专题06 一元二次方程的判别式与根与系数的关系7大题型32题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题06 一元二次方程的判别式与根与系数的关系 （温馨提醒：按住CTRL并单击鼠标左键以跟踪链接） 基础·固本强基 题型一、一元二次方程根的情况的判定 题型二、根的判别式的应用 题型三、由根的情况求字母的取值范围 题型四、根的判别式与方程的解 提升·进阶突破 题型五、一元二次方程根与系数的关系 题型六、利用根与系数的关系求代数式的值 拔高·压轴破难 题型七、根与系数的关系与参数综合 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型一、一元二次方程根的情况的判定 先把方程化为一般形式，算出判别式：有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，没有实数根；判定前要先确认． 1．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列关于的方程中，有两个实数根的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海宝山·期中）下列关于的方程必有实数根的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·上海虹口·期中）下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　） A． B． C． D． 题型二、根的判别式的应用 可直接用来判断根的情况、求待定字母的取值；证明“无论取何值方程都有实数根”时，要把配方成的形式，说明它恒非负． 4．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）某数学兴趣小组在“探究关于x的方程的实数根”时发现需要先对a、b、c的取值作出分类讨论．他们把最终的探究结果整理成为如下的思维导图（如图，该思维导图不完整），请根据你所学的知识，在该思维导图中缺失的部分为_______． 5．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）方程根的判别式的值为________． 6．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）请证明：无论取何值时，关于的方程有实数根，并解出此时方程的根． 7．（25-26八年级上·上海·期中）如果关于的方程没有实数根，试判断关于的方程的根的情况． 8．（25-26八年级上·上海·期中）已知是正实数，关于的一元二次方程：． (1)判断：方程根的情况． (2)若是方程的一个实数根，试比较代数式与的大小关系． 题型三、由根的情况求字母的取值范围 由“有两个实数根”得，由“有两个不相等的实数根”得，由“没有实数根”得；同时别漏掉二次项系数不为这一条件，最后取交集． 9．（25-26八年级上·上海青浦·期中）关于的方程有实数根，那么a的值为（   ） A． B．且 C． D． 10．（25-26八年级上·上海宝山·期中）关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是__________． 11．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知关于的方程有两个实数根，那么实数的取值范围是___． 12．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____． 13．（25-26八年级上·上海虹口·期中）若一元二次方程没有实数解，则的取值范围是___________． 14．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是_____ 题型四、根的判别式与方程的解 “有两个相等的实数根”即，此时重根为；结合“已知一个根”可先求出参数，再用根与系数的关系求出另一个根． 15．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）已知关于的方程有两个相等的实数根，且方程有一个根为． (1)判断以、、为边的三角形的形状，并说明理由； (2)若方程的两根为、，求的值． 16．（25-26八年级上·上海虹口·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)若方程两个实数根的平方和等于5，求的值及方程的两根． 提升·进阶突破 题型五、一元二次方程根与系数的关系 方程（，）的两根、满足，；使用前必须先把方程化为一般形式并验证． 17．（25-26八年级上·上海·期末）如果和是一元二次方程的两个实数根，那么以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26八年级上·上海崇明·期末）已知方程有两个实数根，则的值是（    ） A． B． C． D． 19．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）设、是方程的两根，则_____． 20．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）方程的根是与，则________． 21．（25-26八年级上·上海·期末）已知与是方程的两个不同的根，那么代数式的值为________． 22．（25-26八年级上·上海黄浦·期末）若、是方程的两个实数根，则的值为______． 题型六、利用根与系数的关系求代数式的值 把所求式子用与表示，如、、，再整体代入求值． 23．（25-26八年级上·上海青浦·期末）关于的方程有两个实数根，请求下列各式的值： (1)填空：_____；_____； (2)； 24．（25-26八年级上·上海黄浦·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 25．（25-26八年级上·上海宝山·期末）一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A． B． C． D． 26．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）若是方程的两个实数根，则的值为_____． 27．（25-26八年级上·上海·期末）若是方程的两个实数根，则的值为__________． 28．（25-26八年级上·上海·期末）已知方程的两个解是，那么__________． 拔高·压轴破难 题型七、根与系数的关系与参数综合 先用、把题设条件转化为关于参数的方程，解出参数后必须代回判别式检验，取使方程确有两个实数根的值，并注意二次项系数不为． 29．（25-26八年级上·上海闵行·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，且满足，那么实数的值是______． 30．（25-26八年级上·上海·期末）已知方程的两个根分别为，， (1)求的值； (2)求的值． 31．（25-26八年级上·上海·期末）已知是关于的方程的两个实数根，若，求的值． 32．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）已知、是关于的一元二次方程的两个实数根，求的最小值． 试卷第1页（共3页） 1 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 一元二次方程的判别式与根与系数的关系 （温馨提醒：按住CTRL并单击鼠标左键以跟踪链接） 基础·固本强基 题型一、一元二次方程根的情况的判定 题型二、根的判别式的应用 题型三、由根的情况求字母的取值范围 题型四、根的判别式与方程的解 提升·进阶突破 题型五、一元二次方程根与系数的关系 题型六、利用根与系数的关系求代数式的值 拔高·压轴破难 题型七、根与系数的关系与参数综合 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型一、一元二次方程根的情况的判定 先把方程化为一般形式，算出判别式：有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，没有实数根；判定前要先确认． 1．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列关于的方程中，有两个实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式．通过计算每个方程的判别式或直接求解，判断实数根的个数，只有选项A的判别式大于0，有两个实数根，即可作答． 【详解】解：A、方程化为，∴ ，有两个实数根； B、方程，∴ ，无实数根； C、方程化为 ，∴，无实数根； D、方程，得，∵，∴无实数根， 故选：A． 2．（25-26八年级上·上海宝山·期中）下列关于的方程必有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了根的判别式，通过计算每个方程的判别式，判断其是否恒非负，只有选项C的判别式恒大于零，因此必有实数根． 【详解】解：A、，∵，不恒成立； B、，∵，不恒成立； C、，∵，∴，恒成立； D、，∵，不恒成立． 故选：C． 3．（25-26八年级上·上海虹口·期中）下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，通过计算每个二次方程的判别式，判断实数根的情况；判别式大于0时有两个不相等的实数根，即可得解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解此题的关键． 【详解】解：A、中，，，故，无实数根，不符合题意； B、中，，，故，有两个相等的实数根，不符合题意； C、中，，，故，无实数根，不符合题意； D、中，，，故，有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 题型二、根的判别式的应用 可直接用来判断根的情况、求待定字母的取值；证明“无论取何值方程都有实数根”时，要把配方成的形式，说明它恒非负． 4．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）某数学兴趣小组在“探究关于x的方程的实数根”时发现需要先对a、b、c的取值作出分类讨论．他们把最终的探究结果整理成为如下的思维导图（如图，该思维导图不完整），请根据你所学的知识，在该思维导图中缺失的部分为_______． 【答案】方程有两个实数根 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查根的判别式，根据一元二次方程的时，方程有2个实数根，进行作答即可． 【详解】解：当，时，方程有两个实数根； 故答案为：方程有两个实数根． 5．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）方程根的判别式的值为________． 【答案】32 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式公式是解题的关键． 直接应用一元二次方程根的判别式公式计算即可． 【详解】解：方程， 根的判别式为：， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）请证明：无论取何值时，关于的方程有实数根，并解出此时方程的根． 【答案】 变为一般形式：， ，，， ， ∵， ∴， ∴关于的方程有实数根， ∴． 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据根的判别式进行证明即可，用公式法解一元二次方程即可． 【详解】略 7．（25-26八年级上·上海·期中）如果关于的方程没有实数根，试判断关于的方程的根的情况． 【答案】当时，方程有一个实数根；当且时，方程有两个不相等的实数根 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 首先根据已知方程无实根可得m的取值范围，再计算新方程的判别式，结合m的取值范围确定新方程根的判别式的情况，进而得出新方程根的情况即可． 【详解】解：当时，方程化为， 解得，不符合题意， 当时，方程没有实数根， ∴， 解得； 当时，方程化为， 解得，方程有一个根； 当且时，， 此时方程有两个不相等的实数解． ∴当时，方程有一个实数根；当且时，方程有两个不相等的实数根． 8．（25-26八年级上·上海·期中）已知是正实数，关于的一元二次方程：． (1)判断：方程根的情况． (2)若是方程的一个实数根，试比较代数式与的大小关系． 【答案】(1) 方程有两个不相等的实数根。 (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、根据判别式判断一元二次方程根的情况、由一元二次方程的解求参数 【分析】此题考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的解， （1）计算一元二次方程的根的判别式求出方程的根的情况； （2）将方程的根代入，得到，计算，由此进行判断即可． 【详解】（1）解：， , ∵是正实数， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解:将代入方程， 得， ∴， ∵， ∴． 题型三、由根的情况求字母的取值范围 由“有两个实数根”得，由“有两个不相等的实数根”得，由“没有实数根”得；同时别漏掉二次项系数不为这一条件，最后取交集． 9．（25-26八年级上·上海青浦·期中）关于的方程有实数根，那么a的值为（   ） A． B．且 C． D． 【答案】A 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及对含参方程的分类讨论，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 方程可能为一次或二次方程，需分类讨论，最后合并结果． 【详解】解：∵ 方程 有实数根， 当 时，方程化为 ，解得 ，有实数根； 当 时，方程为二次方程，判别式 ， 解得 ； 综上， 时方程有实数根． 故选：A． 10．（25-26八年级上·上海宝山·期中）关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是__________． 【答案】且 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程根的情况求参数．由于一元二次方程有两个实数根，需满足二次项系数不为零，且判别式大于等于零，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴，， 即，， 解得且， 故答案为：且． 11．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知关于的方程有两个实数根，那么实数的取值范围是___． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数．根据一元二次方程根的判别式，方程有两个实数根时判别式大于或等于零，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵关于的方程有两个实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 12．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____． 【答案】且 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得到二次项系数不为零；根据根的判别式得到判别式大于零，据此列式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得且， 故答案为：且． 13．（25-26八年级上·上海虹口·期中）若一元二次方程没有实数解，则的取值范围是___________． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，正确求出根的判别式是关键． 根据一元二次方程无实数根的条件，判别式小于零，计算判别式并解不等式． 【详解】解：方程 中，，，， ∵． 由于一元二次方程没有实数解， ∴， 即 ， 解得 ． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是_____ 【答案】且 【知识点】二次根式有意义的条件、一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查根的判别式，二次根式有意义的条件，根据一元二次方程的定义得到，二次根式有意义，得到，方程有2个不相等的实数根得到，进行求解即可． 【详解】解：方程是一元二次方程，故； 有意义，故，解得； ∵方程有2个不相等的实数根， ∴，解得； 综上，的取值范围是且； 故答案为：且． 题型四、根的判别式与方程的解 “有两个相等的实数根”即，此时重根为；结合“已知一个根”可先求出参数，再用根与系数的关系求出另一个根． 15．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）已知关于的方程有两个相等的实数根，且方程有一个根为． (1)判断以、、为边的三角形的形状，并说明理由； (2)若方程的两根为、，求的值． 【答案】(1) 解：等边三角形．理由如下： ∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴，即：， ∴， ∵方程有一个根为， ∴把代入得：， 联立①②，解得：， ∴以 a、b、c为边的三角形是等边三角形． (2) 【知识点】等边三角形的判定、因式分解法解一元二次方程、由一元二次方程的解求参数、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程根的判别式与根的关系，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． （1）由方程有两个相等的实数根，可得，再结合方程有一个根为得，联立即可求出a，b，c的关系；（2）根据（1）求出的a，b的关系，可以得出方程有两个相等的实数根，由即可求出m． 【详解】（1）略 （2）解：方程的两根为a、b， 由（1）可知，， ∴方程有两个相等的实数根， ∴，即：， 化简得：， 解得：． 当时，方程变为，则，即，此时与方程有一个根为矛盾，舍去. 当时，方程变为，则，符合题意. 所以. 16．（25-26八年级上·上海虹口·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)若方程两个实数根的平方和等于5，求的值及方程的两根． 【答案】(1) 证明：， 不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)，根为，；或，根为1，2 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系（韦达定理），掌握根的判别式的计算及应用和根与系数的关系，并灵活转化是解题关键． （1）根据根的判别式与0的关系判断即可； （2）先将平方和转化为，再通过根与系数的关系（韦达定理），得到关于m的方程，解出m，并求出方程的根即可． 【详解】（1）略 （2）解：设方程的两根为， 由韦达定理可知，， 方程两个实数根的平方和等于5，即， 又， ∴， 整理，得， 解得或， 当时，方程为，解得； 当时，方程为，解得； 综上，，根为，；或，根为1，2． 提升·进阶突破 题型五、一元二次方程根与系数的关系 方程（，）的两根、满足，；使用前必须先把方程化为一般形式并验证． 17．（25-26八年级上·上海·期末）如果和是一元二次方程的两个实数根，那么以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 利用一元二次方程根与系数的关系直接计算根的和与积即可． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴，， ∴选项C正确， 故选：C． 18．（25-26八年级上·上海崇明·期末）已知方程有两个实数根，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查解一元二次方程和韦达定理，掌握解一元二次方程的方法和韦达定理是解题关键． 本题所给一元二次方程较简单，可解出方程的根，再代入求解即可；也可通分所求式子，再用韦达定理求解即可． 【详解】解：法一：方程 因式分解，得 ， ∴ ，， ∴ ； 法二：由韦达定理，可得，， ∴， 故选：C． 19．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）设、是方程的两根，则_____． 【答案】 3 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于 ，直接代入系数计算即可． 本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：方程 中，，， 则 ． 故答案为：． 20．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）方程的根是与，则________． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、通过对完全平方公式变形求值 【分析】先通过一元二次方程的根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再利用完全平方公式的变形计算目标式子的值． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数，常数项． 根据根与系数的关系可得： ，． 由完全平方公式的变形可知． 将，代入上式： 21．（25-26八年级上·上海·期末）已知与是方程的两个不同的根，那么代数式的值为________． 【答案】2020 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义可得的值，根据根与系数的关系可得的值，再把所求式子变形为，据此计算求解即可． 【详解】解：∵与是方程的两个不同的根， ∴，， ∴ ， 故答案为：2020． 22．（25-26八年级上·上海黄浦·期末）若、是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】2023 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，利用一元二次方程的解和根与系数的关系，由a是方程根得，由根与系数关系得，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵ a是方程的根， ∴，即， 又∵ a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故答案为：2023． 题型六、利用根与系数的关系求代数式的值 把所求式子用与表示，如、、，再整体代入求值． 23．（25-26八年级上·上海青浦·期末）关于的方程有两个实数根，请求下列各式的值： (1)填空：_____；_____； (2)； 【答案】(1)5； (2)8 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系，乘法公式的变形计算是 关键． （1）确定一元二次方程二次项，一次项，常数项的值，根据根与系数的关系代入求值即可； （2）根据分式的计算法则得到，代入计算即可． 【详解】（1）解：关于x的方程有两个实数根， ∴， 故答案为：5；； （2）解：∵ ∴原式． 24．（25-26八年级上·上海黄浦·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 【答案】(1)且 (2) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查根与系数的关系及根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．一元二次方程的两个根，，满足，． （1）根据方程有两个根可得，再结合即可解决问题； （2）利用根与系数的关系即可解决问题． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 又∵， ∴的取值范围是且． （2）解：∵该方程有两个实数根分别为、， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解，但，不符合题意舍去， ∴． 25．（25-26八年级上·上海宝山·期末）一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得，，再由进行求解，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，那么将，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴根据根与系数的关系，得，， ∵， ∴将，代入，得 原式， 故选：A． 26．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）若是方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，关键是利用韦达定理得到两根之和与两根之积，再对所求代数式进行变形代入计算． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴根据韦达定理，得，； 将变形为，代入得； 故答案为：． 27．（25-26八年级上·上海·期末）若是方程的两个实数根，则的值为__________． 【答案】2026 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，，再根据根与系数的关系得到，将代数式降次变形后，利用整体思想计算即可． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，，， ∴，． ∴ ． 28．（25-26八年级上·上海·期末）已知方程的两个解是，那么__________． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、分母有理化 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，分母有理化．根据根与系数关系，求出两根之和、两根之积，代入求值即可． 【详解】解：方程的两根为， ∴，， ∴， 故答案为：． 拔高·压轴破难 题型七、根与系数的关系与参数综合 先用、把题设条件转化为关于参数的方程，解出参数后必须代回判别式检验，取使方程确有两个实数根的值，并注意二次项系数不为． 29．（25-26八年级上·上海闵行·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，且满足，那么实数的值是______． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，，将根与系数的关系代入整理后的条件中得，解出的值，并验证判别式非负以确保实数根存在即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∵ ， ， ∴， ， 解得． 当时，， 满足实数根条件， 故答案为：． 30．（25-26八年级上·上海·期末）已知方程的两个根分别为，， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)5 (2) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，． （1）将所求代数式转化为含两根和与两根积的形式，再代入计算求解； （2）先求出的值，再开方即可． 【详解】（1）解：∵方程的两个根分别为，， ∴, ∴； （2）解：由（1）知, ∴， ∴ 31．（25-26八年级上·上海·期末）已知是关于的方程的两个实数根，若，求的值． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式，掌握韦达定理的公式，是解题的关键． 先根据方程有两个实数根，运用一元二次方程根的判别式求出的取值范围，再根据韦达定理，得出，，最后整理，代入，，即可求解的值． 【详解】解：∵是关于的方程的两个实数根， ∴，即，解得：， ∴根据韦达定理，，， ∵，即， ∴， 整理得：， 解得：，（舍）， ∴综上，的值为． 32．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）已知、是关于的一元二次方程的两个实数根，求的最小值． 【答案】49 【知识点】配方法的应用、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据、是关于的一元二次方程的两个实数根，则，，结合判别式，利用配方法解决问题即可． 本题考查根与系数的关系，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：、是关于的一元二次方程的两个实数根， ，， ． 方程有两个实数根， ， ， ， ∴的最小值为49． 试卷第1页（共3页） 1 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $