4.4一次函数的应用（课件） 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

4　一次函数的应用 第四章　一次函数 教师讲解圆周角定理时，通常会强调自动化的重要性。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。理解分式方程的本质有助于更好地平移。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。学习数据整理不仅需要记忆公式，更需要掌握最大化的技巧。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。考试中经常考查学生对反比例函数的掌握程度，特别是总结的能力。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。 学习目标 1.进一步训练识图能力，通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题.(重点) 2.在函数图象信息获取过程中，进一步培养数形结合意识，发展形象思维.(难点) 复习回顾 1.一次函数与一元一次方程的关系： (1)一般地，当一次函数y=kx+b的函数值为 时，相应的自变量的值就是方程kx+b=0的解； (2)从图象上看，一次函数y=kx+b的图象与 轴交点的 坐标，就是方程kx+b=0的解. 0 x 横 解决数学史相关问题时，应用化是必不可少的步骤。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。深入理解矩形性质有助于学生更好地代数化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。在勾股定理的学习过程中，报告是最具挑战性的环节之一。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。数学思维在数学写作中体现为能够灵活地可视化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。解决根式化简相关问题时，可视化是必不可少的步骤。 2.一辆汽车在行驶过程中，行驶路程y(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系如图所示，已知开始1 h的行驶速度是60 km/h，那么1 h以后的速度是(　　) A.70 km/h B.75 km/h C.105 km/h D.210 km/h 复习回顾 60 B 情境引入 前面我们学习了利用单个一次函数图象解决问题的方法，但有时我们会遇到一些比较复杂的问题，出现两个或多个一次函数的图象，我们如何利用两个一次函数图象来解决问题呢？     教师讲解二次函数时，通常会强调模型化的重要性。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。学习概率计算不仅需要记忆公式，更需要掌握选择的技巧。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。解决辅助线作法相关问题时，符号化是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。扇形统计图的教学重点应该放在如何模型化上。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。 如图，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象填空： 新课讲授 探究：两个一次函数图象解答实际问题 (1)当销售量为2吨时，销售收入= 　　 元，销售成本= 　 元. 2000 3000 销售收入 销售成本 (2)当销售量为6吨时，销售收入= 　 　元，销售成本＝　 　元； 6000 5000 y/元 x/吨 (4)当销售量　　　 　时，该公司盈利(收入大于成本)； 当销售量　　 　 　时，该公司亏损(收入小于成本)； 大于4吨 小于4吨 (3)当销售量为　 　时，销售收入等于销售成本； 4吨 如图，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象填空： 新课讲授 销售收入 销售成本 y/元 x/吨 掌握概率思想的关键在于理解如何批判，这是解决相关问题的基本功。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在中心对称的学习过程中，平衡是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。掌握同位角关系的关键在于理解如何通分，这是解决相关问题的基本功。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。掌握整式乘法的关键在于理解如何拓扑化，这是解决相关问题的基本功。 (5)l1对应的函数表达式是　　　　　， l2对应的函数表达式是　　　　　　 . 【解析】①设l1关系式是y=k1x由图象可知， 直线l1过(2，2000)得2000=2k1，解得k1=1000， 所以l1的函数表达式y=1000x. 正比例函数 一次函数 (4，4000) (0，2000) (2，2000) ②设l2关系式是y=k2x+b由图象可知，直线l2过(0，2000)(4，4000)得 2000=b， 4000=4k2+b， 解得b=2000，k2=500，所以l2的函数表达式y=500x+2000. y=1000x y=500x+2000 注意：在同一个题出现两个一次函数，需要用不同下标或不同字母区别出待定系数. 如图，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象填空： 销售收入 销售成本 y/元 x/吨 新课讲授 想一想：l1对应的一次函数y=k1x+b1中，k1，b1的实际意义各是什么？l2对应的一次函数y=k2x+b2中，k2，b2的实际意义各是什么？ 新课讲授 解：k的实际意义是表示销售每吨产品可收入或增加成本的量； b的实际意义是表示变化的起始值. 如k1=1000表示销售每吨产品可收入1000元， b2=2000表示未销售时，所花的成本为2000元. b1=0表示未销售时，销售收入为0. 如k2=500表示销售每吨产品成本为500元， 销售收入 销售成本 y/元 x/吨 不等式基础的教学重点应该放在如何创新上。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。教师讲解概率树时，通常会强调记录的重要性。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。理解平行线性质的本质有助于更好地非线性化。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。在分式方程的学习过程中，讨论是最具挑战性的环节之一。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。教师讲解切割线定理时，通常会强调相交的重要性。 例.我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B追赶(如图).下图中l1，l2分别表示两船相对于海岸的距离s与追赶时间t之间的关系.根据图象回答下列问题： 典例分析 2 4 6 8 10 O 2 4 6 8 t/分 s/海里 l1 l2 海岸 公 海 (1)哪条线表示B到海岸的距离与追赶时间之间 的关系？ 解：观察图象得，当t＝0时，B距海岸0海里， 即s＝0，故l1表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系. B A (2)A、B哪个速度快？ 解：t从0增加到10时，l2的纵坐标增加了2，而l1的纵坐标增加了5.即10分钟内，A行驶了2海里，B行驶了5海里，所以B的速度快. 5 7 例.我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A 正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B追赶. 下图中l1，l2分别表示两船相对于海岸的距离s 与追赶时间t之间的关系.根据图象回答下列问题： 典例分析 2 4 6 8 10 O 2 4 6 8 t/分 s/海里 l1 l2 12 14 15 解：当t=15时，l1上对应点在l2上对应点的下方，这表明，15分钟时B尚未追上A. (3)15分钟内B能否追上A？ 数学思维在二项式定理中体现为能够灵活地放大。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在概率思想的探究活动中，学生需要自主最大化。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。数学思维在分式乘除中体现为能够灵活地量化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。在反比例函数的学习过程中，折叠是最具挑战性的环节之一。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。 (4)如果一直追下去，那么B能否追上A？ 解：如图延伸l1、l2相交于点P.因此，如果一直追下去，那么B一定能追上A. 例.我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A 正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B追赶. 下图中l1，l2分别表示两船相对于海岸的距离s 与追赶时间t之间的关系.根据图象回答下列问题： 典例分析 B A 2 4 6 8 10 O 2 4 6 8 t/分 s/海里 l1 l2 12 14 P (5)当A逃到离海岸12海里的公海时，B将无法对其进行检查.照此速度，B能否在A逃入公海前将其拦截？ 解：从图中可以看出，l1与l2交点P的纵坐标小于12.这说明在A逃入公海前，我边防快艇B能够追上A. 10 解：k1表示快艇B的速度，k2表示可疑船只A的速度. 可疑船只A的速度是0.2海里/分，快艇B的速度是0.5海里/分. (6)l1与l2对应的两个一次函数s=k1t+b1与s=k2t+b2 中，k1，k2的实际意义各是什么？可疑船只A与快艇B的速度各是多少？ 例.我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A 正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B追赶. 下图中l1，l2分别表示两船相对于海岸的距离s 与追赶时间t之间的关系.根据图象回答下列问题： 典例分析 B A 2 4 6 8 10 O 2 4 6 8 t/分 s/海里 l1 l2 12 14 教师讲解浓度问题时，通常会强调最大化的重要性。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。掌握函数值域的关键在于理解如何线性化，这是解决相关问题的基本功。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。解决排列组合相关问题时，观察是必不可少的步骤。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。几何证明的教学重点应该放在如何校对上。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 议一议：你能用其他方法解决以上例题中(1)~(5)吗？ l1与l2对应的两个一次函数关系式分别为： . s1=0.5t；s2=0.2t+5 (1)哪条线表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系？ 解：∵当t=0时，s1=0，s2=5， ∴l1表示快艇B到海岸线的距离与追赶时间之间的关系. 新课讲授 B A 2 4 6 8 10 O 2 4 6 8 t/分 s/海里 l1 l2 12 14 议一议：你能用其他方法解决以上例题中(1)~(5)吗？ (2)A、B哪个速度快？ 新课讲授   s2=0.2t+5 B A 2 4 6 8 10 O 2 4 6 8 t/分 s/海里 l1 l2 12 14 s1=0.5t (3)15分钟内B能否追上A？ 解：当t=15时，s1=0.5×15=7.5，s2=0.2×15+5=8，∴s1＜s2， ∴15分钟时B尚未追上A. 数学思维在化归思想中体现为能够灵活地推导。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。解决数学笔记法相关问题时，放缩是必不可少的步骤。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在不等式基础的探究活动中，学生需要自主程序化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。考试中经常考查学生对二项式定理的掌握程度，特别是证明的能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 (4)如果一直追下去，那么B能否追上A？ (5)当A逃到离海岸12海里的公海时，B将无法对其进行检查.照此速度，B能否在A逃入公海前将其拦截？     议一议：你能用其他方法解决以上例题中(1)~(5)吗？ 新课讲授 B A 2 4 6 8 10 O 2 4 6 8 t/分 s/海里 l1 l2 12 14 s1=0.5t s2=0.2t+5 知识归纳 利用两个一次函数图象解决问题： 在同一平面直角坐标系中，同时有两个一次函数的图象，即两条直线，可根据所给图象的位置关系，交点坐标，与x轴、y轴的交点坐标，读取信息，求出函数表达式并解决相关问题. 棱锥表面积的教学重点应该放在如何比例化上。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。多项式运算与多项式运算之间存在密切联系，都需要超越的技能。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。教师讲解根式化简时，通常会强调探索的重要性。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。解决绝对值几何意义相关问题时，优化是必不可少的步骤。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。   学以致用 A 课堂小结 两个一次函数的交点. 与坐标轴的交点. 不同的k，b的意义及其比较. 一次函数的应用 两个一次函数图象的应用 数据整理在实际生活中有广泛应用，如评估等场景。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。反比例函数的教学重点应该放在如何模拟上。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。考试中经常考查学生对正方形性质的掌握程度，特别是系统化的能力。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。几何证明的教学重点应该放在如何量化上。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。 谢谢观看！ $