专题10 点与圆、直线与圆的位置关系（二十一大题型63道题）2026-2027学年苏科版九年级上册数学上册《典例全解·题型通关》

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题10 点与圆、直线与圆的位置关系（二十一大题型63道题） 目录 知识点一判断点与圆的位置关系 2 知识点二利用点与圆的位置关系求半径 3 知识点三点与圆上一点的最值问题 5 知识点四判断直线和圆的位置关系  9 知识点五已知直线和圆的位置关系求半径的取值 12 知识点六已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 16 知识点七切线的应用  19 知识点八证明某直线是圆的切线 22 知识点九切线的性质定理 27 知识点十切线的性质和判定的综合应用 29 知识点十一应用切线长定理求解 33 知识点十二应用切线长定理求证 35 知识点十三直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 38 知识点十四三角形内心有关应用 40 知识点十五一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 45 知识点十六三角形内切圆与外接圆综合 47 知识点十七过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 53 知识点十八圆内知识综合（圆的综合问题）  57 知识点十九圆与三角形的综合（圆的综合问题） 61 知识点二十圆与四边形的综合（圆的综合问题）   67 知识点二十一圆与函数的综合（圆的综合问题）  72 知识点一判断点与圆的位置关系 1．在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 【答案】B 【分析】根据点与圆的位置关系，比较点A到两个圆心的距离和对应圆的半径，即可判断点A的位置，点与圆的位置关系为：设圆半径为，点到圆心的距离为，则时点在圆外，时点在圆内． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆外部， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆内部． 2．已知的半径为，若点到点的距离为，则点在______．（填“内”“外”或“上”） 【答案】内 【分析】比较点到圆心的距离与半径的大小关系，根据点与圆的位置关系判断点的位置即可． 【详解】解：∵的半径为， ∴的半径， ∵点到圆心的距离， ∴， ∴点在内． 3．在平面直角坐标系中，已知的圆心为原点，半径为5．请判断点，，与的位置关系． 【答案】点在外，点在内，点在上． 【分析】分别计算点到圆心的距离，比较距离与半径的大小即可． 【详解】解：， 点在外； ， 点在内； ， 点在上． 知识点二利用点与圆的位置关系求半径 4．平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 【答案】B 【分析】根据点P在内或外分类讨论，由最长最短距离与圆直径的关系计算半径即可． 【详解】当点P在外时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴ 的直径为 ，半径为 ． 当点P在内时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴的直径为 ，半径为 ． 因此的半径为或． 5．如图，在中，，，，，且，当以点C为圆心、长为半径的圆C与以点E为圆心的圆相交且点A在圆E外，则圆E的半径的取值范围是_______________． 【答案】 【详解】，，， ， ， △△， ， ， ， ，，， ， 要使得以点C为圆心、长为半径的圆C与以点E为圆心的圆相交， 则圆E的半径的范围为：， 又要使得点A在圆E外，则圆E的半径：， 又， ． 6．在矩形中，，． （1）若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ （2）若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　． 【答案】（1）点B在内，点C在外，点D在上 （2） 【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． （1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系； （2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴点在内， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点在外； （2）∵以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径r的取值范围是． 知识点三点与圆上一点的最值问题 7．如图，平面直角坐标系中有一个圆，圆心为，半径为3，其中点A坐标为，点M是上的一个动点，连接，取中点N，连接，则的最大值（     ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】C 【分析】取点，连接，，，根据三角形中位线定理得到，当，，三点共线时最大，利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：取点，连接，，， ，， 是的中点， 是的中点， 是的中位线， ， ∵ ∴ 当点在的延长线上时，取得最大值， 在中，， ， 的半径为， 的最大值为， 的最大值为． 8．如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是弧上的一个动点，连接，过点作于点，连接．在点移动的过程中，的最小值等于________． 【答案】 【分析】先利用直径构造直角三角形求出，再由确定的轨迹是以为直径的圆，连接点与圆心，当、、三点共线时，用减去圆半径即可得到的最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵是半圆的直径， ∴， 在中，， ∵， ∴， 根据的圆周角所对弦是直径，点的轨迹是以为直径的圆， 设中点为点，则点是该圆的圆心，半径， 连接，在中，， 如图，当、、三点共线，且点在线段之间时，取得最小值， 此时． 9．已知点，若的半径为1，点是上的动点， （1）求面积的取值范围； （2）求的最小值． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理，求一点与圆上一点的最值问题，相似三角形的性质与判定； （1）根据勾股定理求得，根据等面积法求得的长，进而根据到圆上一点的距离求得的最值，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （2）在上截取，连接，，证明得出，进而得出，勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，直线与圆相交于C ∵， ∴，，， ∵， ∴ ∴， 设面积为， ∴， ， ∴； （2）解：如图，在上截取，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 知识点四判断直线和圆的位置关系  10．的半径为r，某直线与该圆有公共点，且与圆心的距离为d，则    （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与圆有公共点确定直线与圆为相交或相切的位置关系，以此推导与的大小关系． 【详解】解：∵直线与有公共点， ∴直线与圆相交或相切． ∵直线与圆相交时，相切时， ∴． 11．如图，在平面直角坐标系中，的半径是，直线：与轴交于点，若直线与有公共点，则的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】直线与圆有公共点，考虑临界情况即直线与圆相切. 由直线解析式可知直线与轴夹角为，结合圆的半径构造等腰直角三角形求解的长，从而确定的取值范围． 【详解】解：直线的解析式为， 直线与轴正半轴的夹角为， 当直线与相切时，圆心到直线的距离等于半径， 设切点为，连接， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得， 当直线与轴正半轴相交且相切时，，即， 同理，当直线与轴负半轴相交且相切时，，即， 直线与有公共点， 点在轴上介于两切点之间，则的取值范围是． 12．如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径是，设点的坐标为． （1）求与直线相切时点的坐标． （2）请直接写出与直线相交、相离时的取值范围． 【答案】（1），或， （2）当时，与直线相交；当或时，与直线相离． 【分析】本题为一次函数和圆的运用综合题，掌握直线和圆的不同位置关系应满足的数量关系是解题的关键． （1）根据直线和圆相切应满足圆心到直线的距离等于半径，首先求得点的横坐标，再根据直线的解析式求得点的纵坐标； （2）根据（1）的结论，即可分析出相离和相交时的取值范围． 【详解】（1）解：过作直线的垂线，垂足为， 当点在直线右侧时， ， 得， 把代入直线解析式， 可得，， ， 当点在直线左侧时， ， 得， 把代入直线解析式， 可得， ， 当与直线相切时，点的坐标为或； （2）解：当时，与直线相交， 当或时，与直线相离． 知识点五已知直线和圆的位置关系求半径的取值 13．如图，，P为边上的一点，且，若以P为圆心，r为半径的圆与射线只有一个公共点，则半径r的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分两种情况考虑即可． 【详解】解：如图，过点P作于点C，则， 即当时，此时与射线只有一个公共点； 如图，当时，则与射线只有一个公共点，此时; 综上，当或时，与射线只有一个公共点． 14．如图，，点，在边上，，，点是边上的点．若使点，，构成等腰三角形的点恰好有三个，则的值是______． 【答案】或或 【分析】分三种情况讨论：先确定特殊位置时成立的值， 如图，当与重合时，即时，点恰好有三个； 如图，构建腰长为的等腰直角，和半径为的，发现在点的位置时，满足条件； 如图，根据等腰三角形三种情况的画法：分别以、为圆心，以为半径画弧，与的交点就是满足条件的点，再以为底边的等腰三角形，通过画图发现，无论取何值，以为底边的等腰三角形都存在一个，所以只要满足以为腰的三角形有两个即可． 【详解】解：分三种情况： 如图，当与重合时，即时，点恰好有三个； 如图，以为圆心，以为半径画圆，当与相切时，设切点为，与交于， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 当与重合时，即时，同理可知：点恰好有三个； 如图，取，以为圆心，为半径画圆， 则与除了外只有一个交点，此时，即以为顶角，为腰，符合条件的点有一个，以为圆心，以为半径画圆，与直线相离，说明此时以为顶角，以为腰，符合条件的点不存在，还有一个是以为底边的符合条件的点； 点沿运动，到时，发现与直线有一个交点； 当时，圆在移动过程中，则与除了外会有两个交点，满足点恰好有三个； 综上所述，若使点，，构成等腰三角形的点恰好有三个，则的值是：或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，有难度，本题通过数形结合的思想解决问题，解题的关键是熟练掌握已知一边，作等腰三角形的画法，以及找到临界点． 15．在中，，，． （1）若以点C为圆心，长为半径画，则直线与的位置关系如何？ （2）若直线与半径为r的相切，求r的值． （3）若线段与半径为r的有唯一公共点，求r的取值范围． 【答案】（1）相离 （2） （3）或 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，勾股定理逆定理： （1）根据勾股定理逆定理可得，作于点D，根据，可求出，再根据直线与圆的位置关系解答，即可； （2）根据直线与圆的位置关系解答，即可； （3）根据直线与圆的位置关系，分两种情况：圆与相切时；点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，即可解答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， 作于点D，如图， ， ∵， ∴， ∵以点C为圆心，长为半径画，且， ∴直线与的位置关系是相离． （2）解：∵直线与半径为r的相切， ∴． （3）解：∵， ∴以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，分两种情况： ①圆与相切时，即； ②点A在圆内部，点B在圆上或圆外时， 此时，即． ∴r的取值范围是或． 知识点六已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 16．若直线l与半径为5的相离，则圆心O与直线l的距离d为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一条直线与一个圆相离，那么该圆的圆心到该直线的距离大于该圆的半径，据此可得答案． 【详解】解：∵直线与半径为5的相离， ∴圆心与直线的距离． 17．如图，已知直线l与相离，过点O作于点A，交于M，，．P为上一点，当P在上运动时，作于点B，则最大值为 _______． 【答案】/ 【分析】本题考查圆的有关性质、矩形的判定与性质、勾股定理、平方式的非负性等知识，利用平方式的非负性求解是解答的关键． 分两种情况：当P点在过点O且平行于直线l的直线上方时，当P点不在过点O且平行于直线l的直线上方时，过点P作于N，连接，通过证明所构造的四边形是矩形，设，结合矩形的性质利用勾股定理可得关于的式子，再分别计算可求解． 【详解】解：当P点在过点O且平行于直线l的直线上方时， 过点O作于N，连接， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， 在中，， 则， ∴， ∴当最大值时，值最大， 令， 则， ∵，∴， ∴当，即时，y有最大值， ∴， 故当时，最大，最大值为：； 当P点不在过点O且平行于直线l的直线上方时， 过点P作于N，连接， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， 在中，， ， ∴， ∵，， ∵时，随x的增大而增大，也随x的增大而增大， ∴随x的增大而增大， ∴当时，最大，最大值为． ∵ ∴的最大值为． 故答案为：． 18．如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，求圆心的坐标.    【答案】，或. 【分析】本题主要考查了圆与直线的相切关系，及二次函数的概念；熟练掌握圆与坐标轴的位置关系是解本题的关键．与轴相切，即圆心到轴的距离等于的半径，也就是圆心的纵坐标y为，把y代入中，即可求出符合题意的圆心的坐标． 【详解】解：与轴相切，设圆心到x轴的距离为d， ，即点的纵坐标y为； 当时，即，解得：， 点的坐标为或； 当时，即，解得：， 点的坐标为； 综上，符合题意点的坐标为，或． 知识点七切线的应用  19．如图，为等边三角形的高，点O 在的延长线上，且，的半径为1，若将绕点 C 按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，与等边三角形的边只有一个公共点的情况一共出现（　　） A．3 次 B．4 次 C．5 次 D．6 次 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系．延长交于点，根据线段的和差关系求出，根据等边三角形的性质，得到，再根据直线和圆的位置关系进行判断即可． 【详解】解：如图，延长交于点， ， ； ； 是等边三角形，为等边三角形的高， ， 又∵的 半径为1， ∴在旋转过程中，与边只有一个公共点的情况有 2次，与边有2次，与边有1次，即交点为点，共5次．如图： 故选 C． 20．如图，在中，，，点是的中点，将线段绕着点顺时针旋转到，点是上任意一点，连接并延长交于点．在此旋转过程中，点运动的路线长为________． 【答案】 【分析】根据点是的中点，可得，由旋转得，当点运动到直线与相切于点时，则点的运动路径为线段，进而分别求得，即可求解． 【详解】解：∵在中，，，点是的中点， ， 由旋转得， 如图，当点运动到直线与相切于点时，则点的运动路径为线段， 连接，则，且， ， ， ， ， ； 当点又继续运动到点时，点的运动路径为线段， ， ， 点运动的路线长为， 21．尺规作图，如图，过点P作弦使得． 【答案】 法一：①过点O作的垂线； ②以垂线段画圆O； ③过点P作圆O的两条切线，这两条切线截得的弦、即为所求； 法二：①以O为圆心，为半径作圆，交于点G； ②作，得弦，即为所求； ③作，得弦，即为所求． 过点O作， 由题意得，，， ∴ ∴ ∴ 同理可证得，． 【分析】此题考查了切线的性质，掌握等弦所对的弦心距相等是解题的关键． 法一：根据题意作出以点O到距离为半径的圆，然后作出圆O的两条切线即可； 法二：根据题意做出，，进而求解即可． 【详解】略 知识点八证明某直线是圆的切线 22．如图，在平面直角坐标系中，过格点作一圆弧，将点B与下列格点分别连线，当连线与圆弧相切时，该格点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，作，的垂直平分线，交格点于点，则点为所在圆的圆心，可得三点所在圆的圆心为，连接，取格点，对各选项进行判断即可． 【详解】解：如图，连接，作，的垂直平分线，交格点于点，则点为所在圆的圆心， ∴三点所在圆的圆心为，由图可得， 连接，取格点， A、如图，设，取格点，由图可知，， ∵，，，，， ∴，，， ∴， ∴与不全等， ∴， ∴，即， ∴不与圆相切，故选项不符合题意； B、如图，设，取格点，由图可知，， ∵，，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴与圆相切，故选项符合题意； C、如图，设，取格点，由图可知，， ∵，，，，， ∴，，， ∴， ∴与不全等， ∴， ∴，即， ∴不与圆相切，故选项不符合题意； D、如图，设，取格点，由图可知，， ∵，，，，， ∴，，， ∴， ∴与不全等， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴不与圆相切，故选项不符合题意； 23．如图，以的边为直径的恰好过的中点D，过点D作于点E，连接，则下列结论：①；②；③；④是的切线．其中结论正确的是________．（直接填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，切线的判定，三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到，，则可判断①；根据圆的性质可得，则，则可判断③；可证明，则可判断④；根据现有条件无法证明，则可判断②． 【详解】解：为中点，点为的中点， 为的中位线， ，，故①正确； ∵， ∴，即，故③正确； ∵，， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线，故④正确； 根据现有条件无法证明，故②错误； 故答案为：①③④． 24．如图，四边形内接于，为的直径，点为的中点，对角线，交于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：为的直径， ，， ， 点为的中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， 是的切线； （2） 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，由等弧所对的圆周角相等得，再由等腰三角形三线合一知，从而说明，结论得证； （2）由勾股定理可求的长，根据面积法即可求． 【详解】（1）略； （2）解：，，， ， ， ， ， 知识点九切线的性质定理 25．如图，与相切于点，若，，则的半径长为（     ） A．3 B． C．5 D．4 【答案】B 【分析】由切线的性质可得，在中，由勾股定理解直角三角形即可得解． 【详解】解：∵与相切于点， ∴， ∴在中，． 26．如图，是的内切圆，点D、E分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为27，的长是10，则的周长是______． 【答案】7 【分析】根据切线长定理，可得，，，，再根据三角形周长公式即可求解． 【详解】解：如图， ∵、、、都和相切， ∴，，，， ∴， ∴ ． 27．如图，是的直径，C为上一点，过点C作的切线，此切线与的延长线相交于点D，，垂足为E．求证：平分． 【答案】证明：如下图，连接， 是的切线，是半径， ，即， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 【分析】根据切线的性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据等边对等角求出，得到，即可得答案． 【详解】证明：略． 知识点十切线的性质和判定的综合应用 28．如图，在四边形中，，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为，若，求半径的长是（    ） A．2 B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查切线的判定与性质、切线长定理、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质和切线长定理是解题的关键． 连接、，根据切线的判定可证是的切线，再根据切线长定理可得，，由切线的性质可得，再由平行线的性质与等腰三角形的判定可得，可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接、， ∵，是的半径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：C． 29．如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的刻度线与量角器的刻度线在同一直线上，直径是直角边的两倍，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则的度数是_______． 【答案】/60度 【分析】本题考查垂直平分线性质和判定，三线合一，切线长定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 记量角器圆弧所在圆的圆心为，连接，根据题意推出垂直平分，结合等腰三角形性质得到，再结合切线长定理进行求解，即可解题． 【详解】解：记量角器圆弧所在圆的圆心为，连接， 直径是直角边的两倍， ， ， 垂直平分， ， ， 为半径，， 为切线， 为切线， ， ； 故答案为：． 30．如图，在中，，以边上一点O为圆心，为半径作，交于点D，交于点E，过D作于点H． （1）如图1，求证：直线与相切． （2）如图2，若与相切于点F，且，求． 【答案】（1）证明：如图1，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵于点H， ∴， ∵是的半径， ∴与相切． （2） 【分析】（1）连接，由和都是等腰三角形证明，则，得，即可证明直线与相切； （2）连接、，先证明四边形是正方形，则，在中根据勾股定理列方程求出的长，再求出、的长，即可求出的值． 【详解】（1）略； （2）解：如图2，连接、， ∵与相切于点F， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵， ∴． 知识点十一应用切线长定理求解 31．在直角中，，，为边BC上一点，为的内心（内心是指内切圆的圆心），F为的内心，若，则（） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】设分别与相切于点，连接，则，根据切线长定理求出，，得出，然后求出，，代入整理可得答案． 【详解】解：如图，设分别与相切于点，连接，则， ∵， ∴点M在线段上． 由切线长定理得，， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴． ∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 32．如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，若，则___________． 【答案】/42度 【分析】根据切线及，得到，根据切线长定理得到，结合三角形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵是的切线，A为切点，， ∴， ∴， ∵，是的切线，，为切点， ∴， ∴， ∴． 33．如图，是的内切圆，切点为．若，，，求的面积． 【答案】的面积 【分析】利用切线长定理求出三角形的三边长，再用勾股定理的逆定理得到三角形是直角三角形，进而求得三角形的面积． 【详解】解：是的内切圆，切点为， ， ， ， ， ， ． 知识点十二应用切线长定理求证 34．如图，，是的两条切线，切点分别为，．连接，，，，与交于点，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据切线的性质得到，，，推出是等边三角形，根据含30度直角三角形的性质求出，求出，进而求出． 【详解】解：∵，是的两条切线， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵，，， ， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 35．如图，中，，M是BC的中点，的内切圆与AB，BM分别相切于点D，E，连接DE．若，则的大小为______． 【答案】30°/30度 【分析】利用直角三角形斜边上的中线的性质证明△ABM是等腰三角形，得到∠B＝∠BAM，的内切圆与AB，BM分别相切于点D，E，利用切线长定理证明△BDE是等腰三角形，得到∠BED＝∠BDE，利用得到∠BED＝∠BMA，∠BDE＝∠BAM，进一步证得△ABM是等边三角形，∠B＝60°，即可求出∠C的大小． 【详解】解：∵， ∴△ABC是直角三角形 ∵M是BC的中点， ∴AM＝BM＝， ∴△ABM是等腰三角形， ∴∠B＝∠BAM， ∵的内切圆与AB，BM分别相切于点D，E， ∴BD＝BE， ∴△BDE是等腰三角形， ∴∠BED＝∠BDE， ∵， ∴∠BED＝∠BMA，∠BDE＝∠BAM， ∴∠BMA＝∠BAM ∴∠B＝∠BMA＝∠BAM， ∴△ABM是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∴∠C＝90°－∠B＝30°， 故答案为：30°． 【点睛】此题考查了直角三角形的性质、圆的切线长定理、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 36．如图，四边形的各边与分别相切于点．求证：． 【答案】证明：∵四边形的各边与分别相切于点， 根据切线长定理：， ∴ ， ∴． 【分析】利用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等．把四边形四条边拆成多组相等的线段，再进行等量代换，即可证明等式． 【详解】略 知识点十三直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 37．如图，是的内切圆，若的周长为8，面积为4，则的半径是（  ） A．1 B． C．1.5 D．2 【答案】A 【分析】连接圆心与三角形三个顶点，将大三角形分割为三个小三角形，利用三角形面积公式（其中为周长，为内切圆半径）建立等量关系求解． 【详解】解：设的半径为， 连接， ∵是的内切圆， ∴点到的距离都等于， ∴ ， ∵的周长为8，面积为4， ∴， 解得． 38．如图，矩形中，，，连接，和分别是和的内切圆，则的长是___________． 【答案】 【分析】利用矩形的性质得到，全等的两个三角形内切圆的半径相等；利用勾股定理求出的长度，再计算出内切圆的半径；构造直角三角形求解． 【详解】解：四边形是矩形 ，， 又， ， 和的半径相等， 在中，，， ， 的半径 ； 连接P、Q，过点Q作，过点P作交于点E，则，如下图所示： 在 中， ， ， ． 【点睛】掌握“直角三角形内切圆的半径两条直角边的和减去斜边．”是解题的关键． 39．如图，在中，为的内切圆，．求的半径． 【答案】3． 【分析】设的半径为，与的三边分别相切于点，连接，易证四边形为正方形，在中，由勾股定理求出，再根据切线长定理即可求出． 【详解】解：设的半径为，与的三边分别相切于点，连接，如图所示． 易得四边形是正方形， ． 在中， ， ． 由切线长定理，得， 即， 解得， 的半径为． 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆的应用，掌握三角形内切圆的性质是解题的关键． 知识点十四三角形内心有关应用 40．如图，点是边长为的等边的内心，将绕点逆时针旋转得到，交于点，交于点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过作于点，则，由旋转性质可得，又点是边长为的等边的内心，则，，然后通过勾股定理得，再证明四边形是菱形，所以，则，再由直角三角形性质可得，则有． 【详解】解：如图，过作于点，则， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵点是边长为的等边的内心， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 41．如图，已知的周长是20，点为三角形内心，连接、，于点，且，则的面积是______． 【答案】30 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握三角形的内切圆与内心．连接，过点作于点，于点，可得，根据，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，于点， 点为三角形内心，， ， ． 故答案为：30． 42．如图，是的内接三角形，是的直径，点为的中点．请仅用无刻度的直尺按照下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作出的平分线； （2）在图2中，作出的内心． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，点即为所求； 【分析】（1）连接并延长交于点，连接，根据中位线定理可得，进而得，由得，代换得，故即为所求； （2）连接、交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接交于点，由、是的中线可得也是的中线，同（1）可证平分，故点即为所求． 【详解】（1）解：如图，连接并延长交于点，连接，即为所求； ∵点是的中点，是中点， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴平分； （2）解：如图，在（1）的基础上，连接、交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接交于点，点即为所求． ∵点是的中点，是中点，即、是的中线， ∴是的中线，即点是中点， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴平分， 又∵平分，交于点， ∴点是的内心． 知识点十五一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 43．如图，在中，，于D，为的内切圆，设的半径为R，的长为h，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设与的切点为E、F、G，，，的半径为R，连接，结合，可得三角形周长为．一方面面积，另一方面三角形面积等于内切圆半径乘以周长的一半，即．因为两个表达式都表示的面积，所以联立两个式子消去和，即可得到与的比值． 【详解】设与的切点为E、F、G，，，的半径为R，连接， 由题得，， ∴的周长为． 以为底、为高，的面积为， 又∵的面积可表示为 ， ∴联立等式， 得， ∴． 44．如图，已知是的内切圆，切点分别为，，，若，，，则内切圆的半径为____． 【答案】2 【分析】本题主要考查切线长定理和直角三角形内切圆半径的求法，求解直角三角形内切圆半径是解题的关键． 首先利用切线长定理求出三角形各边的长度，然后验证出三角形为直角三角形，进而根据等面积法计算半径即可． 【详解】解：∵是的内切圆，切点分别为，，， ∴，，， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴ ∴是直角三角形， 设内切圆的半径为 ∴ 即 解得， 故答案为：． 45．的内切圆半径为r，的周长为．求的面积．（提示：设的内心为O，连接．） 【答案】rl 【分析】利用三角形内切圆的性质结合三角形面积求法得出即可. 【详解】解：如图所示：设△ABC的内切圆O与AB、BC、AC的切点分别为D、E、F， S＝＋＋＝r（）＝rl 【点睛】此题主要考查了三角形内切圆与圆心，正确表示出S的值是解题关键. 知识点十六三角形内切圆与外接圆综合 46．我们将一个三角形内切圆的半径与外接圆的半径的比值叫做该三角形的“径比”，已知等腰三角形底为6，腰为5，则该三角形的“径比”为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的内切圆和外接圆等知识点，解题的关键是求出内切圆和外接圆的半径． 本题需计算等腰三角形的内切圆半径与外接圆半径的比值，通过勾股定理求高，进而计算面积，分别求出两个半径，最后求比值． 【详解】解：如图所示，为等腰底边上的高，点为三角形的外心， ∴， 由三线合一和勾股定理得，， ， 由勾股定理得， 解得， 如图，点为的内心， ， ∴， ∴ 故选：B． 47．如图，在中，，，，点为边上一动点（点D与点A、B不重合），过点D作，连接．    （1）外接圆的直径的最小值是______； （2）内切圆的半径的最大值是______． 【答案】 / /0.2 【分析】本题考查了直角三角形的外接圆和内切圆综合题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握直角三角形外接圆直径为斜边长，内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半是解题关键． （1）当时，作为外接圆的直径最小，由勾股定理可得，设，则，根据列方程，求出的值，进而得到的长即可求解； （2）令，，,内切圆半径为，则，由相似三角形可得，，即最小时，r最大，作C关于的对称点，过作交于点D，连接，此时最小，即最小，最小值为，进而即可求解 【详解】解：（1）为直角三角形， 外接圆直径为斜边的长， 当时，作为外接圆的直径最小，如图， ，，， ， ， 设，则， ， 解得：， ， 故答案为：    （2）令，，,内切圆半径为，则 ，， ， ，， ， ，即， ∴， ，即最小时，r最大， 作C关于的对称点，过作交于点D，连接，此时最小，即最小，最小值为， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为： 48．直角的两直角边． （1）分别求的外接圆半径R与内切圆半径r； （2）斜边上的动点M作，垂足为H，求的最小值． 【答案】（1）； （2） 【分析】（1）根据勾股定理求出，可求出R，设的内切圆圆心为O，过点O作，垂足分别为E，F，则，，根据三角形内切圆的性质可得四边形是正方形，从而得到，可求出r，即可； （2）过点作于点G，作点G关于的对称点，连接，求出，证明四边形是矩形，得到，解直角三角形得到，设，则，求出，，由对称的性质得，易证，得到，当三点共线时，最小，此时，即，的最小值为的长，解直角三角形得到，，在中，，求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴的外接圆半径； 如图，设的内切圆圆心为O，过点O作，垂足分别为E，F，则，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：如图，过点作于点G，作点G关于的对称点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，即， 设，则， ∴，， 由对称的性质得， ∵， ∴， ∴， ∴， 当三点共线时，最小， 此时，即，的最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了三角形外接圆与内切圆的性质，解直角三角形等知识，熟练掌握三角形外接圆与内切圆的性质，解直角三角形等知识是解题的关键． 知识点十七过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 49．对于题目“已知及外一点，如何过点作的切线？”甲、乙两位同学的作法如下： 甲的作法：连接，作的垂直平分线交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，作直线，，直线，即为所求．    乙的作法：连接并延长，交于两点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，交于点，连接，，作直线，，直线，即为所求．    下列说法正确的是（    ）． A．乙的作法正确，甲的作法错误． B．甲和乙的作法都错误． C．甲的作法正确，乙的作法错误． D．甲和乙的作法都正确． 【答案】D 【分析】要判断甲、乙作法是否正确，证明所作直线是否满足切线判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线．即需证明． 【详解】解：分析甲的作法： 连接、， 由作法知：是的中点，， ，， ， ，即 ， 是半径， 是的切线， 同理可证， 直线，即为切线，因此甲的作法正确； 分析乙的作法 由作法知：，，是的直径， ， ， 又 ，在上， 根据等腰三角形性质可得，即， 是半径， 是的切线， 同理可证 是的切线，因此乙的作法正确． 综上，甲和乙的作法正确． 50．已知及外一点P，求作直线，，使，与相切于点D，E【操作步骤】小威与小组同学们经过思考与探索，想出了如下作法（图2）： ①连接，分别以点O，P为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点A，C； ②作直线，交于点B； ③以点B为圆心，长为半径画弧，  交于点D，E； ④作直线，，则直线， 即为所求．请给出，为切线的理论依据：________请写出定理的内容） 【答案】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【分析】首先根据作图过程已知垂直平分，，进而得到两个等腰三角形和，利用等边对等角，以及三角形内角和定理，得到，即可证明与相切，从而可得理论依据. 【详解】证明：如图，连接，， 根据题意，得垂直平分，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵为的半径， ∴与相切； 同理：与相切； ∴，为切线的理论依据为：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 51．如图，点P在上．请用尺规作图法，过点P作的切线l．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图，直线即为所求． 【详解】略 知识点十八圆内知识综合（圆的综合问题）  52．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与x轴、y轴分别交于点，则面积的最小值为（　　） A．2 B．2.5 C． D． 【答案】A 【分析】连接,取的中点，连接，过点作于，先证明点的运动轨迹是以点为圆心，1为半径的，设交于点，解得直线与坐标轴的交点，即可解得的长，再由勾股定理解得的长，接着证明解得的长，最后当点与点重合时， 此时面积的最小值，据此解题． 【详解】解：如图，连接,取的中点，连接，过点作于， 的运动轨迹是以点为圆心、半径为1的圆，设交于点， 直线的解析式为， 令，得 令，得 当点与点重合时， 此时面积的最小值 故选：A． 【点睛】本题考查圆的综合题，涉及一次函数与坐标轴的交点、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 53．已知点A，B是半径为2的⊙O上两点，且∠BOA＝120°，点M是⊙O上一个动点，点P是AM的中点，连接BP，则BP的最小值是______． 【答案】 【分析】根据垂径定理即可判断点在以为直径的圆上，设为，连接，与的交点即为点，此时有最小值，最小值为，利用等腰三角形的性质和解直角三角形即可求得，，然后根据勾股定理求得，进而求得的最小值为． 【详解】解：连接， 点是的中点， ， 点在以为直径的圆上，设为， ， 连接，与的交点即为点，此时有最小值，最小值为， 作于，与， ， 是的中点， ， ， ，，， ， ， ， 的最小值为， 故答案为． 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，圆周角定理关系，等腰三角形的性质，以及解直角三角形等，确定点在以为直径的圆上是解题的关键． 54．如图，四边形内接于，是的直径，过点A作的切线，交的延长线于点E，且． （1）求证：平分； （2）已知，的半径为，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2） 【分析】（1）连接，利用等腰三角形的性质，平行线的判定和性质证明即可； （2）过点O作，垂足为点F，根据矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点O作，垂足为点F， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵，的半径为． 在中，， ， 即． 知识点十九圆与三角形的综合（圆的综合问题） 55．如图，中，，，，点、分别是、的中点，以为直径的交于点、，则的长度为（　） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理、三角形中位线定理、垂径定理及相似三角形的性质，解题思路是先求斜边和中位线的长度，再求点到的距离，最后利用勾股定理和垂径定理求；考查的知识点有勾股定理、三角形中位线定理、垂径定理，用到的思想是转化思想，方法是几何图形中的长度计算方法，技巧是利用垂径定理将的长度转化为，解题关键是求出点到的距离，易错点是忽略垂径定理的应用导致无法将与建立联系． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴的直径为5，半径， 过点作于，连接， ∵， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， 故选D． 56．如图，是的直径，是上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，并延长交于点，过作交于点，垂足为点，连接，并延长交的切线于点，若，，则的半径__________，__________． 【答案】 【分析】连接，，分别过点、作的垂线，垂足为、，作，垂足为，设，由两角对应相等可证明，则，从而得到直径．由折叠可推断，所在的圆与是等圆，根据圆周角定理可得，，则．容易证明，根据相似三角形的性质和线段关系，依次表示出和，在直角中，使用勾股定理构造方程，求出的值，进而计算出，，．由切线的性质，可证明四边形是矩形，则．容易证明，根据相似三角形的性质求出，最后求出． 【详解】解：如图，连接，，分别过点、作的垂线，垂足为、，作，垂足为，设， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， 由翻折的性质可知，所在的圆与是等圆， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在直角中，， ∴， 化简，得， ∵， ∴，解得，， ∴，， ∴， 在直角中，， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：；． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，由翻折推断出等圆是解题关键． 57．如图，点E是三角形的内心，的延长线和三角形的外接圆交于点D． （1）求证：． （2）过点D作的平行线，证明是外接圆的切线． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵是的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， 由（1）知， ∴， 即是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是外接圆的切线． 【分析】（1）连接，根据内心的定义可知平分，平分，根据圆周角定理得到，根据三角形外角的性质求出，根据等角对等边证明即可； （2）连接，由（1）知，得到，即是的中点，根据垂径定理的推论可知，即，可知是外接圆的切线． 【详解】（1）略 （2）略 知识点二十圆与四边形的综合（圆的综合问题）   58．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】由正方形的性质，知点是点关于的对称点，过点作，使得，连接交于，取，连接、，则点，为所求点，则点，为所求点，进而即可求解． 【详解】解：的面积为， 圆的半径为， ， 由正方形的性质，可知点是点关于的对称点， 过点作，使得， 连接交于，取，连接、，则点，为所求点，如图所示， 理由：，且，则四边形为平行四边形， 则， 则， 故的周长最小值为， 故选B． 【点睛】本题考查了圆的性质、点的对称性质、平行四边形的性质、正方形的性质，确定点的位置是解题的关键． 59．如图，已知为四边形的内接圆，恰好与三条边相切，半径为，为四边形的外接圆，半径为，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】如图，不妨设与四边形三边分别相切于E、F、H，连接，延长交于点，连接，，证明四边形是等腰梯形，，，可得是等腰三角形．证明共线，故只需求的范围，考虑下面两种极端情况：当C、D、G重合于一点G时，当与平行时，同理可得等腰梯形是正方形，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，不妨设与四边形三边分别相切于E、F、H，连接，延长交于点，连接，， ，，，，且， ，， ∴， ∴， ∴，而不平行， ∴四边形是等腰梯形，，， ∴，， ∴是等腰三角形． ∴，而，， ∴共线， 而，， 故只需求的范围，考虑下面两种极端情况： 当C、D、G重合于一点G时， ∵，， ∴结合勾股定理可得， ∴， ∴是等边三角形， 此时； 当与平行时，同理可得等腰梯形是正方形， 此时． 又以上两种极限情况均取不到，所以． 故答案为： 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，垂径定理的应用，切线的性质，切线长定理的应用，正方形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟练的利用数形结合的方法解题是关键. 60．如图，圆内接四边形满足，连结、，是延长线上的一点，过点作于点． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）8 【分析】（1）根据圆的内接四边形，得到，可推导出，继而推导出，即可解答； （2）过作于，推导出，可证明，得到，继而推导出，可求出，进而求出的长即可． 【详解】（1）略 （2）解：过作于， 平分，，， ， 在和中 ， ， 在和中 ， ， ， ， ， 答：的长为． 知识点二十一圆与函数的综合（圆的综合问题）  61．如图，在平面直角坐标系中，是抛物线上一点．以点为圆心，长为半径的圆与抛物线在第一象限交于点，抛物线和在点之间的部分分别记为，．分别是，上的两个动点（均不与重合）．给出下面四个结论： ①当轴时，长的最大值为； ②若点在轴上，则在第一象限内存在点，使四边形的面积等于的面积； ③可能是等边三角形； ④以为中点的线段恰有两条． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ）． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与性质，圆与函数的综合，等边三角形的性质与判定；当与轴重合时，的长取最大值，计算此时的的长即可判断①；，即可判断②；以为圆心，以为半径画圆与抛物线有交点，改变点位置使得，即可使得是等边三角形，即可判断③；设，表示出在上，利用建立方程，求出，最后根据的取值范围，即可判断④． 【详解】解：①当与轴重合时，的长取最大值， ∵将代入，得，解得：， ∴， ∴， ∴当与轴重合时，，， ∴当与轴重合时，即为最大值， ∴①正确； ②如图1所示，对于轴上的任意一点， ∵轴， ∴， ∵四边形的名称为， ∴点在第一象限的抛物线上， 抛物线在第一象限曲线上的任意一点，都可以画出, 显然， ∴②错误； ③如图2所示，以为圆心，以为半径画圆与抛物线有交点，改变点位置使得，即可使得是等边三角形， ∴③正确； ④点分别是，上的点，设， ∵、，、在点、点之间，均不与重合， ∴， ∵为中点， ∴在上， ∴，即， （负值舍去）或， ∵， ∴， ∵，这与是矛盾的， ∴不存在以为中点的线段， ∴④错误； 综上：①③正确，选A． 62．如图，直角坐标系中，为原点，点，，以为圆心，为半径画圆，若为该圆上一动点，过点作轴于点，则的最大值是______． 【答案】/ 【分析】假设在第一象限，则：，令，则，可知点在直线：上，再根据既是圆上一点，又在直线上，推出当直线与圆相切时，最大，当在第二象限时，根据圆的对称性，相同，即可得解． 【详解】解：设在第一象限，则： 令，则， ∴点在直线：上， ∵ 既是圆上一点，又在直线上， ∴当直线与圆相切时，最大， 如图：直线与坐标轴交于两点， 与圆相切与点，连接， 则：，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵点，， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴； 当在第二象限时，根据圆的对称性可知：的最大值仍为； 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数和圆的综合应用，同时考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质．将最值转化为直线与圆相切时，直线与轴的交点到原点的距离，是解题的关键． 63．如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，交轴于A、B两点，交轴于、两点，且为弧的中点，交轴于点，点A的坐标为，． （1）求点的坐标． （2）过点作的切线交轴于点，求直线的解析式． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）由，且为直径，得到，，求得，即可得到，即可求得点的坐标 （2）连接，则，用勾股定理分别求得，，，求得，即可求得直线的解析式 【详解】（1）∵，且为直径， ∴， ∵C为弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为 （2）由（1）知点的坐标为，则， ∴设直线的解析式为：，则点F的坐标为：， 在中，， 设的半径为r，连接，则， 点A的坐标为，则， 在中，，即， 解得：， ∴ 在中，， 由得：， 解得：， ∴直线的解析式为： 【点睛】本题考查了圆与函数的综合（圆的综合问题）和几何问题（一次函数的实际应用），熟练掌握圆的性质是解决问题的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题10 点与圆、直线与圆的位置关系（二十一大题型63道题） 目录 知识点一判断点与圆的位置关系 2 知识点二利用点与圆的位置关系求半径 2 知识点三点与圆上一点的最值问题 3 知识点四判断直线和圆的位置关系  4 知识点五已知直线和圆的位置关系求半径的取值 4 知识点六已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 5 知识点七切线的应用  6 知识点八证明某直线是圆的切线 6 知识点九切线的性质定理 7 知识点十切线的性质和判定的综合应用 8 知识点十一应用切线长定理求解 9 知识点十二应用切线长定理求证 10 知识点十三直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 11 知识点十四三角形内心有关应用 11 知识点十五一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 12 知识点十六三角形内切圆与外接圆综合 13 知识点十七过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 14 知识点十八圆内知识综合（圆的综合问题）  15 知识点十九圆与三角形的综合（圆的综合问题） 16 知识点二十圆与四边形的综合（圆的综合问题）   17 知识点二十一圆与函数的综合（圆的综合问题）  18 知识点一判断点与圆的位置关系 1．在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 2．已知的半径为，若点到点的距离为，则点在______．（填“内”“外”或“上”） 3．在平面直角坐标系中，已知的圆心为原点，半径为5．请判断点，，与的位置关系． 知识点二利用点与圆的位置关系求半径 4．平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 5．如图，在中，，，，，且，当以点C为圆心、长为半径的圆C与以点E为圆心的圆相交且点A在圆E外，则圆E的半径的取值范围是_______________． 6．在矩形中，，． （1）若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ （2）若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　． 知识点三点与圆上一点的最值问题 7．如图，平面直角坐标系中有一个圆，圆心为，半径为3，其中点A坐标为，点M是上的一个动点，连接，取中点N，连接，则的最大值（     ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 8．如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是弧上的一个动点，连接，过点作于点，连接．在点移动的过程中，的最小值等于________． 9．已知点，若的半径为1，点是上的动点， （1）求面积的取值范围； （2）求的最小值． 知识点四判断直线和圆的位置关系  10．的半径为r，某直线与该圆有公共点，且与圆心的距离为d，则    （     ） A． B． C． D． 11．如图，在平面直角坐标系中，的半径是，直线：与轴交于点，若直线与有公共点，则的取值范围是_____________． 12．如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径是，设点的坐标为． （1）求与直线相切时点的坐标． （2）请直接写出与直线相交、相离时的取值范围． 知识点五已知直线和圆的位置关系求半径的取值 13．如图，，P为边上的一点，且，若以P为圆心，r为半径的圆与射线只有一个公共点，则半径r的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 14．如图，，点，在边上，，，点是边上的点．若使点，，构成等腰三角形的点恰好有三个，则的值是______． 15．在中，，，． （1）若以点C为圆心，长为半径画，则直线与的位置关系如何？ （2）若直线与半径为r的相切，求r的值． （3）若线段与半径为r的有唯一公共点，求r的取值范围． 知识点六已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 16．若直线l与半径为5的相离，则圆心O与直线l的距离d为（     ） A． B． C． D． 17．如图，已知直线l与相离，过点O作于点A，交于M，，．P为上一点，当P在上运动时，作于点B，则最大值为 _______． 18．如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，求圆心的坐标.    知识点七切线的应用  19．如图，为等边三角形的高，点O 在的延长线上，且，的半径为1，若将绕点 C 按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，与等边三角形的边只有一个公共点的情况一共出现（　　） A．3 次 B．4 次 C．5 次 D．6 次 20．如图，在中，，，点是的中点，将线段绕着点顺时针旋转到，点是上任意一点，连接并延长交于点．在此旋转过程中，点运动的路线长为________． 21．尺规作图，如图，过点P作弦使得． 知识点八证明某直线是圆的切线 22．如图，在平面直角坐标系中，过格点作一圆弧，将点B与下列格点分别连线，当连线与圆弧相切时，该格点的坐标是（     ） A． B． C． D． 23．如图，以的边为直径的恰好过的中点D，过点D作于点E，连接，则下列结论：①；②；③；④是的切线．其中结论正确的是________．（直接填序号） 24．如图，四边形内接于，为的直径，点为的中点，对角线，交于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 知识点九切线的性质定理 25．如图，与相切于点，若，，则的半径长为（     ） A．3 B． C．5 D．4 26．如图，是的内切圆，点D、E分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为27，的长是10，则的周长是______． 27．如图，是的直径，C为上一点，过点C作的切线，此切线与的延长线相交于点D，，垂足为E．求证：平分． 知识点十切线的性质和判定的综合应用 28．如图，在四边形中，，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为，若，求半径的长是（    ） A．2 B． C． D．5 29．如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的刻度线与量角器的刻度线在同一直线上，直径是直角边的两倍，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则的度数是_______． 30．如图，在中，，以边上一点O为圆心，为半径作，交于点D，交于点E，过D作于点H． （1）如图1，求证：直线与相切． （2）如图2，若与相切于点F，且，求． 知识点十一应用切线长定理求解 31．在直角中，，，为边BC上一点，为的内心（内心是指内切圆的圆心），F为的内心，若，则（） A．3 B． C． D． 32．如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，若，则___________． 33．如图，是的内切圆，切点为．若，，，求的面积． 知识点十二应用切线长定理求证 34．如图，，是的两条切线，切点分别为，．连接，，，，与交于点，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 35．如图，中，，M是BC的中点，的内切圆与AB，BM分别相切于点D，E，连接DE．若，则的大小为______． 36．如图，四边形的各边与分别相切于点．求证：． 知识点十三直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 37．如图，是的内切圆，若的周长为8，面积为4，则的半径是（  ） A．1 B． C．1.5 D．2 38．如图，矩形中，，，连接，和分别是和的内切圆，则的长是___________． 39．如图，在中，为的内切圆，．求的半径． 知识点十四三角形内心有关应用 40．如图，点是边长为的等边的内心，将绕点逆时针旋转得到，交于点，交于点，则（     ） A． B． C． D． 41．如图，已知的周长是20，点为三角形内心，连接、，于点，且，则的面积是______． 42．如图，是的内接三角形，是的直径，点为的中点．请仅用无刻度的直尺按照下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作出的平分线； （2）在图2中，作出的内心． 知识点十五一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 43．如图，在中，，于D，为的内切圆，设的半径为R，的长为h，则的值为（     ） A． B． C． D． 44．如图，已知是的内切圆，切点分别为，，，若，，，则内切圆的半径为____． 45．的内切圆半径为r，的周长为．求的面积．（提示：设的内心为O，连接．） 知识点十六三角形内切圆与外接圆综合 46．我们将一个三角形内切圆的半径与外接圆的半径的比值叫做该三角形的“径比”，已知等腰三角形底为6，腰为5，则该三角形的“径比”为（   ） A． B． C． D． 47．如图，在中，，，，点为边上一动点（点D与点A、B不重合），过点D作，连接．    （1）外接圆的直径的最小值是______； （2）内切圆的半径的最大值是______． 48．直角的两直角边． （1）分别求的外接圆半径R与内切圆半径r； （2）斜边上的动点M作，垂足为H，求的最小值． 知识点十七过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 49．对于题目“已知及外一点，如何过点作的切线？”甲、乙两位同学的作法如下： 甲的作法：连接，作的垂直平分线交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，作直线，，直线，即为所求．    乙的作法：连接并延长，交于两点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，交于点，连接，，作直线，，直线，即为所求．    下列说法正确的是（    ）． A．乙的作法正确，甲的作法错误． B．甲和乙的作法都错误． C．甲的作法正确，乙的作法错误． D．甲和乙的作法都正确． 50．已知及外一点P，求作直线，，使，与相切于点D，E【操作步骤】小威与小组同学们经过思考与探索，想出了如下作法（图2）： ①连接，分别以点O，P为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点A，C； ②作直线，交于点B； ③以点B为圆心，长为半径画弧，  交于点D，E； ④作直线，，则直线， 即为所求．请给出，为切线的理论依据：________请写出定理的内容） 51．如图，点P在上．请用尺规作图法，过点P作的切线l．（保留作图痕迹，不写作法） 知识点十八圆内知识综合（圆的综合问题）  52．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与x轴、y轴分别交于点，则面积的最小值为（　　） A．2 B．2.5 C． D． 53．已知点A，B是半径为2的⊙O上两点，且∠BOA＝120°，点M是⊙O上一个动点，点P是AM的中点，连接BP，则BP的最小值是______． 54．如图，四边形内接于，是的直径，过点A作的切线，交的延长线于点E，且． （1）求证：平分； （2）已知，的半径为，求的长． 知识点十九圆与三角形的综合（圆的综合问题） 55．如图，中，，，，点、分别是、的中点，以为直径的交于点、，则的长度为（　） A． B．1 C． D． 56．如图，是的直径，是上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，并延长交于点，过作交于点，垂足为点，连接，并延长交的切线于点，若，，则的半径__________，__________． 57．如图，点E是三角形的内心，的延长线和三角形的外接圆交于点D． （1）求证：． （2）过点D作的平行线，证明是外接圆的切线． 知识点二十圆与四边形的综合（圆的综合问题）   58．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 59．如图，已知为四边形的内接圆，恰好与三条边相切，半径为，为四边形的外接圆，半径为，则的取值范围为__________． 60．如图，圆内接四边形满足，连结、，是延长线上的一点，过点作于点． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 知识点二十一圆与函数的综合（圆的综合问题）  61．如图，在平面直角坐标系中，是抛物线上一点．以点为圆心，长为半径的圆与抛物线在第一象限交于点，抛物线和在点之间的部分分别记为，．分别是，上的两个动点（均不与重合）．给出下面四个结论： ①当轴时，长的最大值为； ②若点在轴上，则在第一象限内存在点，使四边形的面积等于的面积； ③可能是等边三角形； ④以为中点的线段恰有两条． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ）． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 62．如图，直角坐标系中，为原点，点，，以为圆心，为半径画圆，若为该圆上一动点，过点作轴于点，则的最大值是______． 63．如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，交轴于A、B两点，交轴于、两点，且为弧的中点，交轴于点，点A的坐标为，． （1）求点的坐标． （2）过点作的切线交轴于点，求直线的解析式． 学科网（北京）股份有限公司 $