精品解析：吉林省长春五十二中赫行实验学校2026-2027学年上学期九年级第一次学情自测数学试卷

数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式和二次根式有意义的条件，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义，需同时满足二次根式有意义和分母不为的条件， ∴且， 解得． 2. 关于x的方程是一元二次方程，则应满足的条件是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将方程移项成（、、为常数， ）的形式，再根据二次项系数不为0，即可求出应满足的条件． 【详解】解：， ∴， ∵二次项系数不为0， ∴， 解得． 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 4. 在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比．在某一时刻，有人测得一高为的竹竿的影长为，某一高楼的影长为，那么这幢高楼的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设此高楼的高度为x米，再根据同一时刻物高与影长成正比列出关于x的比例式，求出x的值即可． 【详解】解：设这幢高楼的高度为米，依题意得：， 解得：． 故这栋高楼的高度为36米． 故选：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． 5. 如图，在的正方形网格中，的顶点是正方形网格的格点，则的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、正弦的定义，连接，，，，得到，推出为直角三角形，，根据正弦的定义计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ， ，，， ， 为直角三角形，， ， 故选：A． 6. 中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，“马”位于点，则“兵”位于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用坐标表示点的位置，建立正确的平面直角坐标系是解题的关键． 按照已知点的坐标建立平面直角坐标系，即可得到答案． 【详解】解：根据题意建立平面直角坐标系如下： ∴“兵”位于． 故选：C． 7. 如果把一个的三边都扩大到原来的2倍，那么的（ ） A. 周长扩大2倍 B. 面积扩大2倍 C. 对应角扩大2倍 D. 以上都有可能 【答案】A 【解析】 【分析】根据周长比等于相似比、面积比是相似比的平方即可求出． 【详解】解：把一个的三边都扩大到原来的2倍，原三角形与扩大后的三角形相似，相似比为， 相似三角形的周长比等于相似比，因此周长会扩大到原来的2倍，选项A说法正确； 相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此面积应该扩大到原来的4倍，不是2倍，选项B说法错误； 相似三角形的对应角大小完全相等，角度不会随边长放大而变化，选项C说法错误． 8. 如图，已知线段AB，过点B作AB的垂线，并在垂线上取BC＝AB；连接AC，以点C为圆心，CB为半径画弧，交AC于点D；再以点A为圆心，AD为半径画弧，交AB于点P，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件和勾股定理可知：设AB＝2a，BC＝a，则AC＝a，根据作图可知：AD＝AC﹣CD＝（﹣1）a，即AP＝（﹣1）a，从而求出的值. 【详解】解：∵BC⊥AB， ∴∠ABC＝90°， 设AB＝2a，BC＝a，则AC＝a， ∵CD＝BC＝a， ∴AD＝AC﹣CD＝（﹣1）a， ∵AP＝AD， ∴AP＝（﹣1）a， ∴＝． 故选A． 【点睛】此题考查的是勾股定理及尺规作图，根据尺规作图判断图中相等的线段是解决此题的关键. 二、填空题：本共6小题，每题3分，共18分。 9. 在比例尺为的地图上测得两地间的图上距离为，则两地间的实际距离为____． 【答案】60 【解析】 【分析】本题主要考查了比例尺，根据比例尺及图上距离可得实际距离． 【详解】∵比例尺为，且的图上距离是3， ∴两地间实际距离是． 故答案为：60． 10. 某水库大坝，其坡面的坡度 ，则斜坡的坡角的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题，利用坡度的定义及特殊锐角三角函数值可求出斜坡的坡角的度数，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴， 故答案为：． 11. 若，则等于_______度． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了特殊角度的锐角三角函数值，根据即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， 故答案为：15． 12. 已知：线段a、b、c满足关系式，且，那么________． 【答案】16 【解析】 【详解】解：∵且, ∴， ∴． 13. 化简的结果为________． 【答案】## 【解析】 【分析】逆用积的乘方公式，结合平方差公式进行化简． 【详解】解： ． 14. 如图，点为的边延长线上的一点，连结，交于点，交于点，且．给出下面四个结论：①；②；③；④的面积是的面积的12倍．上述结论中，正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质；根据平行四边形的性质推出，，可以证明①说法正确；由平行线分线段成比例分别求得，，可以证明②说法正确；设，利用相似三角形的判定和性质求得，，可以证明④说法正确；根据现有条件不能说明，③说法错误． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，①说法正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，②说法正确； 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积是的面积的12倍，④说法正确； 根据现有条件不能说明，③说法错误； 故答案为：①②④． 三、填空题：本共10小题，共78分。 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 解方程： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程； （2）先整理成一元二次方程标准形式，再用求根公式求解． 【小问1详解】 解： 因式分解： 可得 或 解得 ； 【小问2详解】 解： 这里， ， 所以 ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，B，C两点的坐标分别为，． （1）以原点O为位似中心，在y轴左侧将放大到原来的2倍，并画出放大后的； （2）若点在的内部，请直接写出经过（1）的变化后，对应点的坐标是________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据位似图形的性质和位似比作图即可； （2）利用位似比即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 18. 已知关于x的方程． （1）若此方程的一个根为1，则m的值为________； （2）求证：对于任何实数m，此方程的根总不为0． 【答案】（1） （2）证明：假设此方程有根为0， 把代入，则， ∴， ∵， ∴此方程没有实数根， ∴对于任何实数m，此方程总没有是0的根． 【解析】 【分析】（1）把代入，解出即可； （2）把代入，则，证明关于m的方程没有实数根即可得出结论； 【小问1详解】 解：∵方程的一个根为1， 把代入， 得：， 解得：； 【小问2详解】 略 19. 如图，在中，，是上的点，已知是等边三角形，，，． （1）证明：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ，， ， ，， ，， ， 又， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据等边三角形性质得到角和边的关系，再通过计算边的比例证明相似； （2）利用（1）的相似结论得到角的关系，进而求出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 20. 在不透明的盒子里装有红，黄，蓝三种颜色的卡片，这些卡片除颜色外其余都相同，其中红色卡片2张，黄色卡片1张，蓝色卡片1张． （1）从中任意抽取一张卡片，求抽到蓝色卡片的概率； （2）第一次随机抽取一张卡片（不放回），第二次再随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求两次抽到的都是红色卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是概率公式与列表法求概率， （1）直接由概率公式求解即可； （2）根据列表法求概率即可求解． 【小问1详解】 解：共有4个张卡片，从中任意抽取一张卡片，求抽到蓝色卡片的概率； 故答案为：． 【小问2详解】 解：画树状图如图， 红1 红2 黄 蓝 红1 红1，红2 红1，黄 红1，蓝 红2 红2，红1 红2，黄 红2，蓝 黄 黄，红1 黄，红2 黄，蓝 蓝 蓝，红1 蓝，红2 蓝，黄 共有12种等可能结果，其中两次抽到的都是红色卡片，有2种， ∴两次抽到的都是红色卡片． 21. 2026年是建国77周年，全国各地积极开展以国庆为主题的征文教育活动，据了解，今年3月份参加征文人数0.5万人，5月份参加征文人数增加到0.605万人． （1）求这两个月参加征文人数的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计6月份的参加征文人数是多少？ 【答案】（1） （2）万人 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率为，根据题意列出等式即可求解． （2）根据（1）中计算出的增长率直接计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 可列出方程： ， 解得， （舍去）， ∴月平均增长率为． 【小问2详解】 解：6月份的参加征文人数就是在5月的基础上再乘： （万人）， ∴预计6月份的参加征文人数是万人． 22. 【教材呈现】下面是华师版九年级上册数学教材第66页部分内容． 例3如图23.3.9，在中，，， 求证：． 请根据教材内容，利用上图加以证明． （1）【探究】如图①，在中，，，设的边上的高为，的边上的高为，若、的面积分别为1、3，则________． （2）【应用】如图②，在中，点D、E分别在、上，点F、G在上，且，，若、、的面积分别为2、5、3，则的面积为________． 【答案】（1） （2）18 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质可得，，从而证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得，根据三角形面积公式得出，最后求出结果即可； （2）过点作，交于，首先证明，得，由（1）同理可知：，得出，求出，证明，得出，从而得到． 【小问1详解】 解：∵． ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点D作，交于点M， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）同理可知：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ． 23. 我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题． 例：求的算术平方根． 解：∵， ∴的算术平方根是． 根据以上材料，回答下列问题： （1）_____________； （2）化简：； （3）在中，，，，那么BC边的长为多少？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，勾股定理，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）将变形为完全平方式的形式，然后开平方即可； （2）先利用（1）中得到的结论，把换成，然后将变形为完全平方式，最后开平方即可； （3）先利用勾股定理表示出，最后开平方即可． 【小问1详解】 解： 故答案为： 【小问2详解】 ． 【小问3详解】 在中，由勾股定理，得 ， 即边的长度为． 24. 如图，在矩形中，，．点E是边的三等分点，且．点P是边上的动点，绕点E逆时针旋转得到线段，连接． （1）当点P与点A不重合时，过点Q作边的垂线段，交于H，求证：； （2）当E，Q，C三点共线时，求线段的长； （3）连接、，则长度的最小值是________； （4）连接，当将的面积分成两部分时，直接写出此时线段的长度． 【答案】（1）证明：∵是矩形， ∴， 又∵于H，绕点E逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2） （3） （4）或4 【解析】 【分析】（1）根据旋转和矩形的性质，利用证明结论即可； （2）根据矩形的性质得出，，，根据勾股定理求出，证明，得出，求出，根据勾股定理求出； （3）过点Q作于点H，连接，，，过点Q作，交于点N，交于点M，连接，交于点，根据解析（1）说明点Q到的距离为2，从而得出点Q在直线上，证明垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得出，从而证明，根据两点之间线段最短，得出当点Q在点处时，最小，即最小，且最小值为的长，根据勾股定理求出结果即可； （4）以A为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设交于点H，过点Q作于点M，过点H作于点K，过点Q作于点N，求出直线的解析式为，设，则，，证明，得出，分两种情况：当时，当时，分别求出t的值，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵在矩形中，，， ∴，，， ∵点E是边的三等分点，且， ∴， ∴， 根据旋转可得，， ∵E，Q，C三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点Q作于点H，连接，，，过点Q作，交于点N，交于点M，连接，交于点，如图所示： 根据解析（1）可知：， ∴， ∴点Q到的距离为2， ∴点Q在直线上， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当点Q在点处时，最小，即最小，且最小值为的长， 根据勾股定理得：， ∴长度的最小值为． 【小问4详解】 解：以A为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设交于点H，过点Q作于点M，过点H作于点K，过点Q作于点N，如图所示： 则点B的坐标为，点E的坐标为， 根据解析（1）可得：， ∴，， ∴点Q到的距离为2， ∴点N的坐标为， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴， 当点P与点N重合时，，， 把代入得， 此时点H的坐标为，Q点的坐标为， ∴此时，， ∴， ∵点P越向右移，点H越向下移，点Q越向上移， ∴的面积与的面积之比越小， ∴当点P在点N右侧时，的面积与的面积之比小于，不可能为， ∴点P一定在点N的左侧， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当时，，则， ∴， ∴，， ∴， ∴， 把代入得： ， 解得：， 此时； 当时，，则， ∴， ∴，， ∴， ∴， 把代入得： ， 解得：， 此时点P与点A重合，； 综上，当将的面积分成两部分时，线段的长度为或4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的方程是一元二次方程，则应满足的条件是（ ）． A. B. C. D. 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比．在某一时刻，有人测得一高为的竹竿的影长为，某一高楼的影长为，那么这幢高楼的高度是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在的正方形网格中，的顶点是正方形网格的格点，则的正弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，“马”位于点，则“兵”位于（ ） A. B. C. D. 7. 如果把一个的三边都扩大到原来的2倍，那么的（ ） A. 周长扩大2倍 B. 面积扩大2倍 C. 对应角扩大2倍 D. 以上都有可能 8. 如图，已知线段AB，过点B作AB的垂线，并在垂线上取BC＝AB；连接AC，以点C为圆心，CB为半径画弧，交AC于点D；再以点A为圆心，AD为半径画弧，交AB于点P，则的值是（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本共6小题，每题3分，共18分。 9. 在比例尺为的地图上测得两地间的图上距离为，则两地间的实际距离为____． 10. 某水库大坝，其坡面的坡度 ，则斜坡的坡角的度数为_____． 11. 若，则等于_______度． 12. 已知：线段a、b、c满足关系式，且，那么________． 13. 化简的结果为________． 14. 如图，点为的边延长线上的一点，连结，交于点，交于点，且．给出下面四个结论：①；②；③；④的面积是的面积的12倍．上述结论中，正确结论的序号是________． 三、填空题：本共10小题，共78分。 15. 计算： （1）； （2）． 16. 解方程： （1）； （2）； 17. 如图，在平面直角坐标系中，B，C两点的坐标分别为，． （1）以原点O为位似中心，在y轴左侧将放大到原来的2倍，并画出放大后的； （2）若点在的内部，请直接写出经过（1）的变化后，对应点的坐标是________． 18. 已知关于x的方程． （1）若此方程的一个根为1，则m的值为________； （2）求证：对于任何实数m，此方程的根总不为0． 19. 如图，在中，，是上的点，已知是等边三角形，，，． （1）证明：； （2）求的度数． 20. 在不透明的盒子里装有红，黄，蓝三种颜色的卡片，这些卡片除颜色外其余都相同，其中红色卡片2张，黄色卡片1张，蓝色卡片1张． （1）从中任意抽取一张卡片，求抽到蓝色卡片的概率； （2）第一次随机抽取一张卡片（不放回），第二次再随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求两次抽到的都是红色卡片的概率． 21. 2026年是建国77周年，全国各地积极开展以国庆为主题的征文教育活动，据了解，今年3月份参加征文人数0.5万人，5月份参加征文人数增加到0.605万人． （1）求这两个月参加征文人数的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计6月份的参加征文人数是多少？ 22. 【教材呈现】下面是华师版九年级上册数学教材第66页部分内容． 例3如图23.3.9，在中，，， 求证：． 请根据教材内容，利用上图加以证明． （1）【探究】如图①，在中，，，设的边上的高为，的边上的高为，若、的面积分别为1、3，则________． （2）【应用】如图②，在中，点D、E分别在、上，点F、G在上，且，，若、、的面积分别为2、5、3，则的面积为________． 23. 我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题． 例：求的算术平方根． 解：∵， ∴的算术平方根是． 根据以上材料，回答下列问题： （1）_____________； （2）化简：； （3）在中，，，，那么BC边的长为多少？ 24. 如图，在矩形中，，．点E是边的三等分点，且．点P是边上的动点，绕点E逆时针旋转得到线段，连接． （1）当点P与点A不重合时，过点Q作边的垂线段，交于H，求证：； （2）当E，Q，C三点共线时，求线段的长； （3）连接、，则长度的最小值是________； （4）连接，当将的面积分成两部分时，直接写出此时线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $