y 全是正的、第三支的 y 全是负的；若两点不在同一支（如一正一负），比较大小没有意义。题目说"在图象的某一支上任取两点"，正是把比较锁死在同一支内部。 【做完了对一对】（1）y = 中比例系数 k = m-5（整段分子才是 k，不是 m）。一支在第一象限说明 k > 0，即 m-5 > 0，得 m > 5。（2）当 m > 5 时 k > 0，图象在第一、三象限，在每一支上 y 随 x 增大而减小；x1 > x2 且两点在同一支上，所以 y1 < y2。这里最容易把 k 误当成 m，或漏掉"同一支上"这一前提。 课后作业 （一）必做《习题27.2》（课本 P72），按复习巩固、综合运用、拓广探索三层逐层完成。 层次 课本出处 这一层做什么 复习巩固 （课本 P72） 基础题，逐题完成 综合运用 （课本 P72） 在基础之上综合运用 拓广探索 （课本 P72） 有难度的拓展题，尽力而为 说明：本节《习题27.2》的公开题面暂不可得，此处按课本原书的栏目与页码留位，请以课本原文为准，逐题完成；待题面到齐后，再对照课本与本材料自查。 （二）课时配套巩固：下面六题用于当堂检测或课后巩固，与课本上的例题、练习、习题都不重复。 1. 画出 y = 的图象，并说出它的两支各落在哪些象限、在每一象限内 y 随 x 怎样变化。 2. 已知反比例函数 y = 的图象在第二、四象限，求 m 的取值范围。 3. 反比例函数 y = 的图象经过点 (3, -2)。(1) 求 k 的值；(2) 判断点 (-1, 6) 是否在这个函数的图象上。 4. 已知反比例函数 y = （k ≠ 0）的两支曲线关于原点成中心对称，写出对称中心，并说明为什么。 5. 若反比例函数 y = - 上有两点 A(x1, y1)、B(x2, y2) 在同一支上，且 x1 < x2，比较 y1 与 y2 的大小。 6. 一个矩形的面积 S（单位：平方厘米）一定，长 a（单位：厘米）随宽 b（单位：厘米）的变化而变化。(1) 写出 a 关于 b 的函数解析式；(2) 它是什么函数，比例系数 k 是多少？ 我写课后巩固： 【学法提示】做作业前先在草稿上写两句话：这道题里 k 的正负号是什么？图象落在哪两个象限？做完之后再查三处 —— 列表时有没有取 x = 0、连线时有没有把两支穿起来、说增减性时有没有带上"在每一象限内"。 八、参考答案 （一）前导 · 学习目标与热身三问 热身第 1 问：自变量 x 取不等于 0 的一切实数（x ≠ 0），因为 x 在分母上，x = 0 时式子没有意义。 热身第 2 问：反比例函数的图象不是直线，它是一条向两端弯曲、越来越贴近坐标轴的曲线（两支曲线），课本画出来之后即可确认。 热身第 3 问：k = 6 时，x = 1 得 y = 6，x = 2 得 y = 3；x 越大，y 越小。 （二）板块一 · 先想 · 图象长什么样 ① k > 0 时，x 与 y 同号，图象两支分别在第一、三象限。 ② k < 0 时，x 与 y 异号，图象两支分别在第二、四象限。 ③ 因为 x ≠ 0、y ≠ 0，图象与两条坐标轴都没有交点，只会无限靠近它们。 （三）板块二 · 动手 · 列表、描点、连线三步走 列表：x 取 -6、-3、-2、-1、1、2、3、6 时，y = 分别对应 -1、-2、-3、-6、6、3、2、1。 描点：把上述八对 (x, y) 标在平面直角坐标系中。 连线：按 x 由小到大顺序，用光滑曲线把各点顺次连起来，第一支（第一象限）与第三支（第三象限）各连各的，中间不穿越坐标轴。 观察到的形状：两支曲线分别落在第一、三象限，越远越贴近坐标轴，但始终不碰到 x 轴和 y 轴——这就是双曲线。 （四）板块三 · 看清 · k>0 与 k<0 两支各在哪 k > 0：图象两支分别在第一、三象限；在每一象限内，y 随 x 增大而减小。 k < 0：图象两支分别在第二、四象限；在每一象限内，y 随 x 增大而增大。 "在每一象限内"不能省：图象被坐标轴分成两支，跨象限谈增减会出错（第三象限的 y 是负的、第一象限的 y 是正的，跨过去 y 反而变大了），所以只能在同一支（同一象限）内部谈增减。 （五）板块四 · 比对 · 两支关于什么对称 两支曲线关于坐标原点成中心对称（即关于原点对称）。 理由：若 (x, y) 在 y = 上，则 xy = k；把 x、y 同时变号得 (-x)(-y) = xy = k，所以 (-x, -y) 也在图象上，这正是关于原点对称的代数含义。它不关于 y 轴、也不关于 x 轴对称。 （六）板块五 · 验证 · 图象与坐标轴到底交不交 图象与 x 轴不相交，是因为 y 永远不为 0（若 y = 0 则由 y = 推出 k = 0，与 k ≠ 0 矛盾）。 图象与 y 轴不相交，是因为 x 永远不为 0（x 在分母上）。 所以双曲线无限接近两条坐标轴，却永远都不与它们相交；这对应自变量的取值范围 x ≠ 0 与函数值 y ≠ 0。 （七）板块六 · 例1 待定系数法求 k 并判断点 第（1）问：设 y = （k ≠ 0），把 x = -2、y = 4 代入得 4 = ，解得 k = -8，所以解析式为 y = -。 第（2）问：点在图象上，等价于：它的横坐标与纵坐标的乘积等于 k。B(1, -8)：1×(-8) = -8 = k，在图象上；C：× = -8 = k，在图象上；D(2, 4)：2×4 = 8 ≠ -8，不在图象上。 （八）板块七 · 例2 由所在象限定字母范围 第（1）问：y = 中的比例系数 k = m-5（整段分子才是 k，不是 m）。一支在第一象限说明 k > 0，即 m-5 > 0，得 m > 5。 第（2）问：当 m > 5 时 k > 0，图象在第一、三象限，在每一支上 y 随 x 增大而减小；已知 x1 > x2 且两点在同一支上，所以 y1 < y2。 《习题27.2》（课本 P72）按复习巩固、综合运用、拓广探索三层逐层完成。本节习题的公开题面暂不可得，请以课本原文为准，逐题动手做，做完再对照课本与本材料自查。 课后巩固第 1 题：y = 中 k = 4 > 0，两支分别在第一、三象限；在每一象限内 y 随 x 增大而减小（图象请自行在草稿纸上按列表、描点、连线画出）。 课后巩固第 2 题：图象在第二、四象限，说明 k = 2m + 1 < 0，解得 m < -。 课后巩固第 3 题：(1) 把 (3, -2) 代入 y = 得 k = 3×(-2) = -6，解析式为 y = -；(2) 点 (-1, 6) 的横纵坐标乘积 (-1)×6 = -6 = k，所以在图象上。 课后巩固第 4 题：对称中心是原点；因为 (x, y) 在图象上则 xy = k，而 (-x)(-y) = k，所以 (-x, -y) 也在图象上，即两支关于原点对称。 课后巩固第 5 题：y = - 中 k = -6 < 0，在同一支上 y 随 x 增大而增大；已知 x1 < x2 且在同一支上，所以 y1 < y2。 课后巩固第 6 题：(1) 由 S = ab 得 a = ；(2) 它是反比例函数（形如 y = ，这里把 a 看作 b 的函数），比例系数 k = S。 — 2026—2027学年 · 班级 ______ 姓名 ______ — 学科网（北京）股份有限公司 $