数列通项公式的常见求法专项训练-2027届高三数学一轮复习

数列通项公式的常见求法 一、知识点梳理 （一）由 求 数列的前 项和 。由 求 用 （），而 必须单独求。三步走：先由 求首项，再用 写出 时的表达式，最后检验 能否并入。本讲用到的全部工具，都出自教材「数列」一章的递推关系与通项公式。 条件里同时出现 与 时有两个转化方向：用 消去 ，得到 与 的递推式；或者把 换成 后消去 ，得到 与 的关系式。往哪个方向走，看所求的是 还是 。 若条件给的是前 项「积」，记 ，则 ，而 时 。把 换成这个比值，就能把关于积的条件化成关于 的关系式。 （二）累加法与累乘法 累加法：若递推式能整理成 （）的形式，就把 依次取 ，，， 得到的 个等式左、右分别相加。左边首尾相消只剩 ，右边是 ，于是 。 用累加法的前提是 的和能算出来，常见的有等差数列的和、等比数列的和，以及 这类可以逐项相消的形式。化不出和式的递推式不适合用累加。 累乘法：若递推式能整理成 （，且各项不为 ）的形式，就把 个等式左、右分别相乘，左边首尾相消只剩 ，于是 。两种方法的收尾一样：都要把算出的结果代回 检查能否统一。 （三）构造等比数列：待定系数法 形如 （，，）的递推式，设 ，展开后与已知式子比较系数，得 。于是 是公比为 的等比数列，先写出它的通项，再减掉 就得到 。 递推式里的常数项换成与 有关的一次式，即 （）时，把常数改成同一形式的一次式：设 ，比较系数解出 、；若比较后发现一次项配不平，说明这个递推式要整体除以 再处理。 递推式里含 这种与 有关的指数项，即 （）时，两边同除以 ，把 看成一个新数列，它就回到上面第一种形状。当 时同除以 后得到的是等差关系，不必再配常数。 （四）取倒数与取对数 递推式形如 时，两边取倒数得，记 ，它就变成 的形状，按上一节的方法构造即可。取倒数的前提是每一项都不为 ，动笔前要交代一句。 特别地，若 ，取倒数后得到 ，这时 直接是等差数列，比构造等比更省事。题目里的分式若不是 的形状，先通分整理成这个形状再取倒数。 递推式形如 （各项均为正）时，两边取同底对数，得 ，于是 是公比为 的等比数列，先求出 再还原。取对数要求各项都大于 ，这一点在题目里往往会明确给出。 下结论前自查三件事：用 时有没有限定 、有没有单独检验 ；用累乘或取倒数、取对数时有没有交代「各项不为 」或「各项为正」；构造出的新数列有没有写清首项与公比。 二、典型例题 例1　构造等差数列：把含 的条件整理成形 已知数列 的前 项和为 ，，（），求 。 ①把 换成两个和之差　用 代入条件，把式子里的 全部消掉。 ②整理成 与 的关系　移项、两边同除以 ，让相邻两项的结构一致。 ③认出等差并求和　说明 是等差数列，写出它的通项后乘回去。 注：条件里既有 又有 时，用 统一成只含 的式子，再同除以 ，就能凑出等差数列。 【答案】。 由 及 得。 整理得 ，两边同除以 得 。 所以 是首项为 、公差为 的等差数列。 于是 ，所以 。 变式1　构造等差数列：由三项递推先凑差，再累加 已知数列 满足 ，，且对任意的 ，都有 。（1）设 ，证明数列 是等差数列，并求 ；（2）求 的通项公式。 ①把三项递推改成差的形式　由 推出，说明 是等差数列。 ②先求出 　用 的式子结合 、 解出 ，得到 。 ③累加求 　把 用等差求和公式算出，即得 。 【答案】（1）；（2）。 （1）由 得 （）。于是 ，即 ，所以 是等差数列。 取 ，得 ，即 ，解得 ，所以 。 所以 。 （2）当 时，。括号内共 项、首项为 、末项为 ，其和为 。 所以 ，把 代入得 ，与已知相符，故通项对一切 成立。 例2　累乘法：把相邻两项的比累乘起来 已知数列 满足 ，（），求 的通项公式。 ①改写成比值形式　两边同除以 ，把递推式化成。 ②累乘　把 ，，， 的等式相乘，左边只剩 。 ③约分求积　分子分母分别约分，分子留下 ，分母留下 的幂与 约掉后的结果。 注：递推式里 的系数是 的分式时，把系数移到左边就得到相邻项的比，累乘后分子分母的连乘大多能约掉，只剩首末两项。 【答案】。 由 及递推式知各项均不为 ，两边同除以 得 。 把 ，，， 时的等式相乘，得 。 右端分子为 ，分母为 ，所以 。 所以 。 变式2　累乘法：比值是幂的形式 已知数列 满足 ，（），求 的通项公式。 ①写成比值形式　两边同除以 ，得 。 ②累乘并合并指数　把 ，，， 的等式相乘，右边是同底数的幂，指数相加。 ③算指数和　指数 用等差数列求和公式算出，再与首项 合并。 【答案】。 由 及递推式知各项均不为 ，两边同除以 得 。 把 ，，， 时的等式相乘，得。 由 ，得。 所以 。 例3　由 消元求通项：得到的是等比数列 记 为数列 的前 项和，若 （），求 的通项公式。 ①先求首项　令 ，由 解出 。 ②两式相减消 　对 与 两式作差，把 换成 ，得到相邻两项的关系。 ③定型并收口　把得到的关系整理成 的形状，写明首项与公比后写出通项。 注：作差前必须先把 的情形单独拿出来，因为作差用的是 的式子。本题作差后得到的正是等比关系，不需要再构造。 【答案】。 当 时，，而 ，所以 ，得 。 当 时，。两式相减得 ，即 ，整理得 。 因为 ，所以 ，数列 是首项为 、公比为 的等比数列。 所以 。 变式3　由 消元求通项：先定公比再定首项 已知等比数列 满足 （）， 为 的前 项和，求 。 ①作差消去 　对 与 两式作差，把 换成 ，得到相邻两项的关系。 ②定出公比　由 得公比 ，注意这一关系对 都成立。 ③求首项再求 　令 把 用 表示，结合 解出 ，最后求 。 【答案】。 由 得 。两式相减得 ，即 （）。 所以 的公比 。 令 ，得 。又 ，所以 ，解得 。 所以 。 例4　由递推式求通项：先化成比值再累乘 设数列 的前 项和为 ，且 （）。（1）求 的通项公式；（2）求使 的最小正整数 。 ①先求首项　令 ，由 解出 。 ②两式相减化成比值　对 与 两式作差，整理出 。 ③累乘求通项　把 ，，， 的比累乘，中间项成对约掉，得到 。 注：条件里同时出现 与 ，先用 消去 ，剩下的比值正适合累乘。第（2）问用 直接算出 更省事。 【答案】（1）；（2）。 （1）当 时，，而 ，所以 ，得 。 当 时，。与 相减，并把 代入，得 ，即 ，所以 。 把 ，，， 时的比累乘，得。 所以 ，且 时也成立。 （2）由 。由 得 ，即 ，所以 ，最小正整数为 。 变式4　构造常数列：把递推式配成差为定值 已知数列 满足 ，（）。（1）求 的通项公式；（2）求 的值。 ①找配上去的函数　把 与 的差函数对比，发现 是常数列。 ②写出常数列的值　由 算出 ，于是 。 ③裂项求和　把 拆成两个分式之差，逐项相消求出前 项和。 【答案】（1）；（2）。 （1）由 得，所以 是常数列。 又 ，所以 ，即 。 （2）由（1）得 。 所以 。 例5　取对数：把幂的递推式化成等比数列 已知数列 满足 ，（）。求证： 是等比数列，并求 的通项公式。 ①两边同时加 配方　由 发现递推式变成了平方关系。 ②取以 为底的对数　对 两边取对数，得 。 ③定型并还原　先写出 的通项，再两边取 的幂还原出 。 注：递推式里出现平方、乘积这类幂的结构时，把常数项配进去凑成完全平方，再取对数，指数部分就变成了倍乘。取对数前要确认各项都大于 ，本题由 及递推式可归纳说明 。 【答案】 是首项为 、公比为 的等比数列；。 由 得 。 由 与 可归纳得 ，故两边可以取以 为底的对数，得 。 又 ，所以 是首项为 、公比为 的等比数列。 于是 ，所以 ，即 。 变式5　取倒数：把分式递推式化成线性递推式 已知数列 中 ，（），求 的通项公式。 ①交代非零　由 与递推式的形状知各项都不为 ，两边可以取倒数。 ②取倒数并整理　取倒数后得 ，系数是 ，需要再配常数。 ③再配常数　设 ，解出 后按等比数列求通项。 【答案】。 由 及递推式 可知各项均不为 ，两边取倒数得 。 设 ，展开比较得 ，即 。 所以 是首项为 、公比为 的等比数列，。 所以 ，即 。 三、巩固练习 1．已知数列 中 ，记 为 的前 项和，且 ，求 的值。 【答案】。 由 ，令 得 ，所以 。 当 时，。两式相减得 ，即 。 当 时，。累乘得 。 2．已知数列 满足 ，，且对任意的 ，都有 。设 ，求 的通项公式。 【答案】。 由 得 （），所以 ，即 是公差为 的等差数列。 设 ，，由 得 ，解得 。 所以 ，。 当 时，，且 时也成立，故 。 3．若数列 满足 （），，求 的值。 【答案】。 由 得 （）。两式相减得 ，所以奇数项、偶数项分别成等差数列，公差都是 。 由 得 ，所以 。 所以 。由 起，每对的和依次为 ，，，，共 对，其和为 。 又奇数项公差为 ，。所以原式 。 4．已知数列 中 ，（），求 的通项公式。 【答案】。 由 得 ，所以当 时，，，，。 把以上各式相加得 。右端为等差数列的和，等于 。 所以 ，且 时也成立，故 。 5．已知数列 ，，，，， 是首项为 、公比为 的等比数列，求 。 【答案】。 由题意，，且当 时 。 所以当 时，。 由 得 ， 时也符合。 所以 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 数列通项公式的常见求法 一、知识点梳理 （一）由 求 数列的前 项和 。由 求 用 （），而 必须单独求。三步走：先由 求首项，再用 写出 时的表达式，最后检验 能否并入。本讲用到的全部工具，都出自教材「数列」一章的递推关系与通项公式。 条件里同时出现 与 时有两个转化方向：用 消去 ，得到 与 的递推式；或者把 换成 后消去 ，得到 与 的关系式。往哪个方向走，看所求的是 还是 。 若条件给的是前 项「积」，记 ，则 ，而 时 。把 换成这个比值，就能把关于积的条件化成关于 的关系式。 （二）累加法与累乘法 累加法：若递推式能整理成 （）的形式，就把 依次取 ，，， 得到的 个等式左、右分别相加。左边首尾相消只剩 ，右边是 ，于是 。 用累加法的前提是 的和能算出来，常见的有等差数列的和、等比数列的和，以及 这类可以逐项相消的形式。化不出和式的递推式不适合用累加。 累乘法：若递推式能整理成 （，且各项不为 ）的形式，就把 个等式左、右分别相乘，左边首尾相消只剩 ，于是 。两种方法的收尾一样：都要把算出的结果代回 检查能否统一。 （三）构造等比数列：待定系数法 形如 （，，）的递推式，设 ，展开后与已知式子比较系数，得 。于是 是公比为 的等比数列，先写出它的通项，再减掉 就得到 。 递推式里的常数项换成与 有关的一次式，即 （）时，把常数改成同一形式的一次式：设 ，比较系数解出 、；若比较后发现一次项配不平，说明这个递推式要整体除以 再处理。 递推式里含 这种与 有关的指数项，即 （）时，两边同除以 ，把 看成一个新数列，它就回到上面第一种形状。当 时同除以 后得到的是等差关系，不必再配常数。 （四）取倒数与取对数 递推式形如 时，两边取倒数得，记 ，它就变成 的形状，按上一节的方法构造即可。取倒数的前提是每一项都不为 ，动笔前要交代一句。 特别地，若 ，取倒数后得到 ，这时 直接是等差数列，比构造等比更省事。题目里的分式若不是 的形状，先通分整理成这个形状再取倒数。 递推式形如 （各项均为正）时，两边取同底对数，得 ，于是 是公比为 的等比数列，先求出 再还原。取对数要求各项都大于 ，这一点在题目里往往会明确给出。 下结论前自查三件事：用 时有没有限定 、有没有单独检验 ；用累乘或取倒数、取对数时有没有交代「各项不为 」或「各项为正」；构造出的新数列有没有写清首项与公比。 二、典型例题 例1　构造等差数列：把含 的条件整理成形 已知数列 的前 项和为 ，，（），求 。 变式1　构造等差数列：由三项递推先凑差，再累加 已知数列 满足 ，，且对任意的 ，都有 。（1）设 ，证明数列 是等差数列，并求 ；（2）求 的通项公式。 例2　累乘法：把相邻两项的比累乘起来 已知数列 满足 ，（），求 的通项公式。 变式2　累乘法：比值是幂的形式 已知数列 满足 ，（），求 的通项公式。 例3　由 消元求通项：得到的是等比数列 记 为数列 的前 项和，若 （），求 的通项公式。 变式3　由 消元求通项：先定公比再定首项 已知等比数列 满足 （）， 为 的前 项和，求 。 例4　由递推式求通项：先化成比值再累乘 设数列 的前 项和为 ，且 （）。（1）求 的通项公式；（2）求使 的最小正整数 。 变式4　构造常数列：把递推式配成差为定值 已知数列 满足 ，（）。（1）求 的通项公式；（2）求 的值。 例5　取对数：把幂的递推式化成等比数列 已知数列 满足 ，（）。求证： 是等比数列，并求 的通项公式。 变式5　取倒数：把分式递推式化成线性递推式 已知数列 中 ，（），求 的通项公式。 三、巩固练习 1．已知数列 中 ，记 为 的前 项和，且 ，求 的值。 2．已知数列 满足 ，，且对任意的 ，都有 。设 ，求 的通项公式。 3．若数列 满足 （），，求 的值。 4．已知数列 中 ，（），求 的通项公式。 5．已知数列 ，，，，， 是首项为 、公比为 的等比数列，求 。 学科网（北京）股份有限公司 $