专题02 常用逻辑用语10大题型50题（期中专项训练）高一数学上学期沪教版

专题02 常用逻辑用语 基础·固本强基 题型一、命题的真假判断 题型二、判断充分、必要条件 题型三、判断充分不必要/必要不充分/充要/既不充分也不必要（重点） 题型四、反证法的概念辨析 提升·进阶突破 题型五、根据命题的真假求参数 题型六、由充分、必要条件求参数 题型七、由充分不必要/必要不充分求参数（重点） 题型八、古诗词中的条件判断 拔高·压轴破难 题型九、充要条件的证明（重点） 题型十、反证法的证明（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型一、命题的真假判断 【模型】依托命题定义，可判断真假的陈述句为命题，通过条件推导结论，验证命题是否成立，区分真、假命题。 【步骤】①判断语句是否为陈述句；②由题设条件推导对应结论；③能恒成立为真命题，存在反例为假命题。 【易错】误将疑问句、感叹句当作命题；仅部分成立就判定为真命题，忽略反例验证。 1．“若直线l与圆O存在公共点，则直线l与圆O相切”是________命题．（请在“真”“假”中选择一个填入横线中） 【答案】假 【详解】若直线l与圆O存在公共点， 当直线l与圆O只有一个公共点时，直线l与圆O相切； 当直线l与圆O只有两个公共点时，直线l与圆O相交； 所以“若直线l与圆O存在公共点，则直线l与圆O相切”是假命题． 故答案为：假． 2．下列命题是真命题的是（    ） A．集合的所有子集个数为个 B．梯形的对角线相等 C．对任意一个无理数，也是无理数 D．存在一个无理数，它的立方为有理数 【答案】D 【详解】对于A选项，集合的子集包括，，和，共个，故A错误； 对于B选项，仅等腰梯形的对角线相等，一般梯形的对角线并不相等，故B错误； 对于C选项，令，为无理数，则，为有理数，故C错误； 对于D选项，令，为无理数，则，为有理数，故D正确. 故选：D 3．下列语句中是命题的有________． ①三边对应相等的两个三角形全等 ②如果，则 ③对于任意数，不能被3整除 ④八月的桂花真香啊 ⑤ 【答案】①②③ 【详解】对于①，三边对应相等的两个三角形全等，是真命题； 对于②，如果，则，是假命题； 对于③，对于任意数，不能被3整除，能判断真假，是真命题； 对于④，八月的桂花真香啊，不能判断真假，所以不是命题； 对于⑤，，不能判断真假，所以不是命题. 故答案为：①②③. 4．下列命题为假命题的是（　　） A．有些实数是无限不循环小数 B．每一个末位是0的整数都是5的倍数 C．至少有一个整数，使是4的倍数 D．对任意负数，的平方是正数 【答案】C 【详解】对于A，比如是实数，而且是无限不循环小数，故A正确； 对于B，每一个末位是0的整数都是5的倍数，故B正确； 对于C，假设有一个整数，使是4的倍数，则为偶数， 所以为奇数，可设， 则， 所以除以4余2，则不是4的倍数，与是4的倍数矛盾， 所以假设不成立，则不存在整数，使是4的倍数，故C错误； 对于D，对任意负数，的平方是正数，故D正确. 故选：C 5．关于的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【详解】假设甲为假命题，则乙、丙、丁为真命题， 由乙“是该方程的根”和丙“该方程两根之和为2”可知，方程的另一根为， 此时两根为3和−1，两根异号，所以丁“该方程两根异号”为真， 方程的根为3和−1，不含1，所以甲“是该方程的根”为假，此情况符合题意； 假设乙为假命题，则甲、丙、丁为真命题， 由甲“是该方程的根”和丙“该方程两根之和为2”可知，方程的另一根为1， 此时两根为1和1，两根同号，与丁“该方程两根异号”为真矛盾，故此情况不成立； 假设丙为假命题，则甲、乙、丁为真命题， 由甲“是该方程的根”和乙“是该方程的根”可知，方程的两根为1和3， 此时两根同号，与丁“该方程两根异号”为真矛盾。故此情况不成立； 假设丁为假命题，则甲、乙、丙为真命题， 由甲“是该方程的根”和乙“是该方程的根”可知，方程的两根为1和3， 此时两根之和为，与丙“该方程两根之和为2”为真矛盾，故此情况不成立. 综上所述，只有甲是假命题. 故选：A 题型二、判断充分、必要条件 【模型】基于推出关系判定，若，则是的充分条件，是的必要条件。 【步骤】①明确条件与结论；②验证单向推出关系；③根据推导结果判定充分、必要属性。 【易错】颠倒条件与结论位置；混淆充分、必要条件的推导逻辑，判断反向出错。 6．《齐民要术》是中国杰出农学家贾思勰（xié）所著的一部综合性农学著作，也是中国现存最早的一部完整的农书，被誉为“中国古代农业百科全书”.书中有一句为“顺天时，量地利，则用力少而成功多”；大意是说根据规律办事，就可以用较少的力收获更多的成功.则“用力少而成功多”是“顺天时，量地利”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【详解】设：为顺天时，量地利；为用力少而成功多， 原文：顺天时，量地利，则用力少而成功多，也就是， 所以“用力少而成功多”是 “顺天时，量地利”的必要条件. 7．设，则“”的必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，但，故“”的必要条件可以是“”． 8．对任意实数，给出下列命题，其中真命题是（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”是“ ”的充要条件 【答案】D 【详解】当，时，满足，但，所以由“”推不出“”， 则“”不是“”的充分条件，故A错误； 若“”，则一定有“”， 所以“”是“”的必要条件，故B错误； 当，，时，满足，但， 所以“”不是“”的充要条件，故C错误； ，所以“”是“ ”的充要条件，故D正确． 9．设集合，，那么“”是“”的________条件．（填“充分”或“必要”） 【答案】充分 【详解】由题意得，，所以“”⇒“”，所以“”是“”的充分条件． 10．“”是“方程有实根”的______条件．（用“充分”“必要”填空） 【答案】充分 【详解】充分性：当时，方程为，此时，所以方程有实根，充分性满足. 必要性：方程有实根，等价于，解得.所以必要性不满足. 综上，“”是“方程有实根”的充分条件. 题型三、判断充分不必要/必要不充分/充要/既不充分也不必要 【模型】结合双向推出关系，区分四类条件：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要。 【步骤】①分别验证和；②根据双向推导成立情况；③精准匹配对应条件类型。 【易错】遗漏反向推导验证；混淆充要条件与单向条件，错判等价关系。 11．设，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】因为，，若，可知，则有，可得， 故充分性成立； 由，即，又，可得，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 12．下列选项中，是的必要不充分条件的是（     ） A．p： B．p：，q： C．p：，q： D．p：，q：且 【答案】D 【详解】对于选项A.当时，成立；当时，或， 所以是的充分不必要条件，故A错误. 对于选项B.当时，，故；当时，，故， 所以是的充要条件，故B错误. 对于选项C.当时，（当且仅当时等号成立）， 因此成立，故； 当时，所以可能，故， 所以是的充分不必要条件，故C错误. 对于选项D.当时，不能得到且， 如，，，时不成立，故； 当且时，根据不等式的性质，可知，故， 所以是的必要不充分条件，故D正确. 13．“”是“关于的方程有两个负根”的条件（    ） A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】C 【详解】若的方程有两个负根，则，故. 故关于的方程有两个负根的等价条件为， 而为的真子集， 故“”是“关于的方程有两个负根”的必要不充分条件. 14．下列命题正确的是（     ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的充要条件是“” C．“”是“”的既不充分也不必要条件 D．“，”是“”的必要不充分条件 【答案】A 【详解】对于A，当时，，所以“”是“”的不充分条件； 由，可得，所以，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 对于B，取，满足，但此时无意义， 所以“”是“”的不必要条件； 由，得，所以， 所以“”是“”的充分条件； 所以“”的充分不必要条件是“”，故B错误； 对于C，由，得，解得或. 但得不出或，所以“”是“”的不充分条件； 又或可得出，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件，故C错误； 对于D，当，时，有成立， 所以“，”是“”的充分条件； 而，但，不成立，即由不能得到，， 所以“，”是“”的不必要条件； 所以，“，”是“”的充分不必要条件，故D错误. 15．使或成立的一个充分不必要条件是（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】C 【详解】由题意可得只需满足所选条件组成的集合是集合或的真子集即可. 对于A，因为集合或不是集合或的真子集，故A不正确； 对于B，因为集合或不是集合或的真子集，故B不正确； 对于C，因为集合是集合或的真子集，故C正确； 对于D，因为集合或与集合或相等，不是真子集关系，故D不正确. 题型四、反证法的概念辨析 【模型】间接证明方法，核心是先否定结论，结合已知条件推导矛盾，从而证明原命题成立。 【步骤】①明确原命题结论；②做出相反假设；③辨析反证法原理，区分与直接证明的差异。 【易错】否定结论不彻底；混淆反证法与举反例，概念理解偏差。 16．用反证法证明：已知，，，求证时，应假设（    ） A．已知，且 B．且 C．已知，或 D．或 【答案】D 【详解】由反证法的规则可知，求证时，假设或即可，故D正确. 17．用反证法证明“已知x，，，求证：”时，第一步应假设_______________． 【答案】不都为零 【详解】根据反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立， 而的否定为“不都为零”. 故答案为：不都为零. 18．若要用反证法证明“三角形的内角中最多有一个钝角”，需要假设“三角形的内角中_________. 【答案】至少有两个钝角 【详解】应假设结论的反面，即假设：至少有两个钝角． 故答案为：至少有两个钝角． 提升·进阶突破 题型五、根据命题的真假求参数 【模型】依托命题真假限定条件，结合不等式、方程性质，反向建立参数约束条件求解范围。 【步骤】①根据命题真假列出对应等式或不等式；②化简求解参数范围；③验证取值符合命题要求。 【易错】真假命题对应条件列写错误；未检验边界取值，导致参数范围偏差。 19．已知命题甲：关于的方程有两个不相等的负实数根；命题乙：关于的方程没有实数根．若甲、乙有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】命题甲为真时，则关于的方程有两个不相等的负实数根， 设两根为，则有，解得； 命题乙为真时，则关于的方程没有实数根， 有，解得. 若甲、乙有且只有一个是真命题， 当甲真乙假时，则有，解得； 当甲假乙真时， 则有，解得 . 实数的取值范围是. 故答案为：. 20．已知，关于的方程有整数解是真命题，且关于的一元二次方程有整数解也是真命题，求的值． 【答案】m＝1. 【详解】当时，方程的解为， 方程的解为，不合题意， 故，当时， 关于的方程有解， 则，解得， 关于的一元二次方程有解， 则，解得， 综上所述，且， 因为，则或1， 当时，方程的解不是整数，不符合题意，舍去， 当时，方程和的解均为整数，满足题意， 故． 21．设命题：方程有两个不相等的实数根；命题： (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题真q假，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】 【详解】（1）若命题为真命题，即方程有两个不相等的实数根， 则，解得或， 所以实数的取值范围为或. （2）若命题为真命题，即，解得， 因为真假，则，得或； 所以实数的取值范围为或. 22．已知集合，． (1)若，求实数的值； (2)若，则为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】 【详解】（1）由题得， 因为，所以， 所以， 解得或． 当时，， 此时，满足条件； 当时，，此时，满足条件． 综上，或． （2）因为若，则为真命题， 所以． 当时，， 所以； 当时，由（1）知； 当时，无解，舍去； 当时，无解，舍去． 综上，的取值范围为． 23．已知全集，命题甲：已知集合；命题乙：已知集合，且. (1)若命题甲为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中至少有一个真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）根据题意，， 由于，所以，得， 所以实数的取值范围为； （2）当命题乙是真命题时，方程无正数解， 当方程无解时，即，得，解得； 当方程有唯一解时，即，得，解得或， 当时，此时方程为，解得，不符合条件； 当时，此时方程为，解得，符合条件； 当方程有两个解时，即，得，解得或， 当两个解为负时，则满足，解得, 所以 综上所述，实数a的取值范围是. （3）当命题甲是真命题时，由题意得，解得， 由（2）可知命题乙是真命题时，， 命题甲和乙中至少有一个真命题，得， 综上所述，命题甲和乙中至少有一个真命题，实数a的取值范围为. 24．已知，命题：关于的方程在有两个不相等的实数根：命题对任意的恒成立. (1)若命题为真，求实数的取值范围： (2)若命题为真，求实数的取值范围： (3)若命题与命题恰有一个为真，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3)或. 【分析】 【详解】（1）由题设两根为，则判别式或. 关于的方程在有两个不相等的实数根， 则，由韦达定理：. 则，结合或，可得实数的取值范围为：； （2）即方程无解. 当时，方程显然无解，满足题意； 当时，判别式. 综上可得，实数的取值范围为； （3）由（1）（2）分析，若命题为假，实数的取值范围为； 若命题q假，实数的取值范围为或. 命题与命题恰有一个为真，则真假或假真. 若真假，则； 若假真，则. 综上，实数的取值范围为：或. 题型六、由充分、必要条件求参数 【模型】利用条件包含关系，小范围推大范围，依托建立集合包含关系，求解参数。 【步骤】①将条件转化为对应集合范围；②根据推出关系确定集合包含关系；③列不等式求解参数并验边。 【易错】搞反集合包含方向；忽略区间端点取值，漏判临界情况。 25．已知和，且p是q的必要条件，则实数m的值为（    ） A．0 B．2或 C．或 D．0或或 【答案】D 【详解】解法1  ．因为p是q的必要条件，所以．当，即时，符合题意；当时，由，得或，解得或．综上所述，m的值为0或或． 解法2（代入法）  ，当时，，符合题意；当时，；当时，，均满足题意． 26．已知，其中．若是的必要条件，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【详解】记集合． 因为是的必要条件，所以， 即，所以， 故答案为：. 27．已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，代入集合得, 由，因此， 求补集得. （2）因为“”是“”的充分条件，所以，分两种情况讨论： 当为空集，空集是任意集合的子集，此时满足，解得，符合要求； 当不为空集，需同时满足，解不等式组可得， 综上可得，的取值范围是. 28．已知集合，. (1)若，求，； (2)若是成立的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)，； (2)或． 【分析】 【详解】（1）当时，， . 或，. （2）由题意得， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为或． 29．设全集，集合. (1)当时，求. (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)或． 【分析】 【详解】（1）当时，， 所以，. （2）因为是的充分条件，则， 当时，， 当时，， 综上所述，或． 30．已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】 【详解】（1）当时，，所以， 所以或. （2）因为“”是“”的必要条件，所以， 当时，则，即，符合题意 ； 当时，则，即； 综上所述：a的取值范围. 题型七、由充分不必要/必要不充分求参数 【模型】结合双向推出的集合关系，根据条件的定义，精准限定两个集合的包含、相等关系求参。 【步骤】①转化条件为集合区间；②依据条件类型确定集合关系；③列式求解、检验参数合理性。 【易错】条件对应集合关系混淆，导致列式错误。 31．若不等式成立的一个充分不必要条件是，则整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若，则不等式无解，不符合题意； 若，由，得， 因为不等式成立的一个充分不必要条件是， 所以，等号不同时成立，解得， 当时，由，得， 因为为的真子集， 则是不等式成立的充分不必要条件，符合题意，所以， 故整数的最小值为. 32．已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【详解】根据充分不必要条件的定义，可知区间是区间的真子集， 则有且等号不能同时成立，解得. 故实数的取值范围是. 33．已知命题，命题，若是成立的充分不必要条件，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】设命题对应的集合为，命题对应的集合为， 因为是成立的充分不必要条件，所以，需满足不等式组， 解第一个不等式得，解第二个不等式得， 因此实数的取值范围是. 34．若“条件：”是“条件：”的充分非必要条件，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】设条件对应的集合为，条件对应的集合为. 由是的充分非必要条件，可得真包含于. 首先为非空数集，因此，解得. 再由真包含关系列不等式组： ， 解第一个不等式得，解第二个不等式得. 取所有不等式解集的交集，得， 验证可知此时是的真子集，满足充分非必要条件. 故的取值范围是. 35．已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为p是q的充分不必要条件， 所以是的真子集， 则，且两个等号不同时成立，得， 故实数m的取值范围是. 36．设集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】 【详解】（1）当 时，集合， 分式不等式等价于：， 解得：，即 ， 因为集合 ， 由 ， 解得： 或 ，即 ， 因此：. （2）因为，则， 解得：，即 ， 则， 由题意，“”是“”的必要不充分条件， 即 ，且 ，则， 因此：， 解得：，所以 37．已知集合． (1)若，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，， 则； （2）因为， 由是的必要不充分条件，得⫋， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为. 题型八、古诗词中的条件判断 【模型】剥离古文语句中的逻辑关系，转化为数学的条件与结论，进而判断充分、必要条件。 【步骤】①翻译诗句核心含义；②提取条件与结论；③依据推导关系判定条件类型。 【易错】语句翻译偏差，找错条件与结论；主观臆断逻辑，不按推导规则判断。 38．“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由题意：其身正，不令而行，即身正令行，故“身正”是“令行”的充分条件； 又其身不正，虽令不从，即令行身正，所以“身正”是“令行”的必要条件， 综合知“身正”是“令行”的充要条件， 故选：C． 39．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《出塞》传诵至今，“秦时明月汉时关，万里长征人未还．但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”，由此推断，其中最后一句“不教胡马度阴山”是“但使龙城飞将在”的（    ） A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】由题意可知龙城飞将在，不教胡马度阴山， 而不教胡马度阴山，不一定是龙城飞将在， 所以“不教胡马度阴山”是“但使龙城飞将在”的必要条件， 故选：A 40．《墨子·经上说》：“小故：有之不必然，无之必不然.体也，若有端.大故：有之必然，若见之成见也”.则“有之必然”表述的数学关系是（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由题意可知“大故”必然有其原因，有其原因必然会发生， 所以“有之必然”表述的数学关系是充分条件， 故选：A 41．明——罗贯中《三国演义》第49回“欲破曹公，宜用火攻;万事倶备，只欠东风”，比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件.你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要条件，但不是充分条件. 故选：B. 42．有网友将王之涣的《凉州词》中的名句“羌笛何须怨杨柳，春风不度玉门关”调侃改写成“奈何羌笛怨杨柳，春风不度玉门关”，意思是“羌笛怨杨柳，导致春风不度玉门关（羌笛不怨杨柳，春风度不度玉门关就不知道了）”，照此网友的说法推断，“春风度玉门关”是“羌笛不怨杨柳”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】通过充分性及必要性判断捋清逻辑关系，即得答案 【分析】 【详解】略 拔高·压轴破难 题型九、充要条件的证明 【模型】充要条件需双向证明，既要证充分性，又要证必要性。 【步骤】①先证充分性：条件推结论；②再证必要性：结论推条件；③双向成立即为充要条件。 【易错】只证单向、遗漏另一重证明；充分性与必要性证明顺序混淆。 43．设函数，且，证明：对于，的充要条件是. 【答案】 证明：因为，所以函数图象的对称轴为直线， 所以. 先证充分性：因为，且，所以； 再证必要性：因为对于，，所以，即，从而. 综上可知，对于，的充要条件是. 【分析】先求出函数的最小值，再分别证明充分性和必要性即可. 【详解】略 44．设分别是的三条边，且，则为直角三角形的充要条件是.试用边长探究为锐角三角形的一个充要条件，并证明. 【答案】为锐角三角形的充要条件为. 证明：充分性：若，则不是直角三角形. 若为钝角三角形，因为，则. 过点B作的延长线的垂线，垂足为D（如图（1））， 由勾股定理知 ，矛盾， 故为锐角三角形，充分性成立. 必要性：过点A作边的垂线，垂足为D(如图(2))， 由勾股定理知， ， 故必要性成立. 故为锐角三角形的充要条件为. 【详解】略 45．证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件. 【答案】证明:充分性：若，则关于的方程有一正一负根，证明如下： 当时，， 所以方程有两个不相等的实根， 设两根分别为，，则，所以方程有一正一负根， 故充分性成立， 必要性：若“关于的方程有一正一负根”，则，证明如下： 设方程一正一负根分别为，，则， 所以，所以若“关于的方程有一正一负根”，则， 故必要性成立， 所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件. 【详解】略. 46．已知集合，试证明“”是“”的充要条件． 【答案】 证明：充分性：若“”，则，充分性满足； 必要性：若“”，则， 所以 ， 所以是方程的一个解， 所以“”，必要性满足. 【详解】略 题型十、反证法的证明 【模型】通过反设结论、推导矛盾完成证明，适用于正面证明复杂、含至多至少、唯一类命题。 【步骤】①否定原命题结论并反设；②结合已知推导矛盾；③否定假设，确认原命题成立。 【易错】反设错误、否定不完整；推导矛盾过程牵强，逻辑不严谨。 47．证明：对于三个实数a、b、c，若，则或． 【答案】证明如下： 用反证法证明， 假设结论不成立，即且，则，与矛盾. 所以若，则或成立. 【详解】略 48．已知且，求证：中至少有一个大于0． 【答案】证明见解析 【详解】假设都不大于0，即，则， 由， 可得 ， 即，这与矛盾， 所以假设错，原命题成立，即中至少有一个大于0. 49．用反证法证明：“已知，若，则.” 【答案】 假设， 则， 与矛盾， 故假设不成立，所以原命题成立. 【详解】略 50．已知实数p满足不等式，用反证法证明：关于x的方程无实数根. 【答案】证明过程见解析. 【详解】证明：假设方程有实根， 则关于x的方程的判别式， 或① 又由已知实数p满足不等式，解得② 而①②的交集为空集，即 假设不成立， 故关于x的方程0无实数根. $专题02 常用逻辑用语 基础·固本强基 题型一、命题的真假判断 题型二、判断充分、必要条件 题型三、判断充分不必要/必要不充分/充要/既不充分也不必要（重点） 题型四、反证法的概念辨析 提升·进阶突破 题型五、根据命题的真假求参数 题型六、由充分、必要条件求参数 题型七、由充分不必要/必要不充分求参数（重点） 题型八、古诗词中的条件判断 拔高·压轴破难 题型九、充要条件的证明（重点） 题型十、反证法的证明（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型一、命题的真假判断 【模型】依托命题定义，可判断真假的陈述句为命题，通过条件推导结论，验证命题是否成立，区分真、假命题。 【步骤】①判断语句是否为陈述句；②由题设条件推导对应结论；③能恒成立为真命题，存在反例为假命题。 【易错】误将疑问句、感叹句当作命题；仅部分成立就判定为真命题，忽略反例验证。 1．“若直线l与圆O存在公共点，则直线l与圆O相切”是________命题．（请在“真”“假”中选择一个填入横线中） 2．下列命题是真命题的是（    ） A．集合的所有子集个数为个 B．梯形的对角线相等 C．对任意一个无理数，也是无理数 D．存在一个无理数，它的立方为有理数 3．下列语句中是命题的有________． ①三边对应相等的两个三角形全等 ②如果，则 ③对于任意数，不能被3整除 ④八月的桂花真香啊 ⑤ 4．下列命题为假命题的是（　　） A．有些实数是无限不循环小数 B．每一个末位是0的整数都是5的倍数 C．至少有一个整数，使是4的倍数 D．对任意负数，的平方是正数 5．关于的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 题型二、判断充分、必要条件 【模型】基于推出关系判定，若，则是的充分条件，是的必要条件。 【步骤】①明确条件与结论；②验证单向推出关系；③根据推导结果判定充分、必要属性。 【易错】颠倒条件与结论位置；混淆充分、必要条件的推导逻辑，判断反向出错。 6．《齐民要术》是中国杰出农学家贾思勰（xié）所著的一部综合性农学著作，也是中国现存最早的一部完整的农书，被誉为“中国古代农业百科全书”.书中有一句为“顺天时，量地利，则用力少而成功多”；大意是说根据规律办事，就可以用较少的力收获更多的成功.则“用力少而成功多”是“顺天时，量地利”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 7．设，则“”的必要条件是（   ） A． B． C． D． 8．对任意实数，给出下列命题，其中真命题是（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”是“ ”的充要条件 9．设集合，，那么“”是“”的________条件．（填“充分”或“必要”） 10．“”是“方程有实根”的______条件．（用“充分”“必要”填空） 题型三、判断充分不必要/必要不充分/充要/既不充分也不必要 【模型】结合双向推出关系，区分四类条件：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要。 【步骤】①分别验证和；②根据双向推导成立情况；③精准匹配对应条件类型。 【易错】遗漏反向推导验证；混淆充要条件与单向条件，错判等价关系。 11．设，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 12．下列选项中，是的必要不充分条件的是（     ） A．p： B．p：，q： C．p：，q： D．p：，q：且 13．“”是“关于的方程有两个负根”的条件（    ） A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 14．下列命题正确的是（     ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的充要条件是“” C．“”是“”的既不充分也不必要条件 D．“，”是“”的必要不充分条件 15．使或成立的一个充分不必要条件是（    ） A．或 B．或 C． D．或 题型四、反证法的概念辨析 【模型】间接证明方法，核心是先否定结论，结合已知条件推导矛盾，从而证明原命题成立。 【步骤】①明确原命题结论；②做出相反假设；③辨析反证法原理，区分与直接证明的差异。 【易错】否定结论不彻底；混淆反证法与举反例，概念理解偏差。 16．用反证法证明：已知，，，求证时，应假设（    ） A．已知，且 B．且 C．已知，或 D．或 17．用反证法证明“已知x，，，求证：”时，第一步应假设_______________． 18．若要用反证法证明“三角形的内角中最多有一个钝角”，需要假设“三角形的内角中_________. 提升·进阶突破 题型五、根据命题的真假求参数 【模型】依托命题真假限定条件，结合不等式、方程性质，反向建立参数约束条件求解范围。 【步骤】①根据命题真假列出对应等式或不等式；②化简求解参数范围；③验证取值符合命题要求。 【易错】真假命题对应条件列写错误；未检验边界取值，导致参数范围偏差。 19．已知命题甲：关于的方程有两个不相等的负实数根；命题乙：关于的方程没有实数根．若甲、乙有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是__________． 20．已知，关于的方程有整数解是真命题，且关于的一元二次方程有整数解也是真命题，求的值． 21．设命题：方程有两个不相等的实数根；命题： (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题真q假，求实数的取值范围. 22．已知集合，． (1)若，求实数的值； (2)若，则为真命题，求实数的取值范围． 23．已知全集，命题甲：已知集合；命题乙：已知集合，且. (1)若命题甲为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中至少有一个真命题，求实数的取值范围. 24．已知，命题：关于的方程在有两个不相等的实数根：命题对任意的恒成立. (1)若命题为真，求实数的取值范围： (2)若命题为真，求实数的取值范围： (3)若命题与命题恰有一个为真，求实数的取值范围. 题型六、由充分、必要条件求参数 【模型】利用条件包含关系，小范围推大范围，依托建立集合包含关系，求解参数。 【步骤】①将条件转化为对应集合范围；②根据推出关系确定集合包含关系；③列不等式求解参数并验边。 【易错】搞反集合包含方向；忽略区间端点取值，漏判临界情况。 25．已知和，且p是q的必要条件，则实数m的值为（    ） A．0 B．2或 C．或 D．0或或 26．已知，其中．若是的必要条件，则实数的取值范围是_____． 27．已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围． 28．已知集合，. (1)若，求，； (2)若是成立的充分条件，求实数的取值范围. 29．设全集，集合. (1)当时，求. (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 30．已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求a的取值范围． 题型七、由充分不必要/必要不充分求参数 【模型】结合双向推出的集合关系，根据条件的定义，精准限定两个集合的包含、相等关系求参。 【步骤】①转化条件为集合区间；②依据条件类型确定集合关系；③列式求解、检验参数合理性。 【易错】条件对应集合关系混淆，导致列式错误。 31．若不等式成立的一个充分不必要条件是，则整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 32．已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 33．已知命题，命题，若是成立的充分不必要条件，则实数的取值范围是______. 34．若“条件：”是“条件：”的充分非必要条件，则的取值范围是__________． 35．已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是______． 36．设集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的值． 37．已知集合． (1)若，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 题型八、古诗词中的条件判断 【模型】剥离古文语句中的逻辑关系，转化为数学的条件与结论，进而判断充分、必要条件。 【步骤】①翻译诗句核心含义；②提取条件与结论；③依据推导关系判定条件类型。 【易错】语句翻译偏差，找错条件与结论；主观臆断逻辑，不按推导规则判断。 38．“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 39．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《出塞》传诵至今，“秦时明月汉时关，万里长征人未还．但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”，由此推断，其中最后一句“不教胡马度阴山”是“但使龙城飞将在”的（    ） A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 40．《墨子·经上说》：“小故：有之不必然，无之必不然.体也，若有端.大故：有之必然，若见之成见也”.则“有之必然”表述的数学关系是（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 41．明——罗贯中《三国演义》第49回“欲破曹公，宜用火攻;万事倶备，只欠东风”，比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件.你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 42．有网友将王之涣的《凉州词》中的名句“羌笛何须怨杨柳，春风不度玉门关”调侃改写成“奈何羌笛怨杨柳，春风不度玉门关”，意思是“羌笛怨杨柳，导致春风不度玉门关（羌笛不怨杨柳，春风度不度玉门关就不知道了）”，照此网友的说法推断，“春风度玉门关”是“羌笛不怨杨柳”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 拔高·压轴破难 题型九、充要条件的证明 【模型】充要条件需双向证明，既要证充分性，又要证必要性。 【步骤】①先证充分性：条件推结论；②再证必要性：结论推条件；③双向成立即为充要条件。 【易错】只证单向、遗漏另一重证明；充分性与必要性证明顺序混淆。 43． 设函数，且，证明：对于，的充要条件是. 44．设分别是的三条边，且，则为直角三角形的充要条件是.试用边长探究为锐角三角形的一个充要条件，并证明. 45．证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件. 46．已知集合，试证明“”是“”的充要条件． 题型十、反证法的证明 【模型】通过反设结论、推导矛盾完成证明，适用于正面证明复杂、含至多至少、唯一类命题。 【步骤】①否定原命题结论并反设；②结合已知推导矛盾；③否定假设，确认原命题成立。 【易错】反设错误、否定不完整；推导矛盾过程牵强，逻辑不严谨。 47．证明：对于三个实数a、b、c，若，则或． 48．已知且，求证：中至少有一个大于0． 49．用反证法证明：“已知，若，则.” 50．已知实数p满足不等式，用反证法证明：关于x的方程无实数根. $