专题11 上海期中解答题压轴47题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题11 上海期中解答题压轴47题 正确题数：_______ 错误题数：_______ 正确率：_______ 错因分析： 1．（25-26八年级上·上海·期中）如图1,在长方形中，，，点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别从同时出发，请问： (1)经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)经过几秒时，五边形的面积最小?最小值是多少？ 【答案】(1)2或4 (2) 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，根据已知条件列出解析式是解题的关键． （1）设运动时间为秒，则,，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可； （2）由（1）知，，该函数图象开口向下，有最大值，根据顶点坐标公式求出顶点坐标，五边形的面积最小值等于矩形面积减去的面积的最大值，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为秒，则, 则， 即， 解得或 答：经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米； （2）解：设运动时间为秒，则, 则， 当时，有最大值，最大值为， 则五边形的面积最小值为：， 答：经过3秒时,五边形的面积最小，最小值是． 2．（25-26八年级上·上海·期中）阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：当时， ∵， ∴当即时，的最小值为． 请利用以上结果解决下面的问题： (1)当时，直接写出的最小值为 ； (2)当时，有最大还是最小值？最值是多少？ (3)解决问题：如图，已知四边形的对角线，交于点，若的面积为，的面积为，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)； (2)当时，的最大值为； (3)四边形面积最小值为． 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，配方法，完全平方的非负性，二次根式的性质，理解阅读部分的信息并灵活运用是解题的关键． （）仿照题例即可求解； （）仿照题例即可求解； （）设，由的面积为，的面积为，根据等高三角形可得，，则有，所以四边形面积为，然后根据题例即可求解． 【详解】（1）解：当时， ∵， ∴当即时，的最小值为， 故答案为：； （2）解：当时， ， 当即时，的最大值为； （3）解：设， ∵的面积为，的面积为， ∴根据等高三角形可得，， ∴， ∴， ∴四边形面积为， 同（）得，当时，四边形面积有最小值， ∴， ∴四边形面积最小值为． 3．（25-26八年级上·上海闵行·期中）阅读材料： 数学中有些问题看起来复杂，但如果我们仔细分析代数式的结构，寻找其中隐藏的规律或联系，就能找到解决问题的钥匙． 常用的思路有： 1．代数式的变形：比如，一个分式的分母如果含有根号，我们可以通过“分母有理化”的方法，使其变得更容易计算； 2．整体的视角：有时我们不需要分别求出每一个部分的值，而是将它们看作一个整体，通过观察它们之间的相互关系，从而找到解决问题的方法． 请运用以上思路进行思考并解答以下各题： (1)已知，求的值； (2)计算：； (3)设实数，满足，求的值． 【答案】(1)2 (2) (3)2025 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查二次根式的应用，掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关键． （1）先将进行分母有理化后，得，再代入进行计算，即可作答； （2）先将其中的一项进行分母有理化后观察规律，再进行计算即可； （3）根据（1）和（2）得到的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ； （3）解：， ， 则 ①， 同理②， ∴①②得：， ， ． 4．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ，且， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： （1）若，则的值是______________； （2）求证：无论取何值，二次根式都有意义； （3）若代数式的最小值为2，求的值． 【答案】（1）； （2）证明：， 又，， 无论取何值，的值都是正数，∴无论取何值，二次根式都有意义． （3）． 【知识点】二次根式有意义的条件、解一元二次方程——直接开平方法、配方法的应用 【分析】（1）把右边化简，求出a和b的值，进而可求出ab的值； （2）把被开方数配方，即可证明结论成立； （3）把所给代数式配方，根据代数式的最小值为2，得出关于k的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴2a=4，a2+b=-1， ∴a=2，b=-5， ∴ab= （2）略 （3）原式， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方的方法是解答本题的关键． 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，，再减去一次项系数一半的平方，使整个式子的值不变，这种变形的方法称为“配方法”．也考查了二次根式有意义的条件、一元二次方程的解法． 5．（25-26八年级上·上海·期中）如图1，，，、、在同一条直线上．    (1)若，，连接，求的长． (2)如图2，设、、是和三边的边长，由（1）易得，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾股方程”． ①判断关于的“勾股方程”根的情况并说明理由； ②若是“勾股方程”的一个根，且的面积是9，求四边形的周长． 【答案】(1)； (2)①必有实数根；②四边形的周长为． 【知识点】二次根式的混合运算、一元二次方程的解、根据判别式判断一元二次方程根的情况、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由，知，，得到，利用勾股定理可得答案； （2）①通过判断根的判别式△的正负来证明结论；②利用根的意义和勾股定理作为相等关系，从而可求得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①关于x的“勾股方程”必有实数根， 理由如下： 根据题意，得： ∵ ∴ ∴勾股方程必有实数根； ②当时，方程为， 即，    ∵的面积是9， ∴，则， ∵， ∴，， ∴， ∴四边形的周长是． 【点睛】本题是四边形的综合问题，考查勾股定理的应用、一元二次方程的根的判别式、完全平方公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 6．（25-26八年级上·上海崇明·期中）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“根差2方程”；例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“根差2方程”． (1)根据上述定义，下列方程是“根差2方程”的是______（填序号）； ①，②，③； (2)已知关于x的方程（a是常数）是“根差2方程”，求a的值； (3)若关于x的一元二次方程和都是“根差2方程”，（）试求m、n间的数量关系． 【答案】(1)①② (2)7或 (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、根与系数的关系、完全平方公式等知识点，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． （1）分别求出各方程的解，然后进行判断即可； （2）由根与系数的关系可得，再根据“根差2方程”的定义可得，即，然后根据完全平方公式得到关于a的方程求解即可； （3）根据（2）可得：、，即，然后化简即可解答 【详解】（1）解：①的解为，，则该方程为“根差2方程”； ②的解为，，则该方程为“根差2方程”； ③的解为，，则该方程不是“根差2方程”； 故答案为：①②． （2）解：设关于x的方程的解为，则， ∵关于x的方程（a是常数）是“根差2方程”， ∴，即， ∴，解得：或． （3）解：∵关于x的一元二次方程和都是“根差2方程”， ∴，， ∴， ∵ ∴． 7．（25-26八年级上·上海·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为1． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值 ； 【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值． 【挑战应用】（4）如图，在四边形中，，，点M和点N分别是和的中点，和的延长线交于点P，则面积的最大值等于 ． 【答案】（1）2； （2）解：， ∵， ∴， ∴无论x取何实数，二次根式都有意义； （3）； （4） 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、通过对完全平方公式变形求值、不等式的性质、线段中点的有关计算 【分析】（1）根据配方法将平方形式，结合其非负性即可求得最小值； （2）根据配方法将配成形式，结合其非负性即可求得最小值为正数，即可知无论x取何实数，二次根式都有意义； （3）根据已知得，由面积公式得展开配成平方形式，结合非负性和不等式的性质求得最大值即可； （4）连结，由中点的性质得和，则 ，进一步得到=，结合 和 ，得到，结合（3）知四边形的面积最大值为 ，即可求得面积的最大值． 【详解】（1）解： ， 无论取何实数，都有， ，即的最小值为； 故答案为：； （2）略 （3）∵，， ∴， ∴ ∵， ∴当，四边形的面积最大，最大值为． （4）连结，如图， ∵点M是的中点， ∴，， ∴ ， ∵点M是的中点，点N是的中点， ∴， ∴ ， ， ∴ ， ∵ 四边形的面积最大值为 ， ∴面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查完全平方公式的应用，涉及配方法和非负性、不等式的性质、中点的性质，解题的关键是熟悉配方法和中点的性质． 8．（25-26八年级上·上海·期中）已知：中，，，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，连接．求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点．求证：； (3)当点在直线上时，连接交直线于，若，则= ． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴； (2) 证明：过点E作，交延长于点N， ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∵ ∴. ∵， ∴， ∴； (3)或. 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质， 对于（1），根据“角角边”证明，可得，则此题可解； 对于（2），过点E作，交延长于点N，再根据“角角边”证明，可得，由“角角边”可证，可得； 对于（3），，分三种情况：当点D在线段上，当点D在线段的延长线上，当点D在线段的延长线上，根据全等三角形的性质求出相应线段的长，再根据三角形面积公式可得解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：当点D在线段上， ∵， 设， 由（1）得，则. ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴； 当点D在线段的延长线上，过点E作，交的延长线于点N， ∵， 设， ∵， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点D在线段的延长线上， 由图2得， ∴不可能，舍去. 综上所述，的值为或. 故答案为：或. 9．（25-26八年级上·上海·期中）阅读材料，回答下列问题： （一）已知a，b为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”． （二）分数和分式有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化为整式与真分式的和的形式，如； (1)在①，②，③，④这些分式中，属于假分式的是_____（填序号）： (2)已知，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？求出该最小值． 【答案】(1)②④ (2) (3)当 时，最小值为3 【知识点】分式的判断、分式的求值、二次根式的应用 【分析】本题为新定义问题，考查了分式的计算，二次根式的变形，完全平方公式的应用等知识，理解题目中的相关材料，并根据题意灵活应用是解题关键． （1）根据真分式、假分式的定义逐项判断即可求解； （2）先根据，得到，进而得到，即可得到，利用倒数的定义即可求出； （3）先求出，再将变形为根据（一）结论得到，即可求出当且仅当，即时，有最小值，最小值为3． 【详解】（1）解：在①，②③④这些分式中，属于假分式的是：②，④. 故答案为：②④ （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴. （3）解：由题意，， ∴． 原式 ． 当且仅当，即时，等号成立． ∴原式的最小值为3． 10．（25-26八年级上·上海青浦·期中）配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数，可作如下变形（提示：） ， 又， ，即． 当且仅当，即时等号成立． (1)若，代数式的最小值为 ，此时 ． (2)某园林设计师用篱笆围一个面积为81平方米的长方形花圃，所用的篱笆至少为多少米？ (3)如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别为12和3，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)8，4 (2) (3) 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、通过对完全平方公式变形求值、分式最值 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形，分式求最值，算术平方根，正确理解题意并举一反三是解题关键． （1）依据题意，设，则由，得，进而当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为8，故可得解； （2）设花圃的宽为米，则长为米，所用的围栏，据此即可求解； （3）设，由三角形的面积公式可知，若两三角形底边上的高相等，则其面积比等于底边之比，由此可将表示出来．写出四边形的面积的表达式，利用题中结论求其最小值即可． 【详解】（1）解：（1）由题意，设，且， 由， 得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为8． 故答案为：8，4； （2）解：由题意，设花圃的宽为米，则长为米， 所用的围栏， ． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为， 答：所用的围栏至少为米． （3）由题意，设， △与△底边上的高相等，△与△底边上的高相等， ， ． ． ． 又， 当时，即时取等号， ． 四边形面积的最小值存在，最小值为． 11．（25-26八年级上·上海·期中）已知为等边的角平分线，的边长为6，动点E在直线上（不与点A重合），连接．以为一边在的下方作等边，连接． (1)如图1，若点E在线段上， ①求证：； ②当，时，求点F到的距离； (2)设直线、交于点M，求两直线的夹角（即）的度数；若点E在的反向延长线（如图2），且直线，交于点仍记为M．这两条直线的夹角是否发生变化．说明理由 【答案】(1) ①证明：∵和均为等边三角形， ， ， 在和中， ， ． ② (2) 如图1，若点E在线段上，同（1）①可证， ， 又 ∵， ． 如图2，若点E在的反向延长线，这两条直线的夹角不会发生变化． 同（1）①可证， ， 又 ∵， ． 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】本题考查三角形全等的性质和判定，等边三角形的性质，解题关键是通过全等证明角度相等，推出特殊角度的三角形，将面积用公式用底和高表示出来，直接求高然后代值判断即可． （1）①直接利用证明三角形全等即可； ②通过三角形的中线和线段之间的比例关系，得到，再通过三角形面积公式计算即可； （2）①同（1）①证出，再利用角度之间的关系进行计算即可； ②证出，再利用角度之间的关系进行计算即可； 【详解】（1）解：① 略 ②， ， ， 是等边三角形的角平分线， ， ， ， ， ， 设点到的距离是为， ， ， 故点到的距离是为． （2）略 12．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）对于三个数a，b，c，用表示这三个数的平均数：用表示这三个数中最小的数．如：，． (1)填空：________，________； (2)如果，求的值． (3)解方程． 【答案】(1), (2)或 (3)或 【知识点】实数的大小比较、新定义下的实数运算、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了平均数的计算、数的大小比较、解一元二次方程，熟练掌握平均数公式、分情况讨论的方法是解题的关键． （1）第一空根据平均数公式计算三个数的平均数；第二空比较三个数的大小得出最小值． （2）先根据平均数公式表示出，再分情况讨论，结合等式求解 （3）先分析的取值情况，再分情况解方程． 【详解】（1）解：， ∵，，， ∴， 故答案为：,； （2）解：， 分情况讨论： 当时，，则，解得，符合 当时，，则，解得，不符合，舍去． 当时，，则，解得，符合 综上，或； （3）解：∵， ∴为或， 分情况讨论： 当，即时，， ∴，即， ， 解得（舍去，因为）或 当，即时，， ∴， 解得或（舍去，因为）． 综上，或 13．（25-26八年级上·上海·期中）已知为实数，关于的方程，无论取何值时，都有根． (1)求、的值． (2)当变化时，求方程的另一根的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的根，根的判别式，根与系数的关系，能够理解题意，得到关于a、b的方程组以及关于t的不等式是解题的关键． （1）把代入方程，整理得到，根据题意得到，，即可求出、的值． （2）利用根与系数的关系，代入，整理得，由k为实数，则，据此列不等式并求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程，无论取何值时，都有根， ∴， 整理得， ∵对任意成立， ∴，， 解得，； （2）解：由根与系数的关系，， ∵，， ∴， 整理得， 当时，方程化为， 解得； 当时， ∵k为实数， ∴， ∴， 整理得， ∴， 解得， 综上所述，． 14．（25-26八年级上·上海长宁·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿边运动，速度为．与此同时，点从点开始沿边运动，速度为．当点到达点时，点同时停止运动．连接，设运动时间为，的面积为． (1)用含的代数式表示：______cm，______cm； (2)当为何值时？ 【答案】(1)t； (2) 【知识点】列代数式、动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用、列代数式，理解题意，正确列方程是解答的关键． （1）根据题意以及路程、速度和时间的关系求解即可； （2）利用三角形的面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，，， ∴， 故答案为：t，； （2）解：∵， ， ， ， 或 ， ， ． 15．（25-26八年级上·上海·期中）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得，所以， 所以原式． (1)试化简：； (2)已知a，b满足，，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，算术平方根的非负性的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）先求得隐含条件，得到，然后根据二次根式化简知识，即可求解； （2）先根据题意得到，再根据，求得或，然后即可求解； 【详解】（1）解：隐含条件，解得，所以， ∴原式． （2）解：∵，若，则，显然不成立，故． ∴，解得． ∵， ∴或． 当时，解得：，则； 当时，解得：，则． 综上所述，的值为或． 16．（25-26八年级上·上海·期中）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】 已知代数式，则A的最小值为__________； (2)【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】 已知实数x和y满足，求的最大值． 【答案】(1) (2) 解：，理由如下： 甲菜地的面积， 乙菜地的面积， ， 因为，所以， 即， 所以； (3) 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查了完全平方公式的应用． （1）仿照材料的方法将代数式变形为，再利用非负数的性质即可求出最小值； （2）用长方形面积公式分别表示出甲乙两块菜地的面积，再利用作差法比较大小即可得出结论； （3）从给定方程中表示出y，代入得到二次表达式，再配方求最大值． 【详解】（1）解：， 因为所以，当时，， 因此有最小值，最小值为，即的最小值为， A的最小值为； 故答案为：； （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， 当时，取最大值， 故的最大值为． 17．（25-26八年级上·上海宝山·期中）综合与实践 如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着运动到点A时停止．设运动时间为． (1)当点P在上运动时， ________， ________；（用含t的代数式表示） (2)在（1）的条件下，当时，求t的值； (3)如图2、图3，点P沿着运动到点B的过程中、当的面积为时，求t的值． 【答案】(1)； (2)1 (3)7 【知识点】列代数式、动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了列代数式，矩形的性质，一元二次方程的应用，解答本题的关键是熟练运用矩形的性质解决问题． （1）根据路程等于速度乘以时间得到则； （2）根据矩形的性质得到，再根据直角三角形面积计算公式建立方程求解即可； （3）分点P在和点P在上两种情况，根据三角形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴ 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）； （3）解：当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得， 由矩形的性质可得 ∴点P运动到点C的时间为秒， ∴此种情况不存在； 当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，． 18．（25-26八年级上·上海·期中）（1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）． ①延长到E，使得； ②再联结，可得_______，从而把、、转化在中； ③利用全等三角形性质和三角形三边关系可得______________，则的取值范围是：_______（在横线上填空）． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． （2）思考：已知，如图2，是的中线，，，（点F和点E在同侧），试探究线段与的数量和位置关系并加以证明．    【答案】（1），，，； （2），，理由如下： 延长至H，使，连接，如图2所示：    由（1）得：， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 延长交于G， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【知识点】确定第三边的取值范围、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据全等三角形的判定和性质以及三角形的三边关系即可得到结论； （2）延长至H，使，连接，由（1）可得，由全等三角形的性质得出，，证出，证明，得出，，推出．延长交于G，求出，即可得解． 【详解】解：（1）延长到E，使得， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：，，，； （2）略 19．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）数学课上，某数学小组正在认真研究：到三个定点距离之和最小的点 【实际背景】设要建造一座发电厂向附近的三座工厂输电，将发电厂建造在哪里，可以使从发电厂出发的输电线的总长度最短？ 【数学问题】在平面内，假设三座工厂分别记作点，发电厂记作点，请在平面内找一点，使得最小． (1)探究1．当点在同一直线上（如图1），点在点和点之间，要使得最小，点的位置为_________________ 依据是：_________________（填写序号） ①三角形任意两边之和大于第三边； ②线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． (2)探究2．当点不共线时（如图2），中，最大内角，点在内． 小敏说：两条折线段之和最小值就是连结两点的线段长； 小丽提出困惑：如何把题目中共顶点三条线段转化为首尾相连的三条折线段呢？ 欢欢说：目前线段相等转化的方法有：构造全等三角形、等边三角形（或等腰三角形）…… 聪聪说：将绕点顺时针旋转得，连接（如图3）；此时要使得最小，则点在同一直线上（如图4），可以得出． ①你同意该小组同学的说法吗？如果不同意，请说出理由；如果同意，请写出证明的推理过程． ②从上面的证明还可以得到是等边三角形，此时点在线段上；请用直尺和圆规在图5中作出点使得最小． 【答案】(1)点B，① (2) ①同意． 理由：由旋转变换的性质可知，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴点A、P、在同一直线上，的值最小， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图5中，点P即为所求． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短以及等边三角形的性质，深入理解题意是解决问题的关键． （1）利用三角形任意两边之和大于第三边判断即可； （2）①利用旋转变换的性质判断出：点A、P、在同一直线上，的值最小，可得结论； ②在的下方作等边，在的右侧作等边，连接交于点P，与交于点，连接，根据，则，可得，则，再根据可得，则，故点P即为所求． 【详解】（1）解：当点A、B、C在同一直线上（如图1），点B在点A和点C之间，要使得最小，点P的位置为点B．依据是三角形任意两边之和大于第三边． 故答案为：点B，①； （2）解：略． 20．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）阅读下列材料： 数学符号语言是数学特有的通用语言，是人类数学思维长期发展形成的一种语言表达形式，是数学语言的典型代表．它具有准确性、简约性、应用广泛性等特点，是表达数学思想、进行数学推理和解决问题的重要工具． 如：书本中用符号语言“”代替了二次根式的乘法的运算法则“两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变”． 根据所给材料，完成下列问题： (1)用文字描述符号语言“”的等式含义：________________； (2)①命题“一个数的平方等于这个数绝对值的平方，也等于它平方的绝对值”可以用数学符号语言描述为________________； ②解方程：． 【答案】(1)的算术平方根等于 (2)①；②或 【知识点】求一个数的算术平方根、因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程 【分析】本题考查算术平方根的定义，绝对值，解一元二次方程． （1）根据算术平方根的定义即可解答； （2）①将文字语言转化为数学语言即可；②利用换元法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：“”的等式含义为的算术平方根等于， 故答案为：的算术平方根等于； （2）解：①命题“一个数的平方等于这个数绝对值的平方，也等于它平方的绝对值” 设这个数为， 则可以用数学符号语言描述为， 故答案为：； ②解：， 令， 由①得，， 则原方程为：，即， 或， 解得或， ∵， ∴， ∴， ∴或． 21．（25-26八年级上·上海·期中）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为和的正方形木板A，B，C． (1)木板①中截出的正方形木板C的边长为_________； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能截出 【知识点】无理数的大小估算、多项式乘多项式与图形面积、二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式混合运算的实际应用，熟练掌握二次根的运算是解题的关键， （1）根据正方形的面积，即可求出边长； （2）先求出木板①的边长，根据长方形面积公式即可求解； （3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板和宽进行比较，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵木板C为正方形，且面积为， ∴木板C的边长为：， 故答案为：． （2）解：∵正方形木板A，B，C的面积分别为：和， ∴正方形木板A，B，C的边长分别为：， ∴长方形木板的长为，宽为 由图可得： ∴ ． （3）解：不能截出； 理由：∵，， ∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为， 由（2）得长方形的边长分别为：、， ，但 不能截出． 22．（25-26八年级上·上海虹口·期中）请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数． (2)关于的一元二次方程有一个实数根为2025，则方程一定有实数根_______． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2，求一元二次方程的两根． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】换元法解一元二次方程、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法． （1）利用题中解法，设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （2）根据方程根的定义得到，则，即可求出答案； （3）一元二次方程整理可得：，再与一元二次方程比较即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根是，则， 所以， 把代入， 得； （2）解：关于的一元二次方程有一个实数根为2025， ， ， 是方程的实数根． 故答案为：． （3）解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2， ， ， 方程 化为：方程， 整理得， 因式分解得， 解得． 23．（25-26八年级上·上海普陀·期中）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、，小普发现对于这个方程的两根，有，．假设、在数轴上对应的点分别为、，点、之间的距离为2，的中点表示的数是p． (1)当时，_____________； (2)根据小普的结论，求m、n；（结果用含p的代数式表示） (3)如果n是一个正整数的平方，现保持的中点不变，、之间的距离变为8，对应的方程中也是一个正整数的平方，求的中点表示的数． 【答案】(1) (2)， (3)或或或 【知识点】求一个数的平方根、实数与数轴、因式分解的应用、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用完全平方公式变形求值，因式分解的应用，求一个数的平方根等知识点． （1）根据数轴上中点坐标公式求解； （2）根据，即可表示；由题意得，再由代入化简即可； （3）当时，（为正整数），则当时，（为正整数，且），则 ，即，再分类讨论求解． 【详解】（1）解：∵的中点表示的数是p， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴； 由题意得， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，（为正整数）， 当时，（为正整数，且）， ∴ 两式相减得， 即． ∴ 或 解得或， ∴或 ∴ ，，，， 即的中点表示的数是或或或． 24．（25-26八年级上·上海闵行·期中）材料一：观察等式，其左边是两个含有二次根式的代数式相乘，而右边不含二次根式．像这样，两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么就说这两个代数式互为有理化因式． 材料二：根式化简 ； ． 根据以上材料，请完成下列问题： (1)_________；（直接写出答案） (2)计算：；（直接写出答案） (3)计算：； (4)计算：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题主要考查了分母有理化、二次根式的混合运算等知识点，理解分母有理化的求解过程并灵活运用是解答的关键． （1）根据分母有理化求解即可； （2）先根据分母有理化化简，然后再根据二次根式的加减运算法则计算即可； （3）先根据分母有理化化简，然后再根据二次根式的加减运算法则计算即可； （4）先将分母因式分解，然后分母有理化，最后根据二次根式的加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 25．（25-26八年级上·上海闵行·期中）阅读下面材料：将边长分别为的正方形面积分别记为，则．例如：当时，． 根据以上材料解答下列问题： (1)当时，________；________． (2)当时，把边长为的正方形面积记作，其中是正整数．从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想． (3)当时，令，且，若，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)6 【知识点】运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查利用完全平方公式进行计算、二次根式的运算及解一元二次方程，理解题意，得出相应规律是解题关键． （1）根据题意，直接代入然后利用完全平方公式展开合并求解即可； （2）根据题意得出猜想，然后由完全平方公式展开证明即可； （3）根据可得，代入、的值，根据得出关于的一元二次方程，解方程得出的值，根据是正整数即可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ， ， ∴， ， 故答案为：； （2）解：猜想结论：， ． （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：，， ∵是正整数， ∴． 26．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）已知：，求z的最大值 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，因式分解法解一元二次方程，由条件可得，，可得是方程的两根，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴是方程的两根， ∴， ∴当时， 解得：或， ∴， ∴的最大值为． 27．（25-26八年级上·上海·期中）对于两个无理数，如果它们的和等于它们的积，那么我们称这两个无理数互为“友好无理数”．请根据条件填空： (1)的“友好无理数”是 ． (2)请写出一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”，它们可以是 和 ． (3)将一组无理数从左到右排列，第一个数记作，第二个数记作，第三个数记作，第个数记作．即．已知，且这个数中，每相邻两个数都是“友好无理数”． ①如果，且，那么的值为 ； ②如果，那么的值为 ． 【答案】(1) (2)和或和（答案不唯一） (3)①；② 【知识点】新定义下的实数运算、与实数运算相关的规律题、数字类规律探索、分母有理化 【分析】本题主要考查定义新运算，二次根式的混合运算，理解“友好无理数”的概念及计算，掌握二次根式的混合运算法则是关键． （1）设的“友好无理数”是，根据“友好无理数”的定义列式求解即可； （2）设一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”分别为，结合题意列式得到，由此代入计算验证即可； （3）①根据计算得到，由此代入计算即可； ②根据题意得到，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：设的“友好无理数”是， ∴， 解得，， 故答案为：； （2）解：设一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”分别为， ∴， ∴，则， ∴， ， ∵是无理数，即， ∴， 令，则，符合题意； 令，则，符合题意； 故答案为：和或和（答案不唯一）； （3）解：①将一组无理数从左到右排列，第一个数记作，第二个数记作，第三个数记作，第个数记作．即．已知，且这个数中，每相邻两个数都是“友好无理数”， ∴，，，， ∴，，，， ∵， ∴， 整理得，， 解得，， 当时，； 当时，； ∵， ∴； ②根据上述计算，， 变形得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴． 28．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）（1）通过剪裁、拼接两个面积为1的正方形，可得到一个面积2的正方形．如图1，已知小正方形的边长为1，若点与数轴上表示1的点重合，将正方形绕着点旋转，点落在数轴上，与点重合，则表示的数为_____； （2）下面我们来了解如何得到边长为的正方形，如图2，将五个面积为1的正方形，按图示虚线剪裁，拼接成右侧的图形．我们可以用已经学过的几何知识判断出四边形是正方形．已知直角与中，三点在同一条直线上，求证：且； （3）下面介绍如何获得边长为的正方形．利用面积为2的正方形以及一个面积为1的正方形剪裁、拼接．如图3，将面积为1的正方形与面积为2的正方形排列在一起．在上取点，使得，连接、．将绕着点逆时针旋转，得到，再将以类似方式旋转至的位置，四边形即边长为的正方形． 请参考这一方法，仅利用面积为1的正方形（不限数量），以及上面小题（1）、（2）中已经获得的面积为2或5的正方形，尝试获得边长为的正方形，利用刻度尺画出图形．（图上适当标注数据，不需要写作图过程） 【答案】（1）或 （2）证明：在与中， ， ， ， ， ， ． （3）解：如图所示，四边形即为所求， 将面积为1的正方形与面积为5的正方形排列在一起．在上取点，使得，连接、．将绕着点逆时针旋转，得到，再将以类似方式旋转至的位置，四边形即边长为的正方形． 【知识点】实数与数轴、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查勾股定理与全等三角形的应用，熟练掌握勾股定理与全等三角形是解题关键． （1）先由勾股定理得正方形边长，再结合点A表示的数，推出表示的数． （2）通过证明，利用全等三角形的对应边相等、对应角相等，推导得出结论． （3）利用勾股定理，结合面积为5、1的正方形，构造直角三角形得到斜边，再拼成正方形． 【详解】（1）解：由题可知， 点与数轴上表示1的点重合，将正方形绕着点旋转，点落在数轴上，与点重合， 若在A的左侧，则表示的数为， 若在A的右侧，则表示的数为， 表示的数为或． 故答案为：或． （2）略 （3）略 29．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）阅读材料：《代数学》中记载，曾有数学家用几何方法求解一元二次方程．以方程的求解为例，其求正数解的几何方法为：如图，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的小长方形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为． 请根据上述材料解决以下问题： (1)用上述几何方法求解方程时，先构造面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积相等的小长方形，得到的每个小长方形的面积应为_____（用含的代数式表示）；构造出的大正方形边长为_____（用含的代数式表示）； (2)用几何方法求解关于的方程（，是常数，且方程有正数解）时，按材料中的方法构造图形：先画面积为的正方形，再向外构造四个面积相等的小长方形，最终得到的大正方形面积为49．如果四个小长方形的总面积为12，求和的值． 【答案】(1)2x； (2)的值为12，的值为或的值为2，的值为． 【知识点】列代数式、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）类比材料中方程的构造逻辑，根据一次项系数求出四个小长方形的总面积，进而得单个长方形面积；通过小长方形的宽推导大正方形边长； （2）将方程变形为材料中的标准形式，利用大正方形面积和小长方形总面积建立等式，求解参数和 【详解】（1）解：对于方程， ∵四个小长方形的总面积等于方程左边一次项， ∴每个小长方形的面积为；小长方形的长为，则宽为， ∴大正方形的边长为原正方形边长加两个小长方形的宽，即． （2）解：将方程变形为， ∵四个小长方形的总面积为12，且其总面积等于， ∴； 构造的大正方形边长为，其面积为， ∵，， ∴，即； 将代入，得， 整理得，解得或； 当时，，代入，得，即； ∴，整理得：，即， ∴大正方形的面积为49，符合题意； 当时，，代入，得，即； ∴，整理得：，即， ∴大正方形的面积为49，符合题意． 综上，的值为12，的值为或的值为2，的值为． 30．（25-26八年级上·上海虹口·期中）请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质及整体代入思想，给出了如下解法： 由，分母有理化得：． 但直接代入太繁琐，转而寻求整体关系： 由得，两边平方得， 得，则． 观察原代数式，注意到前两项可提取公因式： 代入，得． 因此，原式得值为2023． 请运用上述思想方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化以及代数式的整体代入求值，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键． 通过分母有理化得到的表达式，进而推导出关于的二次式的整体值，再将代数式进行变形后整体代入计算． 【详解】（1）由， 得， ， ， 即， ， ， ， ． （2）由， 得， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ． 31．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）如图，把绕着点A逆时针旋转（旋转角小于）至，连接、，延长交于点F． (1)如图，若，旋转角为，过点C作的平行线，交的延长线于点G，求证：． (2)如图，若点F是中点，旋转角为，且，求度数． (3)如图，旋转角为，点F与点B重合，为以为腰的等腰三角形，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵旋转， ∴，，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴； (2) (3)或 【知识点】线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解 【分析】（1）根据旋转的性质得出，，，，根据等边对等角和三角形的内角和定理求出，根据角的和差关系求出，，结合平行线的性质可得出，然后根据等角对等边得出，即可得证； （2）延长至点G，使，连接，证明，得出，，根据旋转的性质得出，，，，证明是等边三角形，得出，，进而，根据等边对等角，设，则，，，根据等边对等角得出，即可得出关于的方程，求解即可； （3）分；两种情况讨论，根据旋转的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定与性质等知识求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：延长至点G，使，连接， 又，， ∴， ∴，， ∵旋转， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴，即， 解得， 即； （3）解：当时，如图， ∵旋转， ∴，，，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴； 当时，如图， ∵旋转， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即点D在上， ∴， 综上，的度数为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，以及合理分类讨论是解题的关键． 32．（25-26八年级上·上海松江·期中）如图所示，某社区计划利用一块长16米，宽为8米的长方形空地（长方形），建造一个长方形健身区域（长方形）和两个边长均为米的正方形休息亭．健身区域的上下两边与空地的边重合，休息亭紧贴健身区域两侧，且其左右两边与空地的边重合． (1)若要求健身区域的面积不小于64平方米，且两个休息亭内部需各放置一张长3米的长椅（即正方形边长不小于长椅长度）求满足条件的的取值范围； (2)在（1）的取值范围内，设计要求：整个大长方形空地面积与两个休息亭面积之和，等于健身区域面积的2倍．判断是否存在符合要求的正方形休息亭，若存在，求出其边长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在符合要求的正方形休息亭，其边长为米 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了不等式组的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是： （1）根据正方形边长不小于长椅长度和健身区域的面积不小于64平方米列不等式组求解即可； （2）根据整个大长方形空地面积与两个休息亭面积之和，等于健身区域面积的2倍列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：根据题意，得， 整理得， 解得，， ∵， ∴， ∴存在符合要求的正方形休息亭，其边长为米． 33．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）阅读与思考 八（3）班数学兴趣小组的小李同学在解一元二次方程时遇到了这样一个方程．对这个方程进行化简得到：，继续求解时发现解这个方程有些困难，于是思考解这个方程有没有比较简单的方法呢？数学兴趣小组的同学为此展开讨论，有人提出能否将方程进行变形，利用求平方根来求解，于是做了如下尝试： 第一步：令； 第二步：原方程可变形为； 第三步：······ 完成本题的求解之后，数学小组又用此方法解出了几个类似的方程．经过多次尝试，小组内部进行了反思：该方法的第一步实际上是对方程等号左边的两个多项式取平均值，再通过换元得到一个相对简单的一元二次方程，其本质是求平方根法的推广，不过只有特殊形式的一元二次方程才能运用． (1)请完成材料中第二步以后的求解过程． (2)依照材料内容，小赵同学尝试解方程：．他的解法如下： 第一步：令； 第二步：原方程变形为； 接下去，小赵同学遇到了困难，他发现直接模仿该方法并没有使方程变得简单，在换元到第二步后也难以继续往下进行．你能帮助他解决这个困难吗？请优化小赵同学的解题过程，并运用材料中的方法完成该方程的求解． (3)材料中解法的本质是求平方根法．回顾课本中对求平方根法的归纳：形如（）的一元二次方程可以通过求平方根来求解．请你结合材料内容，观察并归纳：当一元二次方程可化成形如_____的方程时，可用材料中的方法求解． 【答案】(1) ， (2) ， (3) 【知识点】运用平方差公式进行运算、因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程 【分析】（1）将方程变形为平方差形式后，通过计算求出的值，进而得到t的解，再代回换元式求出x的解； （2）通过换元将原方程变形，再取两个因式的平均值换元，转化为平方差形式求解，最后代回换元式得到x的解； （3）归纳出当一元二次方程可化成形如（m、n、p为常数）的形式时，可采用材料中的方法求解． 【详解】（1）解：∵ 第二步得到方程， 根据平方差公式， ∴ 可变形为， 即， 计算得，则， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 解得，． （2）∵ 原方程为，令，则方程变形为， 进一步整理为， 取两个多项式的平均值，令，设，， ∴ 原方程可化为， ∵ ， ∴ ，即，解得， 当时，，得； 当时，，得； 又∵ ， ∴ 或 ， 解得，． （3）∵ 材料中的方法本质是平方根法的推广，通过对两个一次因式取平均值换元，转化为平方差形式求解， ∴ 当一元二次方程可化成形如（其中、、为常数）的方程时，可用材料中的方法求解． 【点睛】本题主要考查平方差公式、换元法在一元二次方程求解中的应用，以及一元二次方程的结构归纳，掌握通过换元将复杂方程转化为平方差形式的技巧，和对特定形式方程的识别及对应解法的应用是解题的关键． 34．（25-26八年级上·上海金山·期中）数学史上，曾有数学家利用几何法求解一元二次方程．下面，以的求解为例，说明几何法解一元二次方程的过程： 由于，因此．分别以和为两边构造一个长方形，面积为64．如图（1）所示，再把该长方形分割成一个面积是的小正方形和两个面积是的小长方形．如图（2）所示，将分割后的图形重新拼成图（3）所示的图形，则图（3）的阴影部分是边长为6的小正方形，面积为36．这样就将一个面积为64的长方形和一个面积为36的小正方形拼成了一个面积为，边长是的正方形，显然该正方形的边长为10，故10，得． 用几何法求解一元二次方程时，只能得到正数根．请根据上述材料解决以下问题： (1)用几何方法求方程的正数根． 具体过程如下： ①在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度． ②根据①中所画图形求出方程的正数根． (2)根据探究材料，我们尝试用“立体图形的组合”求特殊的一元三次方程的正根．例如，求的正数根． 类比平面图形的研究，可将此问题转化成拼正方体来求解，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图（4）中的几何体_____块； 需要准备图（5）中的几何体_____块； 需要准备图（6）中的几何体_____块； 需要准备图（7）中的几何体_____块； 请直接写出方程的一个正数根：_____． 【答案】(1) ①根据题意作图如下： ② (2)1，3，3，1， 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解此题的关键． （1）①根据题意画出图形即可； ②根据所画图形并结合题意解答即可； （2）由可得需要准备图（4）中的几何体块；需要准备图（5）中的几何体块；需要准备图（6）中的几何体块，画出拼成的立体图形，从而可得需要准备图（7）中的几何体块，因此，由此求解即可． 【详解】（1）解：①略 ②根据①中所画图形，通过图形变化，将一个面积为32的长方形和四个面积为的小正方形拼成了一个面积为，且边长是的正方形． 显然该正方形的边长为，故，得； （2）解：， 故需要准备图（4）中的几何体块；需要准备图（5）中的几何体块；需要准备图（6）中的几何体块，拼成的立体图形如图所示： 故需要准备图（7）中的几何体块， 因此拼成了一个体积为，棱长是的正方体，故，得．故方程的一个正数根为． 故答案为：1，3，3，1，． 35．（25-26八年级上·上海·期中）如图，矩形的面积为，其顶点A、C分别在y轴和x轴的正半轴上．反比例函数的图像与、分别交于点、，．连结、、． (1)若的面积为3，求：的面积； (2)若，求反比例函数解析式． 【答案】(1)8 (2) 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质求面积 【分析】（1）设反比例函数的解析式为，，根据的面积为3，可求得，由此可得出，再求出，然后利用的面积为；求解； （2）当时，作，交延长线于点M，作，交延长线于N，构造等腰直角三角形，先求出的解析式，再用表示出的坐标，从而可求出反比例函数解析式． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为，， ， ， ， ∵矩形的面积为， ∴，，， ∴， ∴， 的面积为3， ∴， ∴，解得：， ∴， 又点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式 又在反比例函数的图象上， ∴，解得：（负值舍去）， ∴， ，， ， ， 的面积为； ； （2）∵矩形的面积为，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 设反比例函数的解析式为， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， ∴， 当时，作，交延长线于点M，作，交延长线于N， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴M的横坐标为， ∴， 设直线的解析式为, ∵点在直线上， ∴，解得：， ∴直线的解析式为, 又点在直线上， ∴，解得：， ∴， ∴反比例函数解析式为． 【点睛】本题考查了根据图形面积求比例系数（解析式），反比例函数与几何综合，全等的性质和（）综合（或者），根据矩形的性质求面积，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 36．（25-26八年级上·上海静安·期中）已知：，求y的值． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算、通过对完全平方公式变形求值、二次根式的乘法 【分析】本题考查了乘方运算，准确的计算是解决本题的关键． 令，求出，再依次求出即可求解． 【详解】解：令， ∴ ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∴ ． 37．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把，代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为__________________； (2)已知关于y的一元二次方程的根（，有两个不等于零的实数根）分别是某个已知一元二次方程的根的倒数，求该已知的一元二次方程． (3)已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数且它的两个根都为整数． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】倒数、公式法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数、判断是否是一元二次方程的解 【分析】（1）设所求方程的根为y，根据题意可得，所以，把代入方程，即可得出答案； （2）设原方程的根为x，则，所以，代入方程，得，再用反证法证明即可； （3）设所求方程的根为y，则，所以，代入原方程，得，由方程有两个实数根可得，于是可得，进而可得，用公式法解一元二次方程可得，由根是整数可知为偶数且为完全平方数，因而可得或，代入方程即可得出答案． 【详解】（1）解：设所求方程的根为y，根据题意可得： ， ， 把代入方程， 得：， 故答案为：； （2）解：设原方程的根为x，则，所以， 代入方程，得： ， 去分母，得：， 若，则有：， 即：， 于是，方程有一个根为0，这不合题意， ， 原方程为：； （3）解：设所求方程的根为y，则，所以， 代入原方程，得：， 去分母，得：， ， ， 又， ， ， 根是整数， 为偶数且为完全平方数， 或， 所求方程为： ，即：， 或，即：． 【点睛】本题主要考查了相反数的应用，等式的性质，一元二次方程的解，倒数，等式的性质，提公因式法分解因式，反证法，根据一元二次方程根的情况求参数，公式法解一元二次方程等知识点，深刻理解“换根法”并能加以运用是解题的关键． 38．（25-26八年级上·上海·期中）综合与实践：阅读材料，并解决以下问题． (1)学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，求解过程如下： ①变形：将方程变形为； ②构图：画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形；    ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程，∵表示边长，∴，即． 这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程可以得到原方程的另一个根是________． (2)类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）．      (3)拓展应用：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么________，________，方程的一个正根为________．    【答案】(1)； (2) 解：将方程变形为， 画四个长为，宽为的矩形，按如图所示构造一个“空心”大正方形，    则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程， ∵表示边长， ∴， 即． (3)，． 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）运用直接开平方法解方程，即可得到方程的另一个根． （2）将方程变形为，画四个长为，宽为的矩形，构造一个“空心”大正方形；仿照例题求解即可； （3）由中间围成的正方形面积为4，可得中间正方形的边长为2．设长方形的宽为x，则长为，由题意得，整理得，即可求得a和b的值．仿照例题构造大正方形，即可求出x的值． 本题主要考查学生的阅读理解能力，综合运用知识的能力．读懂例题，正确的构造出大正方形是解题的关键． 【详解】（1）由得 ∴ ∴原方程的另一个根是． 故答案为： （2）略 （3）∵中间围成的正方形面积为4， ∴中间正方形的边长为2， 设长方形的宽为x，则长为， 由题意得， 整理得， ，． 如图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程， ∵表示边长， ∴， 即． ∴方程的一个正根为． 故答案为：，．．        39．（25-26八年级上·上海·期中）如图，在中，，，点为中点，点为边上一动点，点为射线上一动点（点不与点重合），且． (1)当时，连接，求的余切值； (2)当点在线段上时，设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)连接，若为等腰三角形，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】函数解析式、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、三角函数综合 【分析】（）先根据勾股定理求出的长，再由相似三角形的性质求出的长，利用等腰直角三角形的性质求出的长，最后由锐角三角函数的定义即可求出的余切值； （）过点作于点，由平行线的性质及等腰三角形的性质可求出的表达式，再由相似三角形的判定定理求出，根据相似三角形的性质可写出关于的函数关系式； （）先分析出为等腰三角形时的两种情况，再根据题意画出图形，当时，证明，得到，再根据等腰三角形三线合一得到，从而得到与重合，进而得出的长；当时，先判断出点的位置，再根据相似三角形的性质及判定定理解答即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴，， ∵点为中点， ∴， ∵，， ∴，， ∴，为等腰直角三角形， ∴，， ∴在中，； （2）解：过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴若为等腰三角形，只有或两种可能． ①当时，如图①， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴此时与重合， ∴； ②当时，点在的延长线上， 过点作于点，如图②， ∵，， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，余角性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 40．（25-26八年级上·上海·期中）若一元二次方程有两个实数根为、，那么，，这就是一元二次方程的根与系数的关系．利用该结论，不解方程便可以求二次方程的两根之和与积，例如的两个根分别为、．则，． (1)小聪同学喜爱思考，他发现利用根与系数的关系不仅可以求解两根之和与两根之积，还可求解方程两根的倒数和．不解方程，请求一元二次方程的两个根的倒数和． (2)小明同学酷爱数学，他进一步研究根与系数的关系，发现了一种解一元二次方程的新方法．例如方程，、、，，． 设，，则，即，解得，所以原方程的解为、．请利用小明的方法解方程． (3)小睿同学善于发现，他对三次方程的根与系数关系作了探究，将该方程两边同时除以可得．若该方程的三个根分别为、、，则，将其展开后为，于是、、．若三次方程的三个根分别为、、，且．请先说明、再直接（不必书写过程）写一个三次方程且使得该三次方程的三个根分别为、、． 【答案】(1) (2)、 (3)∵三次方程的三个根分别为、、，且， ∴由根与系数的关系，可得，，， ∴， 所求三次方程为． 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数关系的综合应用等知识点， （1）把两根倒数和通分后代入计算即可； （2）仿照小明同学的求解即可； （3）由根与系数的关系，可得，，，代入即可证出，可设新方程为，由题意和根与系数的关系化简即可得出m，n，p的值，进而即可得解； 熟练掌握其性质并灵活运用是解决此题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）， 、、， ，． 设，， ∴，即， 解得， ∴原方程的解为、； （3） 由题意得，可设新方程为， ∵新的三次方程，其三个根分别为、、， 又∵， ∴新的三次方程，其三个根分别可化为、、， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴新方程为． 41．（25-26八年级上·上海青浦·期中）材料一：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ； 材料二：根式化简 ； ． 根据以上材料，请完成下列问题： (1)_______；（直接写结果） (2)计算：； (3)计算：； (4)计算：． 【答案】(1) (2)9 (3) (4) 【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查分母有理数、二次根式的混合运算，理解分母有理化的求解过程并灵活运用是解答的关键． （1）仿照题中例题解过程求解即可； （2）仿照题中求解过程化简各式，然后加减运算即可求解； （3）仿照题中求解过程化简各式，然后加减运算即可求解； （4）先对分母分解因式，再进行裂项化简各数，然后加减运算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 42．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）综合理解： 一元二次方程，当，它有两个实数根和，有以下关系式：，． (1)设方程的两个根为、，则 ， ； (2)设关于的方程的两个实数根为、，且，则的值为 ； (3)已知，且及，求的值． 【答案】(1)； (2)3或 (3) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，理解题意，是解题的关键． （1）根据根与系数的关系进行求解即可； （2）解关于的方程得出，，根据，得出或，求出结果即可； （3）将变形为，得出、可看作方程的两个根，从而得出，，再代入求值即可． 【详解】（1）解：∵的两个根为、，，，， ∴，， ∴； （2）解：∵关于的方程可变形为：， ∴，， 解得：，， ∵， ∴或， 解得：或． （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴、可看作方程的两个根， ∴，， ∴ ， ． 43．（25-26八年级上·上海·期中）如图，在中， ，D是射线上一点(不与点A、C重合)，过点D作直线的垂线，垂足为点E，M是的中点 (1)求证：； (2)当点D在边上时，如果设，，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)当时， 求的面积． 【答案】(1) 证明：在中，，是的中点， ． 在中，，是的中点， ， ． (2) (3)当在上时，；当在延长线上时， 【知识点】函数解析式、一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质即可证明； （2）根据勾股定理得出，则，根据勾股定理得出，即可解答； （3）根据题意进行分类讨论：①当在上时，②当在延长线上时． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，，， ． 由勾股定理得， ， ， 在中，， ， ， ，， ， ∵， ∴， ； （3）解：∵， ∴， ①当在上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②当在延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴， 由（1）可知， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 44．（25-26八年级上·上海闵行·期中）我们定义：两根都为整数的一元二次方程均为整数称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”均为整数的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于x的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该幸运方程的“幸运数”是，则m的值为______． (2)若关于x的一元二次方程为整数，且是“幸运方程”，求m的值及该方程的“幸运数”； (3)若关于x的一元二次方程与、n均为整数都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求n的值． 【答案】(1)①；②或3 (2)，“幸运数”为 (3)或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】（1）①把代入方程得到方程，根据“幸运数”的定义即可求解； ②根据“幸运数”的定义可得方程解方程可求得m的值； （2）通过m的取值范围确定根的判别式的范围，继而根据“整数根”特点确定根的判别式的取值，最后结合m为整数确定m取值，按照“幸运数”定义求解即可； （3）根据是“幸运方程”得出的两个根为整数，设方程的两个分别为p，q，根据根与系数的关系得出，进而根据p，q为整数，得出m的值为5或，求得，根据与互为“开心数”得出方程，进而分或，分别代入，解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：①当时，代入得，， ，即， 故答案为：； ②依题意，， 整理得，， 解得，， 故答案为：或3； （2）解：， ， ， ， 是“幸运方程”， 是完全平方数， 即是完全平方数， 或49或64， 解得或9或， 为整数， ， 当时，方程化为， ， 方程的“幸运数”为； （3）解：是“幸运方程”， 的两个根为整数， 设方程的两个根分别为p，q， ，， ， ， ， ，q为整数，， 当，时，则，，此时， 当，时，则，，此时， 当，时，则，，此时， 当，时，则，，此时， 综上所述，m的值为5或， 方程的“幸运数”为， 当时，， 当时，， ， 方程的“幸运数”为， 与互为“开心数”， ，即， 当时，方程为：， 解得：或舍去，不是整数， 当时，方程为：， 解得：， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了一元二次方程相关知识，涉及解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系等，理解“幸运方程”“幸运数”“开心数”的定义是解题的关键． 45．（25-26八年级上·上海·期中）已知是一元二次方程的两个实数解． (1)根据求根公式可求得___________；___________；（用含字母、、的代数式表示） (2)已知是一元二次方程的两个实数根． ①请用含的代数式表示___________：___________． ②若实数为整数，且满足的值也为整数，求的值： (3)若为互不相等的实数，且满足．，求的值． 【答案】(1)； (2)①1；② (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】（1）根据求根公式，即可求解； （2）①根据（1）中结果，，代入即可求解；②结合（1）并结合分式的加减运算、完全平方公式可得，再根据为整数，可得或或，最后结合即可解答． （3）根据题意为方程的两个实数根，结合（1）中结果即可求解． 【详解】（1）解：∵是一元二次方程的两个实数解 ∴ 则， 故答案为：； （2）①由（1）可知：是一元二次方程的两个实数根 ∴， ∴ 故答案为：1； ②∵ ∴将，代入得 ∵实数为整数，且满足的值也为整数 ∴当为整数即为所求 则或或 ∴ ∵且 ∴ ∴ （3）∵为互不相等的实数，且满足． 即， 设为方程的两个实数根 ∴ ∴ 则. 【点睛】本题主要考查了求根公式、一元二次方程的解、分数指数幂、根与系数的关系、完全平方公式、根的判别式、分式的混合运算等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 46．（25-26八年级上·上海宝山·期中）如图，在四边形中，，以点A为圆心，的长为半径作弧分别交边，边于点F，E，（点E，F都不与边的端点重合）． (1)如图，当， ①探索和的数量关系并证明你的结论； ②若平分，求证：是等边三角形并直接写出此时线段，，之间的数量关系． (2)连接，当平分时，若是以为腰的等腰三角形，求的值． 【答案】(1) 解：①， 证明：如图，过点A作交于点H， 由题意知，， ∴为等腰三角形， ∵， ∴为等腰的中垂线， ∴，， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． ②， 证明：如图，由①知，， 又∵平分， ∴， ∴， 设， 在等腰中，， ∵， ∴， ∴， 由等腰可知，根据三角形内角和定理得：， 解得， ∴， 即是等边三角形． 设，则， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 则， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， 则， ∴， 即． (2)或1 【知识点】角平分线的有关计算、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、平行四边形性质和判定的应用 【分析】（1）①过点A作交于点H，根据题意得出为等腰三角形，再由可根据等腰三角形的三线合一的定义可知为等腰的中垂线，从而进一步求得，，利用角度的和差关系得出，通过“”证明，从而最终得出；②通过角平分线的定义及①问中得出的结论可推导出，设，则，通过三角形内角和定理列出关于α的方程求得α的值，进一步推导出是等边三角形．设，则，再利用已知的条件可得出，，进一步推导出四边形为正方形，从而求得相关线段的表达式并进行构造，最终得出； （2）根据角平分线的定义得出，利用“”证得，得出及，此时分情况讨论：①当时，②当时，根据不同的情况作出对应的辅助线并根据不同的情况假设关键线段的长度，通过计算推导最终求得的结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵，平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ①如图，当时，，， ∴，， ∴， 过点E作交于点N，过E作交的延长线于点M，过点A作交于点H， 设， ∴，则， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵，即， ∴； ②如图，当时，， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 综上所述，的值为或1． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形、矩形、正方形的判定与性质，等腰三角形三线合一及平行线的性质等知识点． 47．（25-26八年级上·上海虹口·期中）如图①，在长方形中，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动．作交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点和点重合时，线段的长为_____． (2)当点和点重合时，求线段的长； (3)如图②，当点在边上运动时，当的形状始终是_____． (4)作点关于直线的对称点，当点落在长方形的边上时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)等腰直角三角形 (4)秒或秒或秒 【知识点】实数的混合运算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、勾股定理与折叠问题、等腰三角形的定义 【分析】（1）根据平行线间的距离相等得到，进而在中，勾股定理即可求解； （2）设，则，在中，，在中，，在中，，再根据，进而作答即可； （3）过点P作于点H，证明，得出，即可得出结论； （4）分三种情况讨论，画出符合题意的示意图，由长方形得性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示， ∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 在中，； （2）解：如图， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故， ∴； （3）证明：如图，过点P作于点H， 则同（1）可得， ∵ ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （4）解：动点P从点E出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动， 有以下三种情况： ①当点P在线段上时，点E关于的对称点落在边上，点Q在边上，如图： 由上可得：， 设，则， 由对称的性质得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴ 解得：，即， ∴； 当点在上，点在上时， 由对称的性质得：， ∵，点在上时， ∴重合，如图： 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴运动的时间为 当点在上，在上， 由对称的性质得：， ∵，点在上时， ∴重合，此时重合，如图： 则由（1）可得， ∴运动时间为：， 综上所述：的值为秒或秒或秒． 【点睛】本题考查了长方形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，全等三角形的判定与性质，折叠的性质以及等腰三角形的定义等知识点，难度较大，解题的关键在于分类讨论． 试卷第1页（共3页） 1 / 98 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 上海期中解答题压轴47题 正确题数：_______ 错误题数：_______ 正确率：_______ 错因分析： 1．（25-26八年级上·上海·期中）如图1,在长方形中，，，点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别从同时出发，请问： (1)经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)经过几秒时，五边形的面积最小?最小值是多少？ 2．（25-26八年级上·上海·期中）阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：当时， ∵， ∴当即时，的最小值为． 请利用以上结果解决下面的问题： (1)当时，直接写出的最小值为 ； (2)当时，有最大还是最小值？最值是多少？ (3)解决问题：如图，已知四边形的对角线，交于点，若的面积为，的面积为，求四边形面积的最小值． 3．（25-26八年级上·上海闵行·期中）阅读材料： 数学中有些问题看起来复杂，但如果我们仔细分析代数式的结构，寻找其中隐藏的规律或联系，就能找到解决问题的钥匙． 常用的思路有： 1．代数式的变形：比如，一个分式的分母如果含有根号，我们可以通过“分母有理化”的方法，使其变得更容易计算； 2．整体的视角：有时我们不需要分别求出每一个部分的值，而是将它们看作一个整体，通过观察它们之间的相互关系，从而找到解决问题的方法． 请运用以上思路进行思考并解答以下各题： (1)已知，求的值； (2)计算：； (3)设实数，满足，求的值． 4．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ，且， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： （1）若，则的值是______________； （2）求证：无论取何值，二次根式都有意义； （3）若代数式的最小值为2，求的值． 5．（25-26八年级上·上海·期中）如图1，，，、、在同一条直线上．    (1)若，，连接，求的长． (2)如图2，设、、是和三边的边长，由（1）易得，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾股方程”． ①判断关于的“勾股方程”根的情况并说明理由； ②若是“勾股方程”的一个根，且的面积是9，求四边形的周长． 6．（25-26八年级上·上海崇明·期中）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“根差2方程”；例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“根差2方程”． (1)根据上述定义，下列方程是“根差2方程”的是______（填序号）； ①，②，③； (2)已知关于x的方程（a是常数）是“根差2方程”，求a的值； (3)若关于x的一元二次方程和都是“根差2方程”，（）试求m、n间的数量关系． 7．（25-26八年级上·上海·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为1． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值 ； 【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值． 【挑战应用】（4）如图，在四边形中，，，点M和点N分别是和的中点，和的延长线交于点P，则面积的最大值等于 ． 8．（25-26八年级上·上海·期中）已知：中，，，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，连接．求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点．求证：； (3)当点在直线上时，连接交直线于，若，则= ． 9．（25-26八年级上·上海·期中）阅读材料，回答下列问题： （一）已知a，b为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”． （二）分数和分式有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化为整式与真分式的和的形式，如； (1)在①，②，③，④这些分式中，属于假分式的是_____（填序号）： (2)已知，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？求出该最小值． 10．（25-26八年级上·上海青浦·期中）配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数，可作如下变形（提示：） ， 又， ，即． 当且仅当，即时等号成立． (1)若，代数式的最小值为 ，此时 ． (2)某园林设计师用篱笆围一个面积为81平方米的长方形花圃，所用的篱笆至少为多少米？ (3)如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别为12和3，求四边形面积的最小值． 11．（25-26八年级上·上海·期中）已知为等边的角平分线，的边长为6，动点E在直线上（不与点A重合），连接．以为一边在的下方作等边，连接． (1)如图1，若点E在线段上， ①求证：； ②当，时，求点F到的距离； (2)设直线、交于点M，求两直线的夹角（即）的度数；若点E在的反向延长线（如图2），且直线，交于点仍记为M．这两条直线的夹角是否发生变化．说明理由 12．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）对于三个数a，b，c，用表示这三个数的平均数：用表示这三个数中最小的数．如：，． (1)填空：________，________； (2)如果，求的值． (3)解方程． 13．（25-26八年级上·上海·期中）已知为实数，关于的方程，无论取何值时，都有根． (1)求、的值． (2)当变化时，求方程的另一根的取值范围． 14．（25-26八年级上·上海长宁·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿边运动，速度为．与此同时，点从点开始沿边运动，速度为．当点到达点时，点同时停止运动．连接，设运动时间为，的面积为． (1)用含的代数式表示：______cm，______cm； (2)当为何值时？ 15．（25-26八年级上·上海·期中）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得，所以， 所以原式． (1)试化简：； (2)已知a，b满足，，求的值． 16．（25-26八年级上·上海·期中）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】 已知代数式，则A的最小值为__________； (2)【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】 已知实数x和y满足，求的最大值． 17．（25-26八年级上·上海宝山·期中）综合与实践 如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着运动到点A时停止．设运动时间为． (1)当点P在上运动时， ________， ________；（用含t的代数式表示） (2)在（1）的条件下，当时，求t的值； (3)如图2、图3，点P沿着运动到点B的过程中、当的面积为时，求t的值． 18．（25-26八年级上·上海·期中）（1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）． ①延长到E，使得； ②再联结，可得_______，从而把、、转化在中； ③利用全等三角形性质和三角形三边关系可得______________，则的取值范围是：_______（在横线上填空）． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． （2）思考：已知，如图2，是的中线，，，（点F和点E在同侧），试探究线段与的数量和位置关系并加以证明．    19．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）数学课上，某数学小组正在认真研究：到三个定点距离之和最小的点 【实际背景】设要建造一座发电厂向附近的三座工厂输电，将发电厂建造在哪里，可以使从发电厂出发的输电线的总长度最短？ 【数学问题】在平面内，假设三座工厂分别记作点，发电厂记作点，请在平面内找一点，使得最小． (1)探究1．当点在同一直线上（如图1），点在点和点之间，要使得最小，点的位置为_________________ 依据是：_________________（填写序号） ①三角形任意两边之和大于第三边； ②线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． (2)探究2．当点不共线时（如图2），中，最大内角，点在内． 小敏说：两条折线段之和最小值就是连结两点的线段长； 小丽提出困惑：如何把题目中共顶点三条线段转化为首尾相连的三条折线段呢？ 欢欢说：目前线段相等转化的方法有：构造全等三角形、等边三角形（或等腰三角形）…… 聪聪说：将绕点顺时针旋转得，连接（如图3）；此时要使得最小，则点在同一直线上（如图4），可以得出． ①你同意该小组同学的说法吗？如果不同意，请说出理由；如果同意，请写出证明的推理过程． ②从上面的证明还可以得到是等边三角形，此时点在线段上；请用直尺和圆规在图5中作出点使得最小． 20．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）阅读下列材料： 数学符号语言是数学特有的通用语言，是人类数学思维长期发展形成的一种语言表达形式，是数学语言的典型代表．它具有准确性、简约性、应用广泛性等特点，是表达数学思想、进行数学推理和解决问题的重要工具． 如：书本中用符号语言“”代替了二次根式的乘法的运算法则“两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变”． 根据所给材料，完成下列问题： (1)用文字描述符号语言“”的等式含义：________________； (2)①命题“一个数的平方等于这个数绝对值的平方，也等于它平方的绝对值”可以用数学符号语言描述为________________； ②解方程：． 21．（25-26八年级上·上海·期中）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为和的正方形木板A，B，C． (1)木板①中截出的正方形木板C的边长为_________； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 22．（25-26八年级上·上海虹口·期中）请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数． (2)关于的一元二次方程有一个实数根为2025，则方程一定有实数根_______． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2，求一元二次方程的两根． 23．（25-26八年级上·上海普陀·期中）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、，小普发现对于这个方程的两根，有，．假设、在数轴上对应的点分别为、，点、之间的距离为2，的中点表示的数是p． (1)当时，_____________； (2)根据小普的结论，求m、n；（结果用含p的代数式表示） (3)如果n是一个正整数的平方，现保持的中点不变，、之间的距离变为8，对应的方程中也是一个正整数的平方，求的中点表示的数． 24．（25-26八年级上·上海闵行·期中）材料一：观察等式，其左边是两个含有二次根式的代数式相乘，而右边不含二次根式．像这样，两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么就说这两个代数式互为有理化因式． 材料二：根式化简 ； ． 根据以上材料，请完成下列问题： (1)_________；（直接写出答案） (2)计算：；（直接写出答案） (3)计算：； (4)计算：． 25．（25-26八年级上·上海闵行·期中）阅读下面材料：将边长分别为的正方形面积分别记为，则．例如：当时，． 根据以上材料解答下列问题： (1)当时，________；________． (2)当时，把边长为的正方形面积记作，其中是正整数．从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想． (3)当时，令，且，若，求的值． 26．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）已知：，求z的最大值 27．（25-26八年级上·上海·期中）对于两个无理数，如果它们的和等于它们的积，那么我们称这两个无理数互为“友好无理数”．请根据条件填空： (1)的“友好无理数”是 ． (2)请写出一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”，它们可以是 和 ． (3)将一组无理数从左到右排列，第一个数记作，第二个数记作，第三个数记作，第个数记作．即．已知，且这个数中，每相邻两个数都是“友好无理数”． ①如果，且，那么的值为 ； ②如果，那么的值为 ． 28．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）（1）通过剪裁、拼接两个面积为1的正方形，可得到一个面积2的正方形．如图1，已知小正方形的边长为1，若点与数轴上表示1的点重合，将正方形绕着点旋转，点落在数轴上，与点重合，则表示的数为_____； （2）下面我们来了解如何得到边长为的正方形，如图2，将五个面积为1的正方形，按图示虚线剪裁，拼接成右侧的图形．我们可以用已经学过的几何知识判断出四边形是正方形．已知直角与中，三点在同一条直线上，求证：且； （3）下面介绍如何获得边长为的正方形．利用面积为2的正方形以及一个面积为1的正方形剪裁、拼接．如图3，将面积为1的正方形与面积为2的正方形排列在一起．在上取点，使得，连接、．将绕着点逆时针旋转，得到，再将以类似方式旋转至的位置，四边形即边长为的正方形． 请参考这一方法，仅利用面积为1的正方形（不限数量），以及上面小题（1）、（2）中已经获得的面积为2或5的正方形，尝试获得边长为的正方形，利用刻度尺画出图形．（图上适当标注数据，不需要写作图过程） 29．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）阅读材料：《代数学》中记载，曾有数学家用几何方法求解一元二次方程．以方程的求解为例，其求正数解的几何方法为：如图，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的小长方形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为． 请根据上述材料解决以下问题： (1)用上述几何方法求解方程时，先构造面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积相等的小长方形，得到的每个小长方形的面积应为_____（用含的代数式表示）；构造出的大正方形边长为_____（用含的代数式表示）； (2)用几何方法求解关于的方程（，是常数，且方程有正数解）时，按材料中的方法构造图形：先画面积为的正方形，再向外构造四个面积相等的小长方形，最终得到的大正方形面积为49．如果四个小长方形的总面积为12，求和的值． 30．（25-26八年级上·上海虹口·期中）请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质及整体代入思想，给出了如下解法： 由，分母有理化得：． 但直接代入太繁琐，转而寻求整体关系： 由得，两边平方得， 得，则． 观察原代数式，注意到前两项可提取公因式： 代入，得． 因此，原式得值为2023． 请运用上述思想方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 31．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）如图，把绕着点A逆时针旋转（旋转角小于）至，连接、，延长交于点F． (1)如图，若，旋转角为，过点C作的平行线，交的延长线于点G，求证：． (2)如图，若点F是中点，旋转角为，且，求度数． (3)如图，旋转角为，点F与点B重合，为以为腰的等腰三角形，求的度数． 32．（25-26八年级上·上海松江·期中）如图所示，某社区计划利用一块长16米，宽为8米的长方形空地（长方形），建造一个长方形健身区域（长方形）和两个边长均为米的正方形休息亭．健身区域的上下两边与空地的边重合，休息亭紧贴健身区域两侧，且其左右两边与空地的边重合． (1)若要求健身区域的面积不小于64平方米，且两个休息亭内部需各放置一张长3米的长椅（即正方形边长不小于长椅长度）求满足条件的的取值范围； (2)在（1）的取值范围内，设计要求：整个大长方形空地面积与两个休息亭面积之和，等于健身区域面积的2倍．判断是否存在符合要求的正方形休息亭，若存在，求出其边长；若不存在，请说明理由． 33．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）阅读与思考 八（3）班数学兴趣小组的小李同学在解一元二次方程时遇到了这样一个方程．对这个方程进行化简得到：，继续求解时发现解这个方程有些困难，于是思考解这个方程有没有比较简单的方法呢？数学兴趣小组的同学为此展开讨论，有人提出能否将方程进行变形，利用求平方根来求解，于是做了如下尝试： 第一步：令； 第二步：原方程可变形为； 第三步：······ 完成本题的求解之后，数学小组又用此方法解出了几个类似的方程．经过多次尝试，小组内部进行了反思：该方法的第一步实际上是对方程等号左边的两个多项式取平均值，再通过换元得到一个相对简单的一元二次方程，其本质是求平方根法的推广，不过只有特殊形式的一元二次方程才能运用． (1)请完成材料中第二步以后的求解过程． (2)依照材料内容，小赵同学尝试解方程：．他的解法如下： 第一步：令； 第二步：原方程变形为； 接下去，小赵同学遇到了困难，他发现直接模仿该方法并没有使方程变得简单，在换元到第二步后也难以继续往下进行．你能帮助他解决这个困难吗？请优化小赵同学的解题过程，并运用材料中的方法完成该方程的求解． (3)材料中解法的本质是求平方根法．回顾课本中对求平方根法的归纳：形如（）的一元二次方程可以通过求平方根来求解．请你结合材料内容，观察并归纳：当一元二次方程可化成形如_____的方程时，可用材料中的方法求解． 34．（25-26八年级上·上海金山·期中）数学史上，曾有数学家利用几何法求解一元二次方程．下面，以的求解为例，说明几何法解一元二次方程的过程： 由于，因此．分别以和为两边构造一个长方形，面积为64．如图（1）所示，再把该长方形分割成一个面积是的小正方形和两个面积是的小长方形．如图（2）所示，将分割后的图形重新拼成图（3）所示的图形，则图（3）的阴影部分是边长为6的小正方形，面积为36．这样就将一个面积为64的长方形和一个面积为36的小正方形拼成了一个面积为，边长是的正方形，显然该正方形的边长为10，故10，得． 用几何法求解一元二次方程时，只能得到正数根．请根据上述材料解决以下问题： (1)用几何方法求方程的正数根． 具体过程如下： ①在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度． ②根据①中所画图形求出方程的正数根． (2)根据探究材料，我们尝试用“立体图形的组合”求特殊的一元三次方程的正根．例如，求的正数根． 类比平面图形的研究，可将此问题转化成拼正方体来求解，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图（4）中的几何体_____块； 需要准备图（5）中的几何体_____块； 需要准备图（6）中的几何体_____块； 需要准备图（7）中的几何体_____块； 请直接写出方程的一个正数根：_____． 35．（25-26八年级上·上海·期中）如图，矩形的面积为，其顶点A、C分别在y轴和x轴的正半轴上．反比例函数的图像与、分别交于点、，．连结、、． (1)若的面积为3，求：的面积； (2)若，求反比例函数解析式． 36．（25-26八年级上·上海静安·期中）已知：，求y的值． 37．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把，代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为__________________； (2)已知关于y的一元二次方程的根（，有两个不等于零的实数根）分别是某个已知一元二次方程的根的倒数，求该已知的一元二次方程． (3)已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数且它的两个根都为整数． 38．（25-26八年级上·上海·期中）综合与实践：阅读材料，并解决以下问题． (1)学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，求解过程如下： ①变形：将方程变形为； ②构图：画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形；    ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程，∵表示边长，∴，即． 这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程可以得到原方程的另一个根是________． (2)类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）．      (3)拓展应用：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么________，________，方程的一个正根为________．    39．（25-26八年级上·上海·期中）如图，在中，，，点为中点，点为边上一动点，点为射线上一动点（点不与点重合），且． (1)当时，连接，求的余切值； (2)当点在线段上时，设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)连接，若为等腰三角形，求的长． 40．（25-26八年级上·上海·期中）若一元二次方程有两个实数根为、，那么，，这就是一元二次方程的根与系数的关系．利用该结论，不解方程便可以求二次方程的两根之和与积，例如的两个根分别为、．则，． (1)小聪同学喜爱思考，他发现利用根与系数的关系不仅可以求解两根之和与两根之积，还可求解方程两根的倒数和．不解方程，请求一元二次方程的两个根的倒数和． (2)小明同学酷爱数学，他进一步研究根与系数的关系，发现了一种解一元二次方程的新方法．例如方程，、、，，． 设，，则，即，解得，所以原方程的解为、．请利用小明的方法解方程． (3)小睿同学善于发现，他对三次方程的根与系数关系作了探究，将该方程两边同时除以可得．若该方程的三个根分别为、、，则，将其展开后为，于是、、．若三次方程的三个根分别为、、，且．请先说明、再直接（不必书写过程）写一个三次方程且使得该三次方程的三个根分别为、、． 41．（25-26八年级上·上海青浦·期中）材料一：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ； 材料二：根式化简 ； ． 根据以上材料，请完成下列问题： (1)_______；（直接写结果） (2)计算：； (3)计算：； (4)计算：． 42．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）综合理解： 一元二次方程，当，它有两个实数根和，有以下关系式：，． (1)设方程的两个根为、，则 ， ； (2)设关于的方程的两个实数根为、，且，则的值为 ； (3)已知，且及，求的值． 43．（25-26八年级上·上海·期中）如图，在中， ，D是射线上一点(不与点A、C重合)，过点D作直线的垂线，垂足为点E，M是的中点 (1)求证：； (2)当点D在边上时，如果设，，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)当时， 求的面积． 44．（25-26八年级上·上海闵行·期中）我们定义：两根都为整数的一元二次方程均为整数称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”均为整数的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于x的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该幸运方程的“幸运数”是，则m的值为______． (2)若关于x的一元二次方程为整数，且是“幸运方程”，求m的值及该方程的“幸运数”； (3)若关于x的一元二次方程与、n均为整数都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求n的值． 45．（25-26八年级上·上海·期中）已知是一元二次方程的两个实数解． (1)根据求根公式可求得___________；___________；（用含字母、、的代数式表示） (2)已知是一元二次方程的两个实数根． ①请用含的代数式表示___________：___________． ②若实数为整数，且满足的值也为整数，求的值： (3)若为互不相等的实数，且满足．，求的值． 46．（25-26八年级上·上海宝山·期中）如图，在四边形中，，以点A为圆心，的长为半径作弧分别交边，边于点F，E，（点E，F都不与边的端点重合）． (1)如图，当， ①探索和的数量关系并证明你的结论； ②若平分，求证：是等边三角形并直接写出此时线段，，之间的数量关系． (2)连接，当平分时，若是以为腰的等腰三角形，求的值． 47．（25-26八年级上·上海虹口·期中）如图①，在长方形中，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动．作交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点和点重合时，线段的长为_____． (2)当点和点重合时，求线段的长； (3)如图②，当点在边上运动时，当的形状始终是_____． (4)作点关于直线的对称点，当点落在长方形的边上时，直接写出的值． 试卷第1页（共3页） 1 / 98 学科网（北京）股份有限公司 $