精品解析：陕西省西安市交大航天学校（航天菁英）2026-2027学年上学期八年级第一次学情自测数学试卷

交大附中航天学校2026~2027学年第一学期第一次诊断 初二数学试题 （本试题共6页，3道大题．考试时长100分钟，试卷满分100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题的选项中只有一项符合题目） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. 0.101 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数的定义逐项分析即可． 【详解】A．0.101是有理数，故不符合题意； B．是有理数，故不符合题意； C．是有理数，故不符合题意； D．是无理数，故符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）． 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据四个象限的符号特点第一象限，第二象限，第三象限，第四象限即可解答． 【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标， ∴点在第三象限． 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可． 【详解】解：A、的被开方数是小数，可化简，，不是最简二次根式； B、的被开方数中含有能开得出来的因数，可化简，，不是最简二次根式； C、的被开方数中含有分母，可化简，，不是最简二次根式； D、的被开方数中既没有分母，也不含能开得出来的因数，是最简二次根式，故符合题意． 4. 兴华小学有一块面积为的正方形菜地供学生进行种植活动，估计这块菜地的边长在（ ） A. 之间 B. 之间 C. 之间 D. 之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的估算，先求出这块菜地的边长为，再进行估算即可得解． 【详解】解：∵小丽家有一块的正方形菜地， ∴这块菜地的边长为， ∵， ∴，即， ∴估计这块菜地的边长在之间， 故选：C． 5. 的三条边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理的应用是解题关键．根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； C、设，则，， ∵， ∴，解得 ∴，，， ∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意； D、∵，， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 6. 若点与点关于轴对称，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，计算得出、的值，代入所求代数式即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴． 7. 如图，在矩形AOBC中，A（–2，0），B（0，1）．若正比例函数y=kx的图象经过点C，则k的值为（ ） A. – B. C. –2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知可得点C的坐标为（–2，1），把点C坐标代入正比例函数解析式即可求得k． 【详解】∵A(–2，0)，B(0，1)， ∴OA=2，OB=1， ∵四边形OACB是矩形， ∴BC=OA=2，AC=OB=1， ∵点C在第二象限， ∴C点坐标为（–2，1）， ∵正比例函数y＝kx的图像经过点C， ∴–2k=1， ∴k=–， 故选：A. 【点睛】本题考查了矩形的性质，待定系数法求正比例函数解析式，根据已知求得点C的坐标是解题的关键． 8. 下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②开方开不尽的数是无理数；③负数没有立方根；④的平方根是，用式子表示是；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0，其中错误的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【详解】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，正确； ②开方开不尽的数是无理数，正确； ③负数有立方根，如，错误； ④的平方根是，且，错误； ⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0，正确； 故错误的有③④，共2个． 9. 如图，中，，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为，，，若，则阴影部分面积为（ ） A. 8 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用勾股定理求图形面积，关键是利用勾股定理将正方形面积的关系转化为线段长度的关系，进而求出阴影部分的面积． 【详解】解：在中，，根据勾股定理，得． ∵分别以三边为边长向外作正方形，面积记为， ∴，，， ∴． ∵， ∴， 解得，即． 观察图形，阴影部分为等腰直角三角形，其面积为． 故选：A． 10. 如图所示，平面直角坐标系中，x轴负半轴上有一点，点A第一次向上平移1个单位至点，接着又向右平移1个单位至点，然后再向上平移1个单位至点，向右平移1个单位至点，…，照此规律平移下去，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查点坐标规律的应用，熟练掌握类比法及点坐标的基础知识，是解题关键． 分别对点的横坐标和纵坐标的变化规律进行探讨，当n为奇数时，，当n为偶数时，，即得． 【详解】，， ， ， ，， ，， ，， …， 观察发现， 当n为奇数时，， 当n为偶数时，， ∴点的坐标是． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 64的立方根为___________． 【答案】4 【解析】 【详解】解：. 12. 如图，在数轴上点表示的实数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出的长，则可得到的长，结合数轴可得答案． 【详解】解：如图所示， 由勾股定理得， ∴， ∵点A在原点的左侧， ∴点A表示的实数是． 13. 已知线段轴，且，点A的坐标为，则点 B的坐标为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，根据平行于y轴的直线上的点横坐标相同，先得到点B的横坐标为，再根据线段的长为5求出点B的纵坐标即可得到答案． 【详解】解：∵轴，点A的坐标为， ∴点B的横坐标为， ∵线段的长为5， ∴点B的纵坐标为或， ∴点B的坐标为或， 故答案为：或． 14. 已知在正比例函数的图象上，若，则___________．（填“”或“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】根据解析式判断增减性，再由增减性即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴y随x的增大而减小， ∵在正比例函数的图象上，且， ∴． 15. 小宁在迪卡龙购买了拳击反应球作为居家健身器材．如图，若将球体支架最底端O到球体最顶端A看成一条线段，当反应球被击打时，可看作线段绕着点O旋转得到线段（在安全角度范围内旋转）．小宁击打反应球后与支架的水平距离为，当时，，则球体支架______ ． 【答案】130 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，旋转的性质，设，则，，在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由旋转知：， 设，则，， 由题意知， ∴，即， 解得， 即球体支架， 故答案为：130． 16. 如图，平面直角坐标系中，点，，，连接，并将线段绕点A顺时针旋转，点B旋转到点，连接．则周长的最小值为______． 【答案】８ 【解析】 【分析】过点B作轴于点C，过点作轴于点D，证明，得出，根据A、B两点的坐标，得出，说明点在直线上运动，根据为定值，得出当最小时，的周长最小，作点O关于直线的对称点，连接交直线于点E，连接，根据两点之间线段最短，得出当在点E处时，最小，且最小值为的长度，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：过点B作轴于点C，过点作轴于点D，如图， 则， 由旋转知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， 当最小时，的周长最小， 作点O关于直线的对称点，连接交直线于点E，连接， 则， ∴， 当点与点E重合时，最小，且最小值为的长度， ∵， ∴由勾股定理得， 即的最小值为5， ∴周长的最小值为， 故答案为：８． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，坐标与图形，两点之间线段最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定和性质． 三、解答题（本大题共8小题，共计52分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式. 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 如图，三个顶点都在格点上． （1）在图中画出关于轴对称的； （2）点的坐标为___________；点到轴的距离为___________； （3）求出的面积． 【答案】（1） （2），5 （3）5 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质画出即可； （2）根据点的位置确定点的坐标，根据点到轴的距离等于横坐标的绝对值求出点到轴的距离即可； （3）借助网格求面积即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可知点的坐标为，点到轴的距离为； 【小问3详解】 解：的面积. 20. 已知：，，分别求下列代数式的值： （1）； （2） 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据，，可以求得和的值，然后将所求式子变形，再将和的值代入计算即可； （2）根据，，可以求得和的值，然后将所求式子变形，再将和的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴． 21. 学习了“勾股定理”后，郑州某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下的活动报告，请根据活动报告完成下面试题． 报告 测量风筝的垂直高度 成员 组长：XXX 组员：XXX，XXX，XXX 工具 皮尺等 示意图 方案 先测量水平距离，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线长，最后测量放风等的同学的身高 数据 米 米 米 评价 （1）求此时风筝的垂直高度； （2）若站在点A不动，想把风不沿方向从点F的位置上升18米至点C的位置，则还需放出风筝线多少米？ 【答案】（1）米 （2）14米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用． （1）在中，利用勾股定理求出的长度，由即可求解； （2）由题意得米，根据米，得到米，在中，利用勾股定理求出的长度，由即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：米， 在中， 由勾股定理得， ∴（负值舍去）， ∴（米）； 【小问2详解】 解：由题意得米， ∵米， 故米， 在中， ∴（米）， ∴（米）， 故还需放出风筝线14米． 22. 某校初二年级某学习小组探究函数的图象与性质．下面是该组同学的探究过程，请补充完整： （1）下表是与的几组对应值． ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 4 3 2 0 1 3 4 ．．． 填空：___________，___________． （2）在如图所示的正方形网格中，建立合适的平面直角坐标系，描出以上表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象． （3）由函数图象可得： ①当___________时，随的增大而___________； 当___________时，随的增大而___________； ②当___________时，函数有最___________值为___________． 【答案】（1）1，2 （2） （3）①，增大；，减小；②，小，0 【解析】 【分析】（1）把的值代入解析式求出的值即可； （2）描点，连线，画出函数图象即可； （3）根据图象作答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，，当时，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图象可知， ①当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； ②当时，函数有最小值为0． 23. 某工厂生产某种产品，在生产过程中，每件产品产生0.5立方米污水，工厂有两种方工案对污水进行处理． 方案1：自行处理，达标排放，每处理1立方米所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元． 方案2：污水纳入污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费． （1）设工厂每月生产件产品，每月所需排污费用为元，分别求出按方案1，方案2处理污水时与的函数关系式； （2）在（1）的条件下，当工厂每月生产多少件产品时，采用两种方案所需排污费用相同． 【答案】（1），； （2）工厂生产5000件产品时，采用两种方案所需排污费用相同． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键根据题干信息找出题中存在的等式关系，然后依照等式关系列出函数关系式． （1）根据两种方案得到关系式即可； （2）令，解方程求解即可． 【小问1详解】 按方案1处理污水时， 按方案2处理污水时，； 【小问2详解】 当时，解得， 所以工厂生产5000件产品时，采用两种方案所需排污费用相同． 24. 按要求完成以下问题 （1）如图1，在等腰中，，点在边上，连接．若平分的面积，则的长为___________； （2）如图2，在四边形中，，，，，点是边上的一点，连接，若线段平分四边形的面积，求出的长度； （3）如图3，某公园有一片四边形空地，园区管理员计划用这块空地种植花卉，为了后期方便游客观赏，准备过点D修一条笔直的小路，要求点在边上，且使得小路平分四边形的面积，在区域种植郁金香，剩余区域种植牡丹．请问：是否存在这样的点？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由．（小路宽度均忽略不计） 【答案】（1）2 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据平分的面积，得到是的中线，三线合一结合勾股定理求出的长即可； （2）根据线段平分四边形的面积，得到四边形的面积等于面积的2倍，求解即可； （3）连接，交于点，作于点，易得垂直平分，勾股定理求出的长，三线合一得到的长，勾股定理求出的长，分隔法求出四边形的面积，进而求出和的面积，根据同高三角形的面积比等于底边比，求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：∵平分的面积， ∴为的中线， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴点到的距离等于点到的距离，即为的长， ∵线段平分四边形的面积， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； 【小问3详解】 解：存在，连接，交于点，作于点， ∵， ∴垂直平分， ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵平分四边形的面积， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 交大附中航天学校2026~2027学年第一学期第一次诊断 初二数学试题 （本试题共6页，3道大题．考试时长100分钟，试卷满分100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题的选项中只有一项符合题目） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. 0.101 B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 兴华小学有一块面积为的正方形菜地供学生进行种植活动，估计这块菜地的边长在（ ） A. 之间 B. 之间 C. 之间 D. 之间 5. 的三条边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 6. 若点与点关于轴对称，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 如图，在矩形AOBC中，A（–2，0），B（0，1）．若正比例函数y=kx的图象经过点C，则k的值为（ ） A. – B. C. –2 D. 2 8. 下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②开方开不尽的数是无理数；③负数没有立方根；④的平方根是，用式子表示是；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0，其中错误的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 9. 如图，中，，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为，，，若，则阴影部分面积为（ ） A. 8 B. 14 C. 16 D. 18 10. 如图所示，平面直角坐标系中，x轴负半轴上有一点，点A第一次向上平移1个单位至点，接着又向右平移1个单位至点，然后再向上平移1个单位至点，向右平移1个单位至点，…，照此规律平移下去，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 64的立方根为___________． 12. 如图，在数轴上点表示的实数是___________． 13. 已知线段轴，且，点A的坐标为，则点 B的坐标为_________． 14. 已知在正比例函数的图象上，若，则___________．（填“”或“”或“”）． 15. 小宁在迪卡龙购买了拳击反应球作为居家健身器材．如图，若将球体支架最底端O到球体最顶端A看成一条线段，当反应球被击打时，可看作线段绕着点O旋转得到线段（在安全角度范围内旋转）．小宁击打反应球后与支架的水平距离为，当时，，则球体支架______ ． 16. 如图，平面直角坐标系中，点，，，连接，并将线段绕点A顺时针旋转，点B旋转到点，连接．则周长的最小值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共计52分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 如图，三个顶点都在格点上． （1）在图中画出关于轴对称的； （2）点的坐标为___________；点到轴的距离为___________； （3）求出的面积． 20. 已知：，，分别求下列代数式的值： （1）； （2） 21. 学习了“勾股定理”后，郑州某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下的活动报告，请根据活动报告完成下面试题． 报告 测量风筝的垂直高度 成员 组长：XXX 组员：XXX，XXX，XXX 工具 皮尺等 示意图 方案 先测量水平距离，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线长，最后测量放风等的同学的身高 数据 米 米 米 评价 （1）求此时风筝的垂直高度； （2）若站在点A不动，想把风不沿方向从点F的位置上升18米至点C的位置，则还需放出风筝线多少米？ 22. 某校初二年级某学习小组探究函数的图象与性质．下面是该组同学的探究过程，请补充完整： （1）下表是与的几组对应值． ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 4 3 2 0 1 3 4 ．．． 填空：___________，___________． （2）在如图所示的正方形网格中，建立合适的平面直角坐标系，描出以上表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象． （3）由函数图象可得： ①当___________时，随的增大而___________； 当___________时，随的增大而___________； ②当___________时，函数有最___________值为___________． 23. 某工厂生产某种产品，在生产过程中，每件产品产生0.5立方米污水，工厂有两种方工案对污水进行处理． 方案1：自行处理，达标排放，每处理1立方米所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元． 方案2：污水纳入污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费． （1）设工厂每月生产件产品，每月所需排污费用为元，分别求出按方案1，方案2处理污水时与的函数关系式； （2）在（1）的条件下，当工厂每月生产多少件产品时，采用两种方案所需排污费用相同． 24. 按要求完成以下问题 （1）如图1，在等腰中，，点在边上，连接．若平分的面积，则的长为___________； （2）如图2，在四边形中，，，，，点是边上的一点，连接，若线段平分四边形的面积，求出的长度； （3）如图3，某公园有一片四边形空地，园区管理员计划用这块空地种植花卉，为了后期方便游客观赏，准备过点D修一条笔直的小路，要求点在边上，且使得小路平分四边形的面积，在区域种植郁金香，剩余区域种植牡丹．请问：是否存在这样的点？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由．（小路宽度均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $