山东德州市德城区第十中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试卷2026.10.8

德城区第十中学2026-2027学年九上第1次月考 数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1、下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A、 B、5x2-6y-3=0 C、ax2+bx+c=0 D、x²-3x=0 2、二次函数的顶点坐标是( ) A、（3，-5） B、（-3，-5） C、（-3，5） D、（3，5） 3、用配方法解一元二次方程x²-6x+3=0，下列变形正确的是( ) A、(x-3)²=6 B、(x-3)²=1 C、(x+3)²=6 D、(x-3)²=3 4、一元二次方程x2+2x-5=0的根的情况是( ) A、有两个不相等的实数根 B、没有实数根 C、有两个相等的实数 D、只有一个实数根 5、我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛(每两队之间都赛一场)，共安排28场比赛，设邀请x个球队参加比赛，可列方程为( ) A、x(x+1)=28 B、x(x-1)=28 C、x(x+1)=28 D、x(x-1)=28 6、二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)部分x，y的对应值如下表，则下列判断中正确的是( ) x ··· 0 1 3 4 ··· y ··· 1 -1 1 5 ··· A、函数图象的开口向下 B、当x>2时，y随x的增大而增大 G、y有最大值为y=- D、y有最小值为-1 7、一名篮球运动员在距离篮筐中心水平距离4m处投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮筐内.已知篮筐中心距离地面高度为3.05m，在如图的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ） A、此抛物线的解析式是y = -x2+3.5 B、篮筐中心的坐标是(4，3.05) C、此抛物线的顶点坐标是(3.5，0) D、篮球出手时离地面的高度是2m 8、如图，正方形ABCD边长为4，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且四边形EFGH为正方形。设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能是（ ） 9、已知关于x的一元二次方程2x2-6x-1=0的两个根分别是α，β，则2α2-3α+3β的值是（ ） A、10 B、3 C、2.5 D、11 10、已知抛物线y=4x2+2x+m，当-1<x<1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，则m的取值范围是（ ） A、m=或-6<m≤-2 B、m=或-6≤m<-2 C、m ≥ -2 D、-6≤m≤-2 二、填空题(本大题6小题，每小题4分，共24分) 11、将二次函数y=x2+4x+3的图象向右平移3个单位，再向下平移1个单位后的解析式为 ； 12、已知点A(-3，y1)，B(-5，y2)，C(2，y3)在函数y=-x2-2x+b的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为 ； 13、已知关于x的一元二次方程kx2-(2k-1)x+k-2=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ； 14、在一场AI技术研讨会上，一名专家掌握了DeepSeek模型优化技巧并开始分享。经过两轮分享后，共225人掌握此技巧。若每轮一人分享给相同数量的人，则每轮平均一人分享给 人。 15、若飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数解析式是y=60t-1.5t2，飞机着陆后，滑行 m才能停下来。 16、已知经过点（-1,0）且对称轴为x=1的二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，有以下结论： ①abc＞0； ②a-b+c＜0； ③4a+2b+c＞0； ④2a=b ； ⑤3a＋c＜0； ⑥a+b≥m(am+b)(m为任意实数). 正确结论是 （填序号）。 三、解答题(本大题共7题，满分86分) 17、(16分)解方程 (1) 2x2-8x-3=0 (2) 3x (x-2) =2 (2-x) (3) x2+4x-5=0 (4) 3x2+6x+4=0 18、(10分)二次函数的图象顶点坐标为(-2,-2)，且过(1，0)。 (1)求该二次函数解析式； (2)当-5≤x<4时，求函数值y的取值范围。 19、(10分)已知关于的一元二次方程x2-(m+2)x+m-1=0 (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且x12 + x22-x1x2=9，求m的值。 20、(12分)某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出210件。如果每件商品的售价每上涨1元，那么每个月少卖7件(每件售价不能高于70元)。设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元。 (1)求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少? (3)每件商品的售价定为多少时，每个月的利润为3500元?根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于3500元。 21、(12分)有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽AB=20m，当水位上升3m时，水面宽CD=10m。按如图所示建立平面直角坐标系。 (1)求此抛物线的函数表达式； (2)有一条船以6km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥36km时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.3m，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点2m时，将禁止船只通行.如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥? 22、(12分)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)与x轴交于A(-1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C。 (1)求该二次函数的解析式; (2)连接AC，BC，在第一象限的抛物线上是否存在一点P，使S△ABP=S△ABC?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 23、（14分）已知二次函数y=ax2+bx-3a（a，b是实数，a≠0）的图像经过点(-1,t)，(3,t)，(2,3)。 (1)求二次函数的表达式； (2)若点P(m-1，s)，Q(m+2，r)都在该二次函数的图像上，且s>r，求m的取值范围； (3)若把二次函数的图像沿x轴方向平移n(n>0)个单位长度得到一个新函数的图像，当2≤x≤3时，新函数的最大值为1，求n的值。 德城区第十中学2026-2027学年九上第1次月考 数学试卷（参考答案） 一、选择题 1-5: D B A A D 6-10: B A A A A 二、填空题 11、 y=x²-2x+1 12、 y1＞y3＞y2 13、k＞且k≠0 14、 14 15、 600 16、 ③⑥ 三、解答题 17、(16分)解方程 (1) 2x2-8x-3=0 (2) 3x (x-2) =2 (2-x) ( 3x (x-2) + 2 ( x-2 ) =0 (x-2) ( 3x+2 ) =0 x 1 =2， x 2 = ) 解：△=b²-4ac=64+24=88 解：3x (x-2) -2 (2-x) =0 x== x1= x2= (3) x2+4x-5=0 (4) 3x2+6x+4=0 解：(x+5) (x-1) =0 解：△=b²-4ac=36-48=-12＜0 x1=-5， x2=1 所以原方程无实数根。 18、解：（1）由题意的抛物线顶点为（-2，-2）， 设解析式为y=a(x+2)²-2， 将(1，0)代入得： 9a-2=0，得a=， 所以解析式为y=(x+2)²-2=x²+x-； （2）∵抛物线y=x²+x-，a=＞0，所以抛物线开口向上，对称轴为直线x=-2， ∴-5≤x<4时，当x=-2时y取最小值-2； ∵|-2-(-5)|＜|-2-4|，∴当x=4时，y取最大值6； ∴当-5≤x<4时，-2≤y＜6. 19、解：(1)x2-(m+2)r+m-1=0， △=b2-4ac=[-(m+2)]2-4×1×(m-1) =m2+4m+4-4m+4 =m2+8. ∵m2≥0，∴m2+8≥0，即△＞0. ∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根; （2）方程两根为x1，x2，则x1+x2=m+2，x1x2=m-1， ∴x12 + x22-x1x2=(x1+x2)2-2x1x2-x1x2=(x1+x2)2-3x1x2, 将x1+x2=m+2，x1x2=m-1代入得：(m+2)2-3(m-1)= m2+4m+4-3m+3 = m2+m+7=9 m2+m-2=0，(m+2)(m-1)=0，m1=-2，m2=1。 20、解： (1)y=(50+x-35)(210-7x) =(15+x)(210-7x) = -7x2 + 105x + 3150(1≤x≤20，且为正整数). (2)二次函数y=-7x2+105x+3150中，a=-7＜0，函数图象开口向下，对称轴为x==7.5， ∵x必须取正整数，所以当x=7或x=8时，y最大。 当x=7时，售价为50+7=57元，y=(15 +7)×(210-7×7)= 3542元； 当x=8时，售价为50+8=58元，y=(15 +8)×(210-7×8)= 3542元； 答：每件商品的售价定为57元或58元时，每个月可获得最大利润，最大利润为3542元。 （3）令y=3500，代入函数解析式得: -7x2 +105x +3150=3500 整理得:x2-15x+50=0，解得x1=5，x2=10 ∵抛物线开口向下，∴当5≤x≤10时，y≥3500， 50+5=55元，50+10=60元。 即每件商品售价定为55元或60元时，每月利润为3500元。当售价在55元到60元(包含55元和60元)时，每个月的利润不低于3500元。 21、 22、解： 23、解：（1）∵图象过(-1,t)，(3,t)，∴抛物线对称轴为x===1，b= -2a， ∴y=ax2-2ax-3a，将（2,3）代入得：4a-4a-3a=3，a= -1， ∴y= -x2+2x+3 （2）∵抛物线y= -x2+2x+3，a=-1＜0，对称轴x=1， ∴抛物线开口向下，x＜1时，y随x增大而增大；x＞1时，y随x增大而减小； ∴若点P(m-1，s)，Q(m+2，r)都在该二次函数的图像上，且s>r，∵m-1＜m+2， ∴①当P点在对称轴x=1左侧，Q点在对称轴x=1右侧时 ，解得＜m≤2； ②当P点、Q点都在对称轴x=1右侧时，即m-1＞1，m＞2， 综上：m＞。 （3）∵抛物线y= -x2+2x+3，a=-1＜0，对称轴x=1，抛物线开口向下； x＜1时，y随x增大而增大； x＞1时，y随x增大而减小； 当x=1时，y取最大值=4；当x=2时，y=3；当x=3时，y=0。 ①当抛物线向左平移时，新函数的图象在2≤x≤3时，y随x增大而减小， ∴当新函数最大值在2≤x≤3时为1，当x=2时，y=1，则图象过（2，1）， 设新函数图象为y= -(x-1+n)²+4，将（2，1）代入得：-(1+n)²+4=1，解得n1=，n2= -，∵n＞0，∴n=。 ②当抛物线向右平移时，新函数图象对称轴在x=2与x=3之间时，y取最大值4，不满足题意，舍去； ③当抛物线向右平移，对称轴在直线x=3右侧时，新函数的图象在2≤x≤3时，y随x增大而增大； ∴当新函数最大值在2≤x≤3时为1，即当x=3时，y=1，则图象过（3，1）， 设新函数图象为y= -(x-1-n)²+4，将（3，1）代入得：-(2-n)²+4=1，解得n3=，n4=，∵新图象对称轴x=1+n＞3，∴n＞2，所以n=。 综上，n=或。 ( 第 1 页 共 7 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $