学易金卷：高二数学上学期期中考试卷【沪教版专用，测试范围：沪教版2020必修三第十章～第十三章和选择性必修一第三章】

西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟试卷 (上海专用) 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：沪教版2020必修第三册第十章-第十三章和选择性必修第一册第三章。 5.本试卷部分试题分为基础卷和提高卷，请民办、普高或者区重点高中的考生做基础题型， 其余市重点或者市特色高中的考生做提高题型；其余没有作标记的试题不做区分。 6.难度系数：0.61。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.已知事件A与事件B为互斥事件，且P(A)=弓，PAUB)=子，则P(B)= 2.小明在期中复习时，对常见的“角”进行了简要梳理：①两条异面直线所成的角：②直线与平面所成的角； ③二面角：④两个非零向量的夹角.则上述各种“角的取值范围是[0，T的有 (请填写序号) 3.如图△0'AB是一个平面图形的直观图，其中∠0'BA'=90°，O'B=2,则原图形的面积等于_ 45o B 4.与圆柱底面成45°角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点 到圆柱底面距离的最大值为3，最小值为1，则该几何体的体积为 5.设总体由编号为00,01，…，59的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是 从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个个体的编号为 50446644216606580562615564350242354896321452415248 2266221586266375419958423672245837521851 0337183911 1/10 西学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 6.如图是李明3月1日至10日记录的一分钟跳绳次数折线图， 198 197 由图判断从第 天开始，连续三天的跳绳次数方差最大 196 195 194 193 192 192 012345678910 7.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1CD1中，BD=4W2,该正四棱柱的体积为48， B 则直线BD与底面ABCD所成角的大小为一·（用反三角函数表示） A D B C G 8.有一个游戏，规则如下：如图，在圆上有A,B,C,D,E,F,G,H F 共八个点，一枚棋子起始位置在点A处，每个相邻的两点间称为1步； 抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为(1=1,2，，6)， 则棋子按顺时针方向前进i步到另一个点，抛掷两次骰子后，游戏结束： 试问游戏结束时棋子回到点A处的概率为一· 9.(基础题型)为科普航天知识，某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下： 7,6,8,9,8,7,10,m,若去掉m,该组数据的第25百分位数保持不变， 则整数m(1≤m≤10)的值可以是（写出一个满足条件的m值即可）. 9.(提高题型)多面体的欧拉定理：简单多面体的顶点数V棱数E与面数F有关系V+F一E=2.请运用 欧拉定理解决问题：碳60(C60)具有超导特性、抗化学腐蚀性、耐高压以及强磁性，是一种应用广泛的材料； 它的分子结构十分稳定，形似足球，也叫足球烯，如图所示， 碳60(C60)的分子结构是一个由正五边形面和正六边形面共32个面构成 的凸多面体，60个碳原子处于多面体的60个项点位置， 则32个面中正五边形面的个数是 2/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 10.(基础题型)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为1， 且AA1⊥底面ABC,则点B1到平面ABC1的距离为 10.(提高题型)如图，在一个60的二面角的棱上，有两个点A,B, AC,BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段， B 且AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm,则CD的长为 11.(基础题型)如图，正八面体ABCDEF棱长为4， 空间动点P满足PA+P=2,则BP·CD的最大值为 B 11.(提高题型)“曼哈顿距离(Manhattan Distance)”是由l9世纪赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，表示 两个点在空间（或平面）直角坐标系中的绝对轴距”总和.例如：在空间直角坐标系中，点A(&1,y1z1): B(x2,y2,z2)之间的曼哈顿距离为d(A,B)=2-x1l+ly2-y1l+|z2-z1l.现已知在空间直角坐标系中， 点O为坐标原点，动点P满足d(O,P)≤1，则由动点P构成的几何体的体积为一· 12.(基础题型)如图是一种“四脚帐篷'的示意图，其中半圆A0C和半圆B0D的直径均为2.6米，平面A0C 和平面BOD均垂直于平面ABCD,用任意平行于帐篷底面ABCD的平面截帐篷，假设所得截面均为正方形， 则该帐篷围成几何体的体积为 立方米.（精确到0.1立方米） 12.(提高题型)在空间中，点0为定点，设集合S={P1o-20A.0P≤1，OA=1}, 若OP在OA上的数量投影为-专，则线段OP在运动过程中所形成的几何体的体积为 3/10 西学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分： 每题有且只有一个正确选项) 13.事件A与B独立，A、B分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是() A.P(AnB)=P(A)P(B) B.P(AnB)=P(A)P(B) C.P(A UB)=P(A)+P(B) D.P(AnB)=[1-P(A][1-P(B)] 14.某课外活动小组为研究日平均气温的变化情况，将每连续5天的日平均气温（单位：C)的记录数据 作为一组样本，他们得到了满足下列条件的四个样本： ①平均数为3，极差为2：②中位数为7，众数为9；③众数为5，极差为6：④平均数为4，方差为2： 则这四个样本中，连续5天的日平均气温记录数据均低于10°C的样本个数至少有() A.1个 B2个 C.3个D.4个 15.(基础题型)某景区为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图1）.现测量其中一个屋顶， 得到圆锥S0的底面直径AB长为12m,母线SA长为18m(如图2).若C是母线SA的一个三等分点 (靠近点S),从点A到点C绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为() 图1 图2 A.6v7m B.6√13m C.16m D.12m 15.(提高题型)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，H为CC1的中点，A正=入A五，入∈(0,1)， 若B,D,C,F四点共面，则n=（()A. B. C. D. 16.(基础题型)日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，烘焙店的包装盒如图所示， 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，且AB=3,AA1=1. D G D H B D B F A B1 (A) (B) 4/10 厨学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A中H-E-E1-F1-F-G-G1-H1-H的方向捆扎包装盒 会比按照图B中的十字捆扎法更节省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度）， 则图A比图B最多节省的彩绳长度为( A.12-8W2 B.16-8V2 C.16-4W2 D.12-4v2 16.(提高题型)如图：棱长为2的正方体ABCD-AB1C1D1的内切球为球O, E、F分别是棱AB和棱CC1的中点，G在棱BC上移动，则下列命题正确的个数是() ①存在点G,使OD垂直于平面EFG:②对于任意点G,OA平行于平面EFG: ③直线EF被球O截得的弦长为V2: ④过直线EF的平面截球O所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为 A B D A.0 B.1 C.2 D.3 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分） 17.（本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地称为 “梦之队”；2024年巴黎奥运会，其中团体赛由四场单打和一场双打比赛组成，采用五场三胜制： 每个队由三名运动员组成，当一个队赢得三场比赛时，比赛结束.2024年8月9日，中国队对战瑞典队， 赛前某乒乓球爱好者对赛事情况进行分析，根据以往战绩，中国队在每场比赛中获胜的概率均为 (1)已知中国队输掉了第一场，求中国队最终获胜的概率；(2)求至多进行四场就结束比赛的概率 5/10 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 18.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 某单位承办了一项志愿者选拔的面试工作现随机抽取100名候选者的面试成绩，并分成五组： 第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]， 绘制成如图所示的频率分布直方图. 频率/组距 0.045 0.020 0.005 455565758595成绩/分 (1)求a的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数和第60百分位数（保留两位小数）； (2)现从以上各组中按分层随机抽样的方法选取部分担任本市宣传者.若这100名面试者中第四组面试者的 面试成绩的平均数和方差分别为80和s,第五组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为90和20， 据此估计这次第四组和第五组所有面试者的面试成绩的方差为32，求第四组面试者的面试成绩的方差s子， 19.(基础题型)（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题10分，第2小题8分 如图，已知AB⊥平面ACD,AB/DE,△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB,点F为CD的中点 (1)求证：AF//平面BCE:(2)求直线BF和平面ABC所成角的正弦值」 B E D 6/10 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 19.(提高题型)（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题8分，第2小题10分 (1)对于精美的礼物，通常会搭配礼盒保护，现工厂有一种树脂工艺球待礼盒包装，为节省材料费用， 定制礼盒尺寸大小卡住树脂工艺球避免其来回滚动即可，现在有两种定制方式，一种是正方体礼盒， 另一种是圆柱体礼盒，均不计损耗的话后者的单位面积费用是前者的1.2倍，工厂应选择哪一种礼盒 更经济实惠？(2)包装好的礼物，通常还会用彩带捆扎，有时还会扎出一个花结，这些包装彩带也不便宜， 因此在捆扎时不仅要考虑美观、结实，也要考虑尽量地节省包装彩带.以长方体的礼盒为例，较为典型的 两种捆扎方式分别为“十字”和对角”，如下图所示. “十字捆扎 “对角”捆扎 假设1：将礼物视作一个长方体，其长为4，宽为2、高为1；假设2：不考虑花结处的彩带，将每一段彩带 视为线段，且完全位于礼物的表面上；假设3：“十字捆扎中，长方体表面上的每一段彩带（上底面和 下底面各2段，每个侧面各1段)都与其相交的棱垂直：假设4：“对角”捆扎中，以某种方式展开长方体后， 长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）在其表面展开图上均落在同一条 直线上.①求“十字捆扎中彩带的总长度；②根据假设4绘制示意图，求“对角”捆扎中彩带的总长度， 并比较两种并比较两种捆扎方式，给出用彩带捆扎礼物的建议. 7/10 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 20.(基础题型)（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 己知E、F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC、CD的中点，求： D C (1)AD与EF所成角的大小；(2)二面角C-DB1-C1的大小： (3)点M在棱CD上，若A1M与平面B1C1CB所成角的正弦值为 19 请判断点M的位置，并说明理由 20.(提高题型)（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下所示： a1 a2 a3 b2 b3 a1b2C3+a2b3C1+asbic2-a3b2c1-a2biC3-a1b3C2: C2 C3 若×6= y1 Z1, 则称a×b为空间向量与b的叉乘，其中=x1i+yj+z1k(x1,y1,z1∈R), 2 y2 Z2 石=xi+y2j+z2k(x2,y2,2∈R),,i,为单位正交基底：以0为坐标原点，分别以i,j,的 方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系：己知A,B是空间直角坐标系中异于0的两点： (1)若A(1,2,1),B(0,-1,1):①求0A与0B的数量积0A·0B;②根据题中的定义，求0A×OB: (2)化简：OA×O丽+OB×OA:(3)记△AOB的面积为S△AoB,证明：S△AB=IOA×OB, 8/10 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 21.(基础题型)（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题6分，第2小题6分，第3小题6分 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设M为A1C1与B1D1的交点，若AB=a,AD=b,AA=C D A B A B (1)用向量，6，表示向量BM (2)若该平行六面体的体积为4，现将其截去三棱锥B1-BDC1,求剩余几何体的体积； (3)若该平行六面体的底面是边长为1的菱形，且∠BAD=60°，己知P为空间一点， 满足AP=5,AP.=2,AP.b=4,对于任意实数x,y,求AP-Xa-y的最小值 9/10 西学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 21.(提高题型)（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题6分，第2小题6分，第3小题6分 如下图，某公园东北角处有一座小山，山顶有一根垂直于水平地平面的钢制笔直旗杆AB,公园内的 小山下是一个水平广场（虚线部分）.某高三班级数学老师留给同学们的周末作业是：进入该公园，提出与 测量有关的问题，在广场上实施测量，并运用数学知识解决问题.老师提供给同学们的条件是：已知AB=10 米，规定使用的测量工具只有一只小小的手持激光测距仪（如下图，该测距仪能准确测量它到它发出的 激光投射在物体表面上的光点之间的距离). 西← →东 南 、 激光 (1)甲同学来到通往山脚下的笔直小路1上，他提出的问题是：如何测量小山的高度？于是，他站在点C 处，独立的实施了测量，并运用数学知识解决了问题.请写出甲同学的解决问题方案，并用假设的测量 数据（字母表示）表示出小山的高度H: (2)乙同学是在一阵大风过后进入公园的，广场上的人纷纷议论：旗杆AB似乎是由于在根部A处松动 产生了倾斜，她提出的问题是：如何检验旗杆AB是否还垂直于地面？并且设计了一个不用计算就能解决 问题的独立测量方案，请你写出她的方案，并说明理由： (3)已知(1)中的小路1是东西方向，且与点A所确定的平面垂直于地平面；又已知在(2)中的乙同学 已经断定旗杆AB大致向广场方向倾斜.如果你是该班级的同学，你会提出怎样的有实际意义的问题？ 请写出实施测量与解决问题的方案，并说明理由（如果需要，可通过假设的测量数据或运算结果列式说明， 不必计算). 10/10 2026-2027学年高二上学期期中模拟试卷 数学·答案及评分参考 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十章-第十三章和选择性必修第一册第三章。 5．本试卷部分试题分为基础卷和提高卷，请民办、普高或者区重点高中的考生做基础题型， 其余市重点或者市特色高中的考生做提高题型；其余没有作标记的试题不做区分。 6．难度系数：0.61。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1． 2．③④ 4． 5．56 6．4 7． 8． 9．（基础题型）7（8，9，10均可） 9．（提高题型）12 10．（基础题型） 10．（提高题型） 11．（基础题型）8 11．（提高题型） / 12．（基础题型） 12．（提高题型）/ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．C 14．C 15．（基础题型）B 16．（基础题型）B 15．（提高题型）D 16．（提高题型）D 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地称为 “梦之队”；2024年巴黎奥运会，其中团体赛由四场单打和一场双打比赛组成，采用五场三胜制； 每个队由三名运动员组成，当一个队赢得三场比赛时，比赛结束.2024年8月9日，中国队对战瑞典队， 赛前某乒乓球爱好者对赛事情况进行分析，根据以往战绩，中国队在每场比赛中获胜的概率均为. （1）已知中国队输掉了第一场，求中国队最终获胜的概率；（2）求至多进行四场就结束比赛的概率. 17．（1）；（2）.【分析】（1）设事件“中国队在已输一场的情况下获胜”，则有两类情况： ①设事件“中国队从第二场开始连胜三场”，②设事件“中国队在二到四场中胜两场，再胜第五场”，分别求出两种情况的概率，再利用互斥事件的加法公式即可求出事件的概率；（2）设比赛进行三场且 中国队获胜为事件、比赛进行四场且中国队获胜为事件，比赛进行三场且瑞典队获胜为事件， 比赛进行四场且瑞典队获胜事件，至多进行四场比赛为事件，分别求出，的概率， 再利用互斥事件的加法公式即可求出事件的概率. 【详解】（1）设事件“中国队在已输第一场的情况下获胜”，则有两类情况： ①设事件“中国队从第二场开始连胜三场”，所以，……2分 ②设事件“中国队在二到四场中胜两场，再胜第五场”，所以， 又因为与是互斥事件，所以，……2分 所以中国队在已输一场的情况下获胜的概率为；……2分； （2）设比赛进行三场且中国队获胜为事件、比赛进行四场且中国队获胜为事件， 比赛进行三场且瑞典队获胜为事件，比赛进行四场且瑞典队获胜事件， 至多进行四场比赛为事件，……2分 所以，，，……2分 ，，是互斥事件，……1分 所以， 所以至多进行四场就结束比赛的概率为.……3分. 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 某单位承办了一项志愿者选拔的面试工作.现随机抽取100名候选者的面试成绩，并分成五组： 第一组，第二组，第三组，第四组，第五组， 绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数和第60百分位数(保留两位小数)； （2）现从以上各组中按分层随机抽样的方法选取部分担任本市宣传者.若这100名面试者中第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和，第五组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为90和20， 据此估计这次第四组和第五组所有面试者的面试成绩的方差为32，求第四组面试者的面试成绩的方差 . 18．（1）；平均数为；第百分位数为；（2）. 【分析】（1）根据频率分布直方图的概念，求出参数，再根据频率分布直方图的性质， 求出总体的平均数和第60百分位数的估计值； （2）根据分层随机抽样的均值和方差的性质，根据总体方差的公式，求出第四组方差即可. 【详解】（1）由题意可知频率分布直方图组距为， 所以，解得，……2分 平均数为， 前两组频率之和为，……1分 前三组频率之和为，……1分 则第百分位数为；……2分； （2）这100名面试者中第四组和第五组面试者有人，……2分 第四组和第五组所有面试者的面试成绩的平均数为，……2分 由题意可得，解得.……4分. 19．（基础题型）（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题10分，第2小题8分 如图，已知平面，，为等边三角形，，点F为的中点.   （1）求证：平面；（2）求直线和平面所成角的正弦值. 19．（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）设，建立空间直角坐标系， 利用向量的坐标运算得出，结合线面平行判定定理即可得结论； （2）确定平面的一个法向量，利用和的夹角求解即可. 【详解】（1）因为平面，，为等边三角形，……1分 设，……2分 建立如图所示的空间直角坐标系，……1分 则 ，为的中点，，……2分 ， ，……2分，，平面，平面；……2分； （2）又是轴上的单位向量，则其是平面的一个法向量，……2分； 因为，……2分； 设和平面所成的角为，则，……2分； 直线和平面所成角的正弦值为.……2分. 19．（提高题型）（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题8分，第2小题10分 （1）对于精美的礼物，通常会搭配礼盒保护，现工厂有一种树脂工艺球待礼盒包装，为节省材料费用， 定制礼盒尺寸大小卡住树脂工艺球避免其来回滚动即可．现在有两种定制方式，一种是正方体礼盒， 另一种是圆柱体礼盒，均不计损耗的话后者的单位面积费用是前者的1.2倍，工厂应选择哪一种礼盒 更经济实惠？（2）包装好的礼物，通常还会用彩带捆扎，有时还会扎出一个花结，这些包装彩带也不便宜，因此在捆扎时不仅要考虑美观、结实，也要考虑尽量地节省包装彩带．以长方体的礼盒为例，较为典型的两种捆扎方式分别为“十字”和“对角”，如下图所示． “十字”捆扎 “对角”捆扎 假设1：将礼物视作一个长方体，其长为4，宽为2、高为1；假设2：不考虑花结处的彩带，将每一段彩带视为线段，且完全位于礼物的表面上；假设3：“十字”捆扎中，长方体表面上的每一段彩带（上底面和 下底面各2段，每个侧面各1段）都与其相交的棱垂直；假设4：“对角”捆扎中，以某种方式展开长方体后，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）在其表面展开图上均落在同一条直线上．①求“十字”捆扎中彩带的总长度；②根据假设4绘制示意图，求“对角”捆扎中彩带的总长度， 并比较两种并比较两种捆扎方式，给出用彩带捆扎礼物的建议． 19．（1）应选择圆柱体礼盒更经济实惠；（2）①16；②， 在实际生活中包装彩带时应选择“对角”捆扎的方式，更节省包装彩带. 【解析】（1）设球的半径为，正方体礼盒的造价为元， 正方体礼盒、圆柱形礼盒的总造价分别为，……2分； 显然都是正数，……2分； 所以，……2分； 所以工厂应选择圆柱体礼盒更经济实惠；……2分； （2）①采用“十字”捆扎中彩带的总长度为；……4分； ②，由于，……3分； 因此在实际生活中包装彩带时应选择“对角”捆扎的方式，更节省包装彩带.……3分. 20．（基础题型）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 已知、分别是正方体的棱、的中点，求：   （1）与所成角的大小；（2）二面角的大小； （3）点在棱上，若与平面所成角的正弦值为， 请判断点的位置，并说明理由. 20．（1）；（2）；（3）点是线段靠近点的三等分点，理由见解析. 【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出异面直线的夹角、二面角大小作答；（3）利用（1）中坐标系，设出点M的坐标， 利用线面角的正弦值求解作答. 【详解】（1）在正方体中，令， 以点D为原点，以的方向分别为，，轴正方向， 建立空间直角坐标系，……1分； 如图，则， ，……1分； 设与所成角为，，……1分； 所以与所成角的大小是；……1分；   （2）平面的一个法向量为，……1分； 设平面的一个法向量为， ，则，令，得，……2分； 设的夹角为，，……2分； 而二面角为锐二面角，所以二面角大小为；……1分； （3） 设，则，……2分； 平面的一个法向量为，设与平面所成角为……2分； ，即，……2分； 所以当，即点是线段靠近点的三等分点时,与平面所成角的的正弦值为. ……2分. 20．（提高题型）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下所示： ； 若，则称为空间向量与的叉乘，其中（）， （），为单位正交基底：以为坐标原点，分别以，，的 方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系：已知，是空间直角坐标系中异于的两点： （1）若，：①求与的数量积；②根据题中的定义，求； （2）化简：；（3）记的面积为，证明：. 20．（1）①，②；（2）；（3）证明详见解析. 【分析】（1）①利用数量积的定义求结论；②由向量叉乘的定义直接求解即可；（2）设 ，根据叉乘的运算表示和即可证明；（3）首先表示向量，夹角的 正弦值，然后得到，要证，只需证，然后结合叉乘运算证明即可. 【详解】（1）①因为，所以， 所以；……2分； ②因为， 所以；……2分； （2）设，则 ，……3分； 将与交换，与交换，与交换，可得， 故；……3分； （3）因为，……1分； 故，……1分； 要证，只需证， 需证，……1分； 设，， 可得，……2分； 又因为，，， 所以 ，……2分； 所以，故.……1分. 21．（基础题型）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 如图，在平行六面体中，设为与的交点，若，，.    （1）用向量表示向量； （2）若该平行六面体的体积为4，现将其截去三棱锥，求剩余几何体的体积； （3）若该平行六面体的底面是边长为1的菱形，且， 已知为空间一点， 满足，，对于任意实数，求的最小值. 21．（1）；（2）；（3）3. 【分析】（1）由向量的线性运算求解即可；（2）由等体积法可得，由平行六面体的 体积减去该三棱锥的体积，即可得答案；（3）由题意可得，令，根据二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）易知为与的中点，……1分； 因为 ；……3分； （2）设平行六面体的底面积为，高为，则，……2分； 则三棱锥的高也为，则，……2分； 所以剩余几何体的体积；……2分； （3）因为，所以，……2分； 又因为，，……1分； ，令，……2分； 则其开口向上，对称轴为， 所以当时，取最小值，为，……2分； 所以时，取最小值，为9， 即的最小值为9，所以的最小值为3.……1分. 21．（提高题型）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题6分，第2小题6分，第3小题6分 如下图，某公园东北角处有一座小山，山顶有一根垂直于水平地平面的钢制笔直旗杆，公园内的 小山下是一个水平广场（虚线部分）．某高三班级数学老师留给同学们的周末作业是：进入该公园，提出与测量有关的问题，在广场上实施测量，并运用数学知识解决问题．老师提供给同学们的条件是：已知米，规定使用的测量工具只有一只小小的手持激光测距仪 （如下图，该测距仪能准确测量它到它发出的 激光投射在物体表面上的光点之间的距离）． （1）甲同学来到通往山脚下的笔直小路上，他提出的问题是：如何测量小山的高度？于是，他站在点处，独立的实施了测量，并运用数学知识解决了问题．请写出甲同学的解决问题方案，并用假设的测量 数据（字母表示）表示出小山的高度； （2）乙同学是在一阵大风过后进入公园的，广场上的人纷纷议论：旗杆似乎是由于在根部处松动 产生了倾斜，她提出的问题是：如何检验旗杆是否还垂直于地面？并且设计了一个不用计算就能解决 问题的独立测量方案，请你写出她的方案，并说明理由； （3）已知（1）中的小路是东西方向，且与点所确定的平面垂直于地平面；又已知在（2）中的乙同学 已经断定旗杆大致向广场方向倾斜．如果你是该班级的同学，你会提出怎样的有实际意义的问题？ 请写出实施测量与解决问题的方案，并说明理由（如果需要，可通过假设的测量数据或运算结果列式说明，不必计算）． 21．（1）答案见解析；（2）方案见解析，理由见解析；（3）问题见解析，方案见解析，理由见解析. 【分析】（1）根据测量数据利用余弦定理即可求得结果； （2）利用测量数据综合利用三角形性质，由线面垂直判定定理即可证明并得出结论； （3）可提问“旗杆向哪个方向倾斜多少角度”等问题，再根据解三角形的实际应用即可得出结论. 【详解】（1）解一：（1） 如图1，设点在水平面的投影点为， 用测距仪测得，，……2分； 在中，，……1分； 在中，，……1分； 所以；……2分； 解二：如图2，在平面上，以点为原点，向量为轴， 建立平面直角坐标系，……2分； 设点，则， 用测距仪测得，，……2分； 则，解得；……2分； （2）如图，用电子尺测得，，在广场上从点移动至点， 使得，再移至点，使得，此时再测量， 若，则可知旗杆垂直于地面，否则就是倾斜了，……2分； 理由如下：已知，，设点是的中点， 则在等腰中，，同理，……2分； 又平面，所以平面； 又因为平面，故，同理可证； 综上所述，旗杆垂直于地面；……2分； （3）提问：旗杆向哪个方向倾斜多少角度？说明：用在地平面上的投影来刻画的倾斜方向 是合理的，也可以采用在广场上确定一个位于在地平面上投影上的点来刻画，用与小路的夹角 刻画扣1分；关于如何刻画倾斜多少角度的问题，既可以用与垂直于地面的直线所成角的大小， 也可以用与地平面所成角的大小来刻画．……2分； ①测量倾斜角的大小方案1：如图，在地面画出离点距离相等的点的轨迹圆， 再在圆上找到离点距离最近的点，作垂直于地面，垂足为， 则的大小就是旗杆倾斜角度． 理由如下： 先证明与圆的交点既是点，……2分； 只需证明：对于圆上任意一点，， 因为在中，，所以，故． 如图5，从图4中的点向点的方向走到点，放置一个物体， 测得、、的长，利用余弦定理可得的大小．     同理可得的大小．因此，可以求得图4中的、、、的长． 在中，三边已知，利用余弦定理可求得， 即旗杆向西偏南的方向倾斜．又由于、已求得， 故倾斜角度为．……2分； ②测量倾斜角的大小方案2：如图5，从点向点的方向走到点， 测得、、的长，利用余弦定理可得的大小，从而求得点的高度，……2分； 同理可求得点的高度，如图，即是由于旗杆倾斜旗杆顶点所下降的高度， 所以，在中，即为所求.……2分； ③测量倾斜角的大小方案3：在图5中，以点为原点， 以为y轴建立平面直角坐标系，……2分； 则容易求出点与点的坐标与， 故的倾斜角为．……2分. 科网（北京）股份有限公司 / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高二数学上学期期中模拟试卷 （上海专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：沪教版2020必修第三册第十章-第十三章和选择性必修第一册第三章。 5．本试卷部分试题分为基础卷和提高卷，请民办、普高或者区重点高中的考生做基础题型， 其余市重点或者市特色高中的考生做提高题型；其余没有作标记的试题不做区分。 6．难度系数：0.61。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知事件A与事件B为互斥事件，且，，则P（B）＝ 　 　 ． 2．小明在期中复习时，对常见的“角”进行了简要梳理： ①两条异面直线所成的角；②直线与平面所成的角；③二面角；④两个非零向量的夹角． 则上述各种“角”的取值范围是的有 （请填写序号） 3．如图是一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积等于 ． 4．与圆柱底面成角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点 到圆柱底面距离的最大值为，最小值为，则该几何体的体积为 ． 5．设总体由编号为的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体， 选取方法是从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字， 则选出来的第4个个体的编号为 . 5044664421    6606580562    6155643502    4235489632    1452415248 2266221586    2663754199    5842367224    5837521851    0337183911 6．如图是李明3月1日至10日记录的一分钟跳绳次数折线图， 由图判断从第 天开始，连续三天的跳绳次数方差最大. 7．如图，在正四棱柱中，，该正四棱柱的体积为48， 则直线与底面所成角的大小为 .（用反三角函数表示） 8．有一个游戏，规则如下：如图，在圆上有 共八个点，一枚棋子起始位置在点处，每个相邻的两点间称为1步； 抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为， 则棋子按顺时针方向前进步到另一个点，抛掷两次骰子后，游戏结束； 试问游戏结束时棋子回到点处的概率为 ． 9．（基础题型）为科普航天知识，某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下： 7，6，8，9，8，7，10，，若去掉，该组数据的第25百分位数保持不变， 则整数的值可以是 （写出一个满足条件的值即可）． 9．（提高题型）多面体的欧拉定理：简单多面体的顶点数V､棱数E与面数F有关系.请运用 欧拉定理解决问题：碳具有超导特性､抗化学腐蚀性､耐高压以及强磁性，是一种应用广泛的材料； 它的分子结构十分稳定，形似足球，也叫足球烯，如图所示， 碳的分子结构是—个由正五边形面和正六边形面共32个面构成 的凸多面体，60个碳原子处于多面体的60个顶点位置， 则32个面中正五边形面的个数是 . 10．（基础题型）如图，在三棱柱中，所有棱长均为1， 且底面，则点到平面的距离为 .   10．（提高题型）如图，在一个的二面角的棱上，有两个点， 分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段， 且，则CD的长为 ． 11．（基础题型）如图，正八面体棱长为4， 空间动点满足，则的最大值为 . 11．（提高题型）“曼哈顿距离（Manhattan Distance）”是由19世纪赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，表示 两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和．例如：在空间直角坐标系中，点， 之间的曼哈顿距离为．现已知在空间直角坐标 系中，点O为坐标原点，动点P满足，则由动点P构成的几何体的体积为 ． 12．（基础题型）如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中半圆和半圆的直径均为2.6米，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，假设所得截面均为正方形， 则该帐篷围成几何体的体积为__________立方米．（精确到0.1立方米） 12．（提高题型）在空间中，点为定点，设集合， 若在上的数量投影为，则线段OP在运动过程中所形成的几何体的体积为__________. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是（     ） A． B． C． D． 14．某课外活动小组为研究日平均气温的变化情况，将每连续5天的日平均气温（ ）的记录数据作为一组样本，他们得到了满足下列条件的四个样本：①平均数为3，极差为2；②中位数为7，众数为9；③众数为5，极差为6；④平均数为4，方差为2；则这四个样本中，连续5天的日平均气温记录数据 均低于 的样本个数至少有（     ） A. 1个 B 2个 C.3个 D.4个 15．（基础题型）某景区为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图1）．现测量其中一个 屋顶，得到圆锥的底面直径长为，母线长为（如图2）．若是母线的一个 三等分点（靠近点S），从点A到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为（     ）      A． B． C． D． 15．（提高题型）在平行六面体中，为的中点，，， 若，，，四点共面，则（    ） A． B． C． D． 16．（基础题型）日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，烘焙店的包装盒如图所示， 正四棱柱的底面ABCD是正方形，且，． 店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A中的方向捆扎 包装盒会比按照图B中的十字捆扎法更节省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度）， ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 试题 第3页（共10页） 试题 第4页（共10页） 试题 第1页（共10页） 试题 第2页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 则图A比图B最多节省的彩绳长度为（     ） A． B． C． D． 16．（提高题型）如图：棱长为2的正方体的内切球为球O， E、F分别是棱AB和棱的中点，G在棱BC上移动，则下列命题正确的个数是（     ） ①存在点G，使OD垂直于平面； ②对于任意点G，OA平行于平面EFG； ③直线被球О截得的弦长为； ④过直线EF的平面截球О所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为. A．0 B．1 C．2 D．3 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地称为 “梦之队”；2024年巴黎奥运会，其中团体赛由四场单打和一场双打比赛组成，采用五场三胜制； 每个队由三名运动员组成，当一个队赢得三场比赛时，比赛结束.2024年8月9日，中国队对战瑞典队， 赛前某乒乓球爱好者对赛事情况进行分析，根据以往战绩，中国队在每场比赛中获胜的概率均为. （1）已知中国队输掉了第一场，求中国队最终获胜的概率；（2）求至多进行四场就结束比赛的概率. 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 某单位承办了一项志愿者选拔的面试工作.现随机抽取100名候选者的面试成绩，并分成五组： 第一组，第二组，第三组，第四组，第五组， 绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数和第60百分位数(保留两位小数)； （2）现从以上各组中按分层随机抽样的方法选取部分担任本市宣传者.若这100名面试者中第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和，第五组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为90和20， 据此估计这次第四组和第五组所有面试者的面试成绩的方差为32，求第四组面试者的面试成绩的方差 . 19．（基础题型）（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题10分，第2小题8分 如图，已知平面，，为等边三角形，，点F为的中点.   （1）求证：平面；（2）求直线和平面所成角的正弦值. 19．（提高题型）（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题8分，第2小题10分 （1）对于精美的礼物，通常会搭配礼盒保护，现工厂有一种树脂工艺球待礼盒包装，为节省材料费用， 定制礼盒尺寸大小卡住树脂工艺球避免其来回滚动即可．现在有两种定制方式，一种是正方体礼盒， 另一种是圆柱体礼盒，均不计损耗的话后者的单位面积费用是前者的1.2倍，工厂应选择哪一种礼盒 更经济实惠？（2）包装好的礼物，通常还会用彩带捆扎，有时还会扎出一个花结，这些包装彩带也不便宜，因此在捆扎时不仅要考虑美观、结实，也要考虑尽量地节省包装彩带．以长方体的礼盒为例，较为典型的两种捆扎方式分别为“十字”和“对角”，如下图所示． “十字”捆扎 “对角”捆扎 假设1：将礼物视作一个长方体，其长为4，宽为2、高为1；假设2：不考虑花结处的彩带，将每一段彩带视为线段，且完全位于礼物的表面上；假设3：“十字”捆扎中，长方体表面上的每一段彩带（上底面和 下底面各2段，每个侧面各1段）都与其相交的棱垂直；假设4：“对角”捆扎中，以某种方式展开长方体后，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）在其表面展开图上均落在同一条直线上．①求“十字”捆扎中彩带的总长度；②根据假设4绘制示意图，求“对角”捆扎中彩带的总长度， 并比较两种并比较两种捆扎方式，给出用彩带捆扎礼物的建议． 20．（基础题型）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 已知、分别是正方体的棱、的中点，求：   （1）与所成角的大小；（2）二面角的大小； （3）点在棱上，若与平面所成角的正弦值为， 请判断点的位置，并说明理由. 20．（提高题型）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下所示： ； 若，则称为空间向量与的叉乘，其中（）， （），为单位正交基底：以为坐标原点，分别以，，的 方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系：已知，是空间直角坐标系中异于的两点： （1）若，：①求与的数量积；②根据题中的定义，求； （2）化简：；（3）记的面积为，证明：. 21．（基础题型）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题6分，第2小题6分，第3小题6分 如图，在平行六面体中，设为与的交点，若，，.    （1）用向量表示向量； （2）若该平行六面体的体积为4，现将其截去三棱锥，求剩余几何体的体积； （3）若该平行六面体的底面是边长为1的菱形，且， 已知为空间一点， 满足，，对于任意实数，求的最小值. 21．（提高题型）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题6分，第2小题6分，第3小题6分 如下图，某公园东北角处有一座小山，山顶有一根垂直于水平地平面的钢制笔直旗杆，公园内的 小山下是一个水平广场（虚线部分）．某高三班级数学老师留给同学们的周末作业是：进入该公园，提出与测量有关的问题，在广场上实施测量，并运用数学知识解决问题．老师提供给同学们的条件是：已知米，规定使用的测量工具只有一只小小的手持激光测距仪 （如下图，该测距仪能准确测量它到它发出的 激光投射在物体表面上的光点之间的距离）． （1）甲同学来到通往山脚下的笔直小路上，他提出的问题是：如何测量小山的高度？于是，他站在点处，独立的实施了测量，并运用数学知识解决了问题．请写出甲同学的解决问题方案，并用假设的测量 数据（字母表示）表示出小山的高度； （2）乙同学是在一阵大风过后进入公园的，广场上的人纷纷议论：旗杆似乎是由于在根部处松动 产生了倾斜，她提出的问题是：如何检验旗杆是否还垂直于地面？并且设计了一个不用计算就能解决 问题的独立测量方案，请你写出她的方案，并说明理由； （3）已知（1）中的小路是东西方向，且与点所确定的平面垂直于地平面；又已知在（2）中的乙同学 已经断定旗杆大致向广场方向倾斜．如果你是该班级的同学，你会提出怎样的有实际意义的问题？ 请写出实施测量与解决问题的方案，并说明理由（如果需要，可通过假设的测量数据或运算结果列式说明，不必计算）． 试题 第7页（共10页） 试题 第8页（共10页） 试题 第5页（共10页） 试题 第6页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027 学年高二上学期期中模拟试卷 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 意事 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 0 0 0 1 1 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 23 23 1234 123 123 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 破。 5. 正确填涂 789 6789 5678q 6789 5678q 123456789 123456789 123456789 123456789 0123456789 缺考标记 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第 1-6题每题4分，第7-12 题每题5分) 1 謀 3 5 7 9. (基础题型) ! 9. (提高题型) 10. (基础题型) 10. (提高题型) 11. （基础题型) 11. (提高题型) 12. (基础题型) 12. (提高题型) 二、 选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16 题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13[A][B][C][D] 14[A][B][C][D] 15 (基础题型)[AB[C]D]16(基础题型)[A[BI[C[D] 15 (提高题型) [A]B][C]D]16(提高题型)[A][B][C][D] 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分， 第20、21题每题18分) 17.(14分) 18.(14分) 频率组距 0.045F 0.020- 0.005 0455565758595成绩/分 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(基础题型)(14分) B E D 19.(提高题型)(14分) 数学第3页（共6页） 学校 班级 姓名 准考证号 密 封 线 1I11 20.根所馄电)180) P 20.舍喜成馄腿)183) ■■■ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(基础题型)(18分) D C A B D A B 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 21.(提高题型)(18分) 数学第6页（共6页） 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟试卷 （上海专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十章-第十三章和选择性必修第一册第三章。 5．本试卷部分试题分为基础卷和提高卷，请民办、普高或者区重点高中的考生做基础题型， 其余市重点或者市特色高中的考生做提高题型；其余没有作标记的试题不做区分。 6．难度系数：0.61。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知事件A与事件B为互斥事件，且，，则P（B）＝ 　 　 ． 1．【解析】根据题意可知，事件A与事件B为互斥事件，． 故答案为：． 2．小明在期中复习时，对常见的“角”进行了简要梳理：①两条异面直线所成的角；②直线与平面所成的角； ③二面角；④两个非零向量的夹角．则上述各种“角”的取值范围是的有 （请填写序号） 2．③④【解析】异面直线所成的角的范围为，①错误；直线与平面所成的角的范围为， ②错误；二面角的范围为，③正确；两个非零向量的夹角为，④正确；故答案为：③④. 3．如图是一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积等于 ． 3．【解析】由图易知为等腰直角三角形，则， 根据面积比关系得原图形的面积等于；故答案为：. 4．与圆柱底面成角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点 到圆柱底面距离的最大值为，最小值为，则该几何体的体积为 ． 4．【解析】作出几何体的轴截面如右图所示：则所求几何体是由一个底面直径为2， 高为1的圆柱，和一个底面直径为2，高为2的圆柱的一半构成， 则所求几何体体积为：，故答案为：. 5．设总体由编号为的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是 从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个个体的编号为 . 5044664421    6606580562    6155643502    4235489632    1452415248 2266221586    2663754199    5842367224    5837521851    0337183911 5．56【解析】从第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字可得64（舍），42，16，60，65（舍），80（舍），56，26，15，符合要求的数为42，16，60，56，26，所以第四个数为56；故答案为：56. 6．如图是李明3月1日至10日记录的一分钟跳绳次数折线图， 由图判断从第 天开始，连续三天的跳绳次数方差最大. 6．4【解析】因为方差越大，说明三天的跳绳次数越不稳定， 由图可知从4日开始连续4，5，6三天的跳绳次数方差最大，故答案为：4. 7．如图，在正四棱柱中，，该正四棱柱的体积为48， 则直线与底面所成角的大小为 .（用反三角函数表示） 7．【解析】因为正四棱柱，， 所以底面相等，， 所以，因为正四棱柱的体积为48，根据棱柱体积公式得： 得，在中，，，， 所以，所以直线与底面所成角的大小为；故答案为：. 8．有一个游戏，规则如下：如图，在圆上有 共八个点，一枚棋子起始位置在点处，每个相邻的两点间称为1步； 抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为， 则棋子按顺时针方向前进步到另一个点，抛掷两次骰子后，游戏结束； 试问游戏结束时棋子回到点处的概率为 ． 8．【解析】两次数字和为的有，，，，共个结果， 其中拋次骰子共有种结果，所以游戏结束时棋子回到点处的概率；故答案为：. 9．（基础题型）为科普航天知识，某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下： 7，6，8，9，8，7，10，，若去掉，该组数据的第25百分位数保持不变， 则整数的值可以是 （写出一个满足条件的值即可）． 9．7（8，9，10均可）【解析】7位同学成绩如下：6，7，7，8，8，9，10其第25百分位数为第三个数据， 为7，要使第25百分位数保持不变，不小于7就可以;故答案为：7（8，9，10均可）． 9．（提高题型）多面体的欧拉定理：简单多面体的顶点数V､棱数E与面数F有关系.请运用 欧拉定理解决问题：碳具有超导特性､抗化学腐蚀性､耐高压以及强磁性，是一种应用广泛的材料； 它的分子结构十分稳定，形似足球，也叫足球烯，如图所示， 碳的分子结构是—个由正五边形面和正六边形面共32个面构成的凸多面体，60个碳原子处于 多面体的60个顶点位置，则32个面中正五边形面的个数是 . 9．12【分析】由欧拉定理求得足球烯表面上的棱数，设正五边形的个数为x，正六边形个数为y， 由题意列出方程，联立即可求得答案.【详解】由题意可知，由可得， 设正五边形的个数为x，正六边形个数为y，则，∵一条棱连着两个面， ∴足球烯表面的棱数，联立 ，解得， 即32个面中正五边形面的个数是12个，故答案为：12. 10．（基础题型）如图，在三棱柱中，所有棱长均为1， 且底面，则点到平面的距离为 .    10．【解析】以点为坐标原点，为轴，为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系如图所示：则， 所以，， ，设平面的法向量为，则，即，令，则，故， 所以点到平面的距离为；故答案为：. 10．（提高题型）如图，在一个的二面角的棱上，有两个点， 分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段， 且，则CD的长为 ． 10．【解析】由题设，，， 所以 ，所以；故答案为：. 11．（基础题型）如图，正八面体棱长为4， 空间动点满足，则的最大值为 . 10．8【解析】设的中点为，由，则， 所以点落在以为球心，以1为半径的球上，在正八面体中， ，则 ， 而， 则， 所以的最大值为8；故答案为：8. 11．（提高题型）“曼哈顿距离（Manhattan Distance）”是由19世纪赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，表示 两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和．例如：在空间直角坐标系中，点， 之间的曼哈顿距离为．现已知在空间直角坐标系中， 点O为坐标原点，动点P满足，则由动点P构成的几何体的体积为 ． 11．/【解析】设，则， 当时，当时， 设， ，因此，点共面， 点围成的图形是边长为的正三角形及内部，由对称性知，动点围成的几何体是正八面体， 每个面都是边长为的正三角形，当时，动点P构成的几何体是棱长为的正八面体， 所以动点P构成的几何体的体积；故答案为：. 12．（基础题型）如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中半圆和半圆的直径均为2.6米，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，假设所得截面均为正方形， 则该帐篷围成几何体的体积为__________立方米．（精确到0.1立方米） 12．【分析】先证明等高处的水平截面截两个几何体的截面的面积相等，由祖暅原理知帐篷体积为 正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，计算即可.【详解】设截面与底面的距离为，在帐篷中的截面为，设底面中心为，截面中心为，则，，所以， 所以截面的面积为，设截面截正四棱柱得四边形为， 截正四棱锥得四边形为， 底面中心与截面中心之间的距离为，在正四棱柱中，底面正方形边长为， 高为，，所以，所以，为等腰直角三角形， 所以，所以四边形边长为，所以四边形面积为， 所以图2中阴影部分的面积为，与截面面积相等， 由祖暅原理可知：帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积， 即. 所以帐篷围成几何体的体积为（立方米）. 12．（提高题型）在空间中，点为定点，设集合， 若在上的数量投影为，则线段OP在运动过程中所形成的几何体的体积为__________. 12．/【分析】由，求得，得到， 得出是以为球心，半径为的球体内部及表面，根据题意得到，设是轴上的单位 向量，点的坐标为，求得，得到线段在运动中所形成的几何体为圆锥， 结合圆锥的体积公式.【详解】由，又因为 且，可得，即，即， 所以是以为球心，半径为的球体内部及表面，又在上的数量投影为， 即，设是轴上的单位向量（与轴正方向同向），点的坐标为， 即，，所以，即，又，即， 将代入可得，解得，所以点轨迹为半径为， 位于平面上的圆及内部，所以线段在运动中所形成的几何体为圆锥， 其中底面半径为，高为，所以圆锥的体积为， 即线段OP在运动过程中所形成的几何体的体积为；故答案为：. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是（    ） A． B． C． D． 13．C【详解】对于A，由于是独立事件，故，A正确； 对于B，，故B符合题意； 对于C，，故C不符合题意； 对于D， 由于是独立事件，则也是相互独立事件， ，D正确；故选：C. 14．某课外活动小组为研究日平均气温的变化情况，将每连续5天的日平均气温（ ）的记录数据作为一组样本，他们得到了满足下列条件的四个样本： ①平均数为3，极差为2；②中位数为7，众数为9；③众数为5，极差为6；④平均数为4，方差为2； 则这四个样本中，连续5天的日平均气温记录数据均低于 的样本个数至少有（     ） A. 1个 B 2个 C.3个 D.4个 14.C【详解】关键点：“连续5天的日平均温度均低于”，将天数据从小到大排序为：， ①选项，，，若， 则，与平均数为矛盾，所以①选项正确； ②选项，中位数是，众数是，所以将数据从小到大排序后，第3个数是，第个数为， 所以个数据都小于，所以②选项正确； ③选项，众数是，极差为，如，第天超过，不符合，所以③选项错误； ④选项，， ，， 若，则，矛盾，所以④选项正确；故选：C. 15．（基础题型）某景区为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图1）．现测量其中一个屋顶，得到圆锥的底面直径长为，母线长为（如图2）．若是母线的一个三等分点 （靠近点S），从点A到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为（    ）      A． B． C． D． 15．B【分析】将圆锥侧面沿着母线展开，计算出展开图扇形的圆心角，结合余弦定理可求得灯光带的最小长度. 【详解】将圆锥侧面沿母线展开，其侧面展开图为如图所示的扇形，则的长度即为灯光带的最小长度，  ，，在中，，， ， 解得：，即灯光带的最小长度为；故选：B. 15．（提高题型）1在平行六面体中，为的中点，，， 若，，，四点共面，则（    ） A． B． C． D． 15．D【详解】由平行六面体的特征可得： ，  则， 所以， 又，， 又由，，，四点共面，可得存在实数， 使， 所以，解得；故选：D. 16．（基础题型）日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，烘焙店的包装盒如图所示， 正四棱柱的底面ABCD是正方形，且，． 店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A中的方向捆扎包装盒 会比按照图B中的十字捆扎法更节省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度）， 则图A比图B最多节省的彩绳长度为（     ） A． B． C． D． 16．B 【详解】对于图（A），沿彩绳展开正四棱柱，则彩绳长度的最小值为； 对于图（B），彩绳长度的最小值为，因为， 所以图A比图B最多节省的彩绳长度；故选：B. 16．（提高题型）如图：棱长为2的正方体的内切球为球O， E、F分别是棱AB和棱的中点，G在棱BC上移动，则下列命题正确的个数是（     ） ①存在点G，使OD垂直于平面； ②对于任意点G，OA平行于平面EFG； ③直线被球О截得的弦长为； ④过直线EF的平面截球О所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为. A．0 B．1 C．2 D．3 16．D【分析】①当点为中点时，证明平面；②当点与重合时，在平面上， 在平面外，说明不成立；③点是线段的中点，利用弦长公式求弦长； ④当垂直于过的平面，此时截面圆的面积最小，利用③的结果求圆的面积. 【详解】当为中点时，，，，平面，平面， 平面平面，平面，， 同理，，平面,所以平面，即平面，故①正确； 当与重合时，在平面上，在平面外，故②不正确； 如右上图，点是线段的中点，由对称性可知，由勾股定理可知易知 ，球心到距离为， 则被球截得的弦长为，故③正确； 当垂直于过的平面，此时截面圆的面积最小，此时圆的半径就是， 面积为，故④正确；故选：D. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地称为 “梦之队”；2024年巴黎奥运会，其中团体赛由四场单打和一场双打比赛组成，采用五场三胜制； 每个队由三名运动员组成，当一个队赢得三场比赛时，比赛结束.2024年8月9日，中国队对战瑞典队， 赛前某乒乓球爱好者对赛事情况进行分析，根据以往战绩，中国队在每场比赛中获胜的概率均为. （1）已知中国队输掉了第一场，求中国队最终获胜的概率；（2）求至多进行四场就结束比赛的概率. 17．（1）；（2）.【分析】（1）设事件“中国队在已输一场的情况下获胜”，则有两类情况： ①设事件“中国队从第二场开始连胜三场”，②设事件“中国队在二到四场中胜两场，再胜第五场”，分别求出两种情况的概率，再利用互斥事件的加法公式即可求出事件的概率；（2）设比赛进行三场且 中国队获胜为事件、比赛进行四场且中国队获胜为事件，比赛进行三场且瑞典队获胜为事件， 比赛进行四场且瑞典队获胜事件，至多进行四场比赛为事件，分别求出，的概率， 再利用互斥事件的加法公式即可求出事件的概率. 【详解】（1）设事件“中国队在已输第一场的情况下获胜”，则有两类情况： ①设事件“中国队从第二场开始连胜三场”，所以，……2分 ②设事件“中国队在二到四场中胜两场，再胜第五场”，所以， 又因为与是互斥事件，所以，……2分 所以中国队在已输一场的情况下获胜的概率为；……2分； （2）设比赛进行三场且中国队获胜为事件、比赛进行四场且中国队获胜为事件， 比赛进行三场且瑞典队获胜为事件，比赛进行四场且瑞典队获胜事件， 至多进行四场比赛为事件，……2分 所以，，，……2分 ，，是互斥事件，……1分 所以， 所以至多进行四场就结束比赛的概率为.……3分. 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 某单位承办了一项志愿者选拔的面试工作.现随机抽取100名候选者的面试成绩，并分成五组： 第一组，第二组，第三组，第四组，第五组， 绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数和第60百分位数(保留两位小数)； （2）现从以上各组中按分层随机抽样的方法选取部分担任本市宣传者.若这100名面试者中第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和，第五组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为90和20， 据此估计这次第四组和第五组所有面试者的面试成绩的方差为32，求第四组面试者的面试成绩的方差. 18．（1）；平均数为；第百分位数为；（2）. 【分析】（1）根据频率分布直方图的概念，求出参数，再根据频率分布直方图的性质， 求出总体的平均数和第60百分位数的估计值； （2）根据分层随机抽样的均值和方差的性质，根据总体方差的公式，求出第四组方差即可. 【详解】（1）由题意可知频率分布直方图组距为， 所以，解得，……2分 平均数为， 前两组频率之和为，……1分 前三组频率之和为，……1分 则第百分位数为；……2分； （2）这100名面试者中第四组和第五组面试者有人，……2分 第四组和第五组所有面试者的面试成绩的平均数为，……2分 由题意可得，解得.……4分. 19．（基础题型）（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题10分，第2小题8分 如图，已知平面，，为等边三角形，，点F为的中点.   （1）求证：平面；（2）求直线和平面所成角的正弦值. 19．（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）设，建立空间直角坐标系， 利用向量的坐标运算得出，结合线面平行判定定理即可得结论； （2）确定平面的一个法向量，利用和的夹角求解即可. 【详解】（1）因为平面，， 为等边三角形，……1分，设，……2分， 建立如图所示的空间直角坐标系，……1分， 则 ，为的中点，，……2分，， ，……2分，，平面，平面；……2分； （2）又是轴上的单位向量，则其是平面的一个法向量，……2分； 因为，……2分； 设和平面所成的角为，则，……2分； 直线和平面所成角的正弦值为.……2分. 19．（提高题型）（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题8分，第2小题10分 （1）对于精美的礼物，通常会搭配礼盒保护，现工厂有一种树脂工艺球待礼盒包装，为节省材料费用， 定制礼盒尺寸大小卡住树脂工艺球避免其来回滚动即可．现在有两种定制方式，一种是正方体礼盒， 另一种是圆柱体礼盒，均不计损耗的话后者的单位面积费用是前者的1.2倍，工厂应选择哪一种礼盒 更经济实惠？（2）包装好的礼物，通常还会用彩带捆扎，有时还会扎出一个花结，这些包装彩带也不便宜，因此在捆扎时不仅要考虑美观、结实，也要考虑尽量地节省包装彩带．以长方体的礼盒为例，较为典型的两种捆扎方式分别为“十字”和“对角”，如下图所示． “十字”捆扎 “对角”捆扎 假设1：将礼物视作一个长方体，其长为4，宽为2、高为1；假设2：不考虑花结处的彩带，将每一段彩带视为线段，且完全位于礼物的表面上；假设3：“十字”捆扎中，长方体表面上的每一段彩带（上底面和 下底面各2段，每个侧面各1段）都与其相交的棱垂直；假设4：“对角”捆扎中，以某种方式展开长方体后，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）在其表面展开图上均落在同一条直线上．①求“十字”捆扎中彩带的总长度；②根据假设4绘制示意图，求“对角”捆扎中彩带的总长度， 并比较两种并比较两种捆扎方式，给出用彩带捆扎礼物的建议． 19．（1）应选择圆柱体礼盒更经济实惠；（2）①16；②， 在实际生活中包装彩带时应选择“对角”捆扎的方式，更节省包装彩带. 【解析】（1）设球的半径为，正方体礼盒的造价为元， 正方体礼盒、圆柱形礼盒的总造价分别为，……2分； 显然都是正数，……2分；所以，……2分； 所以工厂应选择圆柱体礼盒更经济实惠；……2分； （2）①采用“十字”捆扎中彩带的总长度为；……4分； ②，由于，……3分； 因此在实际生活中包装彩带时应选择“对角”捆扎的方式，更节省包装彩带.……3分. 20．（基础题型）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 已知、分别是正方体的棱、的中点，求：   （1）与所成角的大小；（2）二面角的大小； （3）点在棱上，若与平面所成角的正弦值为， 请判断点的位置，并说明理由. 20．（1）；（2）；（3）点是线段靠近点的三等分点，理由见解析. 【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出异面直线的夹角、二面角大小作答；（3）利用（1）中坐标系，设出点M的坐标， 利用线面角的正弦值求解作答. 【详解】（1）在正方体中，令， 以点D为原点，以的方向分别为，，轴正方向， 建立空间直角坐标系，……1分； 如图，则， ，……1分； 设与所成角为，，……1分； 所以与所成角的大小是；……1分；   （2）平面的一个法向量为，……1分； 设平面的一个法向量为， ，则，令，得，……2分； 设的夹角为，，……2分； 而二面角为锐二面角，所以二面角大小为；……1分； （3） 设，则，……2分； 平面的一个法向量为，设与平面所成角为……2分； ，即，……2分； 所以当，即点是线段靠近点的三等分点时,与平面所成角的的正弦值为. ……2分. 20．（提高题型）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下所示： ； 若，则称为空间向量与的叉乘，其中（）， （），为单位正交基底：以为坐标原点，分别以，，的 方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系：已知，是空间直角坐标系中异于的两点： （1）若，：①求与的数量积；②根据题中的定义，求； （2）化简：；（3）记的面积为，证明：. 20．（1）①，②；（2）；（3）证明详见解析. 【分析】（1）①利用数量积的定义求结论；②由向量叉乘的定义直接求解即可；（2）设 ，根据叉乘的运算表示和即可证明；（3）首先表示向量，夹角的 正弦值，然后得到，要证，只需证，然后结合叉乘运算证明即可. 【详解】（1）①因为，所以， 所以；……2分； ②因为， 所以；……2分； （2）设，则 ，……3分； 将与交换，与交换，与交换，可得， 故；……3分； （3）因为，……1分； 故，……1分； 要证，只需证， 需证，……1分； 设，， 可得，……2分； 又因为，，， 所以 ，……2分； 所以，故.……1分. 21．（基础题型）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 如图，在平行六面体中，设为与的交点，若，，.    （1）用向量表示向量； （2）若该平行六面体的体积为4，现将其截去三棱锥，求剩余几何体的体积； （3）若该平行六面体的底面是边长为1的菱形，且， 已知为空间一点， 满足，，对于任意实数，求的最小值. 21．（1）；（2）；（3）3. 【分析】（1）由向量的线性运算求解即可；（2）由等体积法可得，由平行六面体的 体积减去该三棱锥的体积，即可得答案；（3）由题意可得，令，根据二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）易知为与的中点，……1分； 因为 ；……3分； （2）设平行六面体的底面积为，高为，则，……2分； 则三棱锥的高也为，则，……2分； 所以剩余几何体的体积；……2分； （3）因为，所以，……2分； 又因为，，……1分； ，令，……2分； 则其开口向上，对称轴为， 所以当时，取最小值，为，……2分； 所以时，取最小值，为9， 即的最小值为9，所以的最小值为3.……1分. 21．（提高题型）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题6分，第2小题6分，第3小题6分 如下图，某公园东北角处有一座小山，山顶有一根垂直于水平地平面的钢制笔直旗杆，公园内的 小山下是一个水平广场（虚线部分）．某高三班级数学老师留给同学们的周末作业是：进入该公园，提出与测量有关的问题，在广场上实施测量，并运用数学知识解决问题．老师提供给同学们的条件是：已知米，规定使用的测量工具只有一只小小的手持激光测距仪 （如下图，该测距仪能准确测量它到它发出的 激光投射在物体表面上的光点之间的距离）． （1）甲同学来到通往山脚下的笔直小路上，他提出的问题是：如何测量小山的高度？于是，他站在点处，独立的实施了测量，并运用数学知识解决了问题．请写出甲同学的解决问题方案，并用假设的测量 数据（字母表示）表示出小山的高度； （2）乙同学是在一阵大风过后进入公园的，广场上的人纷纷议论：旗杆似乎是由于在根部处松动 产生了倾斜，她提出的问题是：如何检验旗杆是否还垂直于地面？并且设计了一个不用计算就能解决 问题的独立测量方案，请你写出她的方案，并说明理由； （3）已知（1）中的小路是东西方向，且与点所确定的平面垂直于地平面；又已知在（2）中的乙同学 已经断定旗杆大致向广场方向倾斜．如果你是该班级的同学，你会提出怎样的有实际意义的问题？ 请写出实施测量与解决问题的方案，并说明理由（如果需要，可通过假设的测量数据或运算结果列式说明，不必计算）． 21．（1）答案见解析；（2）方案见解析，理由见解析；（3）问题见解析，方案见解析，理由见解析. 【分析】（1）根据测量数据利用余弦定理即可求得结果； （2）利用测量数据综合利用三角形性质，由线面垂直判定定理即可证明并得出结论； （3）可提问“旗杆向哪个方向倾斜多少角度”等问题，再根据解三角形的实际应用即可得出结论. 【详解】（1）解一：（1） 如图1，设点在水平面的投影点为， 用测距仪测得，，……2分； 在中，，……1分； 在中，，……1分； 所以；……2分； 解二：如图2，在平面上，以点为原点，向量为轴， 建立平面直角坐标系，……2分； 设点，则， 用测距仪测得，，……2分； 则，解得；……2分； （2）如图，用电子尺测得，，在广场上从点移动至点， 使得，再移至点，使得，此时再测量， 若，则可知旗杆垂直于地面，否则就是倾斜了，……2分； 理由如下：已知，，设点是的中点， 则在等腰中，，同理，……2分； 又平面，所以平面； 又因为平面，故，同理可证； 综上所述，旗杆垂直于地面；……2分； （3）提问：旗杆向哪个方向倾斜多少角度？说明：用在地平面上的投影来刻画的倾斜方向 是合理的，也可以采用在广场上确定一个位于在地平面上投影上的点来刻画，用与小路的夹角 刻画扣1分；关于如何刻画倾斜多少角度的问题，既可以用与垂直于地面的直线所成角的大小， 也可以用与地平面所成角的大小来刻画．……2分； ①测量倾斜角的大小方案1：如图，在地面画出离点距离相等的点的轨迹圆， 再在圆上找到离点距离最近的点，作垂直于地面，垂足为， 则的大小就是旗杆倾斜角度． 理由如下： 先证明与圆的交点既是点，……2分； 只需证明：对于圆上任意一点，， 因为在中，，所以，故． 如图5，从图4中的点向点的方向走到点，放置一个物体， 测得、、的长，利用余弦定理可得的大小．     同理可得的大小．因此，可以求得图4中的、、、的长． 在中，三边已知，利用余弦定理可求得， 即旗杆向西偏南的方向倾斜， 又由于、已求得，故倾斜角度为．……2分； ②测量倾斜角的大小方案2：如图5，从点向点的方向走到点， 测得、、的长，利用余弦定理可得的大小，从而求得点的高度，……2分； 同理可求得点的高度，如图，即是由于旗杆倾斜旗杆顶点所下降的高度， 所以，在中，即为所求.……2分； ③测量倾斜角的大小方案3：在图5中，以点为原点， 以为y轴建立平面直角坐标系，……2分； 则容易求出点与点的坐标与， 故的倾斜角为．……2分. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟试卷 （上海专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十章-第十三章和选择性必修第一册第三章。 5．本试卷部分试题分为基础卷和提高卷，请民办、普高或者区重点高中的考生做基础题型， 其余市重点或者市特色高中的考生做提高题型；其余没有作标记的试题不做区分。 6．难度系数：0.61。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知事件A与事件B为互斥事件，且，，则P（B）＝ 　 　 ． 2．小明在期中复习时，对常见的“角”进行了简要梳理：①两条异面直线所成的角；②直线与平面所成的角； ③二面角；④两个非零向量的夹角．则上述各种“角”的取值范围是的有 （请填写序号） 3．如图是一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积等于 ． 4．与圆柱底面成角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点 到圆柱底面距离的最大值为，最小值为，则该几何体的体积为 ． 5．设总体由编号为的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是 从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个个体的编号为 . 5044664421    6606580562    6155643502    4235489632    1452415248 2266221586    2663754199    5842367224    5837521851    0337183911 6．如图是李明3月1日至10日记录的一分钟跳绳次数折线图， 由图判断从第 天开始，连续三天的跳绳次数方差最大. 7．如图，在正四棱柱中，，该正四棱柱的体积为48， 则直线与底面所成角的大小为 .（用反三角函数表示） 8．有一个游戏，规则如下：如图，在圆上有 共八个点，一枚棋子起始位置在点处，每个相邻的两点间称为1步； 抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为， 则棋子按顺时针方向前进步到另一个点，抛掷两次骰子后，游戏结束； 试问游戏结束时棋子回到点处的概率为 ． 9．（基础题型）为科普航天知识，某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下： 7，6，8，9，8，7，10，，若去掉，该组数据的第25百分位数保持不变， 则整数的值可以是 （写出一个满足条件的值即可）． 9．（提高题型）多面体的欧拉定理：简单多面体的顶点数V､棱数E与面数F有关系.请运用 欧拉定理解决问题：碳具有超导特性､抗化学腐蚀性､耐高压以及强磁性，是一种应用广泛的材料； 它的分子结构十分稳定，形似足球，也叫足球烯，如图所示， 碳的分子结构是—个由正五边形面和正六边形面共32个面构成 的凸多面体，60个碳原子处于多面体的60个顶点位置， 则32个面中正五边形面的个数是 . 10．（基础题型）如图，在三棱柱中，所有棱长均为1， 且底面，则点到平面的距离为 .   10．（提高题型）如图，在一个的二面角的棱上，有两个点， 分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段， 且，则CD的长为 ． 11．（基础题型）如图，正八面体棱长为4， 空间动点满足，则的最大值为 . 11．（提高题型）“曼哈顿距离（Manhattan Distance）”是由19世纪赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，表示 两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和．例如：在空间直角坐标系中，点， 之间的曼哈顿距离为．现已知在空间直角坐标系中， 点O为坐标原点，动点P满足，则由动点P构成的几何体的体积为 ． 12．（基础题型）如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中半圆和半圆的直径均为2.6米，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，假设所得截面均为正方形， 则该帐篷围成几何体的体积为__________立方米．（精确到0.1立方米） 12．（提高题型）在空间中，点为定点，设集合， 若在上的数量投影为，则线段OP在运动过程中所形成的几何体的体积为__________. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是（    ） A． B． C． D． 14．某课外活动小组为研究日平均气温的变化情况，将每连续5天的日平均气温（ ）的记录数据作为一组样本，他们得到了满足下列条件的四个样本： ①平均数为3，极差为2；②中位数为7，众数为9；③众数为5，极差为6；④平均数为4，方差为2； 则这四个样本中，连续5天的日平均气温记录数据均低于 的样本个数至少有（     ） A. 1个 B 2个 C.3个 D.4个 15．（基础题型）某景区为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图1）．现测量其中一个屋顶，得到圆锥的底面直径长为，母线长为（如图2）．若是母线的一个三等分点 （靠近点S），从点A到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为（    ）      A． B． C． D． 15．（提高题型）在平行六面体中，为的中点，，， 若，，，四点共面，则（    ） A． B． C． D． 16．（基础题型）日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，烘焙店的包装盒如图所示， 正四棱柱的底面ABCD是正方形，且，． 店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A中的方向捆扎包装盒 会比按照图B中的十字捆扎法更节省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度）， 则图A比图B最多节省的彩绳长度为（     ） A． B． C． D． 16．（提高题型）如图：棱长为2的正方体的内切球为球O， E、F分别是棱AB和棱的中点，G在棱BC上移动，则下列命题正确的个数是（     ） ①存在点G，使OD垂直于平面；②对于任意点G，OA平行于平面EFG； ③直线被球О截得的弦长为； ④过直线EF的平面截球О所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为. A．0 B．1 C．2 D．3 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地称为 “梦之队”；2024年巴黎奥运会，其中团体赛由四场单打和一场双打比赛组成，采用五场三胜制； 每个队由三名运动员组成，当一个队赢得三场比赛时，比赛结束.2024年8月9日，中国队对战瑞典队， 赛前某乒乓球爱好者对赛事情况进行分析，根据以往战绩，中国队在每场比赛中获胜的概率均为. （1）已知中国队输掉了第一场，求中国队最终获胜的概率；（2）求至多进行四场就结束比赛的概率. 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 某单位承办了一项志愿者选拔的面试工作.现随机抽取100名候选者的面试成绩，并分成五组： 第一组，第二组，第三组，第四组，第五组， 绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数和第60百分位数(保留两位小数)； （2）现从以上各组中按分层随机抽样的方法选取部分担任本市宣传者.若这100名面试者中第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和，第五组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为90和20， 据此估计这次第四组和第五组所有面试者的面试成绩的方差为32，求第四组面试者的面试成绩的方差 . 19．（基础题型）（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题10分，第2小题8分 如图，已知平面，，为等边三角形，，点F为的中点.   （1）求证：平面；（2）求直线和平面所成角的正弦值. 19．（提高题型）（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题8分，第2小题10分 （1）对于精美的礼物，通常会搭配礼盒保护，现工厂有一种树脂工艺球待礼盒包装，为节省材料费用， 定制礼盒尺寸大小卡住树脂工艺球避免其来回滚动即可．现在有两种定制方式，一种是正方体礼盒， 另一种是圆柱体礼盒，均不计损耗的话后者的单位面积费用是前者的1.2倍，工厂应选择哪一种礼盒 更经济实惠？（2）包装好的礼物，通常还会用彩带捆扎，有时还会扎出一个花结，这些包装彩带也不便宜，因此在捆扎时不仅要考虑美观、结实，也要考虑尽量地节省包装彩带．以长方体的礼盒为例，较为典型的两种捆扎方式分别为“十字”和“对角”，如下图所示． “十字”捆扎 “对角”捆扎 假设1：将礼物视作一个长方体，其长为4，宽为2、高为1；假设2：不考虑花结处的彩带，将每一段彩带视为线段，且完全位于礼物的表面上；假设3：“十字”捆扎中，长方体表面上的每一段彩带（上底面和 下底面各2段，每个侧面各1段）都与其相交的棱垂直；假设4：“对角”捆扎中，以某种方式展开长方体后，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）在其表面展开图上均落在同一条直线上．①求“十字”捆扎中彩带的总长度；②根据假设4绘制示意图，求“对角”捆扎中彩带的总长度， 并比较两种并比较两种捆扎方式，给出用彩带捆扎礼物的建议． 20．（基础题型）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 已知、分别是正方体的棱、的中点，求：   （1）与所成角的大小；（2）二面角的大小； （3）点在棱上，若与平面所成角的正弦值为， 请判断点的位置，并说明理由. 20．（提高题型）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下所示： ； 若，则称为空间向量与的叉乘，其中（）， （），为单位正交基底：以为坐标原点，分别以，，的 方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系：已知，是空间直角坐标系中异于的两点： （1）若，：①求与的数量积；②根据题中的定义，求； （2）化简：；（3）记的面积为，证明：. 21．（基础题型）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题6分，第2小题6分，第3小题6分 如图，在平行六面体中，设为与的交点，若，，.    （1）用向量表示向量； （2）若该平行六面体的体积为4，现将其截去三棱锥，求剩余几何体的体积； （3）若该平行六面体的底面是边长为1的菱形，且， 已知为空间一点， 满足，，对于任意实数，求的最小值. 21．（提高题型）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题6分，第2小题6分，第3小题6分 如下图，某公园东北角处有一座小山，山顶有一根垂直于水平地平面的钢制笔直旗杆，公园内的 小山下是一个水平广场（虚线部分）．某高三班级数学老师留给同学们的周末作业是：进入该公园，提出与测量有关的问题，在广场上实施测量，并运用数学知识解决问题．老师提供给同学们的条件是：已知米，规定使用的测量工具只有一只小小的手持激光测距仪 （如下图，该测距仪能准确测量它到它发出的 激光投射在物体表面上的光点之间的距离）． （1）甲同学来到通往山脚下的笔直小路上，他提出的问题是：如何测量小山的高度？于是，他站在点处，独立的实施了测量，并运用数学知识解决了问题．请写出甲同学的解决问题方案，并用假设的测量 数据（字母表示）表示出小山的高度； （2）乙同学是在一阵大风过后进入公园的，广场上的人纷纷议论：旗杆似乎是由于在根部处松动 产生了倾斜，她提出的问题是：如何检验旗杆是否还垂直于地面？并且设计了一个不用计算就能解决 问题的独立测量方案，请你写出她的方案，并说明理由； （3）已知（1）中的小路是东西方向，且与点所确定的平面垂直于地平面；又已知在（2）中的乙同学 已经断定旗杆大致向广场方向倾斜．如果你是该班级的同学，你会提出怎样的有实际意义的问题？ 请写出实施测量与解决问题的方案，并说明理由（如果需要，可通过假设的测量数据或运算结果列式说明，不必计算）． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高二上学期期中模拟试卷 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．（基础题型）____________________ 9．（提高题型）____________________ 10．（基础题型）____________________ 10．（提高题型）____________________ 11．（基础题型）____________________ 11．（提高题型）____________________ 12．（基础题型）____________________ 12．（提高题型）____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 （基础题型）[A] [B] [C] [D] 16 （基础题型）[A] [B] [C] [D] 15（提高题型） [A] [B] [C] [D] 16（提高题型） [A] [B] [C] [D] 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分， 第20、21题每题18分.) 17．（14分） 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（基础题型）（14分） 19．（提高题型）（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 20．（基础题型）（18分） 20．（提高题型）（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（基础题型）（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（提高题型）（18分） 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页）1 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $: : : 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟试卷 : (上海专用) 数学 : (考试时间：120分钟试卷满分：150分) : : 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 : 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， : 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效 O 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：沪教版2020必修第三册第十章-第十三章和选择性必修第一册第三章。 5.本试卷部分试题分为基础卷和提高卷，请民办、普高或者区重点高中的考生做基础题型， 其余市重点或者市特色高中的考生做提高题型；其余没有作标记的试题不做区分。 6.难度系数：0.61。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分) 1.已知事件A与事件B为互斥事件，且PA)=号，P(AUB)=3则P(B)= 2,小明在期中复习时，对常见的“角”进行了简要梳理： ①两条异面直线所成的角；②直线与平面所成的角；③二面角：④两个非零向量的夹角. 则上述各种“角”的取值范围是[0，的有一（请填写序号） : 3.如图△O'A'B是一个平面图形的直观图，其中∠0B'A'=90°，OB'=2,则原图形的面积等于 O 45 B : 4.与圆柱底面成45°角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点 : 到圆柱底面距离的最大值为3，最小值为1，则该几何体的体积为 那 区 5.设总体由编号为00,01，，59的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体， 选取方法是从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字， : 则选出来的第4个个体的编号为 : : 试题第1页（共10页） : 可学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 5044664421 6606580562 6155643502 42354896321452415248 198 22662215862663754199 58423672245837521851 0337183911 197 196 6.如图是李明3月1日至10日记录的一分钟跳绳次数折线图， 195 194 由图判断从第 天开始，连续三天的跳绳次数方差最大 193 192 192 012345678910 7.如图，在正四棱柱ABCD-AB1C1D1中，BD=4V2,该正四棱柱的体积为48， B 则直线B1D与底面ABCD所成角的大小为·（用反三角函数表示） B G 8.有一个游戏，规则如下：如图，在圆上有A,B,C,D,E,F,G,H 共八个点，一枚棋子起始位置在点A处，每个相邻的两点间称为1步； 抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为1=1,2，…，6)， 则棋子按顺时针方向前进1步到另一个点，抛掷两次骰子后，游戏结束； D 试问游戏结束时棋子回到点A处的概率为一· 9.(基础题型)为科普航天知识，某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下： 7,6,8,9,8,7,10,m,若去掉m,该组数据的第25百分位数保持不变， 则整数m(1≤m≤10)的值可以是（写出一个满足条件的m值即可）. 9.(提高题型)多面体的欧拉定理：简单多面体的顶点数口棱数E与面数F有关系V+F一E=2.请运用 欧拉定理解决问题：碳60(C60)具有超导特性、抗化学腐蚀性、耐高压以及强磁性，是一种应用广泛的材料： 它的分子结构十分稳定，形似足球，也叫足球烯，如图所示， 碳60(C60)的分子结构是一个由正五边形面和正六边形面共32个面构成 的凸多面体，60个碳原子处于多面体的60个顶点位置， 则32个面中正五边形面的个数是」 试题第2页（共10页） 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B 10.(基础题型)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为1， 且AA11底面ABC,则点B1到平面ABC1的距离为 B 10.(提高题型)如图，在一个60的二面角的棱上，有两个点A,B, AC,BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段， B 且AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm,则CD的长为 11.(基础题型)如图，正八面体ABCDEF棱长为4， 空间动点P满足PA+P=2,则B配.CD的最大值为 B 11.(提高题型)“曼哈顿距离(Manhattan Distance)"是由19世纪赫尔曼，闵可夫斯基所创词汇，表示 两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和.例如：在空间直角坐标系中，点A(&1,y1,z1), B(x2,y2,22)之间的曼哈顿距离为d(A,B)=2-x1l+ly2-y1+|z2-z1.现已知在空间直角坐标 系中，点0为坐标原点，动点P满足d(0,P)≤1，则由动点P构成的几何体的体积为一· 12.(基础题型)如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中半圆AOC和半圆B0D的直径均为2.6米，平面AOC 和平面BOD均垂直于平面ABCD,用任意平行于帐篷底面ABCD的平面截帐篷，假设所得截面均为正方形， 则该帐篷围成几何体的体积为 立方米.（精确到0.1立方米） B 12.(提高题型)在空间中，点0为定点，设集合s={Plo-20A·0P≤1,1DA=1}, 若O丽在OA上的数量投影为-号，则线段OP在运动过程中所形成的几何体的体积为 试题第3页（共10页） 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分： .. O 每题有且只有一个正确选项) 13.事件A与B独立，A、B分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是() A.P(AnB)=P(A)P(B) B.P(AnB)=P(A)P(B) C.P(AUB)=P(A)+P(B) D.PAnB)=[1-P(A)][1-P(B)] 子 14.某课外活动小组为研究日平均气温的变化情况，将每连续5天的日平均气温（单位：C)的记录数据 兵 作为一组样本，他们得到了满足下列条件的四个样本：①平均数为3，极差为2：②中位数为7，众数为9： ③众数为5，极差为6：④平均数为4，方差为2；则这四个样本中，连续5天的日平均气温记录数据 张 均低于10C的样本个数至少有()A.1个B2个 C.3个 D.4个 15.(基础题型)某景区为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图1).现测量其中一个 屋顶，得到圆锥S0的底面直径AB长为12m,母线SA长为18m(如图2).若C是母线SA的一个 三等分点（靠近点S),从点A到点C绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为(） 游 拼 图1 图2 A.6v7m B.6v13m C.16m D.12m S 15.(提高题型)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，H为CC1的中点，AF=A五，入∈(0,1)， 若B,D,C1,F四点共面，则入=( A. 8.号 C. D.月 世 16.（基础题型)日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，烘焙店的包装盒如图所示， 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，且AB=3,AA1=1. D G D B D B E A BI (A) (B) 店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A中H-E-E1一F1-F-G-G1-H1-H的方向捆扎 包装盒会比按照图B中的十字捆扎法更节省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度）， 试题第4页（共10页） 则图A比图B最多节省的彩绳长度为( A.12-8W2 B.16-8W2 C.16-4W2 D.12-4V2 O 16.(提高题型)如图：棱长为2的正方体ABCD一A1B1C1D1的内切球为球O, E、F分别是棱AB和棱CC1的中点，G在棱BC上移动，则下列命题正确的个数是() ①存在点G,使OD垂直于平面EFG: ②对于任意点G,OA平行于平面EFG: ③直线EF被球O截得的弦长为V2: ④过直线EF的平面截球O所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为 B % D E G C A.0 B.1 C.2 D.3 O 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分） 17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地称为 “梦之队”；2024年巴黎奥运会，其中团体赛由四场单打和一场双打比赛组成，采用五场三胜制； 每个队由三名运动员组成，当一个队赢得三场比赛时，比赛结束.2024年8月9日，中国队对战瑞典队， 赛前某乒乓球爱好者对赛事情况进行分析，根据以往战绩，中国队在每场比赛中获胜的概率均为 (1)已知中国队输掉了第一场，求中国队最终获胜的概率；(2)求至多进行四场就结束比赛的概率. : 试题第5页（共10页） 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 18.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 某单位承办了一项志愿者选拔的面试工作现随机抽取100名候选者的面试成绩，并分成五组： 第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95] 绘制成如图所示的频率分布直方图. 频率组距 0.045---- 0.020--- 0.005 0 455565758595成绩/分 (1)求a的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数和第60百分位数（保留两位小数）： (2)现从以上各组中按分层随机抽样的方法选取部分担任本市宣传者.若这100名面试者中第四组面试者 的面试成绩的平均数和方差分别为80和s,第五组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为90和20， 据此估计这次第四组和第五组所有面试者的面试成绩的方差为32，求第四组面试者的面试成绩的方差s子· 19.(基础题型)（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题10分，第2小题8分 如图，已知ABI平面ACD,AB/DE,△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB,点F为CD的中点. (1)求证：AF/平面BCE;(2)求直线BF和平面ABC所成角的正弦值. B i D 试题第6页（共10页） @学科网·学易金卷 www.zxxk com 做好卷，就用学易金卷 19.(提高题型)（本题满分18分)本题共有2个小题，第1小题8分，第2小题10分 (1)对于精美的礼物，通常会搭配礼盒保护，现工厂有一种树脂工艺球待礼盒包装，为节省材料费用， 定制礼盒尺寸大小卡住树脂工艺球避免其来回滚动即可.现在有两种定制方式，一种是正方体礼盒， 另一种是圆柱体礼盒，均不计损耗的话后者的单位面积费用是前者的1.2倍，工厂应选择哪一种礼盒 更经济实惠？(2)包装好的礼物，通常还会用彩带捆扎，有时还会扎出一个花结，这些包装彩带也不便宜， 因此在捆扎时不仅要考虑美观、结实，也要考虑尽量地节省包装彩带.以长方体的礼盒为例，较为典型的 两种捆扎方式分别为“十字”和“对角”，如下图所示， “十字"捆扎 “对角”捆扎 假设1：将礼物视作一个长方体，其长为4，宽为2、高为1；假设2：不考虑花结处的彩带，将每一段彩 带视为线段，且完全位于礼物的表面上；假设3：“十字”捆扎中，长方体表面上的每一段彩带（上底面和 下底面各2段，每个侧面各1段)都与其相交的棱垂直；假设4：“对角"捆扎中，以某种方式展开长方体 后，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）在其表面展开图上均落在同 一条直线上.①求“十字”捆扎中彩带的总长度；②根据假设4绘制示意图，求“对角”捆扎中彩带的总长度， 并比较两种并比较两种捆扎方式，给出用彩带捆扎礼物的建议. 试题第7页（共10页） 20.(基础题型)（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 己知E、F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC、CD的中点，求： D C (1)A1D与EF所成角的大小；(2)二面角C-D1B1-C1的大小： (3)点M在棱CD上，若A1M与平面B,C1CB所成角的正弦值为 19 请判断点M的位置，并说明理由. 兵 张 20. (提高题型)（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下所示： 滞 a a2 a3 b1 b2 b3 =a1b2C3+a2b3C1+a3bic2-a3b2C1-a2bic3-a1b3C2; C2 C3 k 若×b= 区1 y1 则称×b为空间向量与b的叉乘，其中=x1i+yj+z1k(x1,y1,z1∈R), y2 22 =xi+y2j+z2正(x2,y2,z2∈R),瓦，，3为单位正交基底：以0为坐标原点，分别以i,j,的 方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系：己知A,B是空间直角坐标系中异于O的两点： (1)若A(1,2,1),B(0,-1,1):①求OA与OB的数量积OA·OB;②根据题中的定义，求OA×OB: (2)化简：OA×OE+OE×OA;(3)记△AOB的面积为S△AoB,证明：SAAOB=引OA×0B. 性 试题第8页（共10页） 21.(基础题型)（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题6分，第2小题6分，第3小题6分 O 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设M为A1C1与B1D1的交点，若AE=a,AD=b,AA= D A B A B (1)用向量a,b,表示向量BNi (2)若该平行六面体的体积为4，现将其截去三棱锥B1一BDC1,求剩余几何体的体积； i的 (3)若该平行六面体的底面是边长为1的菱形，且∠BAD=60°，已知P为空间一点， 满足A=5,AP·a=2,AP.6=4,对于任意实数x,y,求AF-xa-y的最小值 .: :0 :0 试题第5页（共10页） 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 21.(提高题型)（本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题6分，第2小题6分，第3小题6分 如下图，某公园东北角处有一座小山，山顶有一根垂直于水平地平面的钢制笔直旗杆AB,公园内的 小山下是一个水平广场（虚线部分).某高三班级数学老师留给同学们的周末作业是：进入该公园，提出与 测量有关的问题，在广场上实施测量，并运用数学知识解决问题.老师提供给同学们的条件是：已知AB= 10米，规定使用的测量工具只有一只小小的手持激光测距仪（如下图，该测距仪能准确测量它到它发出 的 激光投射在物体表面上的光点之间的距离). 西 >东 袋 激光 (1)甲同学来到通往山脚下的笔直小路1上，他提出的问题是：如何测量小山的高度？于是，他站在点C 处，独立的实施了测量，并运用数学知识解决了问题.请写出甲同学的解决问题方案，并用假设的测量 数据（字母表示）表示出小山的高度H; (2)乙同学是在一阵大风过后进入公园的，广场上的人纷纷议论：旗杆AB似乎是由于在根部A处松动 产生了倾斜，她提出的问题是：如何检验旗杆AB是否还垂直于地面？并且设计了一个不用计算就能解决 问题的独立测量方案，请你写出她的方案，并说明理由： (3)己知(1)中的小路1是东西方向，且与点A所确定的平面垂直于地平面；又己知在(2)中的乙同学 已经断定旗杆AB大致向广场方向倾斜.如果你是该班级的同学，你会提出怎样的有实际意义的问题？ 请写出实施测量与解决问题的方案，并说明理由（如果需要，可通过假设的测量数据或运算结果列式说明， 不必计算) 试题第6页（共10页）