专题07 一元二次方程的应用12大题型57题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题07 一元二次方程的应用 （温馨提醒：按住CTRL并单击鼠标左键以跟踪链接） 基础·固本强基 题型一、实数范围内的因式分解 题型二、传播问题 题型三、增长率与降价率问题 题型四、数学史与几何解法中的一元二次方程 提升·进阶突破 题型五、数字与规律问题 题型六、销售利润问题 题型七、动点与几何图形中的一元二次方程 拔高·压轴破难 题型八、工程与生产问题 题型九、行程与日历问题 题型十、分段计费与阅读应用 题型十一、比赛、握手与互赠问题 题型十二、新定义与综合应用 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型一、实数范围内的因式分解 在实数范围内分解二次三项式，先看对应方程的判别式：时不能分解；时求出两根、，则． 1．（24-25八年级上·上海·期中）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】实数范围内分解因式 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式的应用．判断二次三项式能否在实数范围内分解因式的方法：把二次三项式看成方程的形式，可以在实数范围内分解，即方程有实根，即．若二次三项式可以在实数范围内分解，则二次三项式等于0时，，计算各选项中的值，根据的符号判断即可． 【详解】解：A、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； B、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； C、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； D、， ∵， ∴方程没有实数解， 在实数范围内不能因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 2．在实数范围内因式分解：______． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程、实数范围内分解因式 【分析】先利用公式法求出方程的解，再分解因式即可． 【详解】解：∵方程中的，，， ∴方程根的判别式为，有两个不相等的实数根， ∴方程的解为， 即，， ． 3．在实数范围内因式分解：_____． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程、实数范围内分解因式 【分析】本题主要考查了在实数范围内分解因式，利用公式法求出关于x的一元二次方程的两个实数根即可得到答案． 【详解】解：令， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为： 4．（25-26八年级上·上海·期中）在实数范围内因式分解：________ 【答案】 【知识点】实数范围内分解因式 【分析】本题考查配方法将代数式变形为完全平方式及平方差公式进行因式分解，熟记公式结构是本题的解题关键． 先提取公因数，再配方，最后利用平方差公式求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·上海·期中）在实数范围内分解因式： ______________． 【答案】 【知识点】实数范围内分解因式 【分析】本题考查了因式分解． 利用配方法将二次三项式配方，再利用平方差公式分解因式． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 题型二、传播问题 每轮传播中“一人传给人”，一轮后为，两轮后为．抓住“每轮每个传染源传染的人数相同”列方程，求出后按题意取舍，再回答实际问题． 6．某村为提高当地“村”总决赛的热度，发起了邀请好友转发海报得门票的活动．小方从公众号转发链接给自己后，又转发给个好友，收到链接的每个好友又转发给个互不相同的人，此时小方的这条链接共被转发133次，刚好满足领取门票的资格，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用——传播问题，个好友转发给个互不相同的人时，转发了次，加上小方转给自己的1次和转给好友的次，共133次，由此可列方程． 【详解】解：由题意得，， 故选B． 7．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157，设每个支干长出的小分支数目为x，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．根据题意主干，支干和小分支的总数是157，列出方程即可． 【详解】解：每个支干长出x个小分支，根据题意得： ， 故选：A． 8．（25-26八年级上·上海·期中）流感是一种传染性极强的疾病，如果有1人患病，经过两轮传染后有121人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为________________． 【答案】 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据传染模型，每轮传染中平均每人传染人，经过两轮传染后总患病人数为初始人数的倍，列方程即可． 【详解】解：有1人患传染病，且每轮传染中平均一个人传染了个人， 第1轮传染中有x个人被传染，第一轮传染中有个人被传染， 第2轮：这人每人再传染x人，新增个患者， ∴两轮后总患病数为． ∵两轮后有121人患病， ∴列方程得：， 整理得：， 故答案为：． 9．化学是一门以实验为基础的学科，小华在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，第二节课小华因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班43名同学恰好都会做这个实验了．求的值． 【答案】的值为6 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解题目中数量关系，掌握一元二次方程的运用是解题的关键． 小华第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，全班43名同学恰好都会做，由此数量关系列式即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得（不符合题意，舍去）， 答：的值为6． 10．若一人患上流感，经过两轮传染后，共有144人被传染上流感，这时引起有关部门注意，加以控制，以后每轮传染少5人，问第四轮传染后共有多少人患流感？ 【答案】第四轮传染后共有7056人患流感 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有144人患了流感，可求出x，进而求出第四轮过后，又被感染的人数． 本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x人，依题意有：， 故， ∴或， ∴，（不合题意，舍去）， （人）． 答：第四轮传染后共有7056人患流感． 题型三、增长率与降价率问题 用列方程：是起始量，是次变化后的量，是平均增长率（取正）或降低率（）．先弄清“变化了几次”，解出后要按实际意义舍去不合题意的根． 11．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段检测）某工厂七月份的产值是100万元，计划第三季度共创产值484万元．若每个月产值的增长率相同，并设这个增长率为x，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握增长率的计算方法是解题的关键； 根据每个月产值的平均增长率为x，七月份的产值是100万元，表示之后两个月的产值，然后已知第三季度的总产值，列方程即可． 【详解】解：∵每个月产值的平均增长率为x，七月份的产值是100万元， ∴八月份产值为， 九月份产值为， ∵计划第三季度共创产值484万元， ∴， 故选：D． 12．（24-25八年级上·上海·期中）某服装经过两次降价后的售价为元，如果连续两次以同样的百分率降价，该服装的原价为__________元．（用含和的代数式表示） 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设该服装的原价为b元，利用代数式先表示出第一次降价后的价格，再在第一次的基础上表示出第二次降价后的价格，整理后即可得出结论． 【详解】解：设该服装的原价为b元， 第一次降价后的价格为：元， 则第二次降价后的价格为：元， 根据题意得， ∴， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）为加快上海家电以旧换新速度，某商场对一台原价4000元的电视进行调价，经过两次降价后，价格调整为2560元，如果每次降低的百分率相同，则这个百分率为_______． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这个百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，检验后可得出结论． 【详解】解：设这个百分率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴这个百分率为． 故答案为：． 14．（24-25八年级上·上海·期中）有一件商品，由原售价连续两次降价，每次降价的百分率相同．已知原售价是800元，降价两次后的售价是578元，若每次下降的百分率是x，由题意列出关于x的方程：________． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，找准数量关系列出方程是解题的关键． 设每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的售价是原来的，那么第二次降价后的售价是原来的，根据题意列方程解答即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为，那么第一次降价后的售价是原来的，那么第二次降价后的售价是原来的，根据题意得 ， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）上海市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少钱？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔每个售价应定为60元 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得： 解得（不合题意，舍去） 答：设该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个售价为y元，依题意，得： ， 整理，得 解得 因为尽可能让顾客得到实惠，所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为60元． 题型四、数学史与几何解法中的一元二次方程 读懂材料中的配方法与图形变换（如赵爽弦图、几何拼图），把面积或线段关系写成一元二次方程；按示例的步骤整理，注意图形的边长都取正值，负根要舍去． 16．（25-26八年级上·上海·期中）赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 第一步：将原方程变形为； 第二步：画四个长为，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即； 第三步：得新方程；因为x表示边长，所以，即．一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为4的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为2，那么此方程的正根为 _____ ． 【答案】 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】题目主要考查解一元二次方程，理解新定义是解题关键． 先根据材料提示分解为，图形结合分析，即可得，由此即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵图2是由四个面积为4的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为2， ∴， ∴， ∵中间围成的正方形面积为2， ∴边长为， ∴， ∵，x表示边长， ∴． ∴． 故答案为：． 17．（24-25八年级上·上海·期中）请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月，我国古代三国时期的数学家赵爽给出了一元二次方程的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积可以表示为，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． 任务： (1)参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是________（从序号①②③中选择）； (2)一个长方形的长比宽长2米，且该长方形的面积为15平方米，则长方形的宽为多少？请列出方程并求解； (3)通过对上述材料的学习，尝试用几何法求解在第（2）题中你所列出的方程，在图2的网格中设计正确的构图． 【答案】(1)② (2) 解：由题意，设长方形的宽为米， ∴长为米． ∴， 由（2）中解法可得或（负值，舍去）； (3) 解：由题意，首先构造如图所示的图形： 图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为， ∴大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8． ∴． ∴． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题是材料阅读题，考查了构造图形解一元二次方程，关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程，体现了数形结合的思想． （1）仿照阅读材料构造图形，即可判断出构图方法； （2）依据题意，设长方形的宽为米，从而长为米，则，进而计算可以得解； （3）仿照阅读材料构造大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为， ∴大正方形的面积又可表示为， ∴大正方形的边长为8，则， ∴，则正确构图②， 故答案为：②； （2）略 （3）略 18．（25-26八年级上·上海·期中）列方程解应用题： 某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一个的长方形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不用篱笆）． (1)如果茶园面积为，求这个茶园的长和宽； (2)如果让围出的茶园面积最大，长和宽分别是多少？并求出最大面积是多少． 【答案】(1)这个茶园的长为，宽为 (2)如果让围出的茶园面积最大，长和宽分别是，最大面积是． 【知识点】配方法的应用、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，配方法的应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设这个茶园的宽为（垂直于墙的一边的长），则长为，再根据长方形面积计算公式建立方程求解即可； （2）设这个茶园的宽为（垂直于墙的一边的长），则长为，茶园的面积为，根据长方形面积计算公式可得，再求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设这个茶园的宽为（垂直于墙的一边的长），则长为， 由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 答：这个茶园的长为，宽为； （2）解：设这个茶园的宽为（垂直于墙的一边的长），则长为，茶园的面积为， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴当时，W有最大值，最大值为， 此时， 答：如果让围出的茶园面积最大，长和宽分别是，最大面积是． 19．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）有一张边长为10cm的正方形硬纸板，在硬纸板的四个角上剪去四个相同的小正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子．如果这个长方体盒子的底面面积与一个侧面的面积恰好相等，求剪去的小正方形的边长． 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设剪去的小正方形的边长为，根据“长方体盒子的底面面积与一个侧面的面积恰好相等”，列方程求解即可． 【详解】解：设剪去的小正方形的边长为， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：剪去的小正方形的边长为． 20．（25-26八年级上·上海金山·期中）数学史上，曾有数学家利用几何法求解一元二次方程．下面，以的求解为例，说明几何法解一元二次方程的过程： 由于，因此．分别以和为两边构造一个长方形，面积为64．如图（1）所示，再把该长方形分割成一个面积是的小正方形和两个面积是的小长方形．如图（2）所示，将分割后的图形重新拼成图（3）所示的图形，则图（3）的阴影部分是边长为6的小正方形，面积为36．这样就将一个面积为64的长方形和一个面积为36的小正方形拼成了一个面积为，边长是的正方形，显然该正方形的边长为10，故10，得． 用几何法求解一元二次方程时，只能得到正数根．请根据上述材料解决以下问题： (1)用几何方法求方程的正数根． 具体过程如下： ①在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度． ②根据①中所画图形求出方程的正数根． (2)根据探究材料，我们尝试用“立体图形的组合”求特殊的一元三次方程的正根．例如，求的正数根． 类比平面图形的研究，可将此问题转化成拼正方体来求解，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图（4）中的几何体_____块； 需要准备图（5）中的几何体_____块； 需要准备图（6）中的几何体_____块； 需要准备图（7）中的几何体_____块； 请直接写出方程的一个正数根：_____． 【答案】(1) ①根据题意作图如下： ② (2)1，3，3，1， 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解此题的关键． （1）①根据题意画出图形即可； ②根据所画图形并结合题意解答即可； （2）由可得需要准备图（4）中的几何体块；需要准备图（5）中的几何体块；需要准备图（6）中的几何体块，画出拼成的立体图形，从而可得需要准备图（7）中的几何体块，因此，由此求解即可． 【详解】（1）解：①略 ②根据①中所画图形，通过图形变化，将一个面积为32的长方形和四个面积为的小正方形拼成了一个面积为，且边长是的正方形． 显然该正方形的边长为，故，得； （2）解：， 故需要准备图（4）中的几何体块；需要准备图（5）中的几何体块；需要准备图（6）中的几何体块，拼成的立体图形如图所示： 故需要准备图（7）中的几何体块， 因此拼成了一个体积为，棱长是的正方体，故，得．故方程的一个正数根为． 故答案为：1，3，3，1，． 提升·进阶突破 题型五、数字与规律问题 设未知数表示相关的数（连续整数设为、，两位数设为），把“积、和、倍”等关系写成方程；解出后要根据“数字是整数、非负、不超过”等条件取舍． 21．已知两个相邻的偶数之积为，若设较小的偶数为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了列一元二次方程，设较小的偶数为，则较大的偶数为，根据题意得出方程，即可求解． 【详解】解：设较小的偶数为，则较大的偶数为，根据题意得 故选：D． 22．若一个数的平方与的差等于这个数的倍，则这个数为______． 【答案】或 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键； 设这个数为，列方程解方程即可求解； 【详解】解：设这个数为， 根据题意可得：， 解得：，， 故答案为：或 23．（25-26八年级上·上海虹口·阶段检测）满足的有序有理数对__________． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了无理数的特点、解一元二次方程等知识点，掌握两个相等的无理数得有理数部分和无理数部分相等以及运用换元法解高次方程是解题的关键． 根据无理数的特点可得，易得，设，则，解得：或3；然后分和两种情况解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ，即， ∵x、y是有理数， ∴， 由②可得：， 将代入①可得：，即， 设，则，解得：或3； 当时，，则或（不合题意，舍去）， ∴， ∴有序有理数对； 当时，，此时，不符合题意，舍去． 综上，有序有理数对． 故答案为：． 24．有一个两位数等于其数字之积的2倍，其十位数字比个位数字小3，求这个两位数． 【答案】36 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查利用一元二次方程解决数字问题．熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键，设设个位数字为，则十位数字是，由题可得，整理并解得的值， 从而可得答案． 【详解】解：设个位数字为，则十位数字是． 根据题意可得：，     整理得：， ， 解得：，（不是整数，舍去）． 答：这个两位数为． 题型六、销售利润问题 利润$=$（售价$-$进价）销量，其中销量随售价（或降价）线性变化．设涨价（降价）元，把单价与销量都用表示，再由总利润列方程；注意“加价不超过进价的”一类的限制条件． 25．某商店从厂家以每件30元的价格购进一批商品，经过市场调研发现，若每件商品售价为a元，则可以卖出件；但政府限定每件商品加价不能超过进价的40%，如果店家计划赚330元，那么每件商品售价是多少元？ 【答案】每件商品售价是41元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可．解题的关键的读懂题意，正确的列出方程． 【详解】解：由题意，得：， 解得：或， ∵政府限定每件商品加价不能超过进价的40%， ∴， ∴． 答：每件商品售价是41元． 26．（25-26八年级上·上海·期中）中秋节是我国的传统节日，中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．市场上每盒豆沙月饼的进价比蛋黄肉松月饼的进价便宜10元，某商家用8000元购进的蛋黄肉松月饼和用6000元购进的豆沙月饼的盒数相同． (1)求蛋黄肉松月饼和豆沙月饼每盒的进价； (2)在销售中，该商家发现蛋黄肉松月饼每盒售价50元时，每天可售出100盒，每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．若蛋黄肉松月饼每盒的售价不得低于进价，且要保证每天至少售出70盒蛋黄肉松月饼．中秋节当天该商家销售蛋黄肉松月饼共获得1600元的利润，求当天蛋黄肉松月饼的售价． 【答案】(1)每盒蛋黄肉松月饼的进价为40元，每盒豆沙月饼的进价为30元 (2)当天蛋黄肉松月饼的售价为每盒60元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、分式方程的经济问题 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用及一元二次方程的应用，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程是解题的关键． （1）设每盒蛋黄肉松月饼的进价为x元，则每盒豆沙月饼的进价为元，根据用8000元购进的蛋黄肉松月饼和用6000元购进的豆沙月饼的盒数相同列方程解决即可； （2）设当天蛋黄肉松月饼的售价为每盒y元，根据销量乘以每盒的利润等于1600元列方程并解方程即可解决． 【详解】（1）解：设每盒蛋黄肉松月饼的进价为x元，则每盒豆沙月饼的进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 元， 答：每盒蛋黄肉松月饼的进价为40元，每盒豆沙月饼的进价为30元； （2）解：设当天蛋黄肉松月饼的售价为每盒y元，由题意得： ， 解得：， 当时，销量为盒盒，符合题意； 当时，销量为盒盒，不符合题意，舍去； 答：当天蛋黄肉松月饼的售价为每盒60元． 27．（24-25八年级下·上海·期中）小丽的叔叔分别用元和元钱从甲乙两地购进数量不等的同一商品，已知乙地商品比甲地每件便宜元，从乙地购进的商品数量比甲地购进的商品数量多件，如果小丽的叔叔按每件元销售该商品，且全部销售完，那么小丽的叔叔从甲地共购进商品多少件？总共可赚多少元？ 【答案】小丽的叔叔可赚元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、分式方程的经济问题 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．注意不要忘记检验．首先设乙地商品进价为元，则甲地商品进价为元，根据题意可得等量关系：乙地购进商品的数量甲地购进商品的数量，根据等量关系列出方程，算出进价，即可求出数量． 【详解】解：首先设乙地商品进价为元，则甲地商品进价为元，根据题意可得： 解得：或舍去， 经检验是方程的解， ， 答：小丽的叔叔从甲地购进商品件， ， 答：小丽的叔叔可赚元． 28．某服装店在销售中发现：衬衫平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接“双十一”购物节，该服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元，那么平均每天就可多售出3件． (1)若每件衬衫降价5元，那么平均每天就可售出______件； (2)为保持节后销售价格的稳定性，规定降价不能超过15元．要想平均每天销售这种衬衫盈利1800元，那么每件衬衫应降价多少元？ 【答案】(1)45 (2)10元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意可求得销售数量件； （2）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件，利用每天销售衬衫获得的总利润＝每件衬衫的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合降价不能超过15元即可求得． 【详解】（1）解：（件）， 故答案为：45； （2）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又∵降价不能超过15元， ∴舍去， 故． 答：每件衬衫应降价10元． 29．商场销售某种拖把，已知这种拖把的进价为80元/套，售价为120元/套，商场每天可销售20套、国庆假期临近，该商场决定采取适当的降价措施，经调查：这种拖把的售价每降价1元，平均每天可多售出2套，设这种拖把每套降价x元． (1)降价后每套拖把盈利______元，平均每天可销售______套（用含x的代数式表示）； (2)为扩大销售量，尽快减少库存，当每套拖把降价多少元时，该商场销售这种拖把平均每天能盈利1242元？ (3)该商场销售这种拖把平均每天的盈利能否达到1400元？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)每套拖把降价17元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1242元； (3)不能， 理由如下： 设每套拖把降价y元，则每套的销售利润为元，平均每天的销售量为套， 依题意得：， 整理得：． ∵， ∴此方程无实数解， 即不可能每天盈利1400元． 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． （1）设每套拖把降价x元，根据题意列出代数式即可； （2）设每套拖把降价x元，则每套的销售利润为元，平均每天的销售量为套，根据题意列出一元二次方程求解即可； （3）设每套拖把降价y元，则每套的销售利润为元，平均每天的销售量为套，根据题意列出一元二次方程，然后依据判别式求解即可. 【详解】（1）解：设每套拖把降价x元，则每天销售量增加套，即每天销售套， 每套拖把盈利元． 故答案为：，； （2）解：设每套拖把降价x元，则每套的销售利润为元，平均每天的销售量为套， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 又∵需要尽快减少库存， ∴． 答：每套拖把降价17元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1242元； （3）略 题型七、动点与几何图形中的一元二次方程 用含的式子表示动点走过的线段长，再按图形的面积关系（或勾股定理）列方程；先确定的取值范围（动点到达终点即停止），解出后检验所得解是否在范围内． 30．如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．设点P运动的时间是，用t分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【详解】解：设点P运动的时间是， ， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， 故答案为：A． 31．（24-25八年级上·上海·阶段检测）如图所示，中，，厘米，厘米，占从点开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过__________秒钟的面积等于5平方厘米． 【答案】1 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了实际问题与一元二次方程：动态几何问题，根据运动速度以及运动方向得，，，根据面积列式，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：经过秒钟的面积等于5平方厘米， 由题意得：，，， 则， ∵的面积等于5平方厘米 ∴ 解得 ∵ ∴舍去 ∴ 故答案为：1 32．如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动（到达终点后停止），点Q从点B开始沿边B﹣C﹣D向终点D以的速度移动．如果点P，Q分别从A，B同时出发，当点P和点Q都运动到终点时，运动过程停止，设运动时间为．在这个运动过程中，四边形的面积等于时，此时t的值是 ______________________． 【答案】3或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程（一元二次方程）是解题的关键．分，及三种情况考虑：当时，连接AQ，DQ，连接，，此时，，当当时，，，当时，，，由四边形的面积等于 列出关于t的方程，解之即可得出t值． 【详解】解：（秒），（秒），（秒）． 当时，连接，，此时，，如图1所示． 依题意得：， 即 解得：，（不合题意，舍去）； 当时，，，如图2所示． 依题意得： ， 即， 解得：t（不合题意，舍去）； 当时，，，如图3所示． 依题意得：， 即， 解得：t． 综上，t的值为3或． 故答案为：3或． 33．在中，，动点M、N分别从点A和点C同时开始移动，点M的速度为/秒，点N的速度为/秒，点M移动到点C后停止，点N移动到点B后停止．问经过几秒钟，的面积为？    【答案】2秒或5秒 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】设经过x秒钟后，的面积为，则，然后分和两种情况，利用三角形面积公式建立方程求解即可. 【详解】解： 设经过x秒钟后，的面积为， 当时， 由题意得，， ∴， ∴． ∵，即， ∴舍去，即； 当时，此时点与点重合，点停止运动 由题意得，， 解得， 综上：经过2秒或5秒，的面积为． 34．（24-25八年级上·上海·阶段检测）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别是从、同时出发，当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． (1)求经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)的面积能否等于10平方厘米，如果能求出运动的时间，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)2秒或4秒 (2)不能，理由： 设运动时间为x秒，的面积等于10平方厘米， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于10平方厘米． 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】一元二次方程的实际应用，根据题意，正确表示出线段长度及，利用三角形面积公式列出方程求解，是解答本题的关键． （1）设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； （2）设运动时间为x秒，的面积等于10平方厘米，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断． 【详解】（1）解：设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于8平方厘米； （2）解：略． 拔高·压轴破难 题型八、工程与生产问题 工程问题用“工作总量$=$工作效率工作时间”：把工作总量设为或题设的具体量，用表示工作效率，按“两队合作”“提前完工”等关系列方程，并注意年增长率与月增长率的区别． 35．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元 (2)的值为 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)、工程问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，根据题意列方程即可求解； （2）根据题意分别表示出甲、乙每天的实际工作量，实际成本，根据数量关系列方程即可求解． 【详解】（1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元， ∴，解得，， ∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元． （2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元， ∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最中每天的实际总成本为万元， ∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查方程与实际问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握列方程的方法，解一元一次方程，一元二次方程的方法是解题的关键． 36．为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 【答案】每天加固的长度还要再增加64米 【知识点】工程问题(一元二次方程的应用)、分式方程的工程问题 【分析】设现在计划每天加固的长度为x米，则原计划每天加固的长度为米，根据“现计划比原计划所需天数缩短2天”列分式方程，即可求解． 【详解】解：设现在计划每天加固的长度为x米， 由题意知：， 整理可得：， 解得，（舍）， 经检验，是所列分式方程的解， 即现在计划每天加固的长度为160米， （米）， 因此每天加固的长度还要再增加64米． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用、解一元二次方程，解题的关键是根据所给等量关系列出分式方程，求出解后注意检验． 37．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条或条生产线 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、工程问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加y条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加y条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 38．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲最多施工900米 (2)的值为2 【知识点】工程问题(一元二次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键． （1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答； （2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 39．北京冬奥会期间，海内外掀起一股购买冬奥会吉祥物“冰墩墩”的热潮．某玩具厂接到6000箱“冰墩墩”的订单，需要在冬奥会闭幕之前全部交货．为了尽快完成订单，玩具厂改良了原有的生产线，每天可以多生产20箱“冰墩墩”，结果提前10天完成任务，求该玩具厂改良生产线前每天生产多少箱“冰墩墩”？ 【答案】100箱 【知识点】工程问题(一元二次方程的应用)、分式方程的工程问题 【分析】设该玩具厂改良生产线前每天生产x箱“冰墩墩”，则该玩具厂改良生产线后每天生产(x+20)箱“冰墩墩”，根据题意即可列出分式方程，解分式方程即可求得． 【详解】解：设该玩具厂改良生产线前每天生产x箱“冰墩墩”，则该玩具厂改良生产线后每天生产箱“冰墩墩”， 根据题意得 整理得： 解得，(舍去) 经检验：，都是原方程的解，但不符合题意舍去， 故该玩具厂改良生产线前每天生产100箱“冰墩墩”． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，找准等量关系，列出分式方程是解决本题的关键，注意要检验． 题型九、行程与日历问题 行程问题抓住“路程$=$速度时间”，把各段时间用未知数表示后由时间差列方程；日历问题按“同一行相邻数相差、同一列相邻数相差”设元，再根据和或积列方程并检验是否符合日历的排列． 40．汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】行程问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意把路程的值代入求解． 根据路程和时间之间的关系，将代入求出t即可． 【详解】解：依题意得： ， 整理得， 解得(不合题意舍去)，， 即行驶需要． 故选：C. 41．汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为______． 【答案】 【知识点】行程问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意把路程的值代入求解． 根据路程和时间之间的关系，将代入求出t即可． 【详解】解：依题意得， 整理得， 解得(不合题意舍去)，， 即行驶需要． 故答案为： 42．新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系是．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要______s能到达终点． 【答案】 8 【知识点】行程问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；根据滑行距离与时间的关系式，将已知距离代入方程，解一元二次方程求时间． 【详解】解：由题意，滑行距离S与时间t的关系为． 当时，有． 整理得． 为方便计算，方程两边同乘2，得． ． 因为， 所以． 解得，． 由于时间不能为负数，故． 故答案为8． 43．（24-25八年级下·上海·期中）是一条东西方向的道路，是一条南北方向的道路，这两条道路相交于点．小明和小丽分别从十字路口点处同时出发，小丽沿着以4千米/时的速度由西向东前进，小明沿着以5千米/时的速度由南向北前进，有一棵百年古树位于图中点处，古树与、的距离分别为3千米和2千米．问离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等． 【答案】小时 【知识点】行程问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据题意，假设小明看作点，小丽看作点，再过分别作、的垂线，两人与这棵古树的距离恰好相等，也就是，在直角三角形中利用勾股定理列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设两人离开路口时间为，小明看作点，小丽看作点， 千米，千米 两人与这棵古树的距离恰好相等，则 根据题意处与、的距离分别为3千米和2千米 如图，过点作 ， 在中，，即 在中，，即 解得（舍去）， 答：离开路口后经过小时，两人与这棵古树的距离恰好相等． 44．如图是今年某月的日历表，小欧用一个平行四边形，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是264，求小欧框出的最小数． 【答案】12 【知识点】图表信息题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 【详解】设最小数为x，则最大数为， ， ， 解得（舍去）， 所以小欧框出的最小数是12． 45．如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数． (1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）； (2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数． 【答案】(1)； (2)9． 【知识点】图表信息题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设圈出的四个数中，最小的数为，根据日历上两个数之间的关系可得答案； （2）根据最小数与最大数的乘积为105，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）解：设圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为 故答案为： （2）设四个数中，最小数为，根据题意，得. 解得（不符合题意负值舍去） 答：这个最小值为9. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 题型十、分段计费与阅读应用 分段计费要先按收费标准判断用水量（用电量）落在哪一段，再分区间写出费用表达式或方程；表格给出的数据要逐行核对，据此求出分界值及两段的单价． 46．某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按元缴纳水费． (1)若，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ (2)若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 【答案】(1)该用户应缴纳水费元 (2)10 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、图表信息题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，然后根据“用水量每月不超过a吨时，每吨按元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按元缴纳水费”，即可求解； （2）当时，根据4月份的用水量和水费总额建立方程求出a的值，再根据5月份的用水量和水费总额验证a的值即可；当时，根据4月份的用水量和水费总额建立方程求出a的值即可． 【详解】（1）解：元， 答：该用户应缴纳水费元； （2）解：当时， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 当时，， ∴符合题意； 当时，则， 解得（舍去）； 综上所述，． 47．请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即得方法.首先构造了如图1所示得图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． 　 　　　　 任务： （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是 （从序号①②③中选择）． （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程（写出必要的思考过程）． 【答案】（1）②；（2）． 【知识点】图表信息题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）仿照案例构造图形，即可判断正确构图； （2）仿照案例构造图形即可求得x的值． 【详解】解：（1）应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形的面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，得．故正确构图的是②． 故答案为：②； （2）首先构造了如图2所示的图形． 图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，得． 【点睛】本题是材料阅读题，考查了构造图形解一元二次方程，关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程．体现了数形结合的思想． 题型十一、比赛、握手与互赠问题 个对象中：每两队之间比赛一场共场，每两人互赠礼物共件（若握手计一次则为次）；先辨明“单循环还是双循环”“是赠还是收”，再列方程． 48．（25-26八年级上·上海·期末）某省举办的城市业余足球联赛采用主客场双循环赛制，每支球队与其他球队需进行两场比赛（主场和客场各一次）．本赛季该联赛共完成比赛156场．设参加联赛的球队有x支，根据题意，为求解x，以下列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查根据实际问题列方程，根据双循环赛制中，每两支球队之间进行两场比赛，总比赛场数为球队数x与的乘积列方程即可． 【详解】解：设有x支球队，则每支球队与其他支球队各进行两场比赛，总比赛场数为， 由题意得：， 故选B． 49．（25-26八年级上·上海·期末）学校运动会期间，选拔了若干支球队进行篮球比赛，共比赛了场，每两队之间都比赛一场，设一共有支球队，那么可列出方程__________． 【答案】 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，掌握相关量之间的等量关系是解题的关键． 每两支球队之间比赛一场，总比赛场数为从x支球队中选取2支的组合数，即，根据题意总场数为，即可列出方程． 【详解】解：设有x支球队，每两队之间比赛一场，则总比赛场数为， 根据题意，总场数为场，所以方程为． 故答案为：． 50．（25-26八年级上·上海闵行·期末）春节前夕一群学生举行一次聚会，聚会时每两个人之间都互赠一张贺卡，这样共送出了张贺卡．设这群学生共有人，根据题意可列一元二次方程是______． 【答案】 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题关键是明确“每两个人之间都互赠一张贺卡”意味着每个人需要向除自己外的所有人各送一张，从而推导总贺卡数的表达式．据此解答即可． 【详解】解：设这群学生共有人， ∵每个人需要向除自己外的人各赠送1张贺卡， ∴总共送出的贺卡数为张． 已知共送出张贺卡， ∴可列方程为． 故答案为：． 51．（25-26八年级上·上海普陀·阶段检测）某校八年级举行篮球比赛，每个班级都要和其他班级比赛一次，且两个班级之间只比赛一次，结果一共进行了21场比赛，设八年级共有x个班级，那么列出方程是________． 【答案】 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查一元二次方程的应用，每个班级需与其他个班级比赛，但每场比赛被计算了两次，因此总比赛场数为 ，根据总场数为21，列出方程即可． 【详解】解：设八年级共有x个班级， 根据题意，每两个班级之间进行一场比赛，总比赛场数为； 因此，方程为 ， 故答案为： ． 52．某小组同学毕业前，每位同学都向小组内其他所有同学各送一件礼物，礼物数共计72件，那么该小组有_____人． 【答案】 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】设该小组共有人，每人向其余同学赠送一件礼物，可得每人赠送件礼物，根据总礼物数为件建立一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到结果． 【详解】解：设该小组有人，根据题意，得： ， 整理得， 因式分解得， 解得，， 因为人数为正整数，所以舍去， 即该小组有9人． 53．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）假设每一个参加宴会的人跟其他参会的人都握一次手，在宴会结束时，所有的参会者总共握手28次，那么参会人士共有多少人？设参会人士共有x人，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设参会人士共有x人，则根据两两握手一次，共握了28次手可列出方程，解出即可． 【详解】解：设参会人士共有x人， 则根据分析可得：． 故选：C． 题型十二、新定义与综合应用 先按定义把新概念（如“半根方程”）翻译成关于两根的条件，再用根与系数的关系和判别式转化为方程；涉及定价、房间数等实际问题时，先列二次方程，再结合取值范围确定解． 54．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一根的一半，则称这样的方程为“半根方程”．以下关于半根方程的说法，正确的是（    ） A．方程是半根方程 B．方程是半根方程 C．若，则方程是半根方程 D．若点在函数的图象上，则关于的方程是半根方程 【答案】C 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握半根方程的定义是解题的关键．根据题意解得方程的解后即可利用半根方程的定义进行逐项判断，即可求解． 【详解】解：A．方程的解为，此方程不是半根方程，此结论错误； B．方程的解为，此方程不是半根方程，此结论错误； C． ∵， ∴或， ∵方程的解为 ∴或， 则方程是半根方程，此结论正确． D．∵点在函数的图象上， ∴， 关于的方程解得： ， ， ∴此方程不是半根方程，此结论错误． 故选：C 55．（24-25八年级下·上海崇明·期中）联欢会上，每位同学向其他同学赠送1件礼物，结果共有互赠礼物870件，求参加联欢会的同学人数，设参加联欢会的同学有x人，那么可列出方程______． 【答案】 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设参加联欢会的同学有x人，则每人送出件礼物，根据共送礼物870件可列出方程． 【详解】解：设参加联欢会的同学有x人，则每人送出件礼物， 由题意得，． 故答案为：． 56．（25-26八年级上·上海·期中）某小组每人给其他人送一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共有________人． 【答案】10 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并列出方程是解决本题的关键． 设小组人数为n，则每人送出张照片，总照片数为，求解即可． 【详解】解：设小组共有n人， 根据题意得，总照片数为 解得或（不符合题意，舍去）， ∴小组共有10人． 故答案为：10． 57．某宾馆有房间40间，当每间房间定价为300元/天时，可全部住满．每间房间定价每增加10元/天，未入住的房间将增加1间．入住的房间的维护费为20元/天，未入住的房间的维护费为5元/天． (1)当每间房间定价为360元/天时，入住的房间有 间； (2)若该宾馆每天的收入为11350元，每间房间定价为多少元/天？（宾馆每天的收入=入住的房费-维护费） 【答案】(1)34 (2)400 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 （1）利用入住的房间数，即可求出结论； （2）设每间房间定价为x元/天，则入住的房间有间有，根据该宾馆每天的收入要达到11350元，可得出关于x的一元二次方程，求解取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：（间）， ∴当每间房间定价为360元/天时，入住的房间有34间． 故答案为： 34； （2）解：设每间房间定价为x元/天，则入住的房间有 间， 根据题意得： ， 整理得： 解得： 又为正整数， 答：每间房间定价为400元/天． 试卷第1页（共3页） 1 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 一元二次方程的应用 （温馨提醒：按住CTRL并单击鼠标左键以跟踪链接） 基础·固本强基 题型一、实数范围内的因式分解 题型二、传播问题 题型三、增长率与降价率问题 题型四、数学史与几何解法中的一元二次方程 提升·进阶突破 题型五、数字与规律问题 题型六、销售利润问题 题型七、动点与几何图形中的一元二次方程 拔高·压轴破难 题型八、工程与生产问题 题型九、行程与日历问题 题型十、分段计费与阅读应用 题型十一、比赛、握手与互赠问题 题型十二、新定义与综合应用 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型一、实数范围内的因式分解 在实数范围内分解二次三项式，先看对应方程的判别式：时不能分解；时求出两根、，则． 1．（24-25八年级上·上海·期中）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．在实数范围内因式分解：______． 3．在实数范围内因式分解：_____． 4．（25-26八年级上·上海·期中）在实数范围内因式分解：________ 5．（25-26八年级上·上海·期中）在实数范围内分解因式： ______________． 题型二、传播问题 每轮传播中“一人传给人”，一轮后为，两轮后为．抓住“每轮每个传染源传染的人数相同”列方程，求出后按题意取舍，再回答实际问题． 6．某村为提高当地“村”总决赛的热度，发起了邀请好友转发海报得门票的活动．小方从公众号转发链接给自己后，又转发给个好友，收到链接的每个好友又转发给个互不相同的人，此时小方的这条链接共被转发133次，刚好满足领取门票的资格，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 7．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157，设每个支干长出的小分支数目为x，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·上海·期中）流感是一种传染性极强的疾病，如果有1人患病，经过两轮传染后有121人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为________________． 9．化学是一门以实验为基础的学科，小华在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，第二节课小华因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班43名同学恰好都会做这个实验了．求的值． 10．若一人患上流感，经过两轮传染后，共有144人被传染上流感，这时引起有关部门注意，加以控制，以后每轮传染少5人，问第四轮传染后共有多少人患流感？ 题型三、增长率与降价率问题 用列方程：是起始量，是次变化后的量，是平均增长率（取正）或降低率（）．先弄清“变化了几次”，解出后要按实际意义舍去不合题意的根． 11．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段检测）某工厂七月份的产值是100万元，计划第三季度共创产值484万元．若每个月产值的增长率相同，并设这个增长率为x，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·上海·期中）某服装经过两次降价后的售价为元，如果连续两次以同样的百分率降价，该服装的原价为__________元．（用含和的代数式表示） 13．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）为加快上海家电以旧换新速度，某商场对一台原价4000元的电视进行调价，经过两次降价后，价格调整为2560元，如果每次降低的百分率相同，则这个百分率为_______． 14．（24-25八年级上·上海·期中）有一件商品，由原售价连续两次降价，每次降价的百分率相同．已知原售价是800元，降价两次后的售价是578元，若每次下降的百分率是x，由题意列出关于x的方程：________． 15．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）上海市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少钱？ 题型四、数学史与几何解法中的一元二次方程 读懂材料中的配方法与图形变换（如赵爽弦图、几何拼图），把面积或线段关系写成一元二次方程；按示例的步骤整理，注意图形的边长都取正值，负根要舍去． 16．（25-26八年级上·上海·期中）赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 第一步：将原方程变形为； 第二步：画四个长为，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即； 第三步：得新方程；因为x表示边长，所以，即．一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为4的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为2，那么此方程的正根为 _____ ． 17．（24-25八年级上·上海·期中）请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月，我国古代三国时期的数学家赵爽给出了一元二次方程的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积可以表示为，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． 任务： (1)参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是________（从序号①②③中选择）； (2)一个长方形的长比宽长2米，且该长方形的面积为15平方米，则长方形的宽为多少？请列出方程并求解； (3)通过对上述材料的学习，尝试用几何法求解在第（2）题中你所列出的方程，在图2的网格中设计正确的构图． 18．（25-26八年级上·上海·期中）列方程解应用题： 某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一个的长方形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不用篱笆）． (1)如果茶园面积为，求这个茶园的长和宽； (2)如果让围出的茶园面积最大，长和宽分别是多少？并求出最大面积是多少． 19．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）有一张边长为10cm的正方形硬纸板，在硬纸板的四个角上剪去四个相同的小正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子．如果这个长方体盒子的底面面积与一个侧面的面积恰好相等，求剪去的小正方形的边长． 20．（25-26八年级上·上海金山·期中）数学史上，曾有数学家利用几何法求解一元二次方程．下面，以的求解为例，说明几何法解一元二次方程的过程： 由于，因此．分别以和为两边构造一个长方形，面积为64．如图（1）所示，再把该长方形分割成一个面积是的小正方形和两个面积是的小长方形．如图（2）所示，将分割后的图形重新拼成图（3）所示的图形，则图（3）的阴影部分是边长为6的小正方形，面积为36．这样就将一个面积为64的长方形和一个面积为36的小正方形拼成了一个面积为，边长是的正方形，显然该正方形的边长为10，故10，得． 用几何法求解一元二次方程时，只能得到正数根．请根据上述材料解决以下问题： (1)用几何方法求方程的正数根． 具体过程如下： ①在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度． ②根据①中所画图形求出方程的正数根． (2)根据探究材料，我们尝试用“立体图形的组合”求特殊的一元三次方程的正根．例如，求的正数根． 类比平面图形的研究，可将此问题转化成拼正方体来求解，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图（4）中的几何体_____块； 需要准备图（5）中的几何体_____块； 需要准备图（6）中的几何体_____块； 需要准备图（7）中的几何体_____块； 请直接写出方程的一个正数根：_____． 提升·进阶突破 题型五、数字与规律问题 设未知数表示相关的数（连续整数设为、，两位数设为），把“积、和、倍”等关系写成方程；解出后要根据“数字是整数、非负、不超过”等条件取舍． 21．已知两个相邻的偶数之积为，若设较小的偶数为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 22．若一个数的平方与的差等于这个数的倍，则这个数为______． 23．（25-26八年级上·上海虹口·阶段检测）满足的有序有理数对__________． 24．有一个两位数等于其数字之积的2倍，其十位数字比个位数字小3，求这个两位数． 题型六、销售利润问题 利润$=$（售价$-$进价）销量，其中销量随售价（或降价）线性变化．设涨价（降价）元，把单价与销量都用表示，再由总利润列方程；注意“加价不超过进价的”一类的限制条件． 25．某商店从厂家以每件30元的价格购进一批商品，经过市场调研发现，若每件商品售价为a元，则可以卖出件；但政府限定每件商品加价不能超过进价的40%，如果店家计划赚330元，那么每件商品售价是多少元？ 26．（25-26八年级上·上海·期中）中秋节是我国的传统节日，中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．市场上每盒豆沙月饼的进价比蛋黄肉松月饼的进价便宜10元，某商家用8000元购进的蛋黄肉松月饼和用6000元购进的豆沙月饼的盒数相同． (1)求蛋黄肉松月饼和豆沙月饼每盒的进价； (2)在销售中，该商家发现蛋黄肉松月饼每盒售价50元时，每天可售出100盒，每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．若蛋黄肉松月饼每盒的售价不得低于进价，且要保证每天至少售出70盒蛋黄肉松月饼．中秋节当天该商家销售蛋黄肉松月饼共获得1600元的利润，求当天蛋黄肉松月饼的售价． 27．（24-25八年级下·上海·期中）小丽的叔叔分别用元和元钱从甲乙两地购进数量不等的同一商品，已知乙地商品比甲地每件便宜元，从乙地购进的商品数量比甲地购进的商品数量多件，如果小丽的叔叔按每件元销售该商品，且全部销售完，那么小丽的叔叔从甲地共购进商品多少件？总共可赚多少元？ 28．某服装店在销售中发现：衬衫平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接“双十一”购物节，该服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元，那么平均每天就可多售出3件． (1)若每件衬衫降价5元，那么平均每天就可售出______件； (2)为保持节后销售价格的稳定性，规定降价不能超过15元．要想平均每天销售这种衬衫盈利1800元，那么每件衬衫应降价多少元？ 29．商场销售某种拖把，已知这种拖把的进价为80元/套，售价为120元/套，商场每天可销售20套、国庆假期临近，该商场决定采取适当的降价措施，经调查：这种拖把的售价每降价1元，平均每天可多售出2套，设这种拖把每套降价x元． (1)降价后每套拖把盈利______元，平均每天可销售______套（用含x的代数式表示）； (2)为扩大销售量，尽快减少库存，当每套拖把降价多少元时，该商场销售这种拖把平均每天能盈利1242元？ (3)该商场销售这种拖把平均每天的盈利能否达到1400元？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． 题型七、动点与几何图形中的一元二次方程 用含的式子表示动点走过的线段长，再按图形的面积关系（或勾股定理）列方程；先确定的取值范围（动点到达终点即停止），解出后检验所得解是否在范围内． 30．如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（   ） A． B． C．或 D． 31．（24-25八年级上·上海·阶段检测）如图所示，中，，厘米，厘米，占从点开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过__________秒钟的面积等于5平方厘米． 32．如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动（到达终点后停止），点Q从点B开始沿边B﹣C﹣D向终点D以的速度移动．如果点P，Q分别从A，B同时出发，当点P和点Q都运动到终点时，运动过程停止，设运动时间为．在这个运动过程中，四边形的面积等于时，此时t的值是 ______________________． 33．在中，，动点M、N分别从点A和点C同时开始移动，点M的速度为/秒，点N的速度为/秒，点M移动到点C后停止，点N移动到点B后停止．问经过几秒钟，的面积为？    34．（24-25八年级上·上海·阶段检测）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别是从、同时出发，当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． (1)求经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)的面积能否等于10平方厘米，如果能求出运动的时间，如果不能，请说明理由． 拔高·压轴破难 题型八、工程与生产问题 工程问题用“工作总量$=$工作效率工作时间”：把工作总量设为或题设的具体量，用表示工作效率，按“两队合作”“提前完工”等关系列方程，并注意年增长率与月增长率的区别． 35．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 36．为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 37．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 38．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 39．北京冬奥会期间，海内外掀起一股购买冬奥会吉祥物“冰墩墩”的热潮．某玩具厂接到6000箱“冰墩墩”的订单，需要在冬奥会闭幕之前全部交货．为了尽快完成订单，玩具厂改良了原有的生产线，每天可以多生产20箱“冰墩墩”，结果提前10天完成任务，求该玩具厂改良生产线前每天生产多少箱“冰墩墩”？ 题型九、行程与日历问题 行程问题抓住“路程$=$速度时间”，把各段时间用未知数表示后由时间差列方程；日历问题按“同一行相邻数相差、同一列相邻数相差”设元，再根据和或积列方程并检验是否符合日历的排列． 40．汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（   ） A． B． C． D． 41．汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为______． 42．新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系是．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要______s能到达终点． 43．（24-25八年级下·上海·期中）是一条东西方向的道路，是一条南北方向的道路，这两条道路相交于点．小明和小丽分别从十字路口点处同时出发，小丽沿着以4千米/时的速度由西向东前进，小明沿着以5千米/时的速度由南向北前进，有一棵百年古树位于图中点处，古树与、的距离分别为3千米和2千米．问离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等． 44．如图是今年某月的日历表，小欧用一个平行四边形，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是264，求小欧框出的最小数． 45．如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数． (1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）； (2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数． 题型十、分段计费与阅读应用 分段计费要先按收费标准判断用水量（用电量）落在哪一段，再分区间写出费用表达式或方程；表格给出的数据要逐行核对，据此求出分界值及两段的单价． 46．某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按元缴纳水费． (1)若，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ (2)若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 47．请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即得方法.首先构造了如图1所示得图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． 　 　　　　 任务： （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是 （从序号①②③中选择）． （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程（写出必要的思考过程）． 题型十一、比赛、握手与互赠问题 个对象中：每两队之间比赛一场共场，每两人互赠礼物共件（若握手计一次则为次）；先辨明“单循环还是双循环”“是赠还是收”，再列方程． 48．（25-26八年级上·上海·期末）某省举办的城市业余足球联赛采用主客场双循环赛制，每支球队与其他球队需进行两场比赛（主场和客场各一次）．本赛季该联赛共完成比赛156场．设参加联赛的球队有x支，根据题意，为求解x，以下列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 49．（25-26八年级上·上海·期末）学校运动会期间，选拔了若干支球队进行篮球比赛，共比赛了场，每两队之间都比赛一场，设一共有支球队，那么可列出方程__________． 50．（25-26八年级上·上海闵行·期末）春节前夕一群学生举行一次聚会，聚会时每两个人之间都互赠一张贺卡，这样共送出了张贺卡．设这群学生共有人，根据题意可列一元二次方程是______． 51．（25-26八年级上·上海普陀·阶段检测）某校八年级举行篮球比赛，每个班级都要和其他班级比赛一次，且两个班级之间只比赛一次，结果一共进行了21场比赛，设八年级共有x个班级，那么列出方程是________． 52．某小组同学毕业前，每位同学都向小组内其他所有同学各送一件礼物，礼物数共计72件，那么该小组有_____人． 53．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）假设每一个参加宴会的人跟其他参会的人都握一次手，在宴会结束时，所有的参会者总共握手28次，那么参会人士共有多少人？设参会人士共有x人，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 题型十二、新定义与综合应用 先按定义把新概念（如“半根方程”）翻译成关于两根的条件，再用根与系数的关系和判别式转化为方程；涉及定价、房间数等实际问题时，先列二次方程，再结合取值范围确定解． 54．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一根的一半，则称这样的方程为“半根方程”．以下关于半根方程的说法，正确的是（    ） A．方程是半根方程 B．方程是半根方程 C．若，则方程是半根方程 D．若点在函数的图象上，则关于的方程是半根方程 55．（24-25八年级下·上海崇明·期中）联欢会上，每位同学向其他同学赠送1件礼物，结果共有互赠礼物870件，求参加联欢会的同学人数，设参加联欢会的同学有x人，那么可列出方程______． 56．（25-26八年级上·上海·期中）某小组每人给其他人送一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共有________人． 57．某宾馆有房间40间，当每间房间定价为300元/天时，可全部住满．每间房间定价每增加10元/天，未入住的房间将增加1间．入住的房间的维护费为20元/天，未入住的房间的维护费为5元/天． (1)当每间房间定价为360元/天时，入住的房间有 间； (2)若该宾馆每天的收入为11350元，每间房间定价为多少元/天？（宾馆每天的收入=入住的房费-维护费） 试卷第1页（共3页） 1 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $