精品解析：山东省泰安英雄山中学2026-2027学年高一上学期个人学情诊断检测数学试卷

2026级高一上学期个人学情诊断检测数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知，，若且，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列五个写法，其中错误写法的个数为（ ） ①；②；③；④；⑤ A. B. C. D. 4. 若集合，集合，且，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 若集合恰有两个子集，则实数的值是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 6. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合，，，则的关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合A的个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 20 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “”的充要条件是“” C. “”是“”的既不充分也不必要条件 D. “，”是“”的充分不必要条件 10. 已知集合或，且是的真子集，则的取值可能为（ ） A. 2 B. C. 2.5 D. 4 11. 非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（ ） A. 若A为一个“封闭集”，则 B. 若A为一个“封闭集”，且，则 C. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知南雅中学高一班有55名学生，在秋季运动会上，有17名学生参加了田赛项目，有22名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为________ 13. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是_______． 14. 已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知全集，，，．求： （1）； （2）． 16. 设全集，集合，. （1）若，求，，； （2）若是成立的充分条件，求实数a的取值范围. 17. 已知集合，集合． （1）若集合B的真子集有且只有1个，求实数a的值； （2）若，求实数a的取值范围． 18. 已知命题任意满足，都有恒成立； 命题：存在，使得成立. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若，有且只有一个为真，求实数的取值范围. 19. 已知集合. （1）判断是否属于集合； （2）已知集合，证明：“”是“”的必要非充分条件； （3）求所有满足集合的偶数，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026级高一上学期个人学情诊断检测数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知，，若且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，直接求出集合中的元素作答. 【详解】因为，由，得或， 又，且，即有且，因此， 所以. 故选：A 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可. 【详解】命题“，”为全称量词命题， 其否定为：，. 故选：B 3. 下列五个写法，其中错误写法的个数为（ ） ①；②；③；④；⑤ A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素与集合之间的关系、集合与集合之间的关系进行逐一判断. 【详解】对于①，“”是用于元素与集合的关系，①错， 对于②，是任意集合的子集，②对. 对于③，集合是它本身的子集，③对. 对于④，“”是用于元素与集合的关系，④错. 对于⑤，是用于集合与集合的关系的，⑤错. 所以错误的写法有①④⑤，共3个. 故选：C. 4. 若集合，集合，且，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由集合得到且，再由，列出方程组，求得，结合指数幂的运算法则，即可求解. 【详解】， ，即， ，由元素的互异性可知, ，∴或（舍去）， 当时，，，满足，故. 综上，， . 故选：A. 5. 若集合恰有两个子集，则实数的值是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知，集合只有一个元素，即关于的方程只有一个实数根，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，可得出.综合可得出实数的值. 【详解】因为集合恰有两个子集，则集合只有一个元素， 即关于的方程只有一个实数根，分以下两种情况讨论： 当，即当时，原方程为，解得，合乎题意； 当，即当时，则， 解得或. 综上所述，或. 故选：D. 6. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出命题“”为真命题的充要条件，然后可选出答案. 【详解】由可得：， 当时，，所以， 则的取值范围为， 满足其一个充分不必要条件的集合为，则：为的真子集, 故其一个充分不必要条件是：. 故选:C. 7. 已知集合，，，则的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将集合中元素化为统一形式，然后进行判断即可. 【详解】， , ， 故 故选：B. 8. 已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合A的个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合中元素性质判断出符合两个性质的所有元素，在求出其个数即可. 【详解】由题意可知， 结合两个性质可知若，则，若，则； 若，则，若，则； 因此可知1和3不能同时出现也不能同时不出现，2和6不能同时出现也不能同时不出现，而4和5没有限制， 所以符合题意的集合有, 共16个. 故选：C 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “”的充要条件是“” C. “”是“”的既不充分也不必要条件 D. “，”是“”的充分不必要条件 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，当时，，所以“”是“”的不充分条件； 由，可得，所以，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 对于B，取，满足，但此时无意义， 所以“”是“”的不必要条件； 由，得，所以， 所以“”是“”的充分条件； 所以“”的充分不必要条件是“”，故B错误； 对于C，由，得，解得或. 但得不出或，所以“”是“”的不充分条件； 又或可得出，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件，故C错误； 对于D，当，时，有成立， 所以“，”是“”的充分条件； 而，但，不成立，即由不能得到，， 所以“，”是“”的不必要条件； 所以，“，”是“”的充分不必要条件，故D正确. 10. 已知集合或，且是的真子集，则的取值可能为（ ） A. 2 B. C. 2.5 D. 4 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用真子集概念，得出关于的不等式，解之即可判断选项正误. 【详解】因为是的真子集， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得， 则或，解得或； 综上所述：或； 故选：BCD. 11. 非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（ ） A. 若A为一个“封闭集”，则 B. 若A为一个“封闭集”，且，则 C. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AB，由“封闭集”的定义可得正确；对于C，举出反例；D选项，先证明充分性，再利用反证法证明必要性成立，得到D正确. 【详解】对于A，因为A为一个“封闭集”，所以由定义可知若，则，那么，A正确． 对于B，因为A为一个“封闭集”，，所以，所以，B正确． 对于C，不妨取“封闭集”， 则也是“封闭集”，显然或不成立，C错误． 对于D，充分性：都是“封闭集”， 若或，则或，则是“封闭集”． 必要性：若是“封闭集”，令， 假设或不成立，则存在，同时， 因为是“封闭集”，所以， 分两类情况讨论， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 故假设不成立，原结论是“封闭集”，则或成立，即必要性成立．D正确． 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知南雅中学高一班有55名学生，在秋季运动会上，有17名学生参加了田赛项目，有22名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为________ 【答案】25 【解析】 【分析】根据题意画出Venn图，再进行求解即可． 【详解】根据题意，画出Venn图如下：    所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为. 故答案为：25. 13. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【详解】命题“”为假命题， 它的否定：为真命题， 即， 令， 二次函数对称轴， ， 存在性：只需， ， 实数的取值范围：. 14. 已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求得为真命题时的取值范围，再根据必要不充分条件求得的取值范围. 【详解】若命题“方程至少有一个负实根”为真命题， 时，，符合题意； 当时，，且， 则此时方程有一个正根和一个负根，符合题意； 当时，由，解得， 此时方程为符合题意； 由解得，此时， 则此时方程有两个负根，符合题意. 综上所述，为真命题时，的取值范围是. 若为真命题的一个必要不充分条件为， 则. 故答案为： 【点睛】含参数的一元二次方程根的分布问题，可采用直接讨论法来进行研究，也可以采用分离参数法来进行研究，如果采用直接讨论法，在分类讨论的过程中，要注意做到不重不漏.求命题的必要不充分条件，可转化为找一个比本身“大”的范围来进行求解. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知全集，，，．求： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用列举法求得集合，然后利用交集与并集的运算求解即可； （2）先利用补集的定义求得，进而利用并集的运算求解即可. 【小问1详解】 因为，． 所以，又因为，所以； 【小问2详解】 因为，，， 所以，所以. 16. 设全集，集合，. （1）若，求，，； （2）若是成立的充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1），，. （2） 【解析】 【分析】（1）根据交集，并集，补集的定义计算即可； （2）根据是成立的充分条件得到，根据集合是否为空集分类讨论，列不等式组，求解即可. 【小问1详解】 由，得， 又，， 所以， ， 或， 则. 【小问2详解】 因为是成立的充分条件，所以； 当时，，解得，此时满足题意； 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 17. 已知集合，集合． （1）若集合B的真子集有且只有1个，求实数a的值； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由判别式为0可得； （2）由得，然后对分类讨论可得； 【小问1详解】 集合B元素个数为1．， 即，解得：； 【小问2详解】 ∵，∴ 对集合B讨论： 当时，即时，，满足条件； 当时，即，此时，满足条件； 当时，要满足条件，必有， 由根与系数的关系有：，此方程组无解，不满足条件舍去 综上所述，实数a的取值范围是 18. 已知命题任意满足，都有恒成立； 命题：存在，使得成立. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若，有且只有一个为真，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意有，解出即可求解； （2）先求命题为真命题时的取值范围，再分类讨论即可求解. 【小问1详解】 由命题为真命题，所以，即， 所以实数的取值范围； 【小问2详解】 若命题为真命题，当时，满足题意， 当时，若，则总有解， 若，结合， 所以命题为真命题，实数的取值范围为， 若，有且只有一个为真， 当真假时， ， 当假真时， ， 综上所述，实数的取值范围为. 19. 已知集合. （1）判断是否属于集合； （2）已知集合，证明：“”是“”的必要非充分条件； （3）求所有满足集合的偶数，并说明理由. 【答案】（1）8，9属于，10不属于； （2） 证明：集合，则恒有， 即满足集合中元素特征，所以，即一切奇数都属于； 反之满足这个集合中的元素不一定全是奇数，如， 所以是的必要非充分条件， （3），理由为： 集合而， ①当和同为奇数和偶数时，均为偶数，所以为4的倍数， 反之当，则不妨令， 可解得，满足集合中元素特征， 所以满足集合的偶数为； ②当和一奇一偶时，和均为奇数， 所以为奇数，不满足题意； 综上所述：所有满足集合的偶数为. 【解析】 【分析】（1）先由平方差公式因数分解，再利用方程组思想确定是否有整数解，从而得出判断； （2）利用任何奇数总可以化为两个连续自然数的平方差，所以满足集合中元素特征，再通过举反例，如偶数8是集合中的元素，这样就可以判断充要条件了； （3）利用平方差因数分解，利用奇偶数思想分析，即可得到满足集合中的偶数一定是4的倍数，再证明4的倍数一定是集合中的元素，从而可得集合中的偶数一定是. 【小问1详解】 由于，满足集合中元素特征，所以， 由于，满足集合中元素特征，所以， 假设， 则，且， 由于，所以或，显然均无整数解， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第3小问的解决关键是分类讨论和同为奇数和偶数与和一奇一偶两种情况，结合因式分解即可得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $