专题12 扇形专项训练（十四大题型42道题）-2026-2027学年苏科版九年级上册数学《典例全解·题型通关》

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题12 扇形（十四大题型42道题） 目录 知识点一求弧长 1 知识点二求扇形半径 3 知识点三求圆心角 7 知识点四求某点的弧形运动路径长度 9 知识点五求扇形面积 11 知识点六求图形旋转后扫过的面积 13 知识点七求弓形面积 16 知识点八求其他不规则图形的面积 19 知识点九求圆锥侧面积  22 知识点十求圆锥底面半径 24 知识点十一求圆锥的高  26 知识点十二求圆锥侧面展开图的圆心角 28 知识点十三圆锥侧面上最短路径问题 29 知识点十四圆锥的实际问题 33 知识点一求弧长 1．如图，正方形的边，和都是以1为半径的圆弧，则阴影部分的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形和圆的对称性，易得阴影部分的周长为的长与正方形的边长的和，进行求解即可. 【详解】解：观察可知，阴影部分的周长为的长与正方形的边长的和， ∵正方形的边， ∴， ∴的长为， ∴阴影部分的周长为. 2．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分．历来中国有“制扇王国”之称．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子；用时须撒开，成半规形，聚头散尾．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，的长为，则的长为______________． 【答案】 【分析】根据弧长公式，进行计算即可求解． 【详解】解：，，， ， 的长为． 3．已知：如图，的半径为的直径，的半径交于点B．求证：的长等于的长． 【答案】证明：如图，连接， 设的半径，则， ∵的长度， 的长度， ∴两弧的长度相等． 即：的长等于的长． 【分析】根据圆周角定理可得出，设，则，再根据弧长公式可得出结论． 【详解】略 知识点二求扇形半径 4．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的弧与弧的长都为，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的应用，过点A作，过点B作，在中，可求得，同理可求得，再由弧长公式可求得，即可求解． 【详解】解：过点A作，过点B作，如图， 则中，， ∴， 中，， ∴， ∵双翼的弧与弧的长都为，， ∴，， ∴， ∴， ∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为， ∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为， 故选：D． 5．埃拉托色尼是一位古希腊的杰出数学家，他首创了“地理学”这个词，被尊称为“地理学之父”．他的名著《对地球大小的修正》中提出了一种测量地球周长的设想，如图，塞伊尼点和亚历山大点是几乎在同一条经线上的两座城市，两地相距约，在塞伊尼城有一口垂直于地面的水井，夏至日中午12点太阳光可直射井底，同一时刻在亚历山大城竖起一根垂直于地面的木棍，利用影子测出太阳光线与木棍所在直线的夹角约为，据此可以估算地球的周长约为______ 【答案】 【分析】本题考查弧长的计算．根据所给条件得到的值是解决本题的关键．易得的长度为，所对的圆心角为，根据弧长公式可得的值，进而可求得地球的周长． 【详解】解：如图， 由题意得：，，的长度为， ， 设地球的半径为， ， 解得：， 地球的周长为， 故答案为：40000． 6．图1是某款简易躺椅的实物图，其侧面可简化抽象成图2，靠背的长为所对的圆心角等于．（结果精确到，参考数据：）         图1                         图2 （1）求点到弦的距离； （2）求弦的长． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，垂径定理、弧长公式； （1）过点作交的延长线于点，根据，即可求解； （2）如图所示，为所在圆的圆心，过点作于点， 则，，根据已知数据求得半径，然后解，根据垂径定理，可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作交的延长线于点， ∵ ∴ ∴ 答：点到弦的距离为 （2）解：如图所示，为所在圆的圆心，过点作于点， 则， ∵的长为所对的圆心角等于 ∴ ∴ 在中， ∴ 知识点三求圆心角 7．一个扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了扇形面积的计算以及弧长的计算．利用扇形的弧长与面积公式确定出所求圆心角即可． 【详解】解：设这个扇形的半径为r，圆心角是n，面积为S，弧长为l， 由题意得：，即， 解得：， 又由可得：， 解得：， 故选：D． 8．如图，四边形是的内接四边形，的半径为4，的长为，则的大小是______． 【答案】/45度 【分析】连接，，根据弧长公式求出，再根据圆周角定理求出． 【详解】解：如图，连接，， 设， ∵的长为， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．如图，与相切于点A，交于点C，，的长为，求的长． 【答案】 【分析】本题根据切线的性质得出，再利用弧长公式求出，推出，得到，结合勾股定理求得，根据即可求得． 【详解】解：连接， 与相切于点A， ，即． 设， ，的长为， ． 解得，即． ． ．   ．   在中，， ． 【点睛】本题考查了切线的性质、弧长公式、三角形内角和定理、等腰三角形性质、勾股定理，熟练掌握相关性质即可解题． 知识点四求某点的弧形运动路径长度 10．如图，已知的对角线，将绕其对称中心O旋转，则点D所转过的路径长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将平行四边形旋转后，点D所转过的路径是以线段为直径的半圆，已知直径的长利用弧长公式求得即可． 【详解】解：将绕其对称中心O旋转，点D所转过的路径为以为直径的半圆， ∴其长度为． 11．如图，将半径为的圆形纸板，沿着边长分别为和的矩形的外侧滚动一周并回到开始的位置，圆心所经过的路线长度是______（）． 【答案】68.56 【分析】通过观察可以发现圆转动时四个角上各转动了个圆，利用弧长公式即可计算，然后再加上矩形的周长即可． 【详解】解： 答：圆心所经过的路线长度是． 12．如图所示，每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是，，将绕点O顺时针旋转后得到． （1）在图中画出； （2）求点B运动路径的长度． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 【分析】本题主要考查了旋转变换、坐标与图形，勾股定理，求弧长等知识点，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据题意得到点B运动的路径是的长度，由勾股定理得，，然后利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由勾股定理得，， ∴点B运动路径的长度为． 知识点五求扇形面积 13．如图，在中，，、分别交于点、，为的直径，连接，若，，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，可得，从而得阴影部分的面积，结合扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵在中，， ∴是的中线， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， ∵， ∴， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积． 14．如图，在中，分别以A，B，C为圆心作半径均为2的圆，且三个圆两两不相交，若的面积为12，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】/ 【分析】先根据扇形的面积公式求出中非阴影部分的面积，再用三角形的面积减去三角形中非阴影的面积可得答案． 【详解】解：∵， ∴中非阴影部分的面积为， ∴． 15．如图，的半径为． （1）如果，求的长及扇形的面积．（结果保留一位小数） （2）已知的长为，求的度数．（结果精确到） 【答案】（1）的长为及扇形的面积为 （2） 【分析】（1）直接根据弧长公式和扇形面积公式即可得出结论； （2）根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，的半径为， ∴， 答：的长为及扇形的面积为； （2）解：∵的长为，的半径为， ∴， ∴， 答：的度数约为． 知识点六求图形旋转后扫过的面积 16．如图，钟面上的时针长，从点到点半，时针在钟面上扫过的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查扇形面积的计算．首先根据钟面的特点求出时针转过的圆心角度数，再结合时针长度（即半径），利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：钟面一圈为，共有12个大格，时针每小时转过的角度为， 从点到点半，经过了30分钟，即小时， 时针转过的圆心角， 时针长，即扇形半径， 时针扫过的面积． 17．如图所示，点，，对应的刻度分别为，，，将线段绕点按顺时针方向旋转，当点首次落在矩形的边上时，记为点，则此时线段扫过的图形的面积为__________． 【答案】 【分析】由题意可知，线段扫过的图形为一个扇形，半径为，先根据三角函数的定义求出，再根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 由旋转的性质得， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴线段扫过的图形的面积为． 18．如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请写出绕点逆时针旋转后得到的的点，的坐标； （2）求旋转过程中线段运动扫过的面积（结果可以保留）． 【答案】（1）， （2） 【分析】本题考查了旋转的性质、扇形的面积公式，熟练掌握旋转的性质，找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据旋转的性质作出，再结合图形写出点，的坐标即可； （2）根据勾股定理求出，再利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 由图可得，，； （2）解：由旋转的性质得， ， ∴线段运动扫过的面积为． 知识点七求弓形面积 19．如图，已知点C、D在上，直径，弦、相交于点E．若，则阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理和弧之间的关系，扇形的面积等．连接，根据，得出，进而得到，利用即可求解． 【详解】解：连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 20．工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为1米，则淤泥横截面的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求不规则图形的面积，过点作于，由垂径定理得，由勾股定理得，又根据圆的直径为米可得，得到为等边三角形，即得，再根据淤泥横截面的面积即可求解，掌握垂径定理及扇形面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则，， ∵圆的直径为米， ∴， ∴在中，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴淤泥横截面的面积， 故答案为：． 21．如图，为正三角形的外接圆，直线经过点，．    （1）判断直线与的位置关系．并说明理由； （2）若圆的半径为4，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 与相切，理由如下： 如图，连接、，    ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵是半径， ∴与相切； （2） 【分析】（1）连接、，由等边三角形的性质可得，由圆周角定理可得，由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，由平行线的性质可得，再证明，即可得证； （2）先求出，，再由计算即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作于点，    ∵圆的半径为4， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理、证明直线是圆的切线、等边三角形的性质、扇形面积公式、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 知识点八求其他不规则图形的面积 22．如图，点是半圆圆心，是半圆的直径，点，在半圆上，且，，，过点作于点，则阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，易求得⊙O的半径为，扇形的圆心角的度数，根据三角函数求出，，然后根据即可得到结论． 【详解】解：连接， ，， 是等边三角形， ，， ⊙O的半径为，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ． 23．如图，扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角 ；若 ，则扇面（阴影）部分的面积是___________．（结果用表示） 【答案】/ 【分析】利用扇形面积公式，通过大扇形面积减去小扇形面积来计算阴影部分面积． 【详解】解：∵ ∴ . 24．如图，直线经过上的点C，并且． （1）求证：直线是的切线． （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：连接， ∵直线经过上的点C，， ∴， 又∵为的半径， ∴直线是的切线． （2） 【分析】（1）连接，三线合一得到，即可得出结论； （2）用直角三角形的面积减去扇形的面积即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴阴影部分的面积. 知识点九求圆锥侧面积  25．如图，圆锥底面圆的直径为，高为，则它的全面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据勾股定理求出母线长，再求出圆锥侧面积和底面积，然后求出全面积即可． 【详解】解：∵圆锥底面圆的直径为， ∴圆锥底面半径为，高， ∴母线长， ∴圆锥的侧面积为，底面积为 ∴圆锥的全面积为． 26．如图，用一张半径为的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），若做成的圆锥形帽子的底面半径为，则该扇形纸板的面积为__________． 【答案】 【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，该扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，利用扇形面积公式求解； 【详解】解：设圆锥底面半径为，扇形半径为， 由题意得，， ∴圆锥底面周长， ∴扇形面积． 27．如图，圆锥形烟囱帽的底面圆的直径是，母线长是，制作个这样的烟囱帽至少需要多少平方米铁皮（π取，结果保留小数点后一位）？ 【答案】制作个烟囱帽至少需要平方米铁皮 【分析】圆锥侧面积公式：． 【详解】解：， 一个烟囱帽需要的铁皮面积：， 个烟囱帽需要的铁皮面积：， ， 答：制作个烟囱帽至少需要平方米铁皮． 知识点十求圆锥底面半径 28．如图，从一块直径是2的圆形铁皮上剪出一个扇形，将此扇形围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用圆周角定理得到，利用勾股定理求得，设该圆锥底面圆的半径为r，根据扇形的弧长等于圆锥底面的周长，结合弧长公式列方程求解r值即可． 【详解】解：由图可知为的直径， ∴， 由题意，，， 由得， 设该圆锥底面圆的半径为r， 则，解得，即该圆锥底面圆的半径为． 29．现有一个圆锥与一个圆柱，它们的高相等，其中一个图形的体积是，且底面半径为3，另一个图形体积是，则另一个图形的底面半径是______． 【答案】1或3 【分析】分两种情况讨论，即体积为的图形是圆柱或圆锥，分别利用圆柱和圆锥的体积公式计算公共高，再求解另一个图形的底面半径． 【详解】解：设两个图形的高都为h，另一个图形的底面半径为r，分两种情况计算： ①当体积的图形是圆柱，另一个图形为圆锥时： ∵圆柱体积公式为，已知， ∴，解得 ∵圆锥体积公式为，已知， ∴，解得，半径为正，得； ②当体积的图形是圆锥，另一个图形为圆柱时： ∵圆锥体积公式为，已知， ∴，解得 ∵圆柱体积公式为，已知， ∴，解得，半径为正，得 综上，另一个图形的底面半径为1或3． 30．如图，从一块直径是的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，求剩余部分的面积．如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径长是多少（结果保留小数点后两位）？ 【答案】剩余部分的面积约为，圆锥底面圆的半径长约为． 【分析】连接，先根据圆周角所对的弦为直径，确定为的直径，长度为，通过勾股定理算出扇形的半径的长度，再利用圆的面积公式算出整块圆形铁皮的总面积，用扇形面积公式算出剪下的扇形面积，两者作差，得到剩余部分的面积，最后根据扇形的弧长和圆锥底面的周长相等，通过弧长公式算出扇形的弧长，再结合圆的周长公式建立方程，求解出圆锥的底面圆半径．注意剩余部分的面积和圆锥的底面圆半径均按要求保留两位小数． 【详解】解：连接，如图 由可知，为的直径，， 根据勾股定理，在中，， 在扇形中，， ， 圆形铁皮直径为， 圆形铁皮的半径为， 圆形铁皮的总面积， 剪下的扇形面积， 剩余部分面积， 扇形的弧长， 设圆锥底面圆的半径为，则，即， 解得． 答：剩余部分的面积约为，圆锥底面圆的半径长约为． 知识点十一求圆锥的高  31．把一个半径为6的半圆围成一个圆锥（接缝处忽略不计），则该圆锥的高是（   ） A．6 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据题意得出圆锥的底面圆的周长为，确定底面圆的半径长为3，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意，得圆锥的底面圆的周长为， 设圆锥的底面圆的半径为r，则， ∴，即底面圆的半径长为3， ∴圆锥的高为． 32．哈尼族蘑菇房的茅草屋顶形似撑开的蘑菇伞，既美观又能适应山地多雨的气候．某工匠按蘑菇房屋顶形状制作了一个圆锥模型．已知该模型的侧面展开图弧长为，母线长为6，则此圆锥的高为______． 【答案】 【分析】先根据题意求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理可得答案． 【详解】解：如图所示，圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥的底面周长， 即， 解得． 在中，， 根据勾股定理，得， 即， 解得， 所以圆锥的高为． 33．有一块棱长6分米的正方体铁块，把它锻造成底面积是27平方分米的圆锥．圆锥的高是多少分米？ 【答案】这个圆锥的高是分米 【分析】此题考查了圆锥与正方体的体积；根据正方体的体积公式求出正方体的体积，又因为把正方体熔铸成圆锥，说明体积是相等的；再根据圆锥的体积公式，代入数据求出高即可． 【详解】由题意知，圆锥体积正方体体积： （分米） 答：这个圆锥的高是分米． 知识点十二求圆锥侧面展开图的圆心角 34．一个圆锥的底面圆半径是1，高为，则圆锥的侧面展开图扇形所对的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再根据“圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长”，结合扇形弧长公式列方程求解圆心角度数． 【详解】解：圆锥底面半径，高， 由勾股定理得圆锥母线长． ∵圆锥底面圆周长，且圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆周长， 设扇形圆心角度数为， 则， 解得：， 即圆心角度数为． 35．编织草帽是云南各民族擅长的工艺，其中“云南十八怪”中就有“摘下草帽当锅盖”的顺口溜．某校九年级学生参加社会实践，学习编织草帽（该草帽为圆锥形，如图所示），若这种圆锥形草帽的母线长为36cm，底面圆的半径为20cm，该草帽展开为扇形，则这个扇形的圆心角的度数是_______ ． 【答案】 【分析】根据展开图的扇形的弧长等于圆锥底面周长计算． 【详解】解：设圆心角为， ∵母线长为36cm，底面圆半径为20cm， ∴， 解得：， ∴该圆锥侧面展开扇形圆心角度数为． 36．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． （1）这顶锥形草帽的底面半径为______，侧面积为______．（结果保留π） （2）计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【答案】（1）15； （2） 【分析】（1）利用圆锥的母线、高与底面半径构成直角三角形，通过勾股定理求底面半径;再依据圆锥侧面积公式计算侧面积； （2）圆锥侧面展开图为扇形，结合扇形弧长公式建立等式求解圆心角． 【详解】（1）解：①圆锥的母线长，高，根据圆锥的底面半径、高和母线满足勾股定理： ． ②圆锥的侧面积公式为，将，代入可得： ． 故底面半径为，侧面积为． （2）解：设扇形卡纸的圆心角的度数为 由题意，得，解得． 故所需扇形卡纸的圆心角的度数为． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题关键是掌握圆锥的母线、高、底面半径的勾股关系，圆锥侧面积公式以及圆锥底面周长与侧面展开图扇形弧长的关系． 知识点十三圆锥侧面上最短路径问题 37．如图，圆锥的底面半径为3，母线长为12，一只蜘蛛从底面圆周上一点 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 的最短路程是（     ） A．12 B．18 C． D．24 【答案】C 【分析】易得圆锥的底面周长也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角，进而构造直角三角形求得相应线段即可． 【详解】解：将圆锥的侧面展开成扇形，连接，则蜘蛛爬行的最短路程就是线段的长度． 由题意知，， ， 设，根据弧长公式可求， 则最短路程为：在中，． 38．已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是__． 【答案】 【分析】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥侧面上最短路径问题，涉及弧长公式，圆的周长公式，勾股定理，两点之间线段最短等知识，掌握圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长和两点之间线段最短是解题的关键．根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长求解圆心角；再画出展开图，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可． 【详解】解：设它的侧面展开图的圆心角为， 根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得： ， 又∵． ， 解得：． ∴它的侧面展开图的圆心角是； 根据侧面展开图的圆心角是，画出展开图如下： 根据两点之间，线段最短可知为最短路径， ，B为的中点， 由（1）知 ∴ ∴它所走的最短路线长是． 故答案为： 39．如图，圆锥母线的长等于底面半径的倍， （1）求它的侧面展开图的圆心角． （2）当圆锥的底面半径时，求从点出发沿圆锥侧面绕一圈回到点的最短路径的长 【答案】（1）它的侧面展开图的圆心角为； （2）． 【分析】（1）设它的侧面展开图的圆心角为，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后求出的值即可； （2）连接，如图，根据两点之间线段对短得到为从点出发沿圆锥侧面绕一圈回到点的最短路径，然后利用为等腰直角三角形得到的长． 【详解】（1）解：设它的侧面展开图的圆心角为， 根据题意得， 而， 所以，解得， 所以它的侧面展开图的圆心角为； （2）连接，如图， 此时为从点出发沿圆锥侧面绕一圈回到点的最短路径， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题考查了求圆锥侧面展开图的圆心角和在圆锥侧面求最短路径问题，解答关键是根据公式计算求出圆心角和将立体问题转化为平面问题加以解决． 知识点十四圆锥的实际问题 40．“云南十八怪”中第二怪“摘下斗笠当锅盖”．如图，斗笠锅盖可以近似看作一个圆锥，若一个斗笠锅盖的底面直径为，高度为，则该斗笠锅盖的表面积大约为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意由斗笠锅盖的底面直径得圆锥的底面半径；因为圆锥的高、底面半径和母线构成了一个直角三角形，求出母线长度；再由圆锥的侧面积求出斗笠锅盖的表面积即可． 【详解】解： ∵斗笠锅盖的底面直径为，高度为， ∴底面半径， ∵圆锥的高、底面半径和母线构成了一个直角三角形，设母线为， ∴根据勾股定理有， ∴， ∴圆锥的侧面积为： ∴该斗笠锅盖的表面积大约为． 41．如图，酒瓶中装有一些酒（装酒部分为圆柱体），倒进一只酒杯中（装酒部分为圆锥），酒杯口的直径是酒瓶底面直径的一半（酒瓶、酒杯厚度忽略不计，数据如图），共能倒满____________杯． 【答案】30 【分析】设酒杯口的半径为，则酒瓶的半径为，根据圆锥和圆柱的体积公式，分别求出酒杯和酒瓶中酒的体积，即可得解． 【详解】解：设酒杯口的半径为，则酒瓶的半径为， ∴酒杯的体积为，酒瓶中酒的体积为， ∵， ∴共能倒满30杯． 42．茶香香薰作为香薰界的新宠，可使人心情平静．下图是一个圆锥形的塔香，点了1分钟后，剩余部分的高刚好等于原来高的一半，求剩余部分的体积． 【答案】 【分析】根据“剩余部分的体积原圆锥体积已燃圆锥体积”列式求解即可． 【详解】解： ， 答：剩余部分的体积为 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题12 扇形（十四大题型42道题） 目录 知识点一求弧长 1 知识点二求扇形半径 2 知识点三求圆心角 3 知识点四求某点的弧形运动路径长度 4 知识点五求扇形面积 5 知识点六求图形旋转后扫过的面积 6 知识点七求弓形面积 7 知识点八求其他不规则图形的面积 8 知识点九求圆锥侧面积  9 知识点十求圆锥底面半径 10 知识点十一求圆锥的高  10 知识点十二求圆锥侧面展开图的圆心角 11 知识点十三圆锥侧面上最短路径问题 12 知识点十四圆锥的实际问题 13 知识点一求弧长 1．如图，正方形的边，和都是以1为半径的圆弧，则阴影部分的周长是（     ） A． B． C． D． 2．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分．历来中国有“制扇王国”之称．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子；用时须撒开，成半规形，聚头散尾．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，的长为，则的长为______________． 3．已知：如图，的半径为的直径，的半径交于点B．求证：的长等于的长． 知识点二求扇形半径 4．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的弧与弧的长都为，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（   ） A． B． C． D． 5．埃拉托色尼是一位古希腊的杰出数学家，他首创了“地理学”这个词，被尊称为“地理学之父”．他的名著《对地球大小的修正》中提出了一种测量地球周长的设想，如图，塞伊尼点和亚历山大点是几乎在同一条经线上的两座城市，两地相距约，在塞伊尼城有一口垂直于地面的水井，夏至日中午12点太阳光可直射井底，同一时刻在亚历山大城竖起一根垂直于地面的木棍，利用影子测出太阳光线与木棍所在直线的夹角约为，据此可以估算地球的周长约为______ 6．图1是某款简易躺椅的实物图，其侧面可简化抽象成图2，靠背的长为所对的圆心角等于．（结果精确到，参考数据：）         图1                         图2 （1）求点到弦的距离； （2）求弦的长． 知识点三求圆心角 7．一个扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角等于（   ） A． B． C． D． 8．如图，四边形是的内接四边形，的半径为4，的长为，则的大小是______． 9．如图，与相切于点A，交于点C，，的长为，求的长． 知识点四求某点的弧形运动路径长度 10．如图，已知的对角线，将绕其对称中心O旋转，则点D所转过的路径长为（     ） A． B． C． D． 11．如图，将半径为的圆形纸板，沿着边长分别为和的矩形的外侧滚动一周并回到开始的位置，圆心所经过的路线长度是______（）． 12．如图所示，每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是，，将绕点O顺时针旋转后得到． （1）在图中画出； （2）求点B运动路径的长度． 知识点五求扇形面积 13．如图，在中，，、分别交于点、，为的直径，连接，若，，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 14．如图，在中，分别以A，B，C为圆心作半径均为2的圆，且三个圆两两不相交，若的面积为12，则图中阴影部分的面积为_________． 15．如图，的半径为． （1）如果，求的长及扇形的面积．（结果保留一位小数） （2）已知的长为，求的度数．（结果精确到） 知识点六求图形旋转后扫过的面积 16．如图，钟面上的时针长，从点到点半，时针在钟面上扫过的面积是（     ） A． B． C． D． 17．如图所示，点，，对应的刻度分别为，，，将线段绕点按顺时针方向旋转，当点首次落在矩形的边上时，记为点，则此时线段扫过的图形的面积为__________． 18．如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请写出绕点逆时针旋转后得到的的点，的坐标； （2）求旋转过程中线段运动扫过的面积（结果可以保留）． 知识点七求弓形面积 19．如图，已知点C、D在上，直径，弦、相交于点E．若，则阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 20．工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为1米，则淤泥横截面的面积是______． 21．如图，为正三角形的外接圆，直线经过点，．    （1）判断直线与的位置关系．并说明理由； （2）若圆的半径为4，求图中阴影部分的面积． 知识点八求其他不规则图形的面积 22．如图，点是半圆圆心，是半圆的直径，点，在半圆上，且，，，过点作于点，则阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 23．如图，扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角 ；若 ，则扇面（阴影）部分的面积是___________．（结果用表示） 24．如图，直线经过上的点C，并且． （1）求证：直线是的切线． （2）若，求阴影部分的面积． 知识点九求圆锥侧面积  25．如图，圆锥底面圆的直径为，高为，则它的全面积为（    ） A． B． C． D． 26．如图，用一张半径为的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），若做成的圆锥形帽子的底面半径为，则该扇形纸板的面积为__________． 27．如图，圆锥形烟囱帽的底面圆的直径是，母线长是，制作个这样的烟囱帽至少需要多少平方米铁皮（π取，结果保留小数点后一位）？ 知识点十求圆锥底面半径 28．如图，从一块直径是2的圆形铁皮上剪出一个扇形，将此扇形围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径是（     ） A． B． C． D． 29．现有一个圆锥与一个圆柱，它们的高相等，其中一个图形的体积是，且底面半径为3，另一个图形体积是，则另一个图形的底面半径是______． 30．如图，从一块直径是的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，求剩余部分的面积．如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径长是多少（结果保留小数点后两位）？ 知识点十一求圆锥的高  31．把一个半径为6的半圆围成一个圆锥（接缝处忽略不计），则该圆锥的高是（   ） A．6 B． C．3 D． 32．哈尼族蘑菇房的茅草屋顶形似撑开的蘑菇伞，既美观又能适应山地多雨的气候．某工匠按蘑菇房屋顶形状制作了一个圆锥模型．已知该模型的侧面展开图弧长为，母线长为6，则此圆锥的高为______． 33．有一块棱长6分米的正方体铁块，把它锻造成底面积是27平方分米的圆锥．圆锥的高是多少分米？ 知识点十二求圆锥侧面展开图的圆心角 34．一个圆锥的底面圆半径是1，高为，则圆锥的侧面展开图扇形所对的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 35．编织草帽是云南各民族擅长的工艺，其中“云南十八怪”中就有“摘下草帽当锅盖”的顺口溜．某校九年级学生参加社会实践，学习编织草帽（该草帽为圆锥形，如图所示），若这种圆锥形草帽的母线长为36cm，底面圆的半径为20cm，该草帽展开为扇形，则这个扇形的圆心角的度数是_______ ． 36．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． （1）这顶锥形草帽的底面半径为______，侧面积为______．（结果保留π） （2）计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 知识点十三圆锥侧面上最短路径问题 37．如图，圆锥的底面半径为3，母线长为12，一只蜘蛛从底面圆周上一点 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 的最短路程是（     ） A．12 B．18 C． D．24 38．已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是__． 39．如图，圆锥母线的长等于底面半径的倍， （1）求它的侧面展开图的圆心角． （2）当圆锥的底面半径时，求从点出发沿圆锥侧面绕一圈回到点的最短路径的长 知识点十四圆锥的实际问题 40．“云南十八怪”中第二怪“摘下斗笠当锅盖”．如图，斗笠锅盖可以近似看作一个圆锥，若一个斗笠锅盖的底面直径为，高度为，则该斗笠锅盖的表面积大约为（     ） A． B． C． D． 41．如图，酒瓶中装有一些酒（装酒部分为圆柱体），倒进一只酒杯中（装酒部分为圆锥），酒杯口的直径是酒瓶底面直径的一半（酒瓶、酒杯厚度忽略不计，数据如图），共能倒满____________杯． 42．茶香香薰作为香薰界的新宠，可使人心情平静．下图是一个圆锥形的塔香，点了1分钟后，剩余部分的高刚好等于原来高的一半，求剩余部分的体积． 学科网（北京）股份有限公司 $