专题05 椭圆双曲线与抛物线（期中真题汇编，上海专用）高二数学上学期沪教版

**基本信息** 汇集上海华师大二附中、交大附中等名校期中试题，聚焦椭圆、双曲线、抛物线及位置关系等核心考点，融合传统文化（油纸伞影子）、科技应用（探照灯反射镜）等真实情境，梯度覆盖基础与综合能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|12|离心率、焦点位置、渐近线方程|结合油纸伞文化考查椭圆离心率，关联生活实际| |填空题|18|焦距、标准方程、点差法应用|设计“果圆”合成曲线，创新考查椭圆几何性质| |解答题|12|直线与圆锥曲线位置关系、轨迹方程|无线电信号定位问题综合双曲线定义与实际应用，贴合高考命题趋势|

专题05 椭圆双曲线与抛物线 5大高频考点概览 考点01椭圆 考点02双曲线 考点03抛物线 考点04点差法 考点05直线与圆锥曲线的位置关系 地 城 考点01 椭圆 一、单选题 1．（25-26高二上·上海华师大二附中·期中）用离心率作为衡量指标，下列四个椭圆中（    ）最接近圆. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆方程计算离心率，越接近圆则离心率越小，即可得答案. 【详解】A：，则； B：，则； C：即，，则； D：即，，则； 因为，所以选项B中椭圆离心率最小，故最接近圆. 故选：B 2．（25-26高二上·上海市回民中学·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据题意，由求解. 【详解】若方程表示焦点在轴上的椭圆， 则，解得：， 故选：B. 3．（25-26高二上·上海交通大学附属中学·期中）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意先求得短半轴长，再根据正弦定理求得，进而根据离心率的公式求解即可 【详解】因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上， 由图可知，椭圆的短半轴长， 在中，， 由正弦定理得： ， 所以，    故选：D. 二、填空题 4．（25-26高二上·华东师大附属东昌中学·期中）椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为_________. 【答案】 【分析】首先求出，再根据椭圆的定义计算可得. 【详解】椭圆，则， 根据椭圆的定义可知，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为. 故答案为： 5．（25-26高二上·上海曹杨二中·期中）椭圆的长轴长为___________． 【答案】 【分析】根据椭圆方程求得，进而求得长轴长. 【详解】椭圆方程为， 所以，则长轴长. 故答案为： 6．（25-26高二上·上海大学附属中学·期中）椭圆的焦距为__________. 【答案】4 【分析】根据椭圆的方程判断焦点其位置，求出，代入公式计算的值即得焦距. 【详解】由可知椭圆的焦点在轴上，则长半轴长为，短半轴长为， 则半焦距为，故焦距为4. 故答案为：4. 7．（25-26高二上·上海大学附属中学·期中）设椭圆的焦距为，若，则椭圆的离心率为___________． 【答案】 【分析】由的关系得出的齐次方程，转化为的方程解之可得． 【详解】由已知，，即， 解得（舍去）． 故答案为：． 8．（25-26高二上·上海华师大二附中·期中）若椭圆焦点为，且长半轴的长等于5，则该椭圆的标准方程为__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，直接求出椭圆标准方程. 【详解】椭圆焦点为，且长半轴的长等于5，则短半轴长， 所以该椭圆的标准方程为. 故答案为： 9．（25-26高二上·上海华师大二附中·期中）已知直线经过椭圆的右焦点，并与椭圆交于两点，其左焦点为，则的周长为__________. 【答案】 【分析】由椭圆定义得到，，从而得到三角形周长. 【详解】 由椭圆方程为，得， 因为点在椭圆上，所以，， 所以的周长为， 故答案为：. 10．（25-26高二上·上海华师大二附中·期中）我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中.如图，点是相应椭圆的焦点.若是边长为1的等边三角形，则__________. 【答案】 【分析】根据椭圆的定义及标准方程结合题中条件得到关系式，进一步计算即可. 【详解】因为是边长为1的等边三角形， 则，所以， 又，所以， 则 故答案为： 11．（25-26高二上·华东师大附属东昌中学·期中）已知焦点在x轴上的椭圆以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线有公共点，则C的离心率的取值范围是____． 【答案】 【分析】先根据椭圆焦点位于轴及椭圆方程确定长轴及短轴，确定圆的方程，再利用直线与圆的位置关系确定的取值范围，最后结合离心率公式求出离心率取值范围． 【详解】 椭圆焦点在轴上，椭圆短半轴长为，长半轴长为3， 圆的方程为，即该圆的圆心为，半径为， 直线的一般方程为， 设原点到直线距离为，则， 又直线与圆有公共点，，， ，，当且仅当时取最大值，． 12．（25-26高二上·上海大学附属中学·期中）已知实数满足：，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】把问题转化成圆上的点与椭圆上的点的距离的最大值求解. 【详解】设，， 因为，所以点在以为圆心，2为半径的圆上； 因为，所以点在焦点在轴的椭圆上.表示.如图： . 又. 所以当时，取得最大值，所以. 所以. 故答案为： 三、解答题 13．（25-26高二上·上海曹杨二中·期中）已知，椭圆． (1)若椭圆的两个焦点和一个短轴顶点构成面积为2的三角形，求椭圆的方程和离心率； (2)设点的坐标为 ，为椭圆上的动点，若为椭圆右顶点时，取到最小值，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由椭圆方程，得到，再利用三角形面积为2，列方程求出，则由，故可以写出椭圆方程和离心率； （2）设出，利用在椭圆上得到之间的关系，再表示出关于的表达式为，根据条件得到在当时有最小值得到，最后结合题目求解的取值范围 【详解】（1）由椭圆方程，得 设焦点为,短轴顶点为,则，即，所以 ，所以椭圆方程为，离心率 （2）设 则，即，； 令， 因为，所以，所以为开口朝上的抛物线，对称轴为； 因为为椭圆右顶点时，取到最小值，所以当时，有最小值； 所以，即， 因为，所以，解得， 又因为，所以，所以的取值范围是. 地 城 考点02 双曲线 一、单选题 1．（25-26高二上·上海华师大二附中·期中）已知曲线．下列结论错误的为（    ） A．若，则是圆，其半径为 B．若，则是椭圆，其焦点在轴上 C．若，则是双曲线，其渐近线方程为 D．若，，则是两条直线 【答案】A 【分析】根据题意，由不同的取值结合曲线方程的形式逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于A，由，方程变形为， 该方程表示半径为的圆，故A错误； 对于B，当时，有， 方程化为，表示焦点在y轴上的椭圆，故B正确； 对于C，由知曲线表示双曲线，其渐近线方程为，故C正确； 对于D，当时，方程变为表示两条直线，故D正确． 故选：A 2．（25-26高二上·华东师大附属东昌中学·期中）已知为坐标原点，，点在曲线：上，则的面积（   ） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 【答案】A 【分析】根据双曲线上的点，结合三角形面积求法，数形结合分析判断的面积最值情况. 【详解】的渐近线方程为，点，在渐近线上，如下图， 当点在点处时，点到渐近线的距离取得最大值， 当点远离轴时，点到渐近线的距离趋于0， 所以的面积有最大值，但无最小值. 故选：A 3．（25-26高二上·华东师大附属东昌中学·期中）已知曲线：，若直线与的交点的可能个数的集合记为，则下列结论正确的是（   ） ①关于轴对称；  ②；  ③；  ④“”的充要条件是“”． A．①② B．②③④ C．③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，可以得到曲线的图象，根据点关于轴对称点是判断曲线的对称性，得到①，利用双曲线的渐近线判断②，结合与圆相切和双曲线的渐近线，判断③，当时，直线恒过定点，根据直线和圆相切，直线和双曲线相切，数形结合判断④. 【详解】当时，，是以为圆心，以为半径的上半圆； 当时，，表示焦点在轴，对称中心在原点的双曲线的轴下方部分； 所以曲线的图象如图所示， 设点在曲线上，则，点关于轴对称点是， 因为，所以曲线关于轴对称，①正确； 当时，直线恒过定点，因为双曲线的渐近线是， 所以当或时，与直线有个交点，当时，与直线有个交点， 所以，②正确； 当时，直线，恒过定点， 当直线与相切时，由得（舍去）， 结合双曲线的渐近线是，当时，直线与曲线有个交点，如， 当或或时，直线与曲线有个交点，如 当时，直线与曲线没有交点，如， 所以，③错误； 当时，直线恒过定点， 由得， 联立得， 由得， 所以要使得直线与曲线有个交点，则或， 即，故④正确； 故选：D. 二、填空题 4．（25-26高二上·华东师大二附·期中）双曲线的实轴长为__________． 【答案】6 【分析】根据双曲线的标准方程和实轴的定义可得答案. 【详解】由知，，所以， 所以实轴长. 故答案为：6 5．（25-26高二上·上海曹杨二中·期中）已知双曲线过点，它的一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为___________． 【答案】 【分析】设双曲线的方程为，由条件得到方程组，求出，得到答案. 【详解】设双曲线的方程为，将代入方程得， 又一条渐近线方程为，而渐近线方程为，即， 联立可得，故双曲线标准方程为. 故答案为： 6．（25-26高二上·上海曹杨二中·期中）设为双曲线的左、右焦点，且的离心率为，若点在的左支上，直线与的左支相交于另一点，且，则___________． 【答案】4 【分析】根据离心率求出，设，，则，由双曲线定义可得. 【详解】由题意得，故，解得， 设，，则， 由双曲线定义可知， 即. 故答案为：4 7．（25-26高二上·上海交通大学附属中学·期中）已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线上，且满足，倾斜角为锐角的渐近线与线段交于点，且，则的值为______. 【答案】/ 【分析】双曲线C的半焦距为c，根据给定条件求出点P、Q坐标，再由点Q在渐近线上求出a，b的关系，然后结合双曲线定义计算作答. 【详解】设双曲线C的半焦距为c，即有， 因，则， 即直线与双曲线C交于点P，且点P在第一象限， 由得点，由， 而，得， 代入得：，即，不妨，则， 故，则，因此. 故答案为：. 8．（25-26高二上·上海交通大学附属中学·期中）已知实数，满足，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】分情况讨论可作曲线，再根据双曲线的渐近线，结合目标函数的几何意义及曲线的几何性质可得解. 【详解】因为实数，满足， 当，时，方程为，图象为椭圆在第一象限的部分； 当，时，方程为，图象为双曲线在第四象限的部分； 当，时，方程为，图象为双曲线在第二象限的部分； 当，时，方程为，图象不存在， 在同一坐标系中作出函数的图象如图所示， 根据双曲线的方程可知，两条双曲线的渐近线方程都是， 令，即直线与渐近线平行， 当最大时，为图中①的情况，即直线与椭圆相切， 联立方程组， 可得， 当直线与椭圆相切时，则有，解得， 又因为椭圆的图象只有第一象限的部分，故， 当最小值时，恰在图中②的位置，且取不到这个最小值， 此时，则， 综上可得，的取值范围为， 所以的取值范围为， 即的取值范围是． 故答案为： 三、解答题 9．（25-26高二上·华东师大附属东昌中学·期中）已知双曲线的方程是． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，求的大小． 【答案】(1)； (2)2. 【分析】（1）由双曲线方程直接写出渐近线方程； （2）由双曲线定义有，结合已知求即可. 【详解】（1）由双曲线方程知：其渐近线方程为； （2）由双曲线定义，又，    所以，可得（负值舍）， 所以的大小为2. 地 城 考点03 抛物线 一、单选题 1．（25-26高二上·上海曹杨二中·期中）抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先得到抛物线的标准方程，再由标准方程得到其准线方程； 【详解】抛物线的标准方程为，所以抛物线的焦点在轴正半轴， ，则准线方程为. 故选：D 2．（25-26高二上·华东师大附属东昌中学·期中）已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线定义，将点到的距离转化为点到焦点的距离，然后数形结合，根据三角形三边关系，可以得出的最小值即为点到直线的距离，再结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题意，抛物线的焦点，准线方程为， 因为点在抛物线上，所以，所以. 联立方程组得：，则， 所以直线与抛物线无公共点， 如图所示，的最小值即为点到直线的距离， 所以最小值为， 即的最小值为.    故选：A 3．（25-26高二上·上海交通大学附属中学·期中）如图，设抛物线的焦点为，过轴上一点作直线交于，两点，若，，则（   ）    A．4 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义，可求两线段的长度之比. 【详解】对抛物线，焦点，准线：. 如图：    过向准线作垂线，垂足为，交轴于，根据抛物线定义，得，所以； 过向准线作垂线，垂足为，交轴于，根据抛物线定义，得，所以. 所以，所以. 故选：B 二、填空题 4．（25-26高二上·华东师大附属东昌中学·期中）抛物线方程为 ，则此抛物线的焦点坐标为________． 【答案】 【分析】利用抛物线的标准方程确定参数的值，再根据抛物线标准方程的焦点坐标公式求出焦点坐标． 【详解】， ，解得， 抛物线的焦点坐标为， 抛物线焦点坐标为． 故答案为：． 5．（25-26高二上·华东师大二附·期中）焦点在x轴的正半轴，且焦点到准线的距离为4的抛物线标准方程为________. 【答案】 【分析】直接利用焦点到准线的距离公式得到答案. 【详解】焦点到准线的距离为4，则 又焦点在x轴的正半轴，故抛物线标准方程为 故答案为 【点睛】本题考查了抛物线的标准方程，属于简单题. 6．（25-26高二上·上海华师大二附中·期中）若直线l经过抛物线的焦点，与抛物线交于A、B两点，且线段中点的横坐标为2，则线段的长为___． 【答案】6 【解析】根据焦点半径公式得焦点弦长，由此计算． 【详解】设，则，抛物线中， 所以． 故答案为：6． 7．（25-26高二上·上海华师大二附中·期中）如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成.已知灯口圆的直径为，灯的深度为40cm.将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.为了保证发出的光线经过反射之后平行射出，光源应安置在抛物线的焦点位置，此时光源与顶点相距__________.    【答案】/ 【分析】在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系，利用代入法进行求解即可； 【详解】   以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为x轴（抛物线开口方向是x轴的正方向），以1cm为单位长度， 则可设抛物线的标准方程为. 灯口圆与轴截面在第一象限内的交点A的坐标为， 代入抛物线方程得， 解得，则焦点坐标为. 故光源应安置在与顶点相距处； 故答案为： 8．（25-26高二上·上海曹杨二中·期中）设为坐标原点，已知双曲线与抛物线，抛物线的准线过双曲线的焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若，则双曲线的离心率为___________． 【答案】 【分析】先得到双曲线焦点，，利用点到直线距离公式得到，结合题目条件得到，，，再由三角形相似得到方程，求出，将其代入抛物线方程，得到关于的齐次式，求出离心率. 【详解】设双曲线的焦距为， 因为抛物线的准线过双曲线的焦点，所以，故， 又到渐近线的距离，即， 因为，所以， 所以，所以，则， 所以，， 过点作⊥轴，则， 故，即， 解得，则， 由于在抛物线上，故， 即 ， 解得或（舍去），故. 故答案为： 地 城 考点04 点差法 一、单选题 1．（25-26高二上·上海交通大学附中·期中）已知曲线的对称中心为O，若对于上的任意一点A，都存在上两点B，C，使得O为的重心，则称曲线为“自稳定曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”． 则（    ） A．①是假命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①②都是假命题 D．①②都是真命题 【答案】B 【分析】设出椭圆、双曲线方程及点的坐标，结合三角形重心坐标公式利用点的坐标求出直线方程，再与椭圆或双曲线方程联立，判断是否有两个不同解即得. 【详解】椭圆是“自稳定曲线”. 设椭圆方程为，令，则，设， 由是的重心，知，直线过点，    当时，若，直线与椭圆有两个交点，符合题意， 若，直线与椭圆有两个交点，符合题意， 则当，即时，存在两点，使得的重心为原点， 同理，当，即时，存在两点，使得的重心为原点， 当时，，两式相减得， 直线的斜率，方程为，即， 由消去并整理得：， ，即直线与椭圆交于两点，且是的重心， 即当时，对于点，在椭圆上都存在两点，使得为的重心， 综上，椭圆上任意点，在椭圆上都存在两点，使得为重心，①为真命题； 双曲线不是“自稳定曲线”. 由对称性，不妨令双曲线方程为，令，则，设， 假设是的重心，则，直线过点， 当时，直线或直线与双曲线都不相交，因此， ，两式相减得， 直线的斜率，方程为，即， 由消去并整理得：， ，即直线与双曲线不相交， 所以不存在双曲线，其上点及某两点，为的重心，②是假命题. 故选：B 二、填空题 2．（25-26高二上·华东师大附属东昌中学·期中）若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是________. 【答案】 【分析】设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程，作差可得斜率，再由直线方程的点斜式得答案． 【详解】设弦的两个端点分别为，， 则，， 两式相减可得， 所以， 所以弦所在的直线方程为，即. 故答案为：. 3．（25-26高二上·上海华师大二附中·期中）已知椭圆，是椭圆上的两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用点差法可得到，进一步可得到线段的垂直平分线的方程，令，可得到，再根据的范围可得答案. 【详解】设， 因为 和 在椭圆上，所以：，两式相减得： ， 设 的中点为 ， 则：， 的斜率 ，因此：， 设线段的垂直平分线的斜率 满足 ，因此： 线段的垂直平分线过中点 ，其方程为：， 令 ：， 因为 的中点在椭圆内部，所以 所以.故答案为： 地 城 考点05 直线与圆锥曲线的位置关系 一、填空题 1．（25-26高二上·华东师大附属东昌中学·期中）如图，已知直线与抛物线相交于两点，且两点在抛物线准线上的投影分别是，若，则的值是___________．    【答案】/ 【分析】首先根据已知条件得到为中点，再设出，得到，分别代入抛物线方程即可得到，再求斜率即可. 【详解】因为直线恒过，抛物线的准线为， 设直线与准线交于，如图所示：    因为，所以为中点. 设，则，. 所以， 所以.故答案为： 二、解答题 2．（25-26高二上·上海华师大二附中·期中）已知双曲线，其右顶点为，右焦点为. (1)求以为圆心，且与双曲线的两条渐近线都相切的圆的标准方程； (2)设直线经过且与的两条渐近线中的一条平行，与另一条相交且交点在第一象限.求直线被（1）中圆截得的弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用圆心到渐近线的距离公式求得半径，结合圆心坐标求解； （2）得到直线方程，利用弦长公式计算. 【详解】（1）因为双曲线， 故右顶点的坐标为， 其渐近线方程为， 则点到渐近线的距离为，即所求圆的半径为， 则所求圆的标准方程为 （2）依题可知直线的斜率为， 又的坐标为， 所以直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离为， 所以弦长为 3．（25-26高二上·上海大学附属中学·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点. (1)求的周长： (2)已知点是椭圆上第一象限的点且，求点的坐标； (3)过点且与垂直的直线交椭圆于两点，若四边形的面积为，求直线的方程； 【答案】(1)8 (2) (3)或或或. 【分析】（1）求出的值，得利用焦点三角形的周长即可； （2）设，结合数量积公式计算结合椭圆方程计算求解； （3）分斜率不存在或斜率为0和斜率存在且不为0两种情况，设直线联立得出弦长结合面积公式计算求斜率即可. 【详解】（1）因为椭圆，所以， 由椭圆几何定义得的周长. （2）由题意，设，，， 故有， 解得，所以点的坐标为， （3）当斜率不存在或斜率为0时，得，与条件矛盾舍去， 故斜率存在且不为0时， 设， ， 故， 同理， 所以或， 故直线方程为或或或. 4．（25-26高二上·上海华师大二附中·期中）已知抛物线，其准线方程为，直线过点且与抛物线交于两点，为坐标原点. (1)求抛物线的方程； (2)当时，求证：的值与直线的倾斜角的大小无关； (3)若为抛物线上的动点，记的最小值为，求函数的解析式. 【答案】(1)； (2) 设直线：，点， 由消去得，则， 因此，为常数， 所以的值与直线的倾斜角的大小无关.    (3). 【分析】（1）根据准线方程求出，即可求出抛物线的方程. （2）设直线方程为，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及数量积的坐标表示计算得证. （3）设，用表示，再借助二次函数的性质求出. 【详解】（1）由抛物线的准线方程为，得，解得， 所以抛物线的方程为. （2）略 （3）设，则，，， 令，函数图象的对称轴为直线， 当，即时，，则； 当，即时，，则， 所以. 5．（25-26高二上·上海华师大二附中·期中）在沿海或岛屿上选择三个适当的地点，建立一个主导航台和两个副导航台.船上的定位仪能接收从三个台发来的无线电信号.现设导航台和相距500海里，在船的定位仪上读得两台同时发出的无线电信号到达的时间差为（表示微秒，）.已知无线电在空气中传播的速度为161987海里/秒.以的方向为轴正方向､线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系. (1)试确定船所在的曲线的方程（数值精确到整数）； (2)已知副导航台的坐标为，三个台同时发出无线电信号，船先收到了发来的信号，又读得和发出的无线电信号到达的时间差为0，求船的位置（数值精确到整数）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据题意求出的值，再根据双曲线的定义判断，最后根据双曲线的标准方程即可求出； （2）根据题意求出线段的垂直平分线的方程，再联立双曲线方程，解方程即可. 【详解】（1） 设船的坐标为，导航台和相距500海里，即，即， 两台同时发出的无线电信号到达的时间差为，无线电在空气中传播的速度为161987海里/秒， 可得海里，即， ,根据双曲线的定义可知船所在的曲线是以为焦点的双曲线， ， 双曲线的焦点在轴上，故其标准方程为， 故船所在的曲线的方程为. （2）船先收到了发来的信号，又读得和发出的无线电信号到达的时间差为0， ，船在线段的垂直平分线上， 又，线段的中点坐标为， 直线的斜率为，则线段的垂直平分线的斜率为， 线段的垂直平分线的方程为， 联立，得，得， 解得或， 当时，；当时，， 船先收到了发来的信号，故船在双曲线的右支上， 故船的位置为. 6．（25-26高二上·上海交大附中·期中）已知动圆过定点，且与直线相切，其中. (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)设，是轨迹上异于原点的两个不同点，若以为直径的圆恰好过点，证明直线恒过定点，并求出该定点坐标； (3)设，是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当时，证明直线恒过定点，并求出该定点坐标. 【答案】(1)； (2) 易知直线的斜率不为0，设其方程为，，， 联立，得， 则，， 由题意知，， 即， 利用韦达定理代入得，整理得， 因为直线不过原点，故，所以， 即直线方程为，过定点. (3) 证明：设，，由题意得（否则，且，， 所以直线的斜率存在，设其方程为， 显然，．即，， 把代入得， 由韦达定理知，，， 由得， 韦达定理代入上式，整理化简得，， 此时，直线的方程可表示为：，即， 令，解得， 直线恒过定点． 【分析】（1）设动圆圆心为，则，由此能导出所求动圆圆心的轨迹的方程． （2）设出直线方程，联立抛物线方程消元，利用韦达定理代入整理可得； （3）设，，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，由得，由此能求出直线过定点坐标． 【详解】（1）设动圆圆心为，依题意可得， 整理得， 所求动圆圆心的轨迹的方程是. （2）略 （3）略 7．（25-26高二上·上海交通大学附属中学·期中）已知椭圆的离心率为，短轴长为2，椭圆上有两点关于原点对称，动点与两点的连线分别交椭圆于点，满足，. (1)求椭圆的方程； (2)求动点的轨迹方程； (3)过点作椭圆的两条切线（与坐标轴不垂直），试探究两切线斜率乘积是否为定值？ 【答案】(1) (2) (3)为定值，证明如下： 如图，作出符合题意的图形， 由题设，切线的斜率必定存在，设斜率为，得到切线方程为， 联立方程组， 得到， 因为直线与椭圆相切，所以， 可得， 化简得， 设过的两条切线的斜率分别为， 因为的轨迹方程为，所以解得， 由韦达定理得. 【分析】（1）利用椭圆的性质并结合题意建立方程，求出基本量，进而得到椭圆方程即可. （2）结合题意，设出点的坐标，利用得到，利用得到，再将两式相加即可. （3）设出切线方程并联立方程组得到，再结合判别式得到，最后利用韦达定理求解即可. 【详解】（1）因为椭圆的短轴长为2，离心率为，所以，， 由椭圆的性质得，且，解得，， 则椭圆的方程为. （2）设， 而关于原点对称，则，可得，， 因为，所以，解得， 可得，因为在椭圆上，所以其坐标满足， 则，化简得， 而，， 因为，所以， 解得，则， 因为在椭圆上，所以其坐标满足， 则，化简得， 两式相加可得，即. （3）略 8．（25-26高二上·上海曹杨二中·期中）已知抛物线的焦点为． (1)若点在抛物线上，求的值； (2)设，直线与抛物线交于两点，若抛物线上存在点满足，求证：； (3)设四边形的顶点均在抛物线上，直线过抛物线的焦点，对角线交于点，若点的横坐标的取值范围是，求直线斜率的取值范围． 【答案】(1)6； (2) 抛物线的焦点为，由， 得： 联立直线与抛物线，得， 故，. 因此，. 因在抛物线上，故. 直线与抛物线有两交点，判别式， 代入得：， 又，故. (3) 【分析】（1）利用抛物线定义求焦半径； （2）结合向量运算与韦达定理，通过判别式限制参数范围； （3）利用抛物线弦的纵坐标性质求点坐标，化简斜率表达式后分析取值范围. 【详解】（1）点在抛物线上，代入得. 抛物线的焦点为，准线为. 由抛物线定义，抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离，故. （2）略 （3）设， 设直线的方程为， 由消去并化简得， ，则， 则，，故. 直线过，联立与抛物线，得， 故，，即. 同理，直线过，得，，即. 直线的斜率：， 令，，则. 令，. 函数在上递增： 当（即），，故； 当（即），，故. 综上所述，的取值范围是. 9．（25-26高二上·华东师大附属东昌中学·期中）已知椭圆的标准方程为 ，定点，直线l与椭圆交于两点且不过原点． (1)求椭圆的焦点坐标，并且指出椭圆上的任意一点到椭圆右焦点的距离的取值范围（直接写出结果，可以不用证明）； (2)若，求证：直线l经过定点，并求出定点的坐标； (3)若直线的斜率分别为，且 求面积的取值范围． 【答案】(1)，；范围为； (2) 证明： 直线l与椭圆交于两点且不过原点，设直线的方程为， 联立椭圆方程得， 设点， ， ，， ， 即，整理得， 即， 若，则直线方程为，过点，与与不重合矛盾，舍去； 若，则直线方程为，过定点． (3). 【分析】（1）利用椭圆的标准方程求出，从而得出焦点坐标，利用椭圆的几何性质得出椭圆上的任意一点到椭圆右焦点的距离的取值范围； （2）根据题意设直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理结合垂直关系构造方程，从而求出定点坐标； （3）根据题意设直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理结合斜率关系构造方程，求出斜率及相关参数取值范围，利用面积公式构造函数，从而求出面积取值范围． 【详解】（1）椭圆方程为， ， ，则， 焦点坐标为， 椭圆的长半轴为， 椭圆上的任意一点到椭圆右焦点的距离． （2）略 （3） 直线l与椭圆交于两点且不过原点，设直线的方程为， 联立椭圆方程得， ， 设点， ， ，是上的点， ，， ， ， ， ，， ，化简得，解得， ， ， ， ，， 直线不过原点， ，， 令，则， 当，即时在坐标轴上，不合题设， 当时，，当或2时，， 面积的取值范围是． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 椭圆双曲线与抛物线 5大高频考点概览 考点01椭圆 考点02双曲线 考点03抛物线 考点04点差法 考点05直线与圆锥曲线的位置关系 地 城 考点01 椭圆 一、单选题 1．（25-26高二上·上海华师大二附中·期中）用离心率作为衡量指标，下列四个椭圆中（    ）最接近圆. A． B． C． D． 2．（25-26高二上·上海市回民中学·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D．或 3．（25-26高二上·上海交通大学附属中学·期中）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则（    ）      A． B． C． D． 二、填空题 4．（25-26高二上·华东师大附属东昌中学·期中）椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为_________. 5．（25-26高二上·上海曹杨二中·期中）椭圆的长轴长为___________． 6．（25-26高二上·上海大学附属中学·期中）椭圆的焦距为__________. 7．（25-26高二上·上海大学附属中学·期中）设椭圆的焦距为，若，则椭圆的离心率为___________． 8．（25-26高二上·上海华师大二附中·期中）若椭圆焦点为，且长半轴的长等于5，则该椭圆的标准方程为__________. 9．（25-26高二上·上海华师大二附中·期中）已知直线经过椭圆的右焦点，并与椭圆交于两点，其左焦点为，则的周长为__________. 10．（25-26高二上·上海华师大二附中·期中）我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中.如图，点是相应椭圆的焦点.若是边长为1的等边三角形，则__________. 11．（25-26高二上·华东师大附属东昌中学·期中）已知焦点在x轴上的椭圆以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线有公共点，则C的离心率的取值范围是____． 12．（25-26高二上·上海大学附属中学·期中）已知实数满足：，则的最大值为__________. 三、解答题 13．（25-26高二上·上海曹杨二中·期中）已知，椭圆． (1)若椭圆的两个焦点和一个短轴顶点构成面积为2的三角形，求椭圆的方程和离心率； (2)设点的坐标为 ，为椭圆上的动点，若为椭圆右顶点时，取到最小值，求的取值范围． 地 城 考点02 双曲线 一、单选题 1．（25-26高二上·上海华师大二附中·期中）已知曲线．下列结论错误的为（    ） A．若，则是圆，其半径为 B．若，则是椭圆，其焦点在轴上 C．若，则是双曲线，其渐近线方程为 D．若，，则是两条直线 2．（25-26高二上·华东师大附属东昌中学·期中）已知为坐标原点，，点在曲线：上，则的面积（   ） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 3．（25-26高二上·华东师大附属东昌中学·期中）已知曲线：，若直线与的交点的可能个数的集合记为，则下列结论正确的是（   ） ①关于轴对称；  ②；  ③；  ④“”的充要条件是“”． A．①② B．②③④ C．③④ D．①②④ 二、填空题 4．（25-26高二上·华东师大二附·期中）双曲线的实轴长为__________． 5．（25-26高二上·上海曹杨二中·期中）已知双曲线过点，它的一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为___________． 6．（25-26高二上·上海曹杨二中·期中）设为双曲线的左、右焦点，且的离心率为，若点在的左支上，直线与的左支相交于另一点，且，则___________． 7．（25-26高二上·上海交通大学附属中学·期中）已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线上，且满足，倾斜角为锐角的渐近线与线段交于点，且，则的值为______. 8．（25-26高二上·上海交通大学附属中学·期中）已知实数，满足，则的取值范围是______. 三、解答题 9．（25-26高二上·华东师大附属东昌中学·期中）已知双曲线的方程是． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，求的大小． 地 城 考点03 抛物线 一、单选题 1．（25-26高二上·上海曹杨二中·期中）抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·华东师大附属东昌中学·期中）已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·上海交通大学附属中学·期中）如图，设抛物线的焦点为，过轴上一点作直线交于，两点，若，，则（   ）    A．4 B．3 C． D． 二、填空题 4．（25-26高二上·华东师大附属东昌中学·期中）抛物线方程为 ，则此抛物线的焦点坐标为________． 5．（25-26高二上·华东师大二附·期中）焦点在x轴的正半轴，且焦点到准线的距离为4的抛物线标准方程为________. 6．（25-26高二上·上海华师大二附中·期中）若直线l经过抛物线的焦点，与抛物线交于A、B两点，且线段中点的横坐标为2，则线段的长为___． 7．（25-26高二上·上海华师大二附中·期中）如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成.已知灯口圆的直径为，灯的深度为40cm.将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.为了保证发出的光线经过反射之后平行射出，光源应安置在抛物线的焦点位置，此时光源与顶点相距__________.    8．（25-26高二上·上海曹杨二中·期中）设为坐标原点，已知双曲线与抛物线，抛物线的准线过双曲线的焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若，则双曲线的离心率为___________． 地 城 考点04 点差法 一、单选题 1．（25-26高二上·上海交通大学附中·期中）已知曲线的对称中心为O，若对于上的任意一点A，都存在上两点B，C，使得O为的重心，则称曲线为“自稳定曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”． 则（    ） A．①是假命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①②都是假命题 D．①②都是真命题 二、填空题 2．（25-26高二上·华东师大附属东昌中学·期中）若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是________. 3．（25-26高二上·上海华师大二附中·期中）已知椭圆，是椭圆上的两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，则的取值范围是__________. 地 城 考点05 直线与圆锥曲线的位置关系 一、填空题 1．（25-26高二上·华东师大附属东昌中学·期中）如图，已知直线与抛物线相交于两点，且两点在抛物线准线上的投影分别是，若，则的值是___________．    二、解答题 2．（25-26高二上·上海华师大二附中·期中）已知双曲线，其右顶点为，右焦点为. (1)求以为圆心，且与双曲线的两条渐近线都相切的圆的标准方程； (2)设直线经过且与的两条渐近线中的一条平行，与另一条相交且交点在第一象限.求直线被（1）中圆截得的弦长. 3．（25-26高二上·上海大学附属中学·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点. (1)求的周长： (2)已知点是椭圆上第一象限的点且，求点的坐标； (3)过点且与垂直的直线交椭圆于两点，若四边形的面积为，求直线的方程； 4．（25-26高二上·上海华师大二附中·期中）已知抛物线，其准线方程为，直线过点且与抛物线交于两点，为坐标原点. (1)求抛物线的方程； (2)当时，求证：的值与直线的倾斜角的大小无关； (3)若为抛物线上的动点，记的最小值为，求函数的解析式. 5．（25-26高二上·上海华师大二附中·期中）在沿海或岛屿上选择三个适当的地点，建立一个主导航台和两个副导航台.船上的定位仪能接收从三个台发来的无线电信号.现设导航台和相距500海里，在船的定位仪上读得两台同时发出的无线电信号到达的时间差为（表示微秒，）.已知无线电在空气中传播的速度为161987海里/秒.以的方向为轴正方向､线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系. (1)试确定船所在的曲线的方程（数值精确到整数）； (2)已知副导航台的坐标为，三个台同时发出无线电信号，船先收到了发来的信号，又读得和发出的无线电信号到达的时间差为0，求船的位置（数值精确到整数）. 6．（25-26高二上·上海交大附中·期中）已知动圆过定点，且与直线相切，其中. (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)设，是轨迹上异于原点的两个不同点，若以为直径的圆恰好过点，证明直线恒过定点，并求出该定点坐标； (3)设，是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当时，证明直线恒过定点，并求出该定点坐标. 7．（25-26高二上·上海交通大学附属中学·期中）已知椭圆的离心率为，短轴长为2，椭圆上有两点关于原点对称，动点与两点的连线分别交椭圆于点，满足，. (1)求椭圆的方程； (2)求动点的轨迹方程； (3)过点作椭圆的两条切线（与坐标轴不垂直），试探究两切线斜率乘积是否为定值？ 8．（25-26高二上·上海曹杨二中·期中）已知抛物线的焦点为． (1)若点在抛物线上，求的值； (2)设，直线与抛物线交于两点，若抛物线上存在点满足，求证：； (3)设四边形的顶点均在抛物线上，直线过抛物线的焦点，对角线交于点，若点的横坐标的取值范围是，求直线斜率的取值范围． 9．（25-26高二上·华东师大附属东昌中学·期中）已知椭圆的标准方程为 ，定点，直线l与椭圆交于两点且不过原点． (1)求椭圆的焦点坐标，并且指出椭圆上的任意一点到椭圆右焦点的距离的取值范围（直接写出结果，可以不用证明）； (2)若，求证：直线l经过定点，并求出定点的坐标； (3)若直线的斜率分别为，且 求面积的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $