专题04 二次根式的运算16大题型63题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题04 二次根式的运算 （温馨提醒：按住CTRL并单击鼠标左键以跟踪链接） 基础·固本强基 题型一、同类二次根式的判断 题型二、已知最简二次根式求参数 题型三、二次根式的乘除运算 题型四、二次根式的化简与计算 题型五、二次根式运算的正误判断 题型六、二次根式的除法与字母取值范围 提升·进阶突破 题型七、二次根式的乘除混合运算 题型八、分母有理化及其应用 题型九、二次根式的加减与混合运算 题型十、二次根式的混合运算求值 题型十一、比较二次根式的大小 拔高·压轴破难 题型十二、二次根式的化简求值 题型十三、二次根式的实际应用 题型十四、实数的混合运算 题型十五、规律探究 题型十六、新定义运算 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型一、同类二次根式的判断 先把每个根式化为最简二次根式，再看被开方数是否相同：相同即为同类二次根式．如与是同类二次根式． 1．（25-26八年级上·上海静安·期中）下列各组的两个二次根式是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题主要考查同类二次根式的判断．解题的关键在于，需化简为最简二次根式后，检查被开方数是否相同．根据二次根式的化简，化简后再判断出同类二次根式即可． 【详解】选项A：化简 ，化简 ，两式最简形式被开方数均为，为同类二次根式．符合题意； 选项B: 和 ，被开方数分别为 和 ，故不是同类二次根式，不符合题意； 选项 C: 和 ，被开方数分别为和，故不是同类二次根式，不符合题意； 选项D: 和 ，化简后不是二次根式，故不是同类二次根式，不符合题意． 故选A． 2．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（  ） A．与 B．与（其中） C．与 D．与（其中，） 【答案】C 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 判断二次根式是否为同类，需将它们化为最简二次根式，比较被开方数是否相同，据此逐项判断即可． 【详解】解：同类二次根式需化简后被开方数相同， 选项A：与，被开方数分别为和7，不同，故不是同类二次根式； 选项B：与（其中），可化为，被开方数分别为和，不同，故不是同类二次根式； 选项C：，，两者最简形式被开方数均为6，故是同类二次根式； 选项D：，，其中，，被开方数分别为和，不同，故不是同类二次根式； 故选：C． 题型二、已知最简二次根式求参数 同类二次根式的被开方数相同，据此列方程求参数；“最简二次根式”还隐含被开方数不含分母、不含开得尽方的因数，可再得一个条件，最后要检验． 3．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为________________． 【答案】 【知识点】同类二次根式、已知最简二次根式求参数 【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式．根据同类二次根式的定义，将化为最简二次根式后，被开方数为5，因此令的被开方数等于5，解方程，即可作答． 【详解】解：依题意，，其被开方数为5， ∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·上海青浦·期中）最简二次根式与是同类二次根式，则______． 【答案】4 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义，若两个最简二次根式是同类二次根式，则它们的被开方数必须相同，据此列出方程求解即可 【详解】解：由最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：4． 5．（25-26八年级上·上海金山·期中）已知、是实数，，且最简二次根式与是同类二次根式，求代数式的平方根． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、同类二次根式、求一个数的平方根、分式有意义的条件 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、同类二次根式的定义、平方根，熟练掌握二次根式有意义的条件是解答的关键． 先根据二次根式和分式有意义的条件求得，进而得；再根据同类二次根式的被开方数相同求得，然后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：由题意，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，解， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的平方根为． 题型三、二次根式的乘除运算 乘法法则（，），除法法则（，）；运算结果都要化成最简二次根式． 6．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）下列等式中，从左到右的变形过程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法 【分析】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的乘法与除法运算，熟练掌握二次根式的性质，二次根式的乘法与除法运算是解题的关键． 根据二次根式的性质和二次根式的乘法与除法运算法则进行判断即可．选项A、B、C的等式均需满足特定条件才成立，而选项D的变形符合二次根式的除法性质，在且时恒成立，因此正确． 【详解】解： A．：仅当且时成立，即，否则不一定成立，故等式不成立； B．：当，时，左边，右边，故等式不成立； C．：，不一定等于，故等式不成立； D．：当左边有意义时（即，），右边必然有意义且等式成立，故正确． 故选：D． 7．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列式子不是的有理化因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法 【分析】本题考查有理化因式的概念，关键是通过相乘验证是否消除根式．注意选项C的乘积仍保留根式结构． 有理化因式需满足与给定式子相乘后结果不含根式．通过计算各选项与 的乘积，判断是否含根式． 【详解】∵ 有理化因式应使乘积不含根式， A．，不含根式； B．，不含根式； C．，仍含根式； D．，不含根式． ∴ 选项C不是有理化因式． 故选：C． 8．（25-26八年级上·上海·期中）若，则“”内的运算符号为___________（填“”“”“”“”）． 【答案】 【知识点】二次根式的除法、二次根式的加减运算、二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．分别计算与进行加、减、乘、除运算的结果，与比较，判断等式成立的运算符号． 【详解】加法：不是同类二次根式，不能合并，且数值不相等． 减法：不是同类二次根式，不能合并，且数值不相等． 乘法：，等式成立． 除法：，等式不成立． 故答案为：×． 题型四、二次根式的化简与计算 先用把根式化简，再把能开得尽方的因数移到根号外，最后代入计算． 9．（25-26八年级上·上海闵行·期中）数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，使它变成了面积为的正方形纸片，则原长方形纸片的面积为____________________． 【答案】． 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的乘法 【分析】本题考查二次根式的应用与长方形、正方形的面积计算，熟练掌握二次根式是解题关键． 先根据正方形面积求出其边长，再逆推原长方形的长和宽，进而计算面积． 【详解】一个面积为的正方形纸片， 边长为：， 原长方形的长为：，宽为：， 原长方形纸片的面积为：． 故答案为 ． 10．计算：． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算和化简二次根式，根据题意可得，据此先计算二次根式乘法，再化简二次根式即可得到答案． 【详解】解：∵二次根式，和有意义， ∴， ∴ ． 题型五、二次根式运算的正误判断 逐项验证时要盯住前提：、都要求被开方数非负，条件不满足的变形就是错的． 11．（25-26八年级上·上海宝山·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式的除法、二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的加法，二次根式的除法． 根据二次根式的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：，A正确； ，B错误； ，C错误； ，D错误； 故选：A． 12．（25-26八年级上·上海普陀·期中）下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的除法、二次根式的加减运算、二次根式的乘法 【分析】本题考查二次根式的运算，包括加法、减法、乘法和除法．需要根据二次根式的运算法则逐一判断． 【详解】解：A．，选项错误，不符合题意； B．，选项错误，不符合题意； C．，选项正确，符合题意； D．，选项错误，不符合题意； 故选：C． 题型六、二次根式的除法与字母取值范围 由有意义得且，据此列出不等式（组）解出字母的取值范围． 13．（25-26八年级上·上海闵行·期中）不等式的解集为_______． 【答案】 【知识点】二次根式的除法、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式以及二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键； 先通过移项，然后系数化为1，求解不等式，并简化表达式． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴不等式的解集为：． 14．（25-26八年级上·上海闵行·期中）如果成立，那么的取值范围是：______． 【答案】/ 【知识点】二次根式的除法、二次根式有意义的条件、求不等式组的解集 【分析】本题考查了二次根式的定义，解一元一次不等式组，根据二次根式的定义，被开方数必须非负，且分母不能为零，得出，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 故， ∴的取值范围是， 故答案为：． 提升·进阶突破 题型七、二次根式的乘除混合运算 按从左到右的顺序依次运算，能约分的先约分；，最终结果化成最简二次根式． 15．（25-26八年级上·上海静安·期中）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的除法、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运算除法，再进行分母有理化，最后化简，即可作答． 【详解】解： ． 16．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）计算：________________． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查二次根式的乘除法，先化简，将除法转化为乘法，然后进行乘法运算，通过约分得到结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 17．（25-26八年级上·上海虹口·期中）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题关键． 根据二次根式的运算法则运算即可． 【详解】解：原式 ． 18．（25-26八年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的混合运算法则计算即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 19．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式的乘除混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据二次根式乘除运算法则即可求解； （）先分母有理化，二次根式乘法运算，然后进行二次根式加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型八、分母有理化及其应用 分子、分母同乘分母的有理化因式：，，化去分母中的根号后再化简． 20．已知，，且，则实数n的值为________． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、分母有理化、利用二次根式的性质化简 【分析】先将，进行分母有理化，再分别求出，的值，然后将已知等式变形为，最后代入求解． 【详解】解： ∴， ， ， ∴， ∴ ∴ ∴ 解得 ∵ ∴． 21．比较大小：______（填“”，“”，“”）． 【答案】 【知识点】比较二次根式的大小、分母有理化、运用完全平方公式进行运算 【分析】根据，，比较解答即可． 【详解】解： ，， ， ∵， ∴， 故， 即， 因此， 即． 22．已知，求的值． 【答案】 【知识点】已知条件式，化简求值、分母有理化 【分析】现将分母有理化，得到，再移项，并将方程两边平方，得到，所以，即可得到答案． 【详解】解：， ， 两边平方，得， ， ． 23．阅读理解：化简：． 解：原式 ； 依照上述方法解答下列各题： (1)化简：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算 【分析】（1）仿照题干给定的方法进行求解即可； （2）仿照题干给定的方法求出原式的倒数，进而求出原式即可. 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ； ∴原式. 题型九、二次根式的加减与混合运算 先化成最简二次根式，再合并同类二次根式；有括号先算括号内的，混合运算按先乘除、后加减的顺序进行． 24．（25-26八年级上·上海闵行·期末）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的加减运算． 先化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解： ． 25．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）计算： 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算、分母有理化、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的性质化简，二次根式的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据分母有理化以及二次根式的性质进行化简，再运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 26．（25-26八年级上·上海青浦·期中）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】根据二次根式的性质，二次根式的加减解答即可． 本题考查了二次根式的性质，加减运算，熟练掌握运算是解题的关键． 【详解】解： ． 27．（25-26八年级上·上海长宁·期中）计算： (1) (2)（，） (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】二次根式的乘除混合运算、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先利用二次根式的性质化简各部分，再计算乘法，最后计算加减； （2）先利用二次根式的性质化简各部分，再计算乘除； （3）前面用分配律计算，后面用平方差公式计算，再利用二次根式的性质化简，最后得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）（，） ； （3） ． 28．计算：________． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【详解】解： ． 29．计算：； 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【详解】解： ． 题型十、二次根式的混合运算求值 先化简再代入求值；常用、、简化运算． 30．已知，x、y为实数，且，求的值． 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、二次根式的混合运算、平方根的应用 【分析】通过去括号，移项，并配方得到，根据平方根的定义，可求得，所以或，再结合，即可求得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 或， ， ． 31．（24-25八年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【详解】解：原式 ． 32．（24-25八年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【详解】解：原式 题型十一、比较二次根式的大小 常用三种方法：比较被开方数；先平方再比较（，时等价于）；分母有理化后再比较． 33．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）比较大小：__________（填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【知识点】比较二次根式的大小、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了比较二次根式的大小．先整理，根据，得，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：>． 34．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）比较大小：_____（填“”“”或“”）． 【答案】 【知识点】比较二次根式的大小、实数的大小比较、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了二次根式比较大小的方法，进行完全平方公式的运用是解决本题的关键． 通过比较两个数平方的大小来间接比较这两个数的大小． 【详解】解：因为， ， 因为，所以，即， 因为，，所以． 故答案为：． 35．（24-25八年级上·上海·期中）比较大小：_________ 【答案】 【知识点】比较二次根式的大小、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的大小比较，利用二次根式的性质将根号外的系数转入根号内是解题的关键． 利用二次根式的性质将和变形，再比较大小． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 36．（25-26八年级上·上海·期中）比较大小∶ _____ ． 【答案】 【知识点】比较二次根式的大小、二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式比较大小，通过计算两个表达式的差值，并判断差值的正负来比较大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 37．（25-26八年级上·上海·期中）二次根式除法可以这样做：如果，像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以； ②若a是的小数部分，则的值为 ③比较两个二次根式的大小： ④计算： 以上结论正确的是________．（写出所有正确的序号） 【答案】①③④ 【知识点】无理数整数部分的有关计算、比较二次根式的大小、分母有理化 【分析】本题考查了利用分式的基本性质、平方差公式进行分母有理化． ①类比示例，利用分式的基本性质进行分母有理化； ②估计无理数的整数部分，求出小数部分，进而分母有理化进行化简； ③通过分母有理化，比较两个二次根式的大小； ④通过分母有理化找到题中无理式求和的运算规律，从而化简求出值． 【详解】解：①， 故将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以，故①正确； ②∵a是的小数部分， ∴， 故，故②错误； ③，， ，， ∵，， 故， ∴， 故 即，故③正确； ④， ， ， ， 故 ，故④正确． 故答案为：①③④． 拔高·压轴破难 题型十二、二次根式的化简求值 先把已知条件分母有理化或配方，再化简所求式子；含、$xy$的式子整体代入，如． 38．已知，那么的值等于（     ） A． B． C． D．3 【答案】D 【知识点】分式化简求值、已知字母的值，化简求值、利用二次根式的性质化简 【分析】先求出，，则可得，再化简分式、二次根式，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 39．（25-26八年级上·上海青浦·期中）当时，二次根式的值为_______． 【答案】 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的求值，先化简二次根式，再将字母的值代入，即可求解． 【详解】解：． 当时，． 故答案为：． 40．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】已知字母的值，化简求值、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，分母有理化，已知字母的值求代数式的值．正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得，则，化简，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则， ； 把代入， 得． 41．（25-26八年级上·上海·阶段检测）先化简，再求值：已知，求的值． 【答案】； 【知识点】已知字母的值，化简求值、分母有理化、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查的是分母有理化，能够利用完全平方公式对所求代数式进行变形是解题的关键． 先对原式进行化简，再代入求值即可． 【详解】解： ； 当时， 原式． 42．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）（1）计算： （2）已知，求的值． 【答案】 （1）；（2） 【知识点】已知字母的值，化简求值、分母有理化、二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式混合运算和二次根式化简求值，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则． （1）先算乘除法，化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）先将分母有理化为，由，再把所求式子化简为，将代入即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， ∵， ∴， ∴ ， 则原式． 43．（25-26八年级上·上海·期中）如果正数满足，那么的值是______． 【答案】 【知识点】分式化简求值、已知条件式，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则的关键． 由 可得 ，然后求出的平方即可求解． 【详解】解：由 ，可得 ， ∵，, ∴． 故答案为：． 44．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知：，，求：的值． 【答案】 【知识点】已知条件式，化简求值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值，先分母有理化得到，，再求出，，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴ ． 45．（25-26八年级上·上海·期中）已知，判断和的正负并求的值． 【答案】和都为负数，5 【知识点】已知条件式，化简求值、利用二次根式的性质化简 【分析】根据，可判定和同号且同为负，后根据二次根式的性质，结合已知，化简求值即可． 本题考查了二次根式的化简求值，实数的和，积运算，熟练掌握化简求值的基本思路是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， 故和同号且同为负， 故 ． 46．（25-26八年级上·上海闵行·期中）先化简，再求值：，其中是4的算术平方根，是的倒数． 【答案】， 【知识点】已知条件式，化简求值、利用二次根式的性质化简 【分析】本题重点考查了二次根式的混合运算，化简求值，二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)，同时本题还运用到了平方差公式和完全平方差公式，熟练掌握二次根式混合运算顺序以及平方差和完全平方差公式是本题求解的关键． 先将左边括号的代数式构造平方差公式和完全平方差公式，约掉相同的公因式，并相加减得左边括号代数式，右边括号代数式通分，再约掉相同的公因式，最终得到化简后的代数式。代入的值，即可完成求解． 【详解】解：由题意知，， 原式 ， 将，代入得， 原式 题型十三、二次根式的实际应用 把实际问题中的长度、面积用二次根式表示，代入相应公式计算，最后化成最简二次根式并注明单位． 47．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为6和24，则图中阴影部分面积为_____． 【答案】6 【知识点】二次根式的应用、算术平方根的实际应用 【分析】本题考查二次根式的混合运算和正方形，长方形的面积．熟练掌握正方形，长方形的面积公式，二次根式的性质，二次根式的混合运算顺序和法则，是解决本题的关键． 根据图形可以求得图中两个小正方形的边长，本题得以解决． 【详解】解：设两个正方形的边长分别是x、y（）， 则． ∴． ∴阴影部分的面积是． 故答案为：6． 48．（25-26八年级上·上海闵行·期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体．其下落的时间（单位：）和下落高度（单位：）近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)物体从的高空落到地面的时间为_________． (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度．一个质量为的鸡蛋经过落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？会对无防护人体造成伤害吗？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 【答案】(1)2 (2) 能量为，会对无防护人体造成伤害 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算法则是解题的关键． （1）根据公式，代入计算即可． （2）先根据公式，求得高度，再根据公式物体质量×高度，计算能量即可． 【详解】（1）∵，， ∴． 故答案为：2； （2）∵，, ∴， ∴， ∴，而 ∴， 故，会对无防护人体造成伤害． 49．（25-26八年级上·上海宝山·期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)小明说物体从的高空落到地面的时间是从的高空落到地面时间的倍，他的说法正确吗？请说明理由； (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量（）高度（），某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：砸伤无防护人体只需要的能量） 【答案】(1) 不正确，理由如下： 由题意得，当时，， 当时，， ， 说法不正确； (2)这个鸡蛋在下落过程中所带能量为； 启示：严禁高空抛物，一个鸡蛋都能砸伤人． 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查的知识点是二次根式的应用，解题关键是理解公式，正确运算代入求值． （1）将、分别代入公式求出时间，再进行比较即可得解； （2）利用公式求出，代入能量计算公式即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：当时，， 解得， 鸡蛋下落过程中所带能量为， ， 启示：严禁高空抛物，一个鸡蛋都能砸伤人． 50．（25-26八年级上·上海·期中）阅读材料，回答下列问题： （一）已知a，b为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”． （二）分数和分式有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化为整式与真分式的和的形式，如； (1)在①，②，③，④这些分式中，属于假分式的是_____（填序号）： (2)已知，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？求出该最小值． 【答案】(1)②④ (2) (3)当 时，最小值为3 【知识点】二次根式的应用、分式的判断、分式的求值 【分析】本题为新定义问题，考查了分式的计算，二次根式的变形，完全平方公式的应用等知识，理解题目中的相关材料，并根据题意灵活应用是解题关键． （1）根据真分式、假分式的定义逐项判断即可求解； （2）先根据，得到，进而得到，即可得到，利用倒数的定义即可求出； （3）先求出，再将变形为根据（一）结论得到，即可求出当且仅当，即时，有最小值，最小值为3． 【详解】（1）解：在①，②③④这些分式中，属于假分式的是：②，④. 故答案为：②④ （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴. （3）解：由题意，， ∴． 原式 ． 当且仅当，即时，等号成立． ∴原式的最小值为3． 题型十四、实数的混合运算 注意负数的立方根仍是负数、；按先乘方与开方、再乘除、最后加减的顺序计算． 51．（25-26八年级上·上海·期中）下列说法正确的是（　） A．是分数 B．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 C．如果,那么 D．两个无理数的和不一定是无理数 【答案】D 【知识点】求一个数的立方根、无理数、实数与数轴、实数的混合运算 【分析】本题考查了实数的分类，无理数与数轴上点的一一对应关系，求一个数的立方根，实数的运算等知识，根据实数的分类，无理数与数轴上点的一一对应关系，求一个数的立方根，实数的运算等知识逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. 是无限不循环小数，是无理数，不是分数，故原选项错误，不合题意； B. 数轴上的每一个点都有一个实数与它对应，故原选项错误，不合题意； C. 如果，那么或，故原选项错误，不合题意； D. 两个无理数的和不一定是无理数，正确，故原选项正确，符合题意﹒ 故选：D 52．（25-26八年级上·上海·期中）计算的值________． 【答案】 / 【知识点】实数的混合运算 【分析】此题考查了实数的混合运算． 分别计算算术平方根、绝对值、立方根，再进行加减法即可． 【详解】解：原式 故答案为： 53．（25-26八年级上·上海金山·期中）如图，将长方形分成四个区域，其中、两个正方形区域的面积分别为和，则图中剩余区域的面积是_____． 【答案】/ 【知识点】算术平方根的实际应用、实数的混合运算 【分析】本题考查了实数的混合运算的应用，解题的关键是读懂图形． 由A、B两正方形的面积得出相应边长，再利用大长方形面积减去两个正方形区域的面积即可计算出剩余部分面积． 【详解】解：A，B两正方形区域的面积分别是3和16， ∴A，B两正方形边长分别是和4， ∴大长方形的长为，宽为4， ∴剩余区域的面积是为， 故答案为：． 54．（25-26八年级上·上海松江·期中）计算：； 【答案】 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、实数的混合运算 【分析】本题考查了实数的运算，根据算术平方根的定义，立方根的定义，绝对值的意义等计算即可． 【详解】解：原式 ． 55．（25-26八年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、实数的混合运算 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，求一个数的立方根． 先计算算术平方根，立方根，再计算加减即可． 【详解】解： ． 题型十五、规律探究 把每个等式整理成统一形式找出规律，用含的式子表示，再代入求值；分母有理化常用于裂项相消． 56．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】无理数的大小估算、与实数运算相关的规律题、实数与数轴、实数的混合运算 【分析】本题主要考查了实数与数轴、估算无理数的大小以及探索规律，通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解题的关键．利用表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，在计算1、，得出规律即可解决． 【详解】解：由题意可得表示的数是， ∵右侧最近的整数点为， ∴表示的数是2， ∴， ∴表示的数是，表示的数是3， ∴， 同理可得表示的数是，表示的数是4，， 表示的数是，表示的数是5，， 可知以，两个数一环出现， ∵， ∴， 故选：A． 57．（25-26八年级上·上海闵行·期中）观察下列各式： ； ； ． 请你根据以上信息，计算______．（直接写出计算结果） 【答案】 【知识点】与实数运算相关的规律题、数字类规律探索 【分析】本题考查数字的变化规律，正确找到数字的变化规律是解题的关键． 观察已知等式的规律，发现对于形如 的式子，其计算结果为 ，将，代入公式计算即可． 【详解】解：由题意得： ， ， ， 由此发现规律：， 那么， 计算， 通分后，，， 则， 因此． 故答案为：． 58．（25-26八年级上·上海·期中）对于两个无理数，如果它们的和等于它们的积，那么我们称这两个无理数互为“友好无理数”．请根据条件填空： (1)的“友好无理数”是 ． (2)请写出一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”，它们可以是 和 ． (3)将一组无理数从左到右排列，第一个数记作，第二个数记作，第三个数记作，第个数记作．即．已知，且这个数中，每相邻两个数都是“友好无理数”． ①如果，且，那么的值为 ； ②如果，那么的值为 ． 【答案】(1) (2)和或和（答案不唯一） (3)①；② 【知识点】与实数运算相关的规律题、新定义下的实数运算、分母有理化、数字类规律探索 【分析】本题主要考查定义新运算，二次根式的混合运算，理解“友好无理数”的概念及计算，掌握二次根式的混合运算法则是关键． （1）设的“友好无理数”是，根据“友好无理数”的定义列式求解即可； （2）设一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”分别为，结合题意列式得到，由此代入计算验证即可； （3）①根据计算得到，由此代入计算即可； ②根据题意得到，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：设的“友好无理数”是， ∴， 解得，， 故答案为：； （2）解：设一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”分别为， ∴， ∴，则， ∴， ， ∵是无理数，即， ∴， 令，则，符合题意； 令，则，符合题意； 故答案为：和或和（答案不唯一）； （3）解：①将一组无理数从左到右排列，第一个数记作，第二个数记作，第三个数记作，第个数记作．即．已知，且这个数中，每相邻两个数都是“友好无理数”， ∴，，，， ∴，，，， ∵， ∴， 整理得，， 解得，， 当时，； 当时，； ∵， ∴； ②根据上述计算，， 变形得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴． 59．观察下列等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 按上述规律，回答以下问题： (1)按上面规律填空：______＝______； (2)利用以上规律计算：； (3)求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】与实数运算相关的规律题、分母有理化 【分析】本题考查规律型—数字的变化类，二次根式的混合运算， （1）先根据所给的式子找出第一、第二、第三个式子的规律，进而可求出第四个等式； （2）把所给式子相加，找出规律即可进行计算； （3）根据所给规律探索将原式转化为，再根据平方差公式易得结果． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：；； （2）解： ； （3）解： ． 题型十六、新定义运算 先按定义把新符号翻译成熟悉的运算，再代入数值计算；注意定义中的取值范围，以及“整数部分、小数部分”的取法． 60．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）定义一种新的运算：对于任意实数a，b，都有，则的值是_______ 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题考查了新定义运算、实数的混合运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据新运算的定义进行计算即可． 【详解】解：由定义，， 代入 ，，得： ． 故答案为：10． 61．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）对于有理数a、b，定义的含义为：当时，，例：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的平方根是________． 【答案】 【知识点】无理数的大小估算、求一个数的平方根、新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了新定义，无理数的估算，求一个数的平方根，根据新定义可得，再估算出的取值范围，从而确定a、b的值，最后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵a和b为两个连续正整数， ∴， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 62．（25-26八年级上·上海金山·期中）定义一种新运算，对于任意角和，．例如：．已知：，，那么_____． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题考查了对新定义运算的理解和应用能力，根据题意求出，，然后计算乘积即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：． 63．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为． (1)无理数的“行知区间”是_____， (2)若，求的“行知区间”． 【答案】(1) (2) 【知识点】无理数的大小估算、新定义下的实数运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式有意义的条件，非负性．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）夹逼法求出的取值范围，即可得出结果； （2）根据二次根式有意义的条件，得到，进一步求出a的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：无理数的“行知区间”是； 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴a的“行知区间”为． 试卷第1页（共3页） 1 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次根式的运算 （温馨提醒：按住CTRL并单击鼠标左键以跟踪链接） 基础·固本强基 题型一、同类二次根式的判断 题型二、已知最简二次根式求参数 题型三、二次根式的乘除运算 题型四、二次根式的化简与计算 题型五、二次根式运算的正误判断 题型六、二次根式的除法与字母取值范围 提升·进阶突破 题型七、二次根式的乘除混合运算 题型八、分母有理化及其应用 题型九、二次根式的加减与混合运算 题型十、二次根式的混合运算求值 题型十一、比较二次根式的大小 拔高·压轴破难 题型十二、二次根式的化简求值 题型十三、二次根式的实际应用 题型十四、实数的混合运算 题型十五、规律探究 题型十六、新定义运算 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型一、同类二次根式的判断 先把每个根式化为最简二次根式，再看被开方数是否相同：相同即为同类二次根式．如与是同类二次根式． 1．（25-26八年级上·上海静安·期中）下列各组的两个二次根式是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（  ） A．与 B．与（其中） C．与 D．与（其中，） 题型二、已知最简二次根式求参数 同类二次根式的被开方数相同，据此列方程求参数；“最简二次根式”还隐含被开方数不含分母、不含开得尽方的因数，可再得一个条件，最后要检验． 3．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为________________． 4．（25-26八年级上·上海青浦·期中）最简二次根式与是同类二次根式，则______． 5．（25-26八年级上·上海金山·期中）已知、是实数，，且最简二次根式与是同类二次根式，求代数式的平方根． 题型三、二次根式的乘除运算 乘法法则（，），除法法则（，）；运算结果都要化成最简二次根式． 6．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）下列等式中，从左到右的变形过程正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列式子不是的有理化因式的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·上海·期中）若，则“”内的运算符号为___________（填“”“”“”“”）． 题型四、二次根式的化简与计算 先用把根式化简，再把能开得尽方的因数移到根号外，最后代入计算． 9．（25-26八年级上·上海闵行·期中）数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，使它变成了面积为的正方形纸片，则原长方形纸片的面积为____________________． 10．计算：． 题型五、二次根式运算的正误判断 逐项验证时要盯住前提：、都要求被开方数非负，条件不满足的变形就是错的． 11．（25-26八年级上·上海宝山·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26八年级上·上海普陀·期中）下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 题型六、二次根式的除法与字母取值范围 由有意义得且，据此列出不等式（组）解出字母的取值范围． 13．（25-26八年级上·上海闵行·期中）不等式的解集为_______． 14．（25-26八年级上·上海闵行·期中）如果成立，那么的取值范围是：______． 提升·进阶突破 题型七、二次根式的乘除混合运算 按从左到右的顺序依次运算，能约分的先约分；，最终结果化成最简二次根式． 15．（25-26八年级上·上海静安·期中）计算：． 16．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）计算：________________． 17．（25-26八年级上·上海虹口·期中）计算：． 18．（25-26八年级上·上海·期末）计算：． 19．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）计算： (1)； (2)． 题型八、分母有理化及其应用 分子、分母同乘分母的有理化因式：，，化去分母中的根号后再化简． 20．已知，，且，则实数n的值为________． 21．比较大小：______（填“”，“”，“”）． 22．已知，求的值． 23．阅读理解：化简：． 解：原式 ； 依照上述方法解答下列各题： (1)化简：； (2)化简：． 题型九、二次根式的加减与混合运算 先化成最简二次根式，再合并同类二次根式；有括号先算括号内的，混合运算按先乘除、后加减的顺序进行． 24．（25-26八年级上·上海闵行·期末）计算：． 25．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）计算： 26．（25-26八年级上·上海青浦·期中）计算：． 27．（25-26八年级上·上海长宁·期中）计算： (1) (2)（，） (3)． 28．计算：________． 29．计算：； 题型十、二次根式的混合运算求值 先化简再代入求值；常用、、简化运算． 30．已知，x、y为实数，且，求的值． 31．（24-25八年级上·上海·期中）计算：． 32．（24-25八年级上·上海·期中）计算：． 题型十一、比较二次根式的大小 常用三种方法：比较被开方数；先平方再比较（，时等价于）；分母有理化后再比较． 33．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）比较大小：__________（填“>”“<”或“=”） 34．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）比较大小：_____（填“”“”或“”）． 35．（24-25八年级上·上海·期中）比较大小：_________ 36．（25-26八年级上·上海·期中）比较大小∶ _____ ． 37．（25-26八年级上·上海·期中）二次根式除法可以这样做：如果，像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以； ②若a是的小数部分，则的值为 ③比较两个二次根式的大小： ④计算： 以上结论正确的是________．（写出所有正确的序号） 拔高·压轴破难 题型十二、二次根式的化简求值 先把已知条件分母有理化或配方，再化简所求式子；含、$xy$的式子整体代入，如． 38．已知，那么的值等于（     ） A． B． C． D．3 39．（25-26八年级上·上海青浦·期中）当时，二次根式的值为_______． 40．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）先化简再求值：，其中． 41．（25-26八年级上·上海·阶段检测）先化简，再求值：已知，求的值． 42．（25-26八年级上·上海浦东新·期末） （1）计算： （2）已知，求的值． 43．（25-26八年级上·上海·期中）如果正数满足，那么的值是______． 44．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知：，，求：的值． 45．（25-26八年级上·上海·期中）已知，判断和的正负并求的值． 46．（25-26八年级上·上海闵行·期中）先化简，再求值：，其中是4的算术平方根，是的倒数． 题型十三、二次根式的实际应用 把实际问题中的长度、面积用二次根式表示，代入相应公式计算，最后化成最简二次根式并注明单位． 47．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为6和24，则图中阴影部分面积为_____． 48．（25-26八年级上·上海闵行·期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体．其下落的时间（单位：）和下落高度（单位：）近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)物体从的高空落到地面的时间为_________． (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度．一个质量为的鸡蛋经过落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？会对无防护人体造成伤害吗？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 49．（25-26八年级上·上海宝山·期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)小明说物体从的高空落到地面的时间是从的高空落到地面时间的倍，他的说法正确吗？请说明理由； (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量（）高度（），某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：砸伤无防护人体只需要的能量） 50．（25-26八年级上·上海·期中）阅读材料，回答下列问题： （一）已知a，b为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”． （二）分数和分式有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化为整式与真分式的和的形式，如； (1)在①，②，③，④这些分式中，属于假分式的是_____（填序号）： (2)已知，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？求出该最小值． 题型十四、实数的混合运算 注意负数的立方根仍是负数、；按先乘方与开方、再乘除、最后加减的顺序计算． 51．（25-26八年级上·上海·期中）下列说法正确的是（　） A．是分数 B．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 C．如果,那么 D．两个无理数的和不一定是无理数 52．（25-26八年级上·上海·期中）计算的值________． 53．（25-26八年级上·上海金山·期中）如图，将长方形分成四个区域，其中、两个正方形区域的面积分别为和，则图中剩余区域的面积是_____． 54．（25-26八年级上·上海松江·期中）计算：； 55．（25-26八年级上·上海·期中）计算： 题型十五、规律探究 把每个等式整理成统一形式找出规律，用含的式子表示，再代入求值；分母有理化常用于裂项相消． 56．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 57．（25-26八年级上·上海闵行·期中）观察下列各式： ； ； ． 请你根据以上信息，计算______．（直接写出计算结果） 58．（25-26八年级上·上海·期中）对于两个无理数，如果它们的和等于它们的积，那么我们称这两个无理数互为“友好无理数”．请根据条件填空： (1)的“友好无理数”是 ． (2)请写出一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”，它们可以是 和 ． (3)将一组无理数从左到右排列，第一个数记作，第二个数记作，第三个数记作，第个数记作．即．已知，且这个数中，每相邻两个数都是“友好无理数”． ①如果，且，那么的值为 ； ②如果，那么的值为 ． 59．观察下列等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 按上述规律，回答以下问题： (1)按上面规律填空：______＝______； (2)利用以上规律计算：； (3)求的值． 题型十六、新定义运算 先按定义把新符号翻译成熟悉的运算，再代入数值计算；注意定义中的取值范围，以及“整数部分、小数部分”的取法． 60．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）定义一种新的运算：对于任意实数a，b，都有，则的值是_______ 61．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）对于有理数a、b，定义的含义为：当时，，例：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的平方根是________． 62．（25-26八年级上·上海金山·期中）定义一种新运算，对于任意角和，．例如：．已知：，，那么_____． 63．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为． (1)无理数的“行知区间”是_____， (2)若，求的“行知区间”． 试卷第1页（共3页） 1 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $