重难点专训01 数列的通项公式的六种求法（专项训练）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以“方法提炼-题型突破-分层训练”为框架，系统整合8大通法及6种构造子型，形成“递推转化→等差等比→通项求解”的完整逻辑链，培养转化与化归的数学思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法及技巧提炼|8通法+6构造子型|通法分类明确（含适用信号与操作步骤），构造法突出转化本质|从基础观察/公式法到高阶构造法，层层递进| |题型通法及变式提升|6题型（含上海期中/模考题）|题型-方法精准对应（如Sn与an关系用分段检验）|覆盖高频考法，典例代表性强| |重难专题分层过关练|巩固17题+创新14题|分层设计（基础巩固+创新拓展）|从单一递推到综合应用，提升符号运算与逻辑推理能力|

重难点专训01 数列的通项公式的求法 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 3 题型1 Sn 与 an 的关系（含分段通项） 3 题型2 累加、累乘的识别与初始项 4 题型3 构造等比 / 等差 5 题型4 分式递推取倒数 6 题型5 周期数列 6 题型6 奇偶项分组递推 7 重难专题分层过关练 8 巩固过关 8 创新提升 10 解题方法及技巧提炼 通法一 观察归纳法 适用信号：题目只给出数列的前若干项（或由图表、实际问题提炼出前几项），要求写出通项公式。 操作步骤：① 观察各项与序号的关系（是否与、、等相关）；② 写出猜想式；③ 用后面几项检验。 通法二 公式法（等差、等比通项） 适用信号：明确或可通过基本量运算判断为等差、等比数列。 操作步骤：先定"基本量"（首项与公差或公比），再代入通项公式。 公式储备： 通法三 已知 求 适用信号：题设给出前项和的表达式，或给出与的混合关系式。 核心关系： 操作步骤：① 先求；② 当时由求通项；③ 检验是否满足所得式，决定是否分段。 通法四 累加法 适用信号：递推式可化为，其中为关于的已知函数。 操作步骤：写出个等式累加，注意项数。 通法五 累乘法 适用信号：递推式可化为（需保证）。 操作步骤：写出个等式累乘、约分。 通法六 构造法（重中之重，含六种子型） 构造法的本质：通过待定系数、取倒数、取对数或同除等方法，把"陌生递推"转化为我们熟悉的等差或等比数列，再反解通项。这是上海卷解答题第一问最常考查的能力。 子型一：一阶线性递推 构造：令，解出，则是公比为的等比数列。 子型二：指数型 构造：两边同除以，令，转化为一阶线性递推。 子型三：多项式型 （为的多项式） 构造：用待定系数法设，其中为与同次的多项式，比较系数确定之。 子型四：分式递推 构造：取倒数，令，常可化为等差或一阶线性递推。 子型五：幂型 构造：两边取对数（通常取常用对数），转化为一阶线性递推。需。 子型六：变系数递推（与乘积混合） 构造：观察系数与下标的搭配，常通过"同乘或同除某式、令某式"构造新数列。最典型的是令。 通法七 二阶线性递推 （特征方程法） 适用信号：递推式同时用到前两项。 操作步骤：① 写出特征方程；② 解出两根；③ 据根的情况写通项形式，用定系数。 通项形式： 通法八 数学归纳法 适用信号：先由观察归纳出通项猜想，要求严格证明；或递推关系本身适合归纳推进。 操作步骤：① 验证时成立；② 假设时满足猜想，证明时成立；③ 归纳完成。 题型通法及变式提升 题型1 Sn 与 an 的关系（含分段通项） ；时；务必验证。若还含（如），则两式相减消去，得与的关系，再按等比处理。 1．，则数列_______________ 2．已知数列的前项和满足，则__________ 3．（25-26高三上·上海·期中）记为数列的前项和，若，则___________． 4．记为数列的前项和，若，，则____ 5．已知数列的前项和满足，则其通项公式________． 6．（2026·上海黄浦·三模）已知数列的前项和为（为正整数），则数列的通项公式为________． 7．若数列满足，则数列的通项公式__________. 题型2 累加、累乘的识别与初始项 差式→累加，比式→累乘；写清初始项与项数。 8.若数列的首项，且，则数列的通项公式为_______. 9．（25-26高三下·上海青浦·期中）若数列共 10 项，其中 ， ，且，，则这样的不同数列共有 ______ 个. （用数字作答） 10．定义：如果一个向量列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量，那么这个向量列叫做等差向量列，这个常向量叫做等差向量列的公差.已知向量列是以为首项，公差的等差向量列.若向量与非零向量垂直，则_________． 11．已知数列 满足 ，则 的通项公式为_____ 12．若数列满足，则__________. 13．（2025·上海杨浦·二模）由若干个多边形所覆盖的区域，称为这些多边形的并集，例如图中，梯形是与矩形的并集.已知是正整数，在平面直角坐标系中，直线的方程为，若直线交轴于点，交轴于点，则的并集，其面积为__________.    14．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 题型3 构造等比 / 等差 →配；→同除。 15.设数列满足，且，则数列的通项公式为______. 16．已知数列的前项和为，且，则________ 17．数列满足，则数列的通项公式为__________. 18．数列的首项，且（为正整数），令，则______. 19．某校电子阅览系统的登录码由学生的届别+班级+学号+特别码构成．这个特别码与如图数表有关，数表构成规律是：第一行数由正整数从小到大排列得到，下一行数由前一行每两个相邻数的和写在这两个数正中间下方得到．以此类推，特别码是学生届别数对应表中相应行的自左向右第一个数的个位数字，如：届班号学生的登陆码为．（为表中第行第一个数的个位数字）．则届班号学生的登录码为__________． 20.某地区森林原有木材存量为，且每年增长率为，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为，设为年后该地区森林木材的存量． (1)求的表达式； (2)如果，为保护生态环境，大约经过多少年后，木材存储量能翻一番？（） 题型4 分式递推取倒数 两边取倒数，令，化为一阶线性或等差。 21．（2025·上海嘉定·一模）已知数列满足，且，则 _____. 22.已知数列满足，，，则数列的通项公式是_________. 23.已知数列中，，且，则___________． 24.已知数列满足，，则数列的通项公式为______． 25.在数列中，已知，，则的通项公式为______． 26.已知数列中，且（），则__． 27.数列满足，（），则__________． 28.若数列中，，，则的值等于___________. 题型5 周期数列 29.在数列中，，，则（   ）. A． B． C． D．5 30.已知函数的对应关系如图所示，若数列满足，且对任意正整数均有，则的值为 （    ） 1 2 3 4 5 4 1 3 5 2 A．1 B．2 C．4 D．5 31.数列中，，则的值为______. 32.已知在数列中，，，则______． 33．（24-25高三上·上海·阶段检测）斐波那契数列可以用如下方法定义：，.若各项除以4的余数依次构成一个新数列，则_______. 题型6 奇偶项分组递推 令与分别代换，分离出奇数项列与偶数项列，分别求通项，再合并写成分段或统一式。 34．（24-25高三上·上海·期中）数列满足：为正整数，，若，则______. 35．已知数列满足，，则的前10项和____________. 36.已知数列满足：，且，，则此数列的前20项的和为______． 37.已知数列{an}满足a1=1，，则{an}的前20项和等于___________. 38.已知数列满足，记， (1)写出数列的前4项； (2)记，判断数列是否为等差数列，并说明理由； (3)求的前20项和． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．在数列中，，，，则的前20项和（    ） A．621 B．622 C．1133 D．1134 2．（24-25高三上·上海·期末）已知数列 的前n项和 满足 (其中常数q满足 若数列是等比数列，则实数p的值为_______. 3．（24-25高三上·上海·阶段检测）数列1，5，9，13，…的一个通项公式可能是__________． 4.在数列中，，则______________. 5.数列中，，，则数列的通项公式_____． 6.已知数列中，，，则________． 7．（24-25高三上·上海·开学考试）已知等差数列的首项表示的前项和，若数列是严格增数列，则的公差取值范围是__________. 8.设，，是正整数，是数列的前项和，，，若，且，记，则______. 9.已知数列的前项和为，若（是正整数），则______. 10.在数列中，已知，且，则______ 11.在数列中，，且，则________． 12.已知数列 满足 ，数列 满足 ，且对任意正整数 ，数列的第 项始终等于数列的第 项，数列 满足 ， 则数列的通项公式为_____. 13．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知数列满足，则__________. 14．（24-25高三下·上海·阶段检测）若数列满足：，则的通项公式为___________． 15.已知数列的前项和满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 16．（24-25高三上·上海·阶段检测）已知是无穷数列，若对于任意正整数n，仍是数列中的项，则称数列为“回归数列”. (1)若数列满足，，求数列的通项公式，判断数列是否为“回归数列”，并说明理由； (2)若严格增数列为“回归数列”，求证：为等差数列． 17．已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 创新提升 1．（24-25高三上·上海·阶段检测）设数列的前n项和为，若，且存在正整数k，使得，则的取值集合为（   ） A． B． C． D． 2．数列中，，，使对任意的（k为正整数）恒成立的最大k值为（    ） A．1209 B．1211 C．1213 D．1215 3．（25-26高三上·上海·开学考试）数列中，，，使对任意的恒成立的最大值为（　　） A．1209 B．1211 C．1213 D．1215 4.已知数列满足，则___________． 5.数列满足，，且，则的最大值是________. 6．（25-26高三上·上海·开学考试）设数列同时满足以下条件：①中的任意一项；②为减数列；③的所有项的和为m.记所有这样的不同数列的个数为.例如：当时，所有的不同数列为：与，从而.若，则的通项公式为___________. 7.若，已知数列中，首项，，，则_____. 8.已知数列满足，且对任意正整数，关于的实系数方程都有两个相等的实根．若，则满足条件的不同实数的个数为____________个． 9.已知数列的前项和为，，. (1)证明：数列是等比数列； (2)若，求数列的前项和； (3)若，求使取得最大值时的的值. 10．已知数列满足：对任意正整数，都有. (1)若，求的值； (2)设，且，求证：是等差数列，并求的前项和； (3)若是公比为的等比数列，求的值. 11．（24-25高三上·上海·期中）已知数列，若为等比数列，则称具有性质. (1)若数列具有性质，且，求的值； (2)若，判断并证明数列是否具有性质； (3)设，数列具有性质，其中，试求数列的通项公式. 12.已知点是函数图像上不同的点，设首项（常数，记． (1)若数列是一个5项的等比数列，其中，当时，试写出数列的前6项； (2)若数列是一个无穷等差数列，满足，当时，求数列的前项和； (3)若对于任意，都有，当数列各项均不为1时，记，若存在常数，使得对于任意，不等式都成立，求非负实数的取值范围． 13.对给定的在定义域内连续且存在导函数的函数，若对在定义域内的给定常数，存在数列满足在的定义域内且，且对在区间的图象上有且仅有在一个点处的切线平行于和的连线，则称数列为函数的“关联切线伴随数列”. (1)若函数，证明：都存在“关联切线伴随数列”； (2)若函数，数列为函数的“1关联切线伴随数列”，且，求的通项公式； (3)若函数，数列为函数的“关联切线伴随数列”，记数列的前项和为，证明：当时，. 14.已知数列是由正实数组成的无穷数列，满足，，，. (1)写出数列前4项的所有可能取法； (2)判断：是否存在正整数，满足，并说明理由； (3)为数列的前项中不同取值的个数，求的最小值. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训01 数列的通项公式的求法 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 3 题型1 Sn 与 an 的关系（含分段通项） 3 题型2 累加、累乘的识别与初始项 5 题型3 构造等比 / 等差 10 题型4 分式递推取倒数 12 题型5 周期数列 15 题型6 奇偶项分组递推 17 重难专题分层过关练 19 巩固过关 19 创新提升 26 解题方法及技巧提炼 通法一 观察归纳法 适用信号：题目只给出数列的前若干项（或由图表、实际问题提炼出前几项），要求写出通项公式。 操作步骤：① 观察各项与序号的关系（是否与、、等相关）；② 写出猜想式；③ 用后面几项检验。 通法二 公式法（等差、等比通项） 适用信号：明确或可通过基本量运算判断为等差、等比数列。 操作步骤：先定"基本量"（首项与公差或公比），再代入通项公式。 公式储备： 通法三 已知 求 适用信号：题设给出前项和的表达式，或给出与的混合关系式。 核心关系： 操作步骤：① 先求；② 当时由求通项；③ 检验是否满足所得式，决定是否分段。 通法四 累加法 适用信号：递推式可化为，其中为关于的已知函数。 操作步骤：写出个等式累加，注意项数。 通法五 累乘法 适用信号：递推式可化为（需保证）。 操作步骤：写出个等式累乘、约分。 通法六 构造法（重中之重，含六种子型） 构造法的本质：通过待定系数、取倒数、取对数或同除等方法，把"陌生递推"转化为我们熟悉的等差或等比数列，再反解通项。这是上海卷解答题第一问最常考查的能力。 子型一：一阶线性递推 构造：令，解出，则是公比为的等比数列。 子型二：指数型 构造：两边同除以，令，转化为一阶线性递推。 子型三：多项式型 （为的多项式） 构造：用待定系数法设，其中为与同次的多项式，比较系数确定之。 子型四：分式递推 构造：取倒数，令，常可化为等差或一阶线性递推。 子型五：幂型 构造：两边取对数（通常取常用对数），转化为一阶线性递推。需。 子型六：变系数递推（与乘积混合） 构造：观察系数与下标的搭配，常通过"同乘或同除某式、令某式"构造新数列。最典型的是令。 通法七 二阶线性递推 （特征方程法） 适用信号：递推式同时用到前两项。 操作步骤：① 写出特征方程；② 解出两根；③ 据根的情况写通项形式，用定系数。 通项形式： 通法八 数学归纳法 适用信号：先由观察归纳出通项猜想，要求严格证明；或递推关系本身适合归纳推进。 操作步骤：① 验证时成立；② 假设时满足猜想，证明时成立；③ 归纳完成。 题型通法及变式提升 题型1 Sn 与 an 的关系（含分段通项） ；时；务必验证。若还含（如），则两式相减消去，得与的关系，再按等比处理。 1．，则数列_______________ 【答案】 【详解】因为， 所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式，所以 故答案为： 2．已知数列的前项和满足，则__________ 【答案】 【详解】因为， 所以. 故答案为： 3．（25-26高三上·上海·期中）记为数列的前项和，若，则___________． 【答案】 【详解】当时，，解得； 当时，由，则， 所以， 即，则数列是以，公比为的等比数列， 所以. 故答案为： 4．记为数列的前项和，若，，则____ 【答案】243 【详解】，当时，有. 当时，有. 故，即，. 又因为，则数列是公比为，首项为的等比数列. 因此. 当时，. 故答案为：243. 5．已知数列的前项和满足，则其通项公式________． 【答案】 【详解】数列的前项和满足， 当时，， 当时，，满足上式， 则． 故答案为：. 6．（2026·上海黄浦·三模）已知数列的前项和为（为正整数），则数列的通项公式为________． 【答案】 【详解】当时，， 当时，，符合上式， 所以. 7．若数列满足，则数列的通项公式__________. 【答案】 【详解】因，则， 两式相减得， 当时，，不符合上式， 故. 故答案为： 题型2 累加、累乘的识别与初始项 差式→累加，比式→累乘；写清初始项与项数。 8.若数列的首项，且，则数列的通项公式为_______. 【答案】 【详解】解： 数列中，，， ， ． 故答案为：． 9．（25-26高三下·上海青浦·期中）若数列共 10 项，其中 ， ，且，，则这样的不同数列共有 ______ 个. （用数字作答） 【答案】84 【详解】数列共10项，因此共有个相邻差， 每个​只能取或， 由， ， ， ， 相加可得： ， 即所有​的总和为， 设个差中有个1，个，由题意：， 解得，即9个差中恰好有3个1、6个2， 不同的排列顺序对应不同的数列，问题等价于从9个位置中选3个位置放1，剩余放2， 因此不同数列个数为组合数： . 即这样的不同数列共有84个. 10．定义：如果一个向量列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量，那么这个向量列叫做等差向量列，这个常向量叫做等差向量列的公差.已知向量列是以为首项，公差的等差向量列.若向量与非零向量垂直，则_________． 【答案】 【详解】， 因为向量与非零向量垂直， 故， 由题设可知，故，故， 故 ， 故答案为： 11．已知数列 满足 ，则 的通项公式为_____ 【答案】 【详解】已知，将换为，可得， 那么（）. 利用累乘法求（）， 由（）可得： 观察发现，约分后可得（）. 当时，，与已知相符. 所以，. 故答案为：，. 12．若数列满足，则__________. 【答案】 【详解】因为（1）， 所以（2）， 得, ， 所以有， 所以. 故答案为： 13．（2025·上海杨浦·二模）由若干个多边形所覆盖的区域，称为这些多边形的并集，例如图中，梯形是与矩形的并集.已知是正整数，在平面直角坐标系中，直线的方程为，若直线交轴于点，交轴于点，则的并集，其面积为__________.    【答案】 【详解】由题意可得，， 令，则， 当时，；当时，，即， 则随着三角形的个数增加，所有三角形围成的图形每次增加一个小三角形， 设直线与直线的交点为， 联立，解得，即， 则， 设前个三角形围成图形的面积为，则， 且， 则，，，，， 由累加法可得，， 则，而符合上式，则， 故， 则的并集，其面积为. 故答案为：.    14．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【详解】（1）∵ ，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； （2）略 题型3 构造等比 / 等差 →配；→同除。 15.设数列满足，且，则数列的通项公式为______. 【答案】 【详解】. ，则数列是以3为首项，3为公比的等比数列. ，所以. 故答案为： 16．已知数列的前项和为，且，则________ 【答案】57 【知识点】求等比数列前n项和、构造法求数列通项 【分析】根据给定条件，利用构造法求出数列的通项，进而求出. 【详解】在数列中，由，得，而， 因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，，， 所以. 故答案为：57 17．数列满足，则数列的通项公式为__________. 【答案】 【详解】数列中，由，得，即， 而，，于是数列是首项为3，公比为的等比数列， 因此，即， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 18．数列的首项，且（为正整数），令，则______. 【答案】 【详解】因为数列的首项，且（为正整数），则， 且，所以数列是首项为，公比也为的等比数列，故， 所以，，则， 所以，数列为等差数列，故. 故答案为：. 19．某校电子阅览系统的登录码由学生的届别+班级+学号+特别码构成．这个特别码与如图数表有关，数表构成规律是：第一行数由正整数从小到大排列得到，下一行数由前一行每两个相邻数的和写在这两个数正中间下方得到．以此类推，特别码是学生届别数对应表中相应行的自左向右第一个数的个位数字，如：届班号学生的登陆码为．（为表中第行第一个数的个位数字）．则届班号学生的登录码为__________． 【答案】 【详解】注意到，第行的前两个数之差为， 设第第一个数为，则， 等式两边同时除以可得，且， 所以，数列是首项为，公差为的等差数列，则， 所以，，， 的个位数为：、、、、、的规律， 所以，的个位数呈周期性变化，且周期为， ，即的个位数为，故的个位数为， 因此，届班号学生的登录码为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：当出现时，即在等式两边同时除以，可得出，利用累加法可求得数列的通项公式. 20.某地区森林原有木材存量为，且每年增长率为，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为，设为年后该地区森林木材的存量． (1)求的表达式； (2)如果，为保护生态环境，大约经过多少年后，木材存储量能翻一番？（） 【详解】（1）由题意可得， ， 所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以； （2）若，， 由题设可得，则， 所以， 所以大约经过多少年后，木材存储量能翻一番. 题型4 分式递推取倒数 两边取倒数，令，化为一阶线性或等差。 21．（2025·上海嘉定·一模）已知数列满足，且，则 _____. 【答案】 【详解】对的两边取倒数得， 所以，所以数列是首项为，公差为2的等差数列， 所以数列的通项公式为， 所以数列的通项公式为，所以． 故答案为：． 22.已知数列满足，，，则数列的通项公式是_________. 【答案】 【详解】因为，且，可知， 可得，即， 可知数列是首项为，公差为4的等差数列， 可得，所以. 故答案为： 23.已知数列中，，且，则___________． 【答案】 【详解】由，可得，即， 又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，即，所以． 故答案为： 24.已知数列满足，，则数列的通项公式为______． 【答案】 【详解】因为，，所以， 即，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，所以． 故答案为：. 25.在数列中，已知，，则的通项公式为______． 【答案】 【详解】由， 两边取倒数得， 即， 又因为， 所以是首项为，公差为的等差数列， 所以， 故， 故答案为： 26.已知数列中，且（），则__． 【答案】 【详解】由，得， 数列是以为首项，以为公差的等差数列， 则， ，则． 故答案为：． 27.数列满足，（），则__________． 【答案】 【详解】数列满足，， 变形得到，故可得数列是首项为，公差为的等差数列. 故，则，故． 故答案为：. 28.若数列中，，，则的值等于___________. 【答案】 【详解】因为， 所以，所以 则数列是首项为，公差为的等差数列， 则，所以. 故答案为： 题型5 周期数列 29.在数列中，，，则（   ）. A． B． C． D．5 【答案】B 【详解】由，得， ， 所以是以为周期的数列，所以. 故选：. 30.已知函数的对应关系如图所示，若数列满足，且对任意正整数均有，则的值为 （    ） 1 2 3 4 5 4 1 3 5 2 A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】D 【详解】由题意可得，，， ，， 故数列是以为一个循环的周期数列， 故. 故选：D 31.数列中，，则的值为______. 【答案】 【详解】由可得， 所以，； 因此可得数列的周期为3，所以. 32.已知在数列中，，，则______． 【答案】 【详解】，， ，，， 所以数列的周期为3，. 故答案为： 33．（24-25高三上·上海·阶段检测）斐波那契数列可以用如下方法定义：，.若各项除以4的余数依次构成一个新数列，则_______. 【答案】1 【详解】由题意，数列为 各项除以4的余数依次构成一个新数列为 所以，数列是以6为周期的周期数列， 所以，， 故答案为：1. 题型6 奇偶项分组递推 令与分别代换，分离出奇数项列与偶数项列，分别求通项，再合并写成分段或统一式。 34．（24-25高三上·上海·期中）数列满足：为正整数，，若，则______. 【答案】 【详解】因为，， 所以，，，， 以此类推，可知，即数列是周期为的周期数列， 所以 . 故答案为：. 35．已知数列满足，，则的前10项和____________. 【答案】75 【详解】由题意可知：，，，， ，，，， ，， 所以的前10项和. 故答案为：75. 36.已知数列满足：，且，，则此数列的前20项的和为______． 【答案】1133 【详解】当时，由可知，的奇数项成等差数列，且公差为2，首项为；当时，可知的偶数项成等比数列，且公比为2，首项为， 故前20项和为. 故答案为:1133 37.已知数列{an}满足a1=1，，则{an}的前20项和等于___________. 【答案】300 【详解】因为 所以， 由题意可得， 其中， 可得， 则， 当时，也适合上式， 所以， 所以数列的奇数项和偶数项分别为等差数列， 则的前20项和为 故答案为：300. 38.已知数列满足，记， (1)写出数列的前4项； (2)记，判断数列是否为等差数列，并说明理由； (3)求的前20项和． 【详解】（1）因为数列满足．， ，，，所以，； （2），， 所以数列是以为首项，以3为公差的等差数列， 所以； （3）由（2） 可得，， 则，， 当时，也符合上式，所以，， 所以数列的奇数项和偶数项分别为等差数列， 则的前20项和为 ． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．在数列中，，，，则的前20项和（    ） A．621 B．622 C．1133 D．1134 【答案】C 【详解】设，，则，. 由已知可得， ，即， 所以为以2为首项，2为公差的等差数列，. ，即， 所以为以1为首项，2为公比的等比数列，. 所以，的前20项和. 故选：C. 2．（24-25高三上·上海·期末）已知数列 的前n项和 满足 (其中常数q满足 若数列是等比数列，则实数p的值为_______. 【答案】 【详解】由① ， 当时，； 当时，② ， 由， 因数列是等比数列，故，解得. 故答案为：. 3．（24-25高三上·上海·阶段检测）数列1，5，9，13，…的一个通项公式可能是__________． 【答案】 【详解】观察数列的前四项，后一项比前一项多4， 所以公差为4， 又首项为1，代入等差数列的通项公式可得 ， 所以数列1，5，9，13，…的一个通项公式可能是， 故答案为：. 4.在数列中，，则______________. 【答案】 【详解】由，得，即，所以为等差数列，首项，公差，则，即，所以. 故答案为： 5.数列中，，，则数列的通项公式_____． 【答案】 【详解】由，可得， 设,则,所以， 两边都加1可得， 而，故，故 即是公比为,首项为的等比数列,故， 所以，即,所以. 故答案为：． 6.已知数列中，，，则________． 【答案】 【详解】由， 可得：， 所以是首项为，公比为3的等比数列， 所以， 所以， 故答案为： 7．（24-25高三上·上海·开学考试）已知等差数列的首项表示的前项和，若数列是严格增数列，则的公差取值范围是__________. 【答案】 【详解】若数列是严格增数列， 则恒成立， 即恒成立， 又， 所以， 所以的公差取值范围是， 故答案为：. 8.设，，是正整数，是数列的前项和，，，若，且，记，则______. 【答案】7 【详解】当，故， 当时，，故， 因为，故，所以，则， 当时，， 设数列，易知， 必有1024，512，256，128，64，32，8,这7个数前面的系数为1，其余系数都是0， 故． 故答案为：7． 9.已知数列的前项和为，若（是正整数），则______. 【答案】 【详解】因为， 时，， 两式相减可得，， 即，， 因为，解得， 故数列是以1为首项，以3为公比的等比数列， 所以． 故答案为：81． 10.在数列中，已知，且，则______ 【答案】 【详解】因为，所以， 所以，，…，， 将以上各式相加得. 因为，所以，所以. 故答案为： 11.在数列中，，且，则________． 【答案】 【详解】在数列中，，且， ， ， ， 由此猜想． 下面用数学归纳法证明： ①，成立， ②假设成立， 则成立， 由①②得， 则． 故答案为：． 12.已知数列 满足 ，数列 满足 ，且对任意正整数 ，数列的第 项始终等于数列的第 项，数列 满足 ， 则数列的通项公式为_____. 【答案】 【详解】由题意可得，即， 因为，所以， 同理，因为，所以， 以此类推可得. 所以 . 故答案为：. 13．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知数列满足，则__________. 【答案】 【详解】因为，， 所以，， ，， ，，， 则. 故答案为： 14．（24-25高三下·上海·阶段检测）若数列满足：，则的通项公式为___________． 【答案】 【详解】已知数列满足递推关系（），且和， 递推式可变形为，则是一个常数列， 即. 所以数列是一个等差数列， ， 因此通项公式为. 故答案为：. 15.已知数列的前项和满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【详解】（1） ， 当时，； 当时，， 且满足上式，所以. （2） ， ， 数列的前项和为. 16．（24-25高三上·上海·阶段检测）已知是无穷数列，若对于任意正整数n，仍是数列中的项，则称数列为“回归数列”. (1)若数列满足，，求数列的通项公式，判断数列是否为“回归数列”，并说明理由； (2)若严格增数列为“回归数列”，求证：为等差数列． 【详解】(1)不是，理由如下： 由，可得：，又， 所以是以4为首项，公比为2的等比数列， 所以，所以， 所以， 显然不是数列中的项，故：数列不为“回归数列”. (2)证明：由题意知:，必存在，使得：， 即，， 由题意可知：，， 故因此，即: 整理得：，则数列为等差数列. 17．已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【详解】（1）由① 当时，，所以                  当时，② ①②式相减得，即     两边同除以得，， 又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列， ，则 （2），可知数列是以为首项，为公差的等差数列， 可知数列是以为首项，为公比的等比数列， 创新提升 1．（24-25高三上·上海·阶段检测）设数列的前n项和为，若，且存在正整数k，使得，则的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以 不妨令，可得，解得或（舍去）， 所以. 又因为，所以或17， 因为，所以，所以. 当时，由， 所以， 当时，由， 又由， 所以. 所以的取值集合为. 故选：B 2．数列中，，，使对任意的（k为正整数）恒成立的最大k值为（    ） A．1209 B．1211 C．1213 D．1215 【答案】B 【详解】由已知可得，数列：， 可得规律为；；；此时将原数列分为三个等差数列： ，； ，； ; 因为， 所以满足对任意的恒成立的最大值为． 故选：B. 3．（25-26高三上·上海·开学考试）数列中，，，使对任意的恒成立的最大值为（　　） A．1209 B．1211 C．1213 D．1215 【答案】B 【详解】由已知可得，数列：， 可得规律为1，6，11；6，11，16；11，16，21；.．， 此时将原数列分为三个等差数列： ，； ，； ，； 因为， 所以满足对任意的恒成立的最大值为1211. 故选：B. 4.已知数列满足，则___________． 【答案】 【详解】由，两边取倒数得：， 因此是首项为、公差为2的等差数列， 该等差数列通项公式为， 代入，得. 故答案为：. 5.数列满足，，且，则的最大值是________. 【答案】 【详解】由条件，， 可得， 设， 令，则， 所以， 则， 因为，所以， ，当时， 得，得， 所以的最大值是. 故答案为： 6．（25-26高三上·上海·开学考试）设数列同时满足以下条件：①中的任意一项；②为减数列；③的所有项的和为m.记所有这样的不同数列的个数为.例如：当时，所有的不同数列为：与，从而.若，则的通项公式为___________. 【答案】 【详解】当，即时，所有的不同数列为： ， ， ， ，以及，共12个， 故；同理可得，， 由题意知，， ，即， 则时，，， 累加得，又， ，也适合该式， 所以. 故答案为： 7.若，已知数列中，首项，，，则_____. 【答案】 【详解】， ，即， ， 时，，两式相减得， 时，，故数列为常数列， 因为，故， 又时也符合上式，故， ， ． 记， 则， 两式相加得，，即，则． 故答案为： 8.已知数列满足，且对任意正整数，关于的实系数方程都有两个相等的实根．若，则满足条件的不同实数的个数为____________个． 【答案】 【详解】依题意可得，即(*)， 记满足(*)式的不同实数个数为， 将看成自变量，看成参数，则为与的交点个数， 当时，有一个交点，即有一个根； 当，有2个交点，即有两个不同的根和，且， 当，有2个交点，即有两个不同的根和， 由，则或，即； 则或或，即； 同理可得，，，... 通过观察可得，则，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为，即，， 所以满足(*)式的不同实数个数为， 故满足条件的不同实数的个数为个． 故答案为：． 9.已知数列的前项和为，，. (1)证明：数列是等比数列； (2)若，求数列的前项和； (3)若，求使取得最大值时的的值. 【详解】(1)由得，则， 整理得， 当时，，的， 所以数列是等比数列，公比为. （2）由（1）得，则， . （3）， 当时，令，解得， 所以当时，，当时，， 当时，，当时，， 所以，即， 综上可得，当或时，取得最大值. 10．已知数列满足：对任意正整数，都有. (1)若，求的值； (2)设，且，求证：是等差数列，并求的前项和； (3)若是公比为的等比数列，求的值. 【详解】（1）因为， 所以， 解得， 所以，所以； (2)证明:令，有，可得， 令，有， 所以，可得， 令，所以， 所以，可得，， 所以是以为首项为公差的等差数列， 且， 所以的前项和为； （3）设，得，所以， 设，得，所以， 两式相减可得， 解得，或，或. 当，时，成立； 当，或时，若， 则对任意正整数恒成立，则为定值， 显然不成立，不符合题意； 所以. 11．（24-25高三上·上海·期中）已知数列，若为等比数列，则称具有性质. (1)若数列具有性质，且，求的值； (2)若，判断并证明数列是否具有性质； (3)设，数列具有性质，其中，试求数列的通项公式. 【详解】（1）由题意数列具有性质为等比数列，设公比为， 由，得， ，又 (2)数列具有性质；证明如下： 因为，所以， 则，即为等比数列，所以数列具有性质 （3）因为，则 当， 故，适合该式，故， 所以由，得 ， 因为数列具有性质，故为等比数列，设其公比为，则， 故 当为偶数时，， 当为奇数时， ， 故 12.已知点是函数图像上不同的点，设首项（常数，记． (1)若数列是一个5项的等比数列，其中，当时，试写出数列的前6项； (2)若数列是一个无穷等差数列，满足，当时，求数列的前项和； (3)若对于任意，都有，当数列各项均不为1时，记，若存在常数，使得对于任意，不等式都成立，求非负实数的取值范围． 【详解】（1）设数列的公比为，由及可得，即， 因此数列为， 由以及知，类似的， 即数列的前6项为 （2）设列的公差为，由，可知，于是， 因此①，则②，两式相减得， 再结合可知，此时数列的奇数项构成以0为首项，3为公差的等差数列；偶数项构成以1为首项，3为公差的等差数列. 记其前项和为，则当为偶数时， ， 当为奇数时，为偶数，，且， 于是， 综上所述，，其中. （3）若，则，，下证：，. 当时，设，； 设当时， ，， 则时，，， 而，故成立， 而，故， 由数学归纳法可得，成立. 此时，，故取，此时满足不等式都成立. 若，则，，下证：，. 当时，，； 设当时，：设，. 则当时，，， 而，故成立， 而，故， 由数学归纳法可得，成立. 此时，，故取，此时满足不等式都成立. 若，由与同时成立，因为， 故，因为数列各项均不为1， 故，故，故为等比数列，故， 当时，，故， ，故， 而， 故， 而当时，，故， 同理， 而存在常数，使得对于任意，不等式都成立， 故，故. 所以，故， 故，解得即矛盾. 综上，且. 13.对给定的在定义域内连续且存在导函数的函数，若对在定义域内的给定常数，存在数列满足在的定义域内且，且对在区间的图象上有且仅有在一个点处的切线平行于和的连线，则称数列为函数的“关联切线伴随数列”. (1)若函数，证明：都存在“关联切线伴随数列”； (2)若函数，数列为函数的“1关联切线伴随数列”，且，求的通项公式； (3)若函数，数列为函数的“关联切线伴随数列”，记数列的前项和为，证明：当时，. 【详解】（1）因为，则， 由题意可得：， 则，即，且， 可知数列为以为首项，为公比的等比数列， 显然这样的数列对于给定的是存在的， 所以都存在“关联切线伴随数列”. （2）因为，则， 设，即， 由题意可知：，则， 可得，且， 可知数列为以为首项，为公比的等比数列， 可得，所以数列通项公式为. (3)先证明， 设函数， 则，，则， 定义的导函数为的导函数为， 则， 且，， 令，则， ， 因为， 可知在内单调递增，则， 同理得，， 故， 又在内单调递增， 在有有 因此取，有， 又在单调递减，在单调递增， 故， 当时，，符合题意； 当时，， 累加可得， 整理得， 所以； 综上所述：. 14.已知数列是由正实数组成的无穷数列，满足，，，. (1)写出数列前4项的所有可能取法； (2)判断：是否存在正整数，满足，并说明理由； (3)为数列的前项中不同取值的个数，求的最小值. 【详解】（1）解：由得或， 所以或， 因为足，， 所以或， 所以，当时，或； 当时，或 因为数列是由正实数组成的无穷数列， 所以舍， 所以，数列前4项的所有可能取法有，，，或，，，或，，，. (2)不存在，理由为： 因为， 所以，或， 当时， 因为数列是由正实数组成的无穷数列， 所以，即 或， 所以； 当时， 因为数列是由正实数组成的无穷数列， 所以，即 所以或（舍）， 综上，， 所以，，. 综上，不存在正整数，满足. （3）解：由， 所以，①或②， 对于任意的，均可以使用①递推，只有满足时，才可以使用②递推； 若，显然，下次只能用①递推，即 所以，②不能连续使用. 记且， 若，则； 若，则，所以， 所以且， 所以，中至少有共51项，即. 举例如下： 所以，此时， 所以，的最小值为51. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $